精品解析：浙江金华市义乌市稠州中学2026-2027 学年九年级第一学期国庆作业检查数学试题

稠州中学九年级数学国庆作业检查2026.10 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下列函数中，是的二次函数的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义：形如（a、b、c是常数，）的函数叫二次函数，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A．是一次函数，故不符合题意； B． 是二次函数，故符合题意； C． 是反比例函数，故不符合题意； D． 是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了比例线段，根据比例线段的概念，让最短的线段和最长的线段相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解∶A．， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、， ， 四条线段成比例，故本选项符合题意； C、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、， ， 四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 故选∶B． 3. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 打开手机，正好刷到学习主播正在直播 C. 3个人分成两组，一定有2个人分在一组 D. 任意画一个三角形，其内角和是 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A． 座位号是奇数或偶数的可能性均存在，属于随机事件，故A不符合题意． B． 打开手机可能刷到各种内容，无法确定是否为学习主播直播，属于随机事件，故B不符合题意． C． 将3人分成两组，无论分组方式如何（如1人和2人），必有一组至少有2人，此事件必然发生，属于必然事件，故C符合题意． D． 三角形内角和恒为180°，因此内角和为360°的情况不可能发生，属于不可能事件，故D不符合题意． 故选：C． 4. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴相似比为， ∴它们的周长之比为． 5. 抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向右平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：； 再向下平移两个单位长度所得抛物线的解析式为：，即． 故选：C 【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 6. 已知二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得二次函数的对称轴x=-2，进而可得h的值，从而可得函数解析式，再把x=0代入函数解析式可得y的值． 【详解】由题意得：二次函数y=-（x+h）2的对称轴为x=-2， ∴h=2 ∴函数解析式， ∴当时， 故选D. 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数顶点式y=a（x-h）2+k，对称轴为x=h. 7. 如图，点D是的边上一点，连接．下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵， ∴A、由不能判定，故符合题意； B、由能判定，故不符合题意； C、由能判定，故不符合题意； D、由能判定，故不符合题意； 故选A． 8. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. 点C、点O、点三点在同一直线上 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． 9. 如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（ ） A. 42.5 B. 36 C. 33 D. 27.5 【答案】C 【解析】 【分析】设，用含的代数式表示六边形面积，利用二次函数性质求最小值.  【详解】解：设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ； ， 同理； ∴ 六边形的面积 ； 点在边上， ， 即， 解得； ，且二次项系数， 当时，取得最小值 33. 10. 如图1，在矩形中，E是上一定点，点P从B点出发，沿两边匀速运动，运动到点D停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的函数关系图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点．下列选项正确的是（ ） A. B. F点坐标为 C. 点M的横坐标为 D. PE的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点分别作，根据图象可得，，可证明是直角三角形，且，证明得到， 可求出，故A说法不正确；当点在线段上运动时，满足时，即点P与点G重合时，有最小值，由等面积法得到，则，故B说法错误；由，可知C说法错误；当点在上运动时，当，即点与点重合时，有最小值，由等面积法得到，故D说法正确． 【详解】解：连接，过点分别作， 由图象可知：当时，，即当点与点重合时，， 当时，，即，此时点与点重合，则， ∵， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，故A说法不正确， 由是上一定点，点是动点可知：当点在线段上运动时，满足时，即点P与点G重合时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为，故B说法错误； ∵， ∴点的横坐标为，故C说法错误； 当点在上运动时，当，即点与点重合时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，故D说法正确． 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 已知线段，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了成比例线段，根据比例中项的定义得到，代入已知值计算即可． 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， 解得或（舍去）． 故答案为：． 12. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（用号连接）________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越小，对应函数值越大，比较三个点到对称轴的距离即可得到大小关系． 【详解】解：首先求抛物线的对称轴，配方得，可得，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线，点到对称轴的距离越小，对应的值越大． 计算各点横坐标到的距离：点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ． 13. 如图，义乌赤岸镇的古月桥是一座宋代古石拱桥，我们把它的桥拱近似看作抛物线．正常水位时，水面宽为，拱桥最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么警戒水位时水面宽为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，利用点坐标求出，再根据水位上升高度求出所在直线的值，代入解析式求即可. 【详解】解：设抛物线的解析式为. 水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为， 点的坐标为 将点代入，得 ， 解得， 抛物线的解析式为. 水位上升达到警戒水位， 警戒水位对应的纵坐标， 当时，， 解得， . 14. 如图，中，平分，，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】因为，可得，由相似三角形对应边对应成比例即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∵，，， 设，则， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例及相似三角形的判定和性质，根据平行线，角平分线的关系找出线段，，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 15. 如图，在直角三角形纸片中，，，．是中点，将纸片沿翻折，直角顶点的对应点为，交于，则____． 【答案】## 【解析】 【分析】方法一：根据等面积法求出，根据勾股定理求出，证明，求出，进而求出，证明，求出，即可求解． 【详解】解：设与相交于O，过D作于H， ∵，是中点， ∴， 又，， ∴，， ∵A、关于对称， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 16. 已知一次函数y1＝﹣x，二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k（k＞0）． （1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为_____； （2）若y＝y2﹣y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数y的图像上，且s＜b，则a的取值范围_____．（用含k的式子表示） 【答案】 ①. 1 ②. a＜k﹣3或a＞k+2 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的对称轴的解析式，再根据二次函数的性质，列出k的不等式，进而求得k的最小整数值； （2）代入M（k+2，s），N（a，b）求得b与s的解析式，再由s＜b列出不等式，根据二次函数与不等式的关系求得结果便可． 【详解】解：（1）∵二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k＝（x﹣k）2﹣k， ∴对称轴为x＝k，开口向上， ∴当x≤k时，y2随x的增大而减小， ∵当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小， ∴k≥1， ∴k的最小整数值为：1． 故答案为：1； （2）y＝y2﹣y1＝x2﹣2kx+k2﹣k+x＝x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣k， ∵点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上， ∴s＝（k+2）2﹣（2k﹣1）（k+2）+k2﹣k＝6， b＝a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k， ∵s＜b， ∴a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＞6， ∵当a2﹣（2k﹣1）a+k2﹣k＝6时， a＝k﹣3或a=k+2， ∴a＜k﹣3或a＞k+2， 故答案为：a＜k﹣3或a＞k+2． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的性质和解不等式是解题关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值． （2）写出顶点坐标和对称轴． 【答案】（1） （2）顶点坐标为，对称轴为直线 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数的性质，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据二次函数的定义可得，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求可得函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可知二次函数解析式为， ∴顶点坐标为，对称轴为直线． 18. 2026年9月12日，浙省级争霸赛在梅湖体育馆举办．体育馆设有A、B、C三个入口，甲、乙两人各自随机选择一个入口参与志愿服务． （1）甲选择B入口参与志愿服务的概率为________． （2）请用树状图求甲、乙两人选择相同入口参加志愿服务活动的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用等可能事件的概率公式求解． （2）通过树状图列举所有等可能结果，结合概率公式计算． 【小问1详解】 解：∵甲从A、B、C三个入口中随机选择一个，共有3种等可能的结果，其中选择B入口的结果有1种， ∴甲选择B入口参与志愿服务的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择相同入口的结果有3种， ∴甲、乙两人选择相同入口参加志愿服务的概率为． 19. 如图，每个小方格均为正方形，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）如图1，与相交于点，则_________； （2）如图2，与方格线相交于点．请用无刻度直尺，在上找一点，使（保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2） 如图2，，点为所求， 同理（1）可得， 在图中找出格点、，同理可得， ∴，即， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据可得，由此得出，根据网格线段即可得出比值； （2）同理可得，再在上找一点，使即可， 本题考查了相似三角形的判定和性质，无刻度直尺作图，解题关键是以网格格点作图为背景，利用平行线和线段长转化线段比． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 20. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围为________； （3）将该抛物线向上平移________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 【答案】（1） （2） （3）3或4 【解析】 【分析】（1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可； （2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围； （3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵二次函数的表达式为． ∴当时，， 当时， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴y的最小值为， ∴当时，y的取值范围为； 【小问3详解】 解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得， ∴与x轴只有一个交点，即， 当时，， ∴与y轴有一个交点，即，符合题意； 当经过原点时，向上平移3个单位长度，得到函数解析式为：， 当时，， 解得：， 所得交点为，符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 21. 学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道（米），两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为55米，设实验田的长度为x米． （1）的长为________米（用含x的式子表示） （2）当x取多少时，实验田（矩形）的面积最大时，最大面积是多少？ 【答案】（1） （2）当时，试验田的面积最大，最大为 【解析】 【分析】（1）根据栅栏总长度3倍长度长度个门的宽，列式即可； （2）先求出自变量的取值范围，然后根据题意列出，再由二次函数性质可得答案． 【小问1详解】 解：∵米， 根据题意可得：， 整理后得米； 【小问2详解】 解：∵，侧墙最大可用15米， ∴， ∵米，侧墙最大可用27米， 故，解得， ∴， 设实验田（矩形）的面积， 根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为， ∴当时，试验田的面积最大，最大为． 22. 如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接，可知； （1）求证：． （2）若，正方形的边长为6，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）12 【解析】 【分析】（1）证明，得到，据此可证明； （2）由全等三角形的性质得到，则可得到，再由相似三角形的性质得到，据此求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 23. 定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和． （1）下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”． ①________； ②________； ③________． （2）若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围； （3）若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值． 【答案】（1）×；√；× （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解； （3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可． 【小问1详解】 解：①令，方程无解， ∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×； ②令， 解得：，， ∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√； ③令，方程无解， ∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×； 【小问2详解】 解：由题意得， 整理，得， ∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：由题意得 整理，得 ∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”， ∴ 整理，得 ∴当时，a的最小值为， ∵当时，a的最小值为c， 若 则，符合题意； 当时，a的最小值为， ∴，该方程无实根， ∴该情况不成立， 当时，的最小值为， ∴， ∴，其中，故不符合题意， ∴， 综上可得或． 【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式． 24. 如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F． （1）如图1，当，时， ①求证：； ②连接，若，求的值． （2）如图2，时，延长交射线于点M、延长交射线于点N，连接．若，且是以为腰长的等腰三角形，求的长． 【答案】（1）证明：①∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； ②4 （2）或 【解析】 【分析】（1）①由条件证明，即证明结论； ②设与，分别交于点和点，证明垂直平分，可得，则，可得，则可得，即可得结论； （2）先证明，分时，时，两种情况即可求解． 【小问1详解】 解：①证明：略． ②如图，设与，分别交于点和点， 由①可知，， ∴， ∴，即， ∴垂直平分， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 设，则， ①如图，当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，即； ②如图，当时，， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∵， ∴，即， 解得，即； 综上所述，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 稠州中学九年级数学国庆作业检查2026.10 一、选择题（共10小题，共30分） 1. 下列函数中，是的二次函数的是（） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 任意买一张电影票，座位号是奇数 B. 打开手机，正好刷到学习主播正在直播 C. 3个人分成两组，一定有2个人分在一组 D. 任意画一个三角形，其内角和是 4. 如果两个相似三角形的面积比为，那么它们的周长之比为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的新抛物线解析式为( ) A. B. C. D. 6. 已知二次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 如图，点D是的边上一点，连接．下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. 点C、点O、点三点在同一直线上 C. D. 9. 如图1，在矩形纸片中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，，，．沿，各剪去一个角，剩余部分为六边形纸片，用4张和它大小、形状完全相同的六边形纸片可不重叠、无缝隙地拼成一幅美丽图案，其示意图如图2所示．图1中的六边形的面积的最小值为（ ） A. 42.5 B. 36 C. 33 D. 27.5 10. 如图1，在矩形中，E是上一定点，点P从B点出发，沿两边匀速运动，运动到点D停止．设点P运动的路程为x，的长为y，y关于x的函数关系图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点．下列选项正确的是（ ） A. B. F点坐标为 C. 点M的横坐标为 D. PE的最小值为 二、填空题（共6小题，共18分） 11. 已知线段，如果线段是线段和的比例中项，那么线段的长为__________． 12. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（用号连接）________． 13. 如图，义乌赤岸镇的古月桥是一座宋代古石拱桥，我们把它的桥拱近似看作抛物线．正常水位时，水面宽为，拱桥最高点O到水面的距离为．如果此时水位上升就达到警戒水位，那么警戒水位时水面宽为________． 14. 如图，中，平分，，，，则________． 15. 如图，在直角三角形纸片中，，，．是中点，将纸片沿翻折，直角顶点的对应点为，交于，则____． 16. 已知一次函数y1＝﹣x，二次函数y2＝x2﹣2kx+k2﹣k（k＞0）． （1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为_____； （2）若y＝y2﹣y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数y的图像上，且s＜b，则a的取值范围_____．（用含k的式子表示） 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值． （2）写出顶点坐标和对称轴． 18. 2026年9月12日，浙省级争霸赛在梅湖体育馆举办．体育馆设有A、B、C三个入口，甲、乙两人各自随机选择一个入口参与志愿服务． （1）甲选择B入口参与志愿服务的概率为________． （2）请用树状图求甲、乙两人选择相同入口参加志愿服务活动的概率． 19. 如图，每个小方格均为正方形，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）． （1）如图1，与相交于点，则_________； （2）如图2，与方格线相交于点．请用无刻度直尺，在上找一点，使（保留作图痕迹）． 20. 如图，二次函数的图象经过点，顶点坐标为． （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，y的取值范围为________； （3）将该抛物线向上平移________个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点． 21. 学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道（米），两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为55米，设实验田的长度为x米． （1）的长为________米（用含x的式子表示） （2）当x取多少时，实验田（矩形）的面积最大时，最大面积是多少？ 22. 如图，四边形是正方形，点G为边上一点，连接并延长，交的延长线于点F，连接交于点E，连接，可知； （1）求证：． （2）若，正方形的边长为6，求线段的长． 23. 定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和． （1）下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”． ①________； ②________； ③________． （2）若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围； （3）若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值． 24. 如图，在菱形中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F． （1）如图1，当，时， ①求证：； ②连接，若，求的值． （2）如图2，时，延长交射线于点M、延长交射线于点N，连接．若，且是以为腰长的等腰三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $