四川达川中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

达川中学2026年秋季第一次学月考试 九年级数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） A 卷（100分） 一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程有( ) ①x2=0，②ax2+bx+c=0，③x2-3=x，④a2+a-x=0; ⑤(m-1)x2+4x+=0；⑥+=；⑦=2；⑧(x+1)2=x2-9 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.对角线互相垂直 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 3.若关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是( ) A. k< B.k≤ C.k< 且k≠0 D.k≤ 且k≠0 4.一元二次方程y2-y- =0配方后可化为( ) A. (y+)2=1 B. (y-)2=1 C.(y+)2= D. (y-)2= 5.如图,线段AB上的一点P把AB分割为两条线段PA，PB，当满足 时，则称点P是线段AB的黄金分割点，主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长18米，主持人从舞台一侧进人，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上(BP的长为x米)，则x满足的方程是( ) 6.如图，四边形ABCD的对角线AC、BD于点O,点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD和 AD的中点，顺次连接EF，FG，GH和 HE得到四边形EFGH.若四边形ABCD的面积为60，则四边形EFGH的面积等于( ) A. 30 B.40 C.60 D. 120 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图,在菱形ABCD中，AB=5,对角线AC与BD相交于点0,且AC=6,AE⟂CD于点E,则AE的长是( ) A. B.2 C. D. 2 8.如图，正方形 ABCD的边长为6,点E，F是边AB,CD上的点，将正方形ABCD沿着EF折叠，使点D的对应点G落在BC边上，点A的对应点为点A’，连结DG，若折痕EF=2，则GF的长为( ) 二.填空题(共5个小题，每小题4分，共20分) 9.方程x2=x的解为_________. 10．已知四条线段、、、是成比例线段，且，，，=_________． 11.今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到，且自己不能抢自己发的红包.若此次抢红包活动所有红包均被抢完，群内所有人共收到132个红包，则该群一共有_____人. 12.已知α,β是方程2x2-3x-1=0的两个实数根，则αβ-2(α+β)+4的值是_______. 13.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点0，AE平分∠BAC交BD于点E，若0A=1，则BE的长为_______. 三.解答题（共5个小题，共48分） 14.（12分）用指定方法解方程： （1）2x2-4x=3-8x（配方法） （2）2x2=3x-2（公式法） （3）x2-7x+12=0（十字相乘法）（4）2x2+11x-21=0（十字相乘法） 15.（8分）阅读材料: 为了解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0，我们可以将x2-1看作一个整体，设x2-1=y，那么原方程可化为y2-5y+4=0①，解得y1=1，y2=4. 当y=1时，x2-1=1，x2=2，x=±; 当y=4时，x2-1=4，x2=5，x=±. 故原方程的解为x1=，x2=-，x3=，x4=-. 解答问题: (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用_____达到了降次的目的，体现了_____的数学思想; (2)已知实数a，b满足(a2+b2)2-3(a2+b2)-10=0，试求a2+b2的值; (3)请利用以上知识解方程:(x2+x)2-5(x2+x)+4=0. 16．（8分）某汽车销售公司2月份销售新上市一种新型低能耗汽车20辆，由于该型汽车的优越的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售该型汽车达到45辆，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． （1）求该公司销售该型汽车每次的增长率； （2）若该型汽车每辆的盈利为2万元，则平均每天可售10辆，为了尽量减少库存，汽车销售公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，每辆汽车每降5000元，公司平均每天可多售出2辆，若汽车销售公司每天要获利14万元，每辆车需降价多少？ 17．（8分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F． （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长． 18．（12分）在平行四边形中，，分别为边，上两点． (1)当是边中点时， ①如图（1），联结，如果，求证：； ②如图（2），如果，联结，交边于点，求的值； (2) 如图（3）所示，联结，，如果． 求证:△AEF ∽ △ECF． B 卷（共50分） 一.填空题(共5个小题，每小题4分，共20分) 19.若，则＝______． 20.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点，若△CEF的周长为18，则OF的长为______. 第20题图 第21题图 21.如图,在矩形ABCD中，E，F分别为边AB，AD的中点，BF与EC，ED分别交于点M，N.已知AB=4，BC=6，则MN 的长为______. 22.如图,△ABC为等边三角形，BC=4，点D是边AB上的一个动点，过点D作DE⊥BC于点E，将△BDE沿DE翻折得到△B'DE,再将△B'DE沿DB'翻折得到△B'DE'.当点E'恰好落在△ABC的对称轴上时，线段BD的长为______.  第22题图 第23题图 23.如图,在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=6,∠ADC=120°,点 E,F分别在边 AD，AB上运动，且满足BF=DE,连接BE,CF,则CF+BE的最小值为_____. 二.解答题（共3个小题，共30分） 24.（8分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根. (1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值; (2)已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长. 25．（10分）在平面直角坐标系中，已知直线与直线：交于点分别交坐标轴于点A、B、C、D． (1)求直线的函数表达式； (2)如图2，点P为线段上的一个动点，将绕点B逆时针旋转得到，连接与．点Q随着点P的运动而运动，请求出点Q运动所形成的线段所在直线的解析式，以及的最小值； (3)直线上有任意一点F，平面直角坐标系内是否存在点N，使得以点B、D、F、N为顶点的四边形是菱形，如果存在，请直接求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 26.（12分）问题背景:如图1,已知△ABC∽△ADE,求证:△ABD∽△ACE; 尝试应用:如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°,∠ABC=∠ADE=30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上， =,试证明△ADF∽△ECF，并求出的值. 拓展创新:如图3，D是△ABC内一点,∠BAD=∠CBD=30°,∠BDC=90°,AB=4，AC=2,直接写出 AD的长. 九年级数学试卷 共 5 页第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $