精品解析：广东省湛江市雷州市第八中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年第一学期第一次月考试卷 高一数学 （考试时间:120分钟，分值：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合交集与并集计算法则计算即可. 【详解】由题意知，，所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查集合交集与并集的运算，考查对集合的含义的理解，意在考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算，属于基础题. 2. 已知实数，则与的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差的方式，可将差配凑为，根据可知，从而得到结论. 【详解】 ，又 即 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用作差法比较两式的大小，关键是能够将差配凑成能够判断正负的式子的形式. 3. “对任意实数都有”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】恒成立问题转化为最值问题求解，再根据推出关系判断必要不充分条件可得. 【详解】由题意，当时，恒成立， 设，， 则，当且仅当时等号成立， 所以， 故命题“对任意实数都有”. 又，且， 故“对任意实数都有”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，巧用“1”化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】， 当且仅当，即时，取等号， 故选：B． 5. 在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则，根据基本不等式求出的最大值后，可得三角形周长的最大值. 【详解】设直角三角形的两条直角边边长分别为，则. 因为， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立. 故这个直角三角形周长的最大值为 故选：C 6. 不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：要使有意义，则， 解得 不等式两边同时平方得 解得或 所以， 所以不等式的解集是 7. 已知“”是“”的充分不必要条件，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据“”是“”的充分不必要条件，可知是解集的真子集，然后根据真子集关系求解出的取值范围. 【详解】因为，所以或， 所以解集为， 又因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集，所以， 故选：C. 【点睛】结论点睛：一般可根据如下规则判断充分、必要条件： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集； （3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）若是的既不充分也不必要条件，则对应集合与对应集合互不包含. 8. 已知集合，集合，若对于中的任意两个不同的元素和，都有，则中元素个数的最大值是（ ）． A. 676 B. 675 C. 672 D. 671 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以得到M中的任意两个不同的元素x，y，若，都有，进而得到的最小值为3，进而求解即可. 【详解】对于中的任意两个不同的元素和，都有 不妨设，都有. 要想M所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3. 将1~2027这2027个元素按如下分组： ，，……，，， 故应在前组中按周期每组取一个元素，且第一组中不能取3， 第一组中取1时，可得或这样的集合， 第一组取2可得， 其中任意两元素差值都大于2，满足题意， 故M所含元素个数的最大值为. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 为奇数 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，由绝对值的意义可判断；对B，计算判别式，判断对应方程根的情况得解；对C，由题可得，得解；对D，由，是3个连续的整数，所以是偶数，得解. 【详解】对于A，因为，故A正确； 对于B，因为方程的判别式，方程无实数解，故B错误； 对于C，任意，则，所以，故C正确； 对于D，因为，当时，是3个连续的整数， 至少有一个是偶数，所以是偶数，故D错误. 故选：AC. 10. 设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（ ） A. 自然数集N为封闭集 B. 整数集Z为封闭集 C. 集合为封闭集 D. 若S为封闭集，且，则S一定为无限集 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据封闭集的定义，举反例判断A；根据封闭集定义可判断B，C；由封闭集定义可推出所有整数都属于S，判断D. 【详解】对于A，取，则，故自然数集N不是封闭集； 对于B，任意两个整数的和、差、积仍是整数，故整数集Z为封闭集； 对于C，设都是整数， 则，故， 同理， , 故集合为封闭集，C正确； 对于D，若S为封闭集，且，则, 则，依此类推可得所有整数都属于S， 则S一定为无限集，D正确， 故选：BCD 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【详解】因为的解集为， 所以开口向下， 即，故A正确； 且与轴交点的横坐标为和，由韦达定理可得， 所以即且，故， 即，故B正确； 且，故C正确； 因为， 当且仅当即时等号成立，而，故等号不成立，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则的最小值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】用基本不等式来解决. 【详解】因为，所议，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4． 13. 已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是____________． 【答案】13 【解析】 【详解】，当a取2时，分别为1，1，4，6，共3对；当a取3时，分别为2，0，3，5，共3对；当a取5时，分别为4，2，1，3，共3对；当a取9时，分别为8，6，3，1，共4对．． 14. 若不等式组的解集是，则a的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】不等式组解集为R，就是不等式和对任意实数x恒成立。结合二次函数图象解决即可。 【详解】因为不等式组的解集是， 所以，不等式和对任意实数x恒成立。 由不等式 对任意实数x恒成立可得，即 ，解得； 由不等式对任意实数x 恒成立，即不等式 对任意实数x恒成立 ，所以或 ，解得或 ，所以故答案为：. 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，难度一般。解决一元二次不等式恒成立问题，应结合二次函数的图象，注意三个二次之间的关系，尤其注意当二次项系数含字母时，应讨论二次项系数是否为0、二次项系数的正负。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合. （1）当时，求. （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案. （2）根据题意得到集合之间的关系，分类讨论，列出不等关系，求解即可. 【小问1详解】 当时，， 所以，. 【小问2详解】 因为是的充分条件，则， 当时，， 当时，， 综上所述，或． 16. 已知一元二次方程. （1）若是方程的两个根，求b的值； （2）求证：“是方程的一个根”的充要条件是“”. 【答案】（1）0 （2）先证明充分性： 当时，或， 所以是方程的一个根， 所以充分性成立； 再证明必要性： 当是方程的一个根时， . 所以必要性成立. 所以“是方程的一个根”的充要条件是“”. 【解析】 【分析】（1）化简即得解； （2）先证明充分性，再证明必要性得证. 【小问1详解】 由题得，所以； 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：证明是的充要条件，要先证明充分性，即；再证明必要性，即. 17. 某厂家举行大型的促销活动，经测算，当某产品促销费用为x（万元）时，销售量t（万件）满足（其中，）．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件． （1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 【答案】（1）；（2）投入1万元时，厂家的利润最大 【解析】 【分析】 （1）用定价乘以销售量，减去促销费和成本，化简后求得关于的函数表达式. （2）化简（1）中求得的函数表达式，利用基本不等式，求得的最大值，以及此时对应的的值. 【详解】（1）由题意，得， 将代入化简，得． （2），当且仅当，即 （满足）时，上式取等号．故促销费用投入1万元时，厂家的利润最大 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式在实际生活中的应用，属于基础题. 18. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）分析可知的两根为和2，且，代入运算求解； （2）整理可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集； （3）分析可得，换元令，结合二次函数最值分析求解. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根为和2，且， 所以，解得：． 【小问2详解】 由（1）知可化为， 即， 又，则不等式可化为， 当，即时，解得，即的解集为； 当，即时，解得，即的解集为； 当，即时，解得，即的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 若对任意的实数，恒成立， 由（1）可化为， 即，对任意恒成立， 令，则，可得对任意的恒成立， 令，， 因为，对称轴为，可知在内单调递增， 所以当时，，可得， 所以实数的取值范围为． 19. 对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. （1）求集合的所有非空子集的交替和的总和； （2）已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； （3）已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 【答案】（1）12； （2）672； （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据题意计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和； （3）将集合的所有非空子集分类，并将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和，再加上单元素集的“交替和”即可. 【小问1详解】 集合的非空子集有， 根据题意，集合的交替和分别为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为. 【小问2详解】 集合的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况， 相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为次. 同理，每个元素出现的次数为次， 所以，集合所有非空子集的元素和的总和为. 【小问3详解】 集合，其非空子集有个， 将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个，其“交替和”为3； 第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个； 第三类，不含元素3的非空集合，有个， 将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对， 则集合与集合的“交替和”的和始终为3， 如取，则，集合与集合的“交替和”的和为， 这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次月考试卷 高一数学 （考试时间:120分钟，分值：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，则与的大小关系为 A. B. C. D. 3. “对任意实数都有”是“”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于则这个直角三角形周长的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集是（    ） A. B. C. D. 7. 已知“”是“”的充分不必要条件，则k的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，集合，若对于中的任意两个不同的元素和，都有，则中元素个数的最大值是（ ）． A. 676 B. 675 C. 672 D. 671 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 为奇数 10. 设S为实数集的非空子集．若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题正确的是（ ） A. 自然数集N为封闭集 B. 整数集Z为封闭集 C. 集合为封闭集 D. 若S为封闭集，且，则S一定为无限集 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知正数满足，则的最小值为____________． 13. 已知A，B是非空集合，若，且满足，则称a，b是集合A，B的一对“基因元”．若集合，则A，B的“基因元”的对数是____________． 14. 若不等式组的解集是，则a的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集，集合. （1）当时，求. （2）若是的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知一元二次方程. （1）若是方程的两个根，求b的值； （2）求证：“是方程的一个根”的充要条件是“”. 17. 某厂家举行大型的促销活动，经测算，当某产品促销费用为x（万元）时，销售量t（万件）满足（其中，）．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件． （1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 18. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）当时，求关于的不等式的解集； （3）若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围． 19. 对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. （1）求集合的所有非空子集的交替和的总和； （2）已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； （3）已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $