陕西省镇安中学2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知全集U={x|x是三角形}，集合A={xx是直角三角形}，B={x|x是锐角三角形或直 角三角形}，则Cu(AUB)= A.{x|x是钝角三角形) B.{x|x是锐角三角形或钝角三角形} p C.{x|x是直角三角形} D.{x|x是直角三角形或钝角三角形} 弥 2若fx是奇函数，且当>0时，x)-+子则f(-1) A.6 B.4 C.-6 D.-4 3.不等式二<0的解集为 B(-o,2]U[7,+∞) 数 A[2) c[2] 封 4.曲线y sin(2x-2)在点(1,0)处的切线方程为 A.y=x-1 B.y=2x-2 C.y=3x-3 D.y=5x-5 5.若幂函数fx)的图象经过点(9,3)，则函数g(x)=(分-3)的定义域为 A.[-1,+∞) B.(-o∞，-1] C.[1,+o∞) D.(-o∞，1] 6.已知某正四棱柱的一个侧面的周长为12，设该正四棱柱的高为h,则该正四棱柱的体积V(h)= A.h2-6h(0<h<6) B.h3-24h2+36h(0<h<6) C.h3-6h2(0<h<6) D.h3-12h2+36h(0<h<6) 线 7.函数f(x)=x2十cosx一3-lnx2的大致图象为 赵 8.若lg(9a2+4b2)=0(a>0,b>0),则lga+lgb-lg(3a+2b-1)的最大值为 Ale告 √3+1 B.-1g 6 C.Ig 12 D.-21g2 【高三数学米第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列判断正确的是 A.sin2x=0的充要条件是sinx=0 B马=0是x=x的充分不必要条件 C.2>b是2>b十2的必要不充分条件 D.a>b是a>b的既不充分也不必要条件 10.已知函数f(x)满足f(x)f(y)=f(xy)+f(x)十f(y)一2对任意x,y∈R恒成立，且 f(x)在R上单调，f(2)=9,则 A.f(1)=2 B.f(4.1)>65 C.f(x)是奇函数 D.f(x)不可能是一次函数 11.已知函数f(x)=a十(4x一1)lnx,则 A.f(x)只有一个极值点 B当a=2时，f(x)无零点 C.当x∈(0，+o∞)，f(x)≥bx(b>0)时，分≥1 D.当a=-1时，集合{x|lf(x)|=1+ln2}有7个真子集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.命题“3x∈Q,√1十x3∈Q”的否定是 18.已知函数x)2则f)的值蚊为 14.若ea·ey-ln(5x十y)≤2(x+2y+1),则x=▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知集合A={x|x-1≤a},B={(x,y)x,y∈A},C={(x,y)x+y=2,x,y∈R}. (1)若A=心，求a的取值范围； (2)当a=1时，在答题卡的图中作出B∩C对应点集的图形，并说明你的理由. 【高三数学米第2页（共4页）】 16.(15分) (1)解方程：log3(1gx)=16°，5-7. (2)若f(2-x)=x3,求函数f(x)的解析式. (3)若二次函数f(x)是偶函数，且f(f(x)=8x+8x2十t,求t的值 17.(15分) 已知函数f(x)=-(x-1)2(x-a). (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(2)=0,且曲线y=f(x)的切线l经过点(0,2)，求L的斜率. 【高三数学影第3页（共4页）】 18.(17分) 对于函数f(x),若存在a∈N',使得f(x)在(0，a]上有最小值，且最小值大于a,则称 f(x)为俏函数，其中a为f(x)的一个俏值 （1)若函数gx)=x十，证明：g(x)为俏函数，且gx)的俏值唯一， (2)若定义在R上的函数h(x)的值域为(1,4)，且h(x)在[一2，一1]上先减后增，试问 h(x一2)是否为俏函数？说明你的理由. (3)若函数f(x)=一42-42十6(22+22)十8，求f(x)的最大值与俏值. 弥 19.(17分) 已知函数f(x)=2e ai证明：f>+1. 封 (2)若函数h(x)=f(x一m)一√元一m在(0，十∞)上有零点，求m的取值范围 (3)若曲线y=一x十t(x>0)与曲线y=√x,y=f(x)分别交于A,B两点，证明：AB|√2. 线 【高三数学光第4页（共4页）】 高三数学参考答案 1.A因为AUB={x|x是锐角三角形或直角三角形}，所以Cw(AUB)={x|x是饨角三 角形} 2.C因为f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)=-6. 3.D 由0，得(2x-1D红7≥0x≠).懈得xe(-o,2]U,to为 4.B因为y=2xcos(2x一2》3 sin2(x-2》,所以当x=1时，y=2,所以曲线y 6 sin(2x-2)2在点(1,0)处的切线方程为y=2x一2， x3 5B设fc)-r,则-3，解得。-合所以ga)√合3.由时一32≥0，得≤-1，则 g(x)的定义域为(-∞，一1]. 6.D设该正四棱柱的底面边长为a,则2(a十h)=12,则a=6一h(0<h<6),， 所以该正四棱柱的体积V(h)=a2h=h(36-12h+h2)=h3-12h2+36h(0<h<6), 7.B因为f(-x)=(-x)2十cos(-x)-3-ln(-x)2=x2+cosx-3-lnx2=f(x),所以 f(x)为偶函数，排除A,C.当x→十∞时，f(x)→十∞，排除D.故选B. 8.A因为1g(9a2+4b2)=0(a>0,b>0),所以9a2+4b2=1(a>0,b>0),所以(3a+2b)2-1 =9a2+4b2-1+12ab=12ab. ab 12ab 3a+2b+1 1ga+g6-lg(3a+26-1)=lg3a+2b-=lg12(3a+26-D=lg 12 易证3a十2b 2 /8@)2D,侧a20<号，即3a+20<2,当且仅当a=20-号时 2 等号成立，所以1g3a十26十≤g22,放g。+g6一1g(3a+2b=1)的最大值为 12 出 9.BCD由sin2x=0,得2 sin xcos x=0,即sin xcos x=0,则sinx=0或cosx=0,所以 sin2x=0的充要条件不是sinx-0,A错误 由二-0，得x=0,则x-,反之不成立，所以二-0是x=x的充分不必要条件，B 正确. 若2>b,则2一b>0,则2一b>2未必成立，即2>b十2未必成立，若2>b+2,则2>b, 所以2>b是2>b十2的必要不充分条件，C正确. 因为一2<1，(-2)4>14，所以a>b是a4>b4的既不充分也不必要条件，D正确. 10.ABD令x=y=0,得[f(0)]2=3f(0)-2,解得f(0)=1或f(0)=2,令x=y=1,得 【高三数学·参考答案然第1页（共7页）】 [f(1)]=3f(1)一2，解得f(1)=1或f(1)=2.因为f(x)在R上单调，且f(2)=9,所以 f(x)在R上单调递增，则f(0)=1≠0，f(1)=2,A正确，C错误 令x=y=2,得[f(2)]2=f(4)+2f(2)-2,将f(2)=9代入，得f(4)=65,因为f(x)在R 上单调递增，所以f(4.1)>f(4),则f(4.1)>65,B正确. 假设f(x)是一次函数，则由f(0)=1,f(1)=2,得f(x)=x十1，则f(2)=3,但f(2)=9, 所以假设不成立，故f(x)不可能是一次函数，D正确. 11.ACf(x)=4lnx十4-，则f'(x)在(0，+o∞)上单调递增 y=g(x) 因为f(号)=21-n4)<0,f1)>0,所以存在唯-的x,∈（分，1）， 使得f'(x)=0,则f(x)在(0，xo)上单调递减，在(xo,十∞)上单调递 增，所以f(x)只有一个极值点，A正确， 当a-2时，f(x)-2+(4x-1Dnx.因为f(1)=2,f(分)=日 图1 1n2=1-)h4<0,且f(x)的图象是连续不断的，所以f(x)在(2,1)上必有零点，B错误。 2 由a+(4x-1)lnx≥bx,得(4x-1)lnx≥bx-a.设g(x)=(4x-1)lnx.由f(x)的单调 性可知，g(x)在(0，xo)上单调递减，在(xo,十∞)上单调 递增，当x→0时，g(x)→十∞，当x>十∞时，g(x) 十∞，且g(1)=0,y=bx-a(b>0)的图象是一条斜率大 3 y=1+n2 于0且横截距为6的直线，当Yx∈(0，+∞)，g(x)≥bx -a时，由图1可知，≥1，C正确. 当a=-1时，f(x)=-1+(4x-1)lnx,则f(2)=-1 1 -ln2>f(xo),其中f(xo)是f(x)的最小值，且xo∈ 图2 (号，1.作出y=f(x)的大致图象，如图2所示，直线 y=1十ln2与该函数的图象有4个交点，则集合{x|f(x)|=1+ln2}有4个元素，其真子 集的个数为24一1=15，D错误 12.Hx∈Q,wW1+x3氏Q命题“]x∈Q,W1+x3∈Q”的否定是“Hx∈Q,w√1+x3氏Q”. 13.(-∞，0)U(2,+∞) 依题意得2一42∈（一∞，0）U(0,2),则f(x)的值域为(-∞，0)U (2,+o): 14.18 易证1nx≤x一1（当且仅当x=1时，等号成立），e≥x十1（当且仅当x=0时，等号成 【高三数学·参考答案然第2页（共7页）】 立)，所以ex·e5v=e7x+5y≥7x+5y+1,ln(5.x十y)≤5x+y-1,则-ln(5x+y)≥-5.x y十1，所以ex+w-ln(5.x+y)≥7x+5y+1-5x-y+1=2(x+2y+1). 又ex+5y-ln(5x+y)≤2(x+2y+1),所以e2x+w-ln(5.x十y)=2(x十2y十1)， 5 x= /7x+5y=0, 18 当且仅当 即 时，等号成立 5x+y=1, y=1 18 15.解：(1)因为x-1≥0， …1分 所以当A=☑时，a<0,则a的取值范围是（一o∞，0）.…4分 (2)设点M(0,2),N(2,0),则B∩C对应的点集为图中的线段MN. 2M N 2 …7分 理由如下： 当a=1时，A={x|x-1≤1}={x-1≤x-1≤1}={x0≤x≤2.…10分 因为方程x十y=2表示的曲线为直线y=2一x, 所以B∩C对应的点集为曲线y=2一x(0≤x≤2,0≤y≤2)，…12分 所以B∩C对应的点集为图中的线段MN.…13分 16.(解：(1)因为16.75=(24)0,75=24×05=23=8， 2分 所以l0g3(1gx)=1,则1gx=3,…4分 所以x=103=1000.… 5分 (2)令2一x=t,则x=2一t,… …6分 则f(t)=(2-t)3,故f(x)=(2-x)3.… …8分 (3)依题意可设f(x)=ax2十bx十c(a≠0). …9分 因为f(x)是偶函数，所以由f(一x)=f(x),得b=0,…11分 所以f(f(x))=a(a.x2十c)2+c=a3x4+2a2cx2+ac2十c=8x4+8x2十t,…12分 所以a3=2a2c=8,ac2十C=t,…13分 解得a=2,C=1,t=3.…15分 17.解：(1)f'(x)=-2(x-1)(x-a)-(x-1)2=-(x-1)(3x-2a-1),…1分 令f'(x)=0,得x=1或c=2a+1 31 …2分 当2a>1,即a>1时，者xE(-,1,则了')0，f)单调递减： 若x∈(1,20)，则f'x)>0,fx)单调递增： 【高三数学·参考答案然第3页（共7页）】 若z∈(2，+)，则f(x)0,fx)单调递减 …4分 当2a十1=1，即a=1时，∫(x)=-3(z-1)2<0,则f(x)在R上单调递减. 3 …5分 当20<1，即a1时，若z(-,2a士)，则了)<0f单调递减： 若r∈(2，)，则f(x)>0,f(x)单调递增， 若x∈(1，十∞)，则f'(x)<0,f(x)单调递减.… …7分 综上，当。>1时，f)在(-，1，(2，+∞)上单调递减，在(1,2a士)上单调递增： 当a=1时，f()在R上单调递减：当a<1时，fx)在(-，2a),(1,十∞)上单调避 减，在(2，)上单调递增。 8分 (2)由f(2)=-(2-a)=0,得a=2,… 9分 则f(x)=-(x-1)2(x一2)=-x3+4x2-5x+2,则f(x)=-3x2+8x-5.…10分 设切线1与曲线y=f(x)相切于点(xo,yo),则yo=-x8十4x6一5xo十2，f'(xo)=一3x 十8x0-5,…11分 所以l的方程为y一y=f'(xo)(x一xo), 将点(0,2)的坐标代人，得2-yo=∫'(xo)(-x0),…12分 则2-（-x8+4x8-5x0+2)=(-3x6+8x0-5)(-xo),即2x(x0-2)=0,解得xo=0 或x0=2.… …13分 当x0=0时，k1=f′(0)=-5；当xo=2时，k1=f(2)=-1.…14分 故l的斜率为一5或一1.… …15分 18.(1证明：易知g)=x十在0,1上单潤递减，在1，十o。)上单润递增，…1分 所以g(x)在(0,1]上有最小值，且最小值为g(1)=2.… 2分 因为2>1，所以g(x)为俏函数， 3分 当a∈N*,且a≥2时，g(x)在(0，a]上的最小值为2，且2≤a,所以g(x)的俏值只能为1， 故g(x)的俏值唯一.……4分 (2)解：h(x一2)是俏函数.…5分 理由如下： 将h(x)的图象向右平移两个单位长度，得到h(x一2)的图象.…6分 因为h(x)在[-2，一1]上先减后增，所以h(x一2)在[0,1]上先减后增.…7分 又h(x)的值域为(1,4)，所以h(x一2)在(0,1]上有最小值，且最小值大于1，…8分 所以h(x)是俏函数，且h(x)的一个俏值为1.…9分 【高三数学·参考答案光第4页（共7页）】 （3)解：令1=2+2≥2，则42+4=(2+24y-2=2-2,…10分 则f(x)=2-t2+6t+8=-t2+6t+10=p(t),则p(t)=-(t-3)2+19(t≥2)， 所以当t=3时，p(t)取得最大值19，故f(x)的最大值为19.…11分 2=3得23生则x2+e 由t=2-2+ 3士√5 2 因为p(2)在[2,3)上单调递增，在[3，+o∞)上单调递减，1(x)=23+2在(-o,2)上单 调递减，在[2，十0∞)上单调递增，………12分 所以由复合函数的单调性可知了x)在[2,2+10x:3斗)上单调递增，在(2+1oa。35。 3+√5 十o∞)上单调递减。… …13分 因为f(4一x)=一42-x一4-2+6(22-x+2x-2)十8=f(x),所以f(x)的图象关于直线x= 2对称， 所以f)在（一o,2+16g35]上单调道嘴，在(2+16g3≥5,2）上单词递减 …14分 因为2)=18，f0)=f4)=16-6+2∈17,18，f5)<0,.15分 所以f(x)在(0,1]上无最小值，在(0,2]上无最小值，在(0,3]上无最小值，在(0,4幻上有最小 值，且最小值为f(4),… …16分 f(x)在(0，a](a≥5)上有最小值，但最小值都小于a,故f(x)的俏值为4.…17分 【注】第(3)问中，未得到f(x)的图象关于直线x=2对称，但正确判断了f(x)在（一∞，2） 上的单调区间，不扣分.另外，第(3)问还可以这样解答： 令(x)=22十22-r,p(4-x)=22-十2-2=p(x),所以p(x)的图象关于直线x=2对 称，当x≥2时，力'(x)=(2-2-22-x)n2≥0，当且仅当x=2时，等号成立，所以p(x)在 [2,十∞)上单调递增，在（一∞，2）上单调递减.… …10分 令t=2*-2+22-x≥2，则t2=4-8十42-x+2,则4-2+42-x=t2-2,则p(t)=2-t+6t十8= 一(t一3)2+19，则p(t)在(-∞，3)上单调递增，在(3，十∞)上单调递减， 所以f(x)mx=p(3)=19. …12分 当z∈o,1门时∈[，)，此时pe)在[3，） 上无最小值，所以f(x)在(0,1]上无最 小值.… …13分 当x∈(0,2]或x∈(0,3]时，4∈[2，)，此时()在[2，)上无最小值，所以f(x)在0， 2]上无最小值，在(0,3]上无最小值. …14分 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 当xE(0,4时，∈[2，]，此时()在[2，]上有最小值，且最小值为() =19 ()》>4,则fx)在0,4上有最小值，且最小值大于4.…… …15分 当x∈(0，a](a≥5)时，t∈[2,2a-2+22-a],2a2+22a>8,此时f(x)的最小值为p(2a2+ 22-0)<p(8)<0<a.…16分 综上，f(x)的俏值为4.…17分 19.(1证明：设g）=fx）)-2(x+1)=2e-2（x+1D,则g'(x)=e-号 2 …1分 当x<0时，g'(x)<0,当x>0时，g'(x)>0,… 2分 所以g(x)在(-∞，0)上单调逆减，在(0，十∞)上单调递增，所以g(x)≥g(0)=>0,则 fx)>2(x十1).… …4分 （2)解：（方法一）由题意得A)=2e宁-丘-m,则)=(e宁-2》)： 对于任何实数m,当x→0时，h'(x)一o,当x→十∞时，h'(x)→十∞.…5分 因为h'(x)在(0，十∞)上为增函数，所以存在唯一的xo∈(0，十∞)，使得h'(x)=0.… …6s分 令h'(x)<0,得0<x<xo,令h'(x)>0,得x>xo,所以h(x)在(0，xo)上单调递减，在 (x0,十0∞)上单调递增。…7分 因为()=(e罕)=0，所以e智=且m=,十2.…8分 √x √x0 因为h(x)在(0，+∞)上有零点，所以h(x)≤0，即 =-x0-2lnx0-√xo≤0.…9分 设1(x)=2 -x-21nx-√元，则1(x)在(0，+∞)上单调递减.因为I(1)=0,所以x0≥ 1,则m=xo十2lnxo≥1，故的取值范围是[1，十o∞).…10分 (方法二)h(x)在(0，十∞)上有零点等价于2e子=元+m在(0，十∞)上有解.…5分 易证e≥x十1，侧e≥m十1，… …6分 则E+m≥2(4+1，则3m≥x-2反+4=(W反-102+32≥3，则m≥1.…7分 当m=1时，h(1)=0,h(x)在(0，十∞)上有零点；…8分 当m>1时，h(1)=2e-1-m<0,当x→+∞时，h(x)→十∞， 由函数零点存在定理可知，h(x)在(0，十∞)上必有零点.…9分 故m的取值范围是[1，十∞).…10分 【高三数学·参考答案光第6页（共7页）】 (3)证明：当x>0时，2x十1≥2要-，由1知2x+1)<2,所以v<28.“ 2 …11分 设A(x1,y1),B(x2,y2),则0<x2<x1,所以|AB|=√2(x1-x2).…12分 一x1+t=√x1, 又因为 …13分 B -x2+t=2e, 2 2 所以x1一x2=2e4一√/x1.…14分 1” 令n=x1-x2>0,则2e-n-√x1=0,即方程h(x1)=0(x1> 0)有解。…16分 由(2)知n≥1，当且仅当x1=1时，等号成立，此时x2=0,这与x2>0矛盾，故等号不能取 到，则n>1,所以AB|=√2(x1一x2)=√2n>√2.…17分 【高三数学·参考答案然第7页（共7页）】