精品解析：四川广安友谊中学2025-2026学年九年级上学期数学第三次学情自测

四川省广安友谊中学2025年下期初2023级数学第三次月考试题 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 注意事项： 1．本试卷分为试题卷（1-6页）和答题卡两部分． 2．考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位置． 3．请将选择题答案用2B 铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0.5 毫米黑色字迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑． 4．考试结束后，只交答题卡． A卷（共 100 分） 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大 题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 下列四个图案中，是中心对称图形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念判断． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，故不符合题意； B、图形不是中心对称图形，故不符合题意； C、图形不是中心对称图形，故不符合题意； D、图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合是解题的关键． 2. 一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．结合图形可得一共有15块方砖，阴影方砖有5块，利用概率的计算公式即可解答． 【详解】解：由图可得，一共有块方砖，阴影方砖有5块， 停在阴影方砖上的概率． 故选：B． 3. 下列事件是必然事件的（ ） A. 抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B. 打开电视体育频道，正在播放球赛 C. 射击运动员射击一次，命中十环 D. 若a是实数，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据必然事件的定义求解即可． 【详解】解：A．抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意； B．打开电视体育频道，正在播放球赛，是随机事件，故本选项不符合题意； C．射击运动员射击一次，命中十环，是随机事件，故本选项不符合题意； D．若a是实数，则，是必然事件，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、四象限． 故选：C． 5. 如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，点P到的距离是，则点P到的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了中心投影与三角形相似，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，作于E，交于F，如图，则，利用可得，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出P到的距离． 【详解】解：作于E，交于F，如图， 由题意得，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点P到的距离是． 故选：B． 6. 如图，反比例函数和正比例函数的图象交于A、B两点，若，则x的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象的交点坐标及函数的大小关系，直接解答．要充分利用函数图象所给的信息解答． 【详解】解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时； 在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将关于算式的问题转化为图象问题是解题的关键． 7. 如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为(　　) A. 6cm B. 12cm C. 18cm D. 24cm 【答案】C 【解析】 【详解】设屏幕上图形的高度xcm，为根据相似三角形对应高的比等于相似比可得 ，解得x=18cm，即屏幕上图形的高度18cm，故选C. 8. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结论． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD ∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE ∴△DEF∽△BAF ∴ ∵， ∴DE：AB=2：5 ∵AB=CD， ∴DE：EC=2：3 故选B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键． 9. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝25°，则∠ABD的大小为（　　） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 【答案】D 【解析】 【分析】连接AD，由圆周角定理可得∠BCD＝∠A，∠ADB＝90°，最后利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵圆周角∠BCD和∠A都对着， ∴∠BCD＝∠A， ∵∠BCD＝25°， ∴∠A＝25°， ∴∠ABD＝90°﹣∠A＝65°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，正确作出辅助线并灵活运用圆周角定理是解答本题的关键． 10. 如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过相似三角形△EFB∽△EDC的对应边成比例列出比例式，从而得到y与x之间函数关系式，从而推知该函数图象． 【详解】根据题意知，BF=1﹣x，BE=y﹣1， ∵AD∥BC， ∴△EFB∽△EDC， ∴，即， ∴y=（0.2≤x≤0.8），该函数图象是位于第一象限的双曲线的一部分． A、D的图象都是直线的一部分，B的图象是抛物线的一部分，C的图象是双曲线的一部分． 故选C． 二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 11. 如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，根据地图上的距离与实际距离的比等于比例尺，即可求解． 【详解】解：设A、B两地的实际距离为 则： 解得千米 A、B两地的实际距离为千米 故答案为：． 12. 如图是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移得到．若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，解答此题的关键是明确阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，据此即可解答．因为四边形是一个梯形，因为两个直角三角形是完全重合的，所以阴影部分的面积等于梯形的面积，又因为，据此求出，再利用梯形的面积公式计算即可解答． 【详解】解：由平移的性质可知，， ∴四边形是一个梯形， ∵ ∴阴影部分的面积等于梯形的面积， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 甲盒子中有编号为1、2、3的3个白色乒乓球，乙盒子中有编号为4、5、6的3个黄色乒乓球．现分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于6的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率．画树状图列举出所有情况，看取出乒乓球的编号之和大于6的情况占总情况的多少即可． 【详解】解：画树状图得， 共有9种等可能出现的情况，编号之和大于6的有6种，所以概率是， 故答案为：． 14. 如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，则此圆的半径＝_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得，，设的半径为r，则，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得． 【详解】解：∵，米， ∴， 设的半径为r，则， 在中，根据勾股定理得， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 三、计算题（本大题共6小题，共44分） 15. 解下列方程：（1）x2 -4x+1=0 （2）3(x-5)2=2(5-x) 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1） ； （2） 或 ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，方程的解法主要包括：配方法、直接开方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟记方程的解法是解题关键． 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． （3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求两函数的解析式的应用． （1）将点的坐标代入反比例函数 ，求出，将点的坐标代入反比例函数求出，利用待定系数法确定一次函数解析式； （2）设与轴交于点，根据一次函数解析式得出，进而根据，进行计算即可． （3）找到一次函数图象在反比例函数图象之上的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得：， 解得：， 则反比例函数解析式为：； 将点代入，得：，则 将点的坐标代入一次函数解析式，得： ，解得：， 故一次函数解析式为：． 【小问2详解】 解：设与轴交于点， 一次函数解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， ， ． 【小问3详解】 解：根据函数图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围为：或． 17. 为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）德育处一共随机抽取了 名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？ （4）德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 【答案】（1）40，108°； （2）条形统计图补充完整如下； （3）350名；（4） 【解析】 【分析】（1）根据良好学生数与比例可得抽取的学生人数；利用抽取总数减去各个等级的人数可得成绩“一般”的人数，然后除以抽取总人数乘以即可得； （2）根据（1）中计算可得“一般”的学生人数为12名，补充完整条形统计图即可； （3）用总人数乘以优秀学生在抽取学生数中的比例即可； （4）根据列树状图的方法，作出图象，然后求概率即可． 【详解】解： （1）德育处一共随机抽取的学生人数为：（名）， 则在条形统计图中，成绩“一般”的学生人数为：（名）， ∴在扇形统计图中，成绩“一般”的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：40，108°； （2）略 （3）（名）， 估计该校大约有350名学生在这次竞赛中成绩优秀； （4）画树状图如图： 共有12种等可能的结果，恰好选中甲和乙的结果有2种， ∴恰好选中甲和乙的概率为． 【点睛】题目主要考查条形及扇形统计图，通过树状图或列表法求概率，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． 18. 如图，在矩形中，，， 是的中点，于点． （1）求证：； （2）求的长 ． 【答案】（1） 证明：∵在矩形中，于点E， ∴， ∴， ∴ 在和中， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似和数形结合的思想解答． （1）要证，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意和矩形的性质可以证明； （2）根据题意和（1）中，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵在矩形中，，，M是的中点， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， 解得，． 19. 如图，在直角坐标系中，，边、都在轴的正半轴上，点的坐标为，，．反比例函数的图象经过点，交边于点． （1）求的值． （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查反比例函数，相似三角形的性质； （1）由相似可求得点的坐标，把点的坐标代入反比例函数解析式即可求得比例系数的值； （2）把的横坐标代入反比例函数解析式，求得长，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴ ，， ， 在中，， ，． ． 点在函数的图象上， ． ． 【小问2详解】 解：是 图象与的交点，点的坐标为，， ． B卷（共 50分） 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊____只． 【答案】400 【解析】 【分析】设这个地区有黄羊x只，根据第二次捕捉40只绵羊，其中有2只有记号，即可列方程求解. 【详解】设这个地区有黄羊x只，由题意得 解得 则估计这个地区有黄羊400只． 故答案为：400 【点睛】本题考查的是用样本估计总体,解答本题的关键是读懂题意，得到第二次捕捉的绵羊中有记号的占全部有记号的比例. 21. 已知与x成正比例（比例系数为），与x成反比例（比例系数为），若函数的图象经过点，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用一次函数和反比例函数的待定系数法求解析式，以及解二元一次方程组，根据题意设，，则，再代入点、，然后解方程组，即可作答． 【详解】解：设，， ∴， ∵函数的图像经过点、， ∴，解得：， ∴ 故答案为：． 22. 设计一个商标图案：先作矩形，使，，再以点为圆心、的长为半径作半圆，交的延长线于，连．图中阴影部分就是商标图案，该商标图案的面积等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式、矩形的性质，根据矩形的性质得到，，根据图形得到． 【详解】解：矩形中，，且， ， ， ， ， ． 所以商标图案的面积为． 故答案为：． 23. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用折叠性质得∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH，则可得到∠EBG=∠ABC，于是可对①进行判断；在RtABF中利用勾股定理计算出AF=8，则DF=AD-AF=2，设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=4，利用勾股定理得到，解得x=3，所以AG=3，GF=5，于是可对④进行判断；接着证明ABF∽DFE，利用相似比得到，而 =2，所以，所以DEF与ABG不相似，于是可对②进行判断；分别计算和可对③进行判断． 【详解】解：∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上， 将ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处， ∴∠CBE=∠FBE，∠ABG=∠FBG，BF=BC=10，BH=BA=6，AG=GH， ∴∠EBG=∠EBF+∠FBG=∠CBF+∠ABF=∠ABC=45°，所以①正确； 在RtABF中，AF==8， ∴DF=AD-AF=10-8=2， 设AG=x，则GH=x，GF=8-x，HF=BF-BH=10-6=4， 在RtGFH中， ∵， ∴， 解得x=3， ∴GF=5， ∴AG+DF=FG=5，所以④正确； ∵BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处， ∴∠BFE=∠C=90°， ∴∠EFD+∠AFB=90°， 而∠AFB+∠ABF=90°， ∴∠ABF=∠EFD， ∴ABF∽DFE， ∴， ∴， 而 ， ∴， ∴DEF与ABG不相似；所以②错误． ∵=×6×3=9，=×3×4=6， ∴．所以③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长．也考查了折叠和矩形的性质． 24. 如图，正方形的边长是，点是的中点，点是线段上一点，当_______时，以，，三点为顶点的三角形与相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正方形的性质，分为，，根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据，即可求得的长度，即可解题． 【详解】解：∵正方形的边长是，点是的中点， ∴， 当时， 解得： 当时， 解得： 故当或时，以，，三点为顶点的三角形与相似， 故答案为：或． 五、解答题（本大题共3小题，共30分） 25. 如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S． （1）点B的坐标是______，k=______； （2）当，求点P的坐标； （3）求出S关于m的函数关系式． 【答案】（1），9 （2）点的坐标（，6）或（6，） （3） 【解析】 【分析】（1）由正方形的面积公式求出正方形的边长，确定出及的长，得到点B的坐标，将B的坐标代入反比例函数解析式中即可求出k值； （2）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入，即可求出m的值，进而得到n的值，确定出此时P的坐标；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，将的值及已知的面积代入求出n的值，进而求出m的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意的P的坐标． （3）分两种情况考虑：①当点P在点B的左边时，不重合部分为矩形，将P的坐标代入第一问确定出的反比例函数解析式中，得到的值，根据P及B的坐标，表示出与，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式；②当点P在点B的右边时，不重合部分为矩形，由P及B的坐标表示出及，利用矩形的面积公式表示出矩形的面积，化简即可得到S关于m的函数关系式，综上，可得到S关于m的函数关系式． 【小问1详解】 ∵正方形的面积为9， ， ． 又∵点在函数（，）的图象上， ． 故答案为：，9． 【小问2详解】 分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 解得：，可得， ∴点P的坐标为； ②当点P在点B的右侧时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 解得，可得， ∴点P的坐标为． 综上所述：P的坐标为或． 【小问3详解】 分两种情况： ①当点P在点B的左侧时，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴． ∵，， ∴， 又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） ②当点P在点B及点B的右侧，即时，矩形和正方形不重合部分为矩形． ∵在函数上， ∴，即． ∵，， ∴， 又， ∴， 即S关于m的函数关系式为（） 综上所述：S关于m的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数与矩形的面积的关系，把线段的长的问题转化为点的坐标问题是解决本题的关键，需要注意分点P在点B的左边与右边两种情况进行讨论求解，避免漏解而导致出错． 26. 如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD． （1）求证：△CDE∽△CAD； （2）若AB=2，AC=2，求AE的长． 【答案】 （1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠B+∠BAD=90°， ∵AC为⊙O的切线， ∴BA⊥AC， ∴∠BAC=90°，即∠BAD+∠DAE=90°， ∴∠B=∠CAD， ∵OB=OD， ∴∠B=∠ODB， 而∠ODB=∠CDE， ∴∠B=∠CDE， ∴∠CAD=∠CDE， 而∠ECD=∠DCA， ∴△CDE∽△CAD； （2） 【解析】 【分析】(1)由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，则有∠B+∠BAD=90°，由AC为⊙O的切线得∠BAD+∠DAE=90°，则∠B=∠CAD，由于∠B=∠ODB，∠ODB=∠CDE，所以∠B=∠CDE，则∠CAD=∠CDE，加上∠ECD=∠DCA，则可得到△CDE∽△CAD； （2）在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，由勾股定理可得OC=3，则CD=OC﹣OD=2，由△CDE∽△CAD，根据相似比可计算出CE的长，从而可得AE的长. 【详解】解：（1）略． （2）∵AB=2， ∴OA=1， 在Rt△AOC中，AC=2 ， ∴OC= =3， ∴CD=OC﹣OD=3﹣1=2， ∵△CDE∽△CAD， ∴，即， ∴CE=． ∴AE=AC-CE= 27. 如图，四边形是平行四边形，，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿向点A运动，运动到A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点C运动，与点P同时停止． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴与交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形是等腰梯形？ （3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？ 【答案】（1）； （2）； （3）当或或或． 【解析】 【分析】（1）根据的长，即可得到A、B点的坐标；由于四边形是平行四边形，则，由此可求出的长，即可得到C点的坐标，进而可用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线的解析式可求出D点的坐标及抛物线的对称轴方程，进而可求出E、F的坐标；若四边形是等腰梯形，则，而，可得，根据这个等量关系即可求出t的值； （3）由于都是直角，对应相等，若以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，则有两种情况：①P、Q在y轴同侧，②P、Q在y轴两侧；每种情况又分为（此时两者全等），两种情况；根据不同的相似三角形所得到的不同的比例线段即可求出t的值． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵抛物线过点B， ∴ 由题意得：，解得， ∴所求抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：将抛物线的解析式配方，得， ∴抛物线的对称轴为， ∴， 欲使四边形为等腰梯形，则有，即， ∴，即； 【小问3详解】 解：欲使以点P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似． ∵， ∴有=或，即或； ①若P、Q在y轴的同侧， 当时，则，解得． 当时，，解得； ②当P、Q在y轴的两侧； 当时，Q、C重合，P、A重合，此时； 当时，，解得； ∵，故舍去； ∴， ∴当或或或秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似． 【点睛】本题是二次函数的综合类试题，涉及到二次函数解析式的确定、等腰梯形的判定、相似三角形的判定和性质等重要知识点，在求有关动点问题时要注意分情况讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省广安友谊中学2025年下期初2023级数学第三次月考试题 （考试时间 120 分钟，满分 150 分） 注意事项： 1．本试卷分为试题卷（1-6页）和答题卡两部分． 2．考生答题前，请先将姓名、准考证号等信息用黑色墨迹签字笔填写在答题卡上的指定位置． 3．请将选择题答案用2B 铅笔填涂在答题卡上的相应位置，非选择题用0.5 毫米黑色字迹签字笔答在答题卡上的相应位置．超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；作图题应先用铅笔画，确定不修改后，再用黑色字迹签字笔描黑． 4．考试结束后，只交答题卡． A卷（共 100 分） 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大 题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分） 1. 下列四个图案中，是中心对称图形的为（　　） A. B. C. D. 2. 一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的（ ） A. 抛掷一枚硬币，四次中有两次正面朝上 B. 打开电视体育频道，正在播放球赛 C. 射击运动员射击一次，命中十环 D. 若a是实数，则 4. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第二、四象限 D. 无法判断 5. 如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，点P到的距离是，则点P到的距离是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，反比例函数和正比例函数的图象交于A、B两点，若，则x的取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，放映幻灯片时通过光源把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm，到屏幕的距离为60cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，则屏幕上图形的高度为(　　) A. 6cm B. 12cm C. 18cm D. 24cm 8. 如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】 A. 2：5 B. 2：3 C. 3：5 D. 3：2 9. 如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，若∠BCD＝25°，则∠ABD的大小为（　　） A. 50° B. 55° C. 60° D. 65° 10. 如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB的延长线上，连接ED交AB于点F，AF＝x（0.2≤x≤0.8），EC＝y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之间函数关系的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分） 11. 如果在比例尺为的地图上，、 两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是_____千米． 12. 如图是重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿方向平移得到．若，则图中阴影部分的面积为_____． 13. 甲盒子中有编号为1、2、3的3个白色乒乓球，乙盒子中有编号为4、5、6的3个黄色乒乓球．现分别从每个盒子中随机地取出1个乒乓球，则取出乒乓球的编号之和大于6的概率为______． 14. 如图，是一个高速公路的隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面米，拱高米，则此圆的半径＝_____． 三、计算题（本大题共6小题，共44分） 15. 解下列方程：（1）x2 -4x+1=0 （2）3(x-5)2=2(5-x) 16. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求上述反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积． （3）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围． 17. 为引导学生知史爱党、知史爱国，某中学组织全校学生进行“党史知识”竞赛，该校德育处随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格，并绘制成两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）德育处一共随机抽取了 名学生的竞赛成绩；在扇形统计图中，表示“一般”的扇形圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）该校共有1400名学生，估计该校大约有多少名学生在这次竞赛中成绩优秀？ （4）德育处决定从本次竞赛成绩前四名学生甲、乙、丙、丁中，随机抽取2名同学参加全市“党史知识”竞赛，请用树状图或列表法求恰好选中甲和乙的概率． 18. 如图，在矩形中，，， 是的中点，于点． （1）求证：； （2）求的长 ． 19. 如图，在直角坐标系中，，边、都在轴的正半轴上，点的坐标为，，．反比例函数的图象经过点，交边于点． （1）求的值． （2）求的长． B卷（共 50分） 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 20. 某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标志．从而估计该地区有黄羊____只． 21. 已知与x成正比例（比例系数为），与x成反比例（比例系数为），若函数的图象经过点，，则的值为______． 22. 设计一个商标图案：先作矩形，使，，再以点为圆心、的长为半径作半圆，交的延长线于，连．图中阴影部分就是商标图案，该商标图案的面积等于_____． 23. 如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写正确结论的序号） 24. 如图，正方形的边长是，点是的中点，点是线段上一点，当_______时，以，，三点为顶点的三角形与相似． 五、解答题（本大题共3小题，共30分） 25. 如图，已知正方形的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点在y轴上，点B在函数（，）图象上，点P是函数（，）图象上异于点B的任意一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F．设矩形和正方形不重合部分的面积为S． （1）点B的坐标是______，k=______； （2）当，求点P的坐标； （3）求出S关于m的函数关系式． 26. 如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线并在其上取一点C，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E，连接AD． （1）求证：△CDE∽△CAD； （2）若AB=2，AC=2，求AE的长． 27. 如图，四边形是平行四边形，，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D．一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿向点A运动，运动到A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点C运动，与点P同时停止． （1）求抛物线的解析式； （2）若抛物线的对称轴与交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t为何值时，四边形是等腰梯形？ （3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $