定时训练22 等时圆模型 专项训练-2027届高考物理一轮复习

定时训练22 等时圆模型 核心梳理 1．(1) “等时圆”模型 所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点（或从最高点到达同一圆周上各点）的时间____，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。 (2)基本规律 ①物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最___点所用时间相等。 ②物体从竖直圆环上最___点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图甲所示。 ③两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过____点，物体沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。 (3)解题思路 ①设置顶点。上端相交：交点为圆的最_____点；下端相交：交点为圆的最____点。 ②作等时圆。a、过顶点作竖直线；b、以某条轨道为弦作圆心在竖直线上的圆。 ③比较时间。a、轨道端点都在圆周上，质点的运动时间相等；b、端点在圆内的轨道，质点运动时间短些，端点在圆外的轨道，质点运动时间长些。 （4）运动分析 基本情境 规律探寻 加速度： 位移： 物体在轨道上运动的时间: 故物体沿同一起点（圆的最高点）或终点（圆的最低点）的各条光滑弦轨道运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长度无关 【答案】(1)相等 (2) 低 高 同一 (3) 高 低 【详解】（1）物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点（或从最高点到达同一圆周上各点）的时间相等。 （2）[1]物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最低点的时间相等。 [2]物体从竖直圆环上最高点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等。 [3]两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过同一点，物体沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等。 （3）[1][2]上端交点为圆的最高点，下端交点为圆的最低点。 （4）；； 典例精练 基础落实练 1．（23-24高三上·河南省直辖县级单位·阶段检测）（多选）如图所示，oa、ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，o、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，为圆心。每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从o点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用，，分别表示滑环沿oa、ob、da到达a、b所用的时间，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】设ob与竖直方向的夹角为θ，由几何关系得oa与竖直方向的夹角为，设da与竖直方向的夹角为，环沿oa下滑时的加速度大小为 沿ob下滑时的加速度大小为 沿da下滑时的加速度大小为 设ob长为L，由几何关系得oa长为，da长为，根据运动学公式有 ，， 解得 ，， 可得 故选BC。 2．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图所示，圆环固定在竖直平面内，甲、乙两光滑轨道固定在圆环上，两轨道的最高点重合。甲过圆环最低点P、乙过圆心O且与竖直方向夹角为37°。将同一小球分别从甲、乙两轨道的最高点由静止释放。已知cos，小球沿甲、乙轨道运动的时间之比为（　　） A．1:2 B． C．2:3 D． 【答案】B 【详解】设圆环的半径为R，由等时圆模型特点可知，小球在甲轨道上的运动时间等于小球自由下落圆环直径长度所用的时间，得 小球在乙轨道上的位移为2R，加速度为，由牛顿第二定律和匀变速运动规律，可得 则 故选B。 3．（23-24高一上·山东济宁·阶段检测）如图所示，一斜面固定在水平面上，斜面上固定了两个光滑轨道a、b，其中轨道a与斜面垂直，两轨道顶点相同，且顶点在C点的正上方。现分别从两轨道的顶点释放一物块，它们到达斜面的时间分别为t1、t2.下列说法正确的是（　　） A．t1<t2 B．t1=t2 C．t1>t2 D．无法确定 【答案】C 【详解】过C点和两轨道的顶点为直径做圆，设轨道与竖直方向夹角为θ，则下滑的加速度 根据 可得 可知物块沿轨道下滑的时间与轨道的倾角无关，则滑块沿轨道a下滑的时间等于沿轨道b下滑到b＇点的时间，则两物块到达斜面的时间t1>t2。 故选C。 4．（23-24高三上·福建福州·期中）公园的滑梯高低不等，斜面的长度也不同，假设有三个滑道的某一滑梯模型如图所示，三个滑道的最高点A、B、C和最低点D是在竖直面内的同一圆上，可视为质点的小孩从三个滑道的最高点A、B、C沿滑道由静止开始滑到最低点D（），所用的时间分别为、、，不计空气阻力，滑道光滑（即忽略滑梯摩擦的影响），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设杆与水平方向的夹角为，根据牛顿第二定律有 设圆周的直径为d，则滑环沿杆滑到D点的位移大小 ， 解得 可见滑环滑到D点的时间t与杆的倾角无关，即三个滑环滑到D点所用的时间相等。 故选A。 能力提升练 5．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设上面圆的半径为R，下面圆的半径为r。轨道EF长度为 滑块沿EF下滑的加速度由受力分析可知 由公式 可得运动时间 轨道与竖直方向的夹角越小，时间越短，根据判断 故选B。 6．（25-26高一上·湖北武汉·期末）如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度，若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑（忽略阻力），则（　　） A．A处滑块最先到达点 B．B处滑块最先到达点 C．C处滑块最先到达点 D．三个滑块同时到达点 【答案】D 【详解】令半球形容器的半径为，滑板的倾角为，对滑块进行分析，根据牛顿第二定律有 根据位移公式有 解得 可知时间与滑板的倾角和板的长度均无关，故三个滑块同时到达点。 故选D。 拓展创新练 7．（25-26高一上·湖北武汉·期末）如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为、、、，已知竖直固定的圆环的半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球沿光滑斜面下滑，设斜面与竖直方向为，斜面长度为，下滑所用时间为 根据牛顿第二定律 根据匀变速直线运动的位移时间关系 解得 小球从圆环上的斜面下滑，设斜面与竖直方向夹角为，由几何关系可知斜面长度 下滑所用时间，可得 小球从右侧的斜面下滑，设斜面与竖直方向夹角为，由几何关系可知斜面长度 下滑所用时间 把分别代入上式，可得 故选B。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 定时训练22 等时圆模型 核心梳理 1．(1) “等时圆”模型 所谓“等时圆”就是物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑细杆由静止下滑，到达圆周的最低点（或从最高点到达同一圆周上各点）的时间____，都等于物体沿直径做自由落体运动所用的时间。 (2)基本规律 ①物体从竖直圆环上沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到环的最___点所用时间相等。 ②物体从竖直圆环上最___点沿不同的光滑弦由静止开始滑到下端所用时间相等，如图甲所示。 ③两个竖直圆环相切且两环的竖直直径均过____点，物体沿不同的光滑弦上端由静止开始滑到下端所用时间相等，如图乙所示。 (3)解题思路 ①设置顶点。上端相交：交点为圆的最_____点；下端相交：交点为圆的最____点。 ②作等时圆。a、过顶点作竖直线；b、以某条轨道为弦作圆心在竖直线上的圆。 ③比较时间。a、轨道端点都在圆周上，质点的运动时间相等；b、端点在圆内的轨道，质点运动时间短些，端点在圆外的轨道，质点运动时间长些。 （4）运动分析 基本情境 规律探寻 加速度： 位移： 物体在轨道上运动的时间: 故物体沿同一起点（圆的最高点）或终点（圆的最低点）的各条光滑弦轨道运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长度无关 典例精练 基础落实练 1．（23-24高三上·河南省直辖县级单位·阶段检测）（多选）如图所示，oa、ob和ad是竖直平面内三根固定的光滑细杆，o、a、b、c、d位于同一圆周上，c为圆周的最高点，a为最低点，为圆心。每根杆上都套着一个小滑环，两个滑环从o点无初速释放，一个滑环从d点无初速释放，用，，分别表示滑环沿oa、ob、da到达a、b所用的时间，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图所示，圆环固定在竖直平面内，甲、乙两光滑轨道固定在圆环上，两轨道的最高点重合。甲过圆环最低点P、乙过圆心O且与竖直方向夹角为37°。将同一小球分别从甲、乙两轨道的最高点由静止释放。已知cos，小球沿甲、乙轨道运动的时间之比为（　　） A．1:2 B． C．2:3 D． 3．（23-24高一上·山东济宁·阶段检测）如图所示，一斜面固定在水平面上，斜面上固定了两个光滑轨道a、b，其中轨道a与斜面垂直，两轨道顶点相同，且顶点在C点的正上方。现分别从两轨道的顶点释放一物块，它们到达斜面的时间分别为t1、t2.下列说法正确的是（　　） A．t1<t2 B．t1=t2 C．t1>t2 D．无法确定 4．（23-24高三上·福建福州·期中）公园的滑梯高低不等，斜面的长度也不同，假设有三个滑道的某一滑梯模型如图所示，三个滑道的最高点A、B、C和最低点D是在竖直面内的同一圆上，可视为质点的小孩从三个滑道的最高点A、B、C沿滑道由静止开始滑到最低点D（），所用的时间分别为、、，不计空气阻力，滑道光滑（即忽略滑梯摩擦的影响），则（    ） A． B． C． D． 能力提升练 5．（25-26高一上·湖北武汉·期末）如图所示，半球形容器内有三块不同长度的滑板、、，其下端都固定于容器底部点，上端搁在容器侧壁上，已知三块滑板的长度，若三个滑块同时从A、B、C处开始由静止下滑（忽略阻力），则（　　） A．A处滑块最先到达点 B．B处滑块最先到达点 C．C处滑块最先到达点 D．三个滑块同时到达点 6．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，有一半圆，其直径水平且与另一圆的底部相切于O点，O点恰好是下半圆的圆心，它们处在同一竖直平面内。现有三条光滑直轨道AOB、COD、EOF，它们的两端分别位于上下两圆的圆周上，轨道与竖直直径的夹角关系为。现让一小物块先后从三条轨道顶端由静止下滑至底端，则小物块在每一条倾斜轨道上滑动时所经历的时间关系为（　　） A． B． C． D． 拓展创新练 7．（25-26高一上·湖北武汉·期末）如图所示，1、2、3、4四小球均由静止开始沿着光滑的斜面从顶端运动到底端，其运动时间分别为、、、，已知竖直固定的圆环的半径为r，O为圆心，固定在水平面上的斜面水平底端的长度为，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $