精品解析：四川省广安友谊中学平安校区2026-2027学年九年级上学期第一次质量检测数学试卷

广安友谊中学平安校区初2024级初三上期 第一次质量检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项 1．本试卷分试题卷1-4页和答题卡两部分． 2．试题卷A卷中的选择题部分，每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂改其它答案标号．试题卷其余部分直接答在答题卡上相应位置．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填涂在答题卡上． 3．考试结束，只交答题卡． A卷（满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项，方程含有2个未知数，不是一元二次方程． B选项，方程只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，是一元二次方程． C选项，方程分母含未知数，是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程． D选项，方程中未知数最高次数为3，不是一元二次方程． 2. 一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程根的定义，将已知根代入原方程，求解关于的一元一次方程． 【详解】解：把代入，得：， 解得． 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式求解. 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且. 4. 二次函数与轴的交点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】令解方程即可． 【详解】解：令，则， 则或， 解得，， 故二次函数与轴的交点坐标是，． 5. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点不在其图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将点在反比例函数图象上的条件转化为横纵坐标乘积为6，简化计算． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴； A选项：点的横纵坐标乘积为，故点在图象上； B选项：点的横纵坐标乘积为，故此点在图象上； C选项：点的横纵坐标乘积为，故此点在图象上； D选项：点的横纵坐标乘积为，故此点不在图象上． 6. 已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数的解析式求出和的值，再比较即可． 【详解】解：把代入，得；把代入，得， ∵， ∴． 7. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律求解． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得，再向下平移3个单位，得． 8. 某商品原价每件100元，连续两次降价后，每件售价81元，设平均每次降价率为，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】明确每次降价的基数为前一次售价，推导两次降价后的售价表达式，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，第一次降价后售价为元，第二次在第一次售价基础上降价，售价为元， 结合最终售价为81元，得方程． 9. 二次函数的图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和对称轴可得 ，，，即可判定A；利用可判定B、C；根据抛物线与轴的交点个数可判定D． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，抛物线与轴交点在轴上方， ∴，，  ∵对称轴为直线，  ， ∴， ∴，故A错误； ∵， ∴，，故B错误，C正确； ∵抛物线与轴有两个交点，  ，故D错误． 10. 在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象与系数的关系逐一判断即可求解． 【详解】解：A、观察反比例函数图象得：， 此时一次函数的图象过第二，三，四象限，二者一致，故本选项符合题意； B、观察一次函数的图象得：， 此时一次函数的图象过第二，三，四象限，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：， 此时一次函数的图象过第一，二，三象限，相矛盾，故本选项不符合题意； D、观察一次函数的图象得：， 此时一次函数的图象过第一，二，三象限，相矛盾，故本选项不符合题意； 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知关于的方程有一个根是，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程和它的一个根，利用根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于方程， 由根与系数的关系可得，两根之积为， ∵ 方程的一个根是， ∴ ，解得 ， 即方程的另一个根是． 12. 若方程是关于的一元二次方程，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，据此列条件求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需要同时满足两个条件： 第一个条件：未知数的最高次数为，即， 解得或； 第二个条件：二次项系数不为，即，解得； 综上，． 13. 抛物线的顶点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式，根据形如的抛物线的顶点坐标是解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 14. 反比例函数的图象经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数解析式，求解一元一次方程即可得到的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， ， 解得． 15. 双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点围成的三角形面积，结合图像所在的象限确定k的符号即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在双曲线上， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵双曲线图像位于第二象限， ∴， ∴． 16. 函数，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】因为抛物线开口均向上，所以、、都是正数，又因为抛物线的开口越小对应的越大，所以． 【详解】解：由图象可知，三条抛物线开口均向上， 、、都是正数， 又抛物线的开口最小，抛物线的开口最大， ． 三、解答题（本大题共5小题，共36分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） ，. 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程； （2）利用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 分解因式可得：， 方程的解为； 【小问2详解】 解：， 分解因式可得：， ，， 解得：，． 18. 已知，与成正比例，与成反比例．且当时，；当时，．求与的函数关系． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例、反比例函数的定义设出，的表达式，代入已知的两组与的对应值列方程组，求解系数即可得到函数关系． 【详解】解： ∵与成正比例，与成反比例， ∴设（），（）， ∵， ∴， 将，和，分别代入上式， 得 ， 解得 ， ∴与的函数关系为． 19. 已知，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． 【答案】 【解析】 【分析】由根的判别式可得，再根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两实根， ∴， 解得：， ∵， ∴， ， ∵， ，即， ， ∵， ∴. 20. 如图，双曲线与直线相交于和点． （1）直接写出双曲线和直线解析式； （2）求的面积． 【答案】（1）双曲线解析式为，直线解析式为； （2）． 【解析】 【分析】（1）将点分别代入双曲线和直线，求和的值． （2）联立双曲线与直线解析式求点的坐标，利用三角形面积公式求的面积． 【小问1详解】 解：点在双曲线上， ， 双曲线解析式为， 点在直线上， ， ， 直线解析式为． 【小问2详解】 解：由已知， 直线与与与ty轴交于点， ∴ 联立， ， 或， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， ， ， ， ． 21. 进入秋季，流感来袭前，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的二次函数；药物燃烧后，与成反比例（如图）．现测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克．请你根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室； （2）求药物燃烧时，关于的函数关系式； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？（） 【答案】（1） （2） （3）解：此次消毒有效，理由如下， 把代入得，， 解得，（大于，不符合题意，舍去）， 把代入得，， 解得， ∵， ∴此次消毒有效． 【解析】 【分析】（1）设药物燃烧后，与的解析式为，把代入，可得与的解析式为，根据反比例函数的性质即可得出答案； （2）设药物燃烧时，关于的函数关系式为，把代入，可求出，即可得出二次函数解析式； （3）把分别代入二次函数和反比例函数解析式，分别求出的值，进而求出持续时间，即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵药物燃烧后，与成反比例， ∴设药物燃烧后，与的解析式为， ∵反比例函数图象经过， ∴， 解得， ∴药物燃烧后，与的解析式为， ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 解得， ∵空气中每立方米的含药量低于毫克， ∴至少需要经过分钟后，学生才能回到教室． 【小问2详解】 解：∵药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克， ∴设药物燃烧时，关于的函数关系式为， ∵二次函数图象经过， ∴， 解得， ∴药物燃烧时，关于的函数关系式为． 【小问3详解】 略 B卷（满分50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 22. 关于的方程有一个根是，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】把代入方程得到关于的方程，求解后验证所得m的值是否满足方程有根为0的条件即可． 【详解】解：∵方程有一个根是， ∴把代入方程得， 解得或， 当时，关于的方程为，满足题意； 当时，关于的方程为， ，解得或，满足题意； 综上所述，或． 23. 二次函数，当时，函数的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先对二次函数配方得到开口方向和对称轴，再根据给定的的范围，计算区间端点的函数值，比较得到最大值． 【详解】解：∵，且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 在范围内，计算区间端点的函数值： 当时，； 当时，； ∴函数的最大值为． 24. 如图，抛物线与轴两交点横坐标分别为和2，则不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线解析式以及与x轴的交点可知的解集即为抛物线在x轴上方的部分，进而即可推出的解集． 【详解】解：令，可得， 由图可得，此不等式的解为， ∵可变为， ∴的解集为． 25. 若抛物线与坐标轴只有一个交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线与轴一定有一个交点，要使抛物线与坐标轴总共只有一个交点，则抛物线与轴没有交点或顶点在原点，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 在中，当，， ∴抛物线与轴一定有一个交点， 又∵抛物线与坐标轴只有一个交点， ∴要么抛物线与轴没有交点，要么抛物线的顶点在原点， 又∵对称轴不为y轴， ∴抛物线的顶点不在原点， ∴抛物线与轴没有交点即一元二次方程没有实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得． 26. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为________（用“”连接）． 【答案】 【解析】 【分析】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，计算出对应纵坐标的值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，；当时，；当时，， ，即． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 27. 某商场购进一批商品，进价为每件40元，售价为每件60元，每天可卖出100件；如果每件商品的价格每上涨1元，则每天少卖2件．物价局规定，该类商品的利润率不得超过． （1）每件商品的售价定为多少元时，商场销售该商品每天可获利2250元？ （2）当售价定为多少元时，每天可获得最大利润，并求出最大利润． 【答案】（1）每件商品的售价定为65元时，商场销售该商品每天可获利2250元 （2）当售价定为72元时，每天可获得最大利润，最大利润为2432元 【解析】 【分析】（1）根据总利润单件利润销售量列一元二次方程求解，结合利润率限制舍去不符合条件的解； （2）建立利润关于售价的二次函数关系式，结合售价的取值范围，利用二次函数的增减性求最大利润． 【小问1详解】 解：设每件商品的售价为x元， 进价为40元， 每件利润为元， 售价为60元时每天可卖100件，每上涨1元少卖2件， 每天的销售量为（件）， 每天获利2250元， 解得． 利润率不得超过， 最高售价为元， ，不符合题意，舍去， ； 【小问2详解】 解：设每天获得的总利润为w元， 由题意得， ， ， 抛物线开口向下，对称轴为直线． 当时，w随x的增大而增大． 最高售价为72元， 当时，w取得最大值，（元）． 28. 如图，，都在双曲线的图像上，，在轴上，已知，，都是等边三角形． （1）求双曲线解析式； （2）的面积． 【答案】（1）双曲线解析式为； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形的性质求出点的坐标，再代入双曲线解析式求． （2）设等边的边长为，利用中点和高表示坐标，代入双曲线方程求，再利用面积公式求解． 【小问1详解】 解：，为等边三角形， ， 过点作轴于点， ， 的横坐标为， 的纵坐标为， ， 在双曲线上， ， 双曲线解析式为． 【小问2详解】 解：设等边的边长为，其中， ， 过点作轴于点， 同理可知，点为中点， 的横坐标为，即的横坐标为， ∴的纵坐标为， ， 在双曲线上， ， 或（舍去）， ， ， ， ， ， ． 29. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，是抛物线上的一动点． （1）求抛物线解析式； （2）如图①，若点在第一象限的抛物线上，且轴，交于．求面积的最大值及此时的坐标； （3）如图②，是抛物线的对称轴直线上的一动点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，此时，点坐标为 （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）把，代入，解方程组求出、的值，即可得出答案； （2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设，则，可得，进而得出，根据二次函数的性质即可得出答案； （3）根据平行四边形的性质得出对角线的交点分别为两对角线的中点，分三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴，交于， ∴， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为， 此时，， ∴点坐标为． 【小问3详解】 解：∵以，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴对角线的交点分别为两对角线的中点， 设， ∵是抛物线的对称轴直线上的一动点， ∴设， ①当、为对角线时， ∵，， ∴中点坐标为， ∴， 解得， ∴，即； ②当、为对角线时，则， 解得， ∴，即； ③当、为对角线时，则， 解得， ∴，即； 综上所述，点的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安友谊中学平安校区初2024级初三上期 第一次质量检测 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项 1．本试卷分试题卷1-4页和答题卡两部分． 2．试题卷A卷中的选择题部分，每小题选出答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再涂改其它答案标号．试题卷其余部分直接答在答题卡上相应位置．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填涂在答题卡上． 3．考试结束，只交答题卡． A卷（满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 4. 二次函数与轴的交点坐标是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若点在反比例函数的图象上，则下列各点不在其图象上的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 某商品原价每件100元，连续两次降价后，每件售价81元，设平均每次降价率为，则列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图像如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知关于的方程有一个根是，则另一个根是________． 12. 若方程是关于的一元二次方程，则________． 13. 抛物线的顶点坐标为________． 14. 反比例函数的图象经过点，则________． 15. 双曲线的部分图像如图所示，是双曲线上任意一点，过作轴的垂线，垂足为，已知三角形的面积为3，则________． 16. 函数，，的图象如图所示，则，，，的大小关系是________． 三、解答题（本大题共5小题，共36分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知，与成正比例，与成反比例．且当时，；当时，．求与的函数关系． 19. 已知，是关于x的一元二次方程的两实根，且，求k的值． 20. 如图，双曲线与直线相交于和点． （1）直接写出双曲线和直线解析式； （2）求的面积． 21. 进入秋季，流感来袭前，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）是时间（分钟）的二次函数；药物燃烧后，与成反比例（如图）．现测得药物分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量达最大值毫克．请你根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于毫克时，学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过________分钟后，学生才能回到教室； （2）求药物燃烧时，关于的函数关系式； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于毫克且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？（） B卷（满分50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 22. 关于的方程有一个根是，则________． 23. 二次函数，当时，函数的最大值为________． 24. 如图，抛物线与轴两交点横坐标分别为和2，则不等式的解集为________ 25. 若抛物线与坐标轴只有一个交点，则的取值范围是________． 26. 已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为________（用“”连接）． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 27. 某商场购进一批商品，进价为每件40元，售价为每件60元，每天可卖出100件；如果每件商品的价格每上涨1元，则每天少卖2件．物价局规定，该类商品的利润率不得超过． （1）每件商品的售价定为多少元时，商场销售该商品每天可获利2250元？ （2）当售价定为多少元时，每天可获得最大利润，并求出最大利润． 28. 如图，，都在双曲线的图像上，，在轴上，已知，，都是等边三角形． （1）求双曲线解析式； （2）的面积． 29. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，是抛物线上的一动点． （1）求抛物线解析式； （2）如图①，若点在第一象限的抛物线上，且轴，交于．求面积的最大值及此时的坐标； （3）如图②，是抛物线的对称轴直线上的一动点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $