精品解析：江苏盐城市建湖县汇杰初级中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

九年级数学学科练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证． 【详解】解：A、，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； B、，方程整理后为，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意； C、，符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故本选项不符合题意． 故选C． 2. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据配方的基本步骤解答即可． 【详解】解：， 移项得， 两边加得， 故． 3. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 圆有且只有一个内接三角形 D. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是三角形的外接圆与外心及的性质，解题的关键是熟练的掌握三角形的外接圆与外心的性质． 依据三点确定一个圆的条件可判断A，依据三角形的外心的定义可求得B作出判断，依据同圆中弧、弦之间的关系进行判断即可． 【详解】解： A、 经过不在同一条直线上的三点可确定一个圆，故A错误； B、三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，故B错误； C、圆有无数个内接三角形，故C错误； D、在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故D正确． 故答案选：D． 4. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 5. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 【答案】D 【解析】 【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛110场，可列出方程． 【详解】解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝110． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键． 6. 反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，则m取值范围是（ ） A. m＞0 B. m＞2 C. m＜0 D. m＜2 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣2＞0，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴m﹣2＞0，解得：m＞2． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 7. 如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度（ ） A. 8cm B. 4cm C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过圆心，作，根据垂径定理得出，根据图示得出，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过圆心，作，则 在中，，， ∴， ∴, 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键． 8. 若是关于x的方程的一个解，则的最大值为（ ） A. 0 B. 8 C. 16 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】将方程的解代入原方程，建立m与n的数量关系，再转化为二次式配方求最值即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴将代入原方程得， ， 将代入得， ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需要写解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 一元二次方程的根是_____________． 【答案】±2 【解析】 【分析】利用直接开平方法求解可得． 【详解】解：∵x2=4， ∴x=±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 10. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程中未知数的最高次数为2，可得，根据二次项系数不为0，可得，据此求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的定义得 解得， 即， 解得， 因此的值为． 11. 请填写一个常数，使得关于x的方程________=0有两个不相等的实数根． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的不等式，求解即可得出答案． 【详解】解：，，设常数为， 故答案为：1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 12. 若点，都在函数的图象上，且，则________（填“，或”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的比例系数k的符号判断图象所在象限，结合两点横坐标的正负确定两点位置，通过纵坐标的正负比较大小． 【详解】解：反比例函数，比例系数， 函数图象分布在第一、三象限， ， 点在第三象限，点在第一象限， 第三象限内的点的纵坐标为负，第一象限内的点的纵坐标为正， ． 13. 若是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由方程根的定义得到关于的关系式，变形求出的值，再整体代入所求代数式计算． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 14. 已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝___． 【答案】cm 【解析】 【分析】首先根据勾股定理的逆定理发现该三角形是直角三角形，再根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半进行计算． 【详解】解：， 是直角三角形， 则外接圆半径是斜边的一半，即为cm； 故答案为：cm． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及三角形的外接圆与外心，解题的关键是熟记直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】直线与圆有公共点，考虑临界情况即直线与圆相切. 由直线解析式可知直线与轴夹角为，结合圆的半径构造等腰直角三角形求解的长，从而确定的取值范围． 【详解】解：直线的解析式为， 直线与轴正半轴的夹角为， 当直线与相切时，圆心到直线的距离等于半径， 设切点为，连接， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 当直线与轴正半轴相交且相切时，，即， 同理，当直线与轴负半轴相交且相切时，，即， 直线与有公共点， 点在轴上介于两切点之间，则的取值范围是． 16. 如图，点E是矩形内一动点，且，，．连接，分别取，的中点M、N，连接MN，则线段长度的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点O，连接，连接，，根据，三角形中位线定理，解答即可． 【详解】解：取的中点O，连接， ，， ， 连接，， 矩形，， ， ∵， 当三点共线时，取得最小值， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵，的中点M、N， ∴， ∴当取得最小值时， 随之取得最小值， ∴． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）（用公式法）； （4）（用配方法）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，； 【小问3详解】 解： ，， 解得，； 【小问4详解】 解： 解得，． 18. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）2 （2） 证明：∵关于x的方程， ∴， ∴对于任意实数a,该方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式等知识点，掌握根的判别式大于零的方程有两个不相等的实数根成为解题的关键； （1）将代入方程得到关于a的方程求解即可； （2）计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可证明结论． 【小问1详解】 解：将代入方程可得： ，解得： 【小问2详解】 略 19. 先化简，再求值：，其中满足方程． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先通分，再进行除法运算，化简得，运用因式分解法进行解方程，得，结合分母有意义，得，故把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 故把代入，得． 20. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为 ； （2）根据（1）中的条件填空： ①的半径为 ；（结果保留根号） ②点在 ；（填“上”、“内”或“外”） ③直线l平行于x轴，并且到x轴距离为4，则直线l与的位置关系是 ． 【答案】（1） （2）①；②外；③相交或相离 【解析】 【分析】（1）可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心，根据位置写出圆心坐标即可； （2）①利用勾股定理求出的长即可得到答案； ②利用勾股定理求出点到圆心的距离即可判断点和圆的位置关系； ③确定直线l到圆心的距离即可判断直线l和圆的位置关系． 【小问1详解】 解：作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示： 【小问2详解】 解：①由题意得，， ， ， ∴的半径为； ②， ， ∴在外； ③∵直线l平行于x轴，并且到x轴距离为4， ∴直线l的解析式为或， ∵， ∴直线l到圆心的距离为或， ∴直线l与的位置关系是相交或相离． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识． （1）计算，根据题意得到，即，得到； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，根据得到，整体代入得到，即可求出． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理可知； （2）取格点，连接，此时交于一点I，作直线，交于点F，连接，此时点F为优弧的中点，则，则，可得到平分． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点F即为所求： 23. 如图，是的弦，是弧的中点． （1）连接，求证：垂直平分； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）5 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）由是弧的中点可知，故，再由可得出结论； （）设与交于点，由（）知，垂直平分，得出，根据勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理求出的值即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 24. 如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明：连接， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 为的切线； （2）6 【解析】 【分析】（1）连接，则有，由外角性质可得，又，则，所以，然后通过平行线的性质，从而求证； （2）连接，由圆周角定理可得，所以，则，最后通过角所对直角边是斜边的一半和线段和差即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 25. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 该零件月销售利润能达到40000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 【答案】任务一：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务二：该零件的实际售价应定为50元； 任务三：月销售利润不能达到40000元， 理由：设该零件的实际售价为n元时，月销售利润能达到40000元， 由题意得， 整理得， ， 方程没有实数根， 故月销售利润不能达到40000元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x，利用该车间6月份生产数量=该车间4月份生产数量×（1+该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率），可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； 任务二：设该零件的实际售价m元，则每个的销售利润为元，利用总利润=每个的销售利润×月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要尽可能让车企得到实惠，即可确定结论； 任务三：设该零件的实际售价n元，可列出关于n的一元二次方程，解之即可确定结论． 【详解】解：任务一：设车间4月份到6月份生产数量的平均增长率x， 由题意得， 解得或（舍去）． 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务二：设该零件的实际售价m元， 由题意得， 整理得， 解得或． ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴． 答：该零件的实际售价应定为50元； 任务三：略 26. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点P的坐标为 ； （2）若关于x的一元二次方程有衍生点: ①求实数q的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差，求q的值； （3）已知不论为何值，关于x的方程的衍生点G始终在直线上，求b，c的值． 【答案】（1） （2）①且；②的值为或 （3）， 【解析】 【分析】（1）求解一元二次方程得到两根，根据衍生点定义直接写出坐标； （2）①由衍生点定义得方程有两个不等实根，结合一元二次方程二次项系数不为0的条件，列不等式求q的取值范围；②利用根与系数的关系，结合两根差的平方与两根和、两根积的关系列方程求解，结合①的范围验证结果； （3）将直线解析式变换为，可知不论为何值，直线恒过定点，再根据衍生点都在这条直线上，可得衍生点G为，进而即可求解． 【小问1详解】 解： 解得， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 解：①由题意得，， ∴ 解得， ∵是一元二次方程， ∴， 的取值范围是且； ②∵， ∴， 衍生点纵坐标与横坐标相差，且， ， ∴， ， ∴ 解得， 经检验，和均满足且， 的值为或； 【小问3详解】 解：由题意得， ， ， ∵不论为何值，衍生点都在这条直线上， ∴点G的坐标与k的取值无关， ∵只有当且时，等式两边恒为0，与k无关， ∴直线恒过定点，即衍生点， ∴方程的两个根为，， ∴ 解得， 解得， 综上所述，，． 27. 如图，在半径为6的扇形中，，点是弧上的一个动点（不与点、重合），，垂足分别为、． （1）在中是否存在长度保持不变的边？若存在，求出其值；若不存在，说明理由； （2）在中是否存在角度保持不变的角？若存在，求出其值；若不存在，说明理由； （3）当动点C在圆弧上由点B向点A滑动时，的外接圆大小是否变化？若不变，求出此外接圆面积的值；若变化，求出它变化过程中面积的最大值． 【答案】（1）存在，，理由： 如图，连接，， ，， ， ； ，， ，， 是的中位线， ． （2）存在，，理由： ，，且， ，， ， 即． （3）的外接圆大小不变，其面积为 【解析】 【分析】（1）连接，，根据勾股定理求出，根据垂径定理，三角形中位线，推出是的中位线，即可解答； （2）根据等腰三角形三线合一，得到，，即可解答； （3）由（1）、（2）中的角度和边长不变的关系，得出的外接圆半径始终为，根据面积公式计算出该外接圆面积为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设点为的外接圆圆心，连接，，如图： 则， 又， 为等腰直角三角形， ， 的外接圆大小不变，其面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程配方后化为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个圆 B. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 C. 圆有且只有一个内接三角形 D. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等 4. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. x（x+1）＝110 B. x（x﹣1）＝110 C. x（x+1）＝110 D. x（x﹣1）＝110 6. 反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，则m取值范围是（ ） A. m＞0 B. m＞2 C. m＜0 D. m＜2 7. 如图，一个纵截面为半圆的容器水平放置，然后向其中倒入部分液体，测得数据如图（单位：cm），则液面宽度（ ） A. 8cm B. 4cm C. D. 8. 若是关于x的方程的一个解，则的最大值为（ ） A. 0 B. 8 C. 16 D. 24 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需要写解答过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 一元二次方程的根是_____________． 10. 关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 11. 请填写一个常数，使得关于x的方程________=0有两个不相等的实数根． 12. 若点，都在函数的图象上，且，则________（填“，或”）． 13. 若是方程的一个根，则代数式的值为___________． 14. 已知△ABC三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形的外接圆的半径＝___． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的半径是，直线：与轴交于点，若直线与有公共点，则的取值范围是_____________． 16. 如图，点E是矩形内一动点，且，，．连接，分别取，的中点M、N，连接MN，则线段长度的最小值为_________． 三、解答题（本大题共有11小题，共102分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）； （3）（用公式法）； （4）（用配方法）． 18. 已知关于x的方程． （1）若该方程有一个根为，求a的值： （2）求证：方程总有两个不相等的实数根． 19. 先化简，再求值：，其中满足方程． 20. 如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，点O为坐标原点．（网格中小正方形的边长为1） （1）该圆弧所在圆的圆心P的坐标为 ； （2）根据（1）中的条件填空： ①的半径为 ；（结果保留根号） ②点在 ；（填“上”、“内”或“外”） ③直线l平行于x轴，并且到x轴距离为4，则直线l与的位置关系是 ． 21. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 22. 内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； （2）在图2中的圆上找一点，使得平分． 23. 如图，是的弦，是弧的中点． （1）连接，求证：垂直平分； （2）若，，求的半径． 24. 如图，在中，是的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与交于点F． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的长． 25. 根据表中的素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 任务3 该零件月销售利润能达到40000元吗？如果能，请写出涨价方案；如果不能，请说明理由． 26. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点． （1）直接写出方程的衍生点P的坐标为 ； （2）若关于x的一元二次方程有衍生点: ①求实数q的取值范围； ②若衍生点的纵坐标和横坐标相差，求q的值； （3）已知不论为何值，关于x的方程的衍生点G始终在直线上，求b，c的值． 27. 如图，在半径为6的扇形中，，点是弧上的一个动点（不与点、重合），，垂足分别为、． （1）在中是否存在长度保持不变的边？若存在，求出其值；若不存在，说明理由； （2）在中是否存在角度保持不变的角？若存在，求出其值；若不存在，说明理由； （3）当动点C在圆弧上由点B向点A滑动时，的外接圆大小是否变化？若不变，求出此外接圆面积的值；若变化，求出它变化过程中面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $