江西省南昌市第二中学2026-2027学年高二上学期月考（一）数学试题

南昌二中2026-2027学年度上学期高二数学月考（一） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 2． 已知两点，则（ ） A． B． C． D． 3．已知直线经过点，则直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 4．若直线与直线平行，则（ ） A． B． C．或 D． 5．已知空间中，，，四点共面，则（ ） A． B． C． D． 6．在直三棱柱中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 7．直线分别与轴的正半轴、轴的正半轴相交于两点，若，则的最小值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，平行六面体中，，且，下列说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知直线，则下列说法正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．直线表示过直线和直线交点的所有直线 C．若直线不经过第二象限，则 D．坐标原点到直线的距离可能为 11．在正三棱柱中，点满足， ，，则（ ） A．当时， B．当时，与异面 C．若平面，则 D．若点在平面内，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．直线截圆的弦长为___________． 13．如图，在平面直角坐标系中，直线相交于点，直线与轴相交于点，直线与轴相交于点，直线的斜率分别为，若，，则___________． 14．如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段上的动点，点在上，且，，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15．如图，在直四棱柱中，底面是矩形，，点分别是棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 16．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为． （1）求顶点的坐标； （2）求边所在的直线方程． 17．已知点，，直线． （1）若直线过点，且直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线过点，且横截距是纵截距的2倍，求直线的方程； （3）若圆心在直线上，且圆经过两点，求圆的方程． 18．在如图所示的圆柱中，轴截面是边长为4的正方形，点为底面半圆弧上的动点（点不与点重合）． （1）求证：平面； （2）当三棱锥体积最大时． （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）点在线段上运动，求的最小值． 19．如图，直三棱柱中，，点在上，且，点是线段上异于端点的动点． （1）若，三棱锥的各个顶点都在球的球面上． （ⅰ）求证：平面平面； （ⅱ）若球的半径为，求； （2）若，求二面角的正弦值的最大值． 南昌二中高二上学期第一次月考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B 2．【答案】C 【详解】 3．【答案】D 【详解】，所以倾斜角为． 4．【答案】A 【详解】由题意知，所以或， 当时，两直线重合，不符合题意； 当时，两直线平行，符合题意． 5．【答案】D 【详解】由题意可得， 因为四点共面，且不共线，设， 即，所以， 解得． 6．【答案】A 【详解】如图，以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 令，则， 所以， 则， 设直线与直线的夹角为， 则， 所以直线与直线夹角的余弦值为． 7．【答案】A 【详解】令，则，令，则， 所以，由题意知，且直线恒过， 所以，当且仅当时等号成立． 8．【答案】 【详解】取正方形的中心分别为，由题意知球心在线段上，连接， 设，则，设半径为， 则，则， 故几何体的外接球的表面积． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．【答案】 【详解】对于，故A正确； 对于，故B错误； 对于C，因为 ，所以正确． 对于D，因为 ， 即，故D错误． 10．【答案】 【详解】对于A，因为， 所以，则，则，故恒过； 对于B，因为，所以直线不能表示直线，故B错误； 对于C，当直线斜率存在时，则，令，则，因为恒过点， 所以当时，直线不经过第二象限，则； 当直线斜率不存在时，，符合题意，则，故C正确； 对于D，因为原点到点的距离为，故坐标原点到直线的距离可能为2，所以D正确． 11．【答案】 【解析】对于A，绘制图形可知，，故A正确； 对于B，当时，与共面，故B错误； 对于C，因为，所以时，即可得到出平面， 则，所以，则；故C正确； 对于， 所以， 因为点在平面内，所以，则，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】4 【详解】由题知圆的圆心坐标为，半径． 设圆心到直线的距离为，则． 所以弦长为． 13．【答案】 【解析】设直线的倾斜角为， 则． 14．【答案】 【解析】设的中点为，取中点， 过点作平面垂线，垂足为且平面， 点的轨迹为以为直径，即的球与平面的相交圆弧， 由（1）可知，，相交圆半径， 点轨迹为在平面中的以为圆心，为半径的圆弧， ， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚． 15．【解析】（1）如图，连接，交于点，连接． 在直四棱柱中，四边形是矩形， 因为对角线与交于点，所以为的中点， 又点是棱的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）设，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为． 16．【解析】（1）由题意，可设点，则边的中点， 代入，有，解得，所以； （2）由题意知，点关于角平分线的对称点在直线上， 设，则，解得，所以， 得到直线的斜率， 所以边所在的直线方程为，即． 17．【解析】（1）因为直线，所以设直线的方程为， 又因为过点，所以，即直线的方程为； （2）若横截距和纵截距都为0，则直线的方程为； 若横截距和纵截距不为0，设横截距为，纵截距为， 则的方程为，又因为过点，所以， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或； （3）设圆的方程为， 则 解得，则圆C的方程为 18．【详解】（1）因为是直径，所以， 因为圆柱体，所以平面， 所以，又因为， 所以平面； （2）（i）， 又是定值，当三棱锥体积最大时即高最大， 即点M为半圆弧的中点， 设线段AD的中点为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为． 则，则， 令，得，则． 因为平面平面， 又平面， 平面是平面的法向量． 设平面与平面所成角的平面角为，则． 平面与平面所成角的余弦值为 （ii）将面与面绕旋转，展开成平面图，连接AD，如图所示，此时最小，即为D长， 由题意可知， 所以， 再由余弦定理可知， 即的最小值为． 19．【解析】（1）（i）因为直三棱柱， 所以，又因为，， 所以平面，所以平面平面； （ii）因为平面，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设球心， 则，解得 由题意知球心， 设，所以， 则，则或（舍）， 则； （2）以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 平面的法向量， 所以， 则二面角的正弦值为 令，则，所以， 即二面角的正弦值的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $