精品解析：江西省南昌中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

江西省南昌中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知直线，则与的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意得，与的距离， 故选：C 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而求出其焦点坐标即可. 【详解】根据，可得， 所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且， 所以，即，则焦点坐标为， 故选：C. 3. 若直线和直线垂直，则（ ） A. 2 B. 0或 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直可得计算即可得解. 【详解】因为直线和直线垂直， 所以， 解得或. 故选：B. 4. 如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算直接得解. 【详解】由是的中点， 可知， 所以， 故选：D. 5. “点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由题意可知，圆的圆心为原点，半径为， 若点在圆外，则， 则圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相交， 即“点在圆外”“直线与圆相交”； 若直线与圆相交，则，可得， 不妨取，，则，此时，点在圆内， 所以，“点在圆外”“直线与圆相交”. 因此，“点在圆外”是“直线与圆相交”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的不同值有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】解方程可得出的离心率，对曲线的形状进行分类讨论，结合离心率公式求出的值，即可得出结论. 【详解】解方程可得或，所以，或. ①若，则曲线表示焦点在轴上的双曲线， 则，解得； ②若，则曲线为椭圆， 若椭圆的焦点在轴上，则且，解得； 若椭圆的焦点在轴上，则且，解得. 综上所述，满足条件的的值有个. 故选：C. 7. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 8. 设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确； 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，则该直线的斜率为 B. 若三点在一条直线上，则 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对A根据直线的方向向量与斜率的关系即可判断正确，对B由三点共线得可解得所求值，对C需要分直线在坐标轴上的截距等于0和不等于0两种情况判断，对D由直线方程可得直线的斜率及范围，进而可得倾斜角的范围. 【详解】对于A：因为直线的方向向量为，所以直线的斜率，故A正确； 对于B：因为三点共线，，， 所以，得，故B错误； 对于C：当过点，且截距都为0时，即直线过原点，直线方程为； 当截距不等于0时，设直线方程为，因为过点，所以， 即，所以直线方程为，故C不正确； 对于D：由直线得斜率，所以，得，故D正确. 故选：AD. 10. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若与共线，与共线，则与共线 B. 若是空间的一个基底，且，则四点共面 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BD 【解析】 【分析】根据向量共线，四点共面的充要条件，法向量与直线方向向量的夹角与直线方向向量和平面的夹角的关系空间向量基本定理判断各个选项. 【详解】对于A，共线向量的传递性要求中间向量非零，若，则与不一定共线，A错误. 对于B，四点共面的向量条件为存在实数使得， 且，此处，和为，且是空间的一个基底， 故四点共面，B正确. 对于C，直线与平面所成的角为，所以，C错误. 对于D，假设存在使得成立，展开得 ，因为是空间的一个基底，故， ，则也是空间的一个基底，D正确. 故选：BD. 11. 已知曲线的图象可由以坐标原点为中心的双曲线绕其中心旋转一定角度得到.现将双曲线绕原点旋转得到曲线，则（ ） A. 直线是曲线的一条渐近线 B. 的实轴长为 C. 的离心率为2 D. 当时，直线与有两个交点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对勾函数渐近线即可判断A选项；通过渐近线找到对称轴，联立曲线求交点，交点即为两个顶点，从而求出实轴长度，故可判断B选项；通过A，B选项所得条件，将曲线求出，通过曲线的渐近线方程求离心率可判断C选项；对于D选项，联立用判别式解不等式即可. 【详解】曲线的两条渐近线为：和，故A选项正确； 易知两条渐近线夹角为，故曲线的一个对称轴为， 联立方程，解得或， 故曲线的两个顶点为：， 易得曲线的实轴长为，故B选项正确； 由B选项知：两条渐近线夹角为， 易知将顺时针旋转得到， 此时的渐近线倾斜角为，由渐近线方程得：， 而离心率，故C选项错误； 由可得：， 故双曲线的方程为：. 联立直线与曲线的方程，消去得：， 若使直线与有两个交点，则只需要让上述方程有两个根即可， 即判别式大于零：， 解得：或， 故当时，直线与有两个交点，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于A、B两点，若的周长为16，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出的值，由此可求得的值. 【详解】由题意得，则椭圆的焦点在轴上， 过的直线交于、两点， 可得的周长为，则， 故. 故答案为： 13. 已知直线与曲线有两个交点，则k的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出图象，求出直线和半圆相切时的斜率，结合交点个数可求答案. 【详解】整理可得，直线恒过点， 如图， 设直线是过且与半圆相切的直线，则，解得或（舍）， 因为直线与曲线有两个交点，所以k的取值范围为. 故答案为： 14. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，，利用正弦定理得到，再由椭圆的定义及双曲线的定义得到，结合得到，两边除以得到的方程，解得，再求出. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，， 由正弦定理得. ∵，∴，∴. ∵，，∴，∴. 又∵， 所以，两边除以并化简得， ∴或（舍去），则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程； （2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为3，代入点斜式方程可得结果. 【小问1详解】 由，可知， 故所求直线的方程为， 即. 【小问2详解】 易知， 则所求直线的斜率为3， 故所求直线的方程为， 即. 16. 如图，在四棱锥中，平面. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明： 因为，， 所以， 在中，， 在 中，， 因为，所以， 因为平面平面，所以， 又因为平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理逆定理证，再用线面垂直的性质证，最后结合，得平面； （2）先建直角坐标系，确定各点坐标，再求两个平面的法向量，最后计算法向量夹角的余弦值，即为二面角夹角的余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）可知两两垂直，所以可以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，取，可得. 取平面PBD的一个法向量为， 设平面PAB与平面PBD所成的夹角为， 则. 17. 已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）依题意得到关于、的方程组，求出、，再求出，即可求出椭圆方程； （2）设的方程为，联立方程组，设，，利用面积分割法得，解方程求得的值，即可求解. 【小问1详解】 依题意，所以，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在，设的方程为， 联立方程组，整理得到， 由，解得， 设，，则，， 所以的面积 ， 平方化简得，解得，所以， 所以l的方程为或， 即直线l的方程为或． 18. 在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． （1）求圆M的方程； （2）直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； （3）若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求解； （2）根据和圆M的半径解出圆心到直线的距离，再分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式列出方程即可求解； （3）设的坐标，根据，分析出P点满足另一圆的方程，结合两圆存在交点即可求解． 【小问1详解】 设圆的一般方程为， 将A、B、C三点坐标分别代入方程可得， 解得，所以圆的一般方程为，整理为标准方程为． 【小问2详解】 已知圆的方程为，则圆心，半径， 设圆心到直线的距离为，所以，解得， 分两种情况讨论直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，满足，所以是直线的一个方程； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得，所以直线的方程为，整理得； 综上，直线的方程为或． 【小问3详解】 设的坐标，因为， 所以， 整理得，， 所以点在以为圆心，为半径的圆上， 又因为点在圆，所以两个圆有公共点， 故有， 解得． 19. 已知抛物线及抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，.过的两条直线，与交于，，，四点，其中，在第一象限，若直线与轴的交点为. （1）求的方程； （2）若，求直线与轴的交点的坐标； （3）是否存在点，使得，，，四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线的方程，消元、列出韦达定理，依题意可得，即可求出的值，从而得解； （2）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线的方程，消元、列出韦达定理，设，，即可表示出的方程，令求出即可得解； （3）结合（2）及四点共圆的性质得到，即可求出，再由三点共线，求出. 【小问1详解】 依题意可得，设，，则，， 设直线的方程为，由，得， 显然，所以，， 因为，所以， 即，所以，解得或（舍去）， 所以的方程为； 【小问2详解】 由（1）可得，因为过点，由条件可得的斜率不为， 设直线的方程为，，， 由，得，所以，所以， 设，，同理可得， 因为直线过点， 所以，由，，即，所以， 直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 令，得，即， 即，解得， 所以直线与轴的交点为. 【小问3详解】 由（2）可得，， 若，，，四点共圆，则有， 即， 即，所以，整理得， 因为，所以，由，即， 即，解得. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省南昌中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知直线，则与的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线和直线垂直，则（ ） A. 2 B. 0或 C. D. 0 4. 如图，在四面体中，是的中点．设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 5. “点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知圆锥曲线的离心率为方程的根，则满足条件的不同值有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的方向向量为，则该直线的斜率为 B. 若三点在一条直线上，则 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 10. 关于空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若与共线，与共线，则与共线 B. 若是空间的一个基底，且，则四点共面 C. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11. 已知曲线的图象可由以坐标原点为中心的双曲线绕其中心旋转一定角度得到.现将双曲线绕原点旋转得到曲线，则（ ） A. 直线是曲线的一条渐近线 B. 的实轴长为 C. 的离心率为2 D. 当时，直线与有两个交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是椭圆的两个焦点，过的直线交于A、B两点，若的周长为16，则____________． 13. 已知直线与曲线有两个交点，则k的取值范围为__________. 14. 已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，且椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，点为它们在第一象限的交点，满足，则椭圆离心率的值是_________. 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤. 15. 已知的三个顶点的坐标分别为，，. （1）求过点且与直线平行的直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，平面. （1）求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程. 18. 在平面直角坐标系中，设顶点坐标分别为，，，，，圆M为的外接圆． （1）求圆M的方程； （2）直线过点与圆M相交于两点，，求直线的方程； （3）若圆M上存在点P，满足，求实数m的取值范围． 19. 已知抛物线及抛物线，过的焦点的直线与交于，两点，为坐标原点，.过的两条直线，与交于，，，四点，其中，在第一象限，若直线与轴的交点为. （1）求的方程； （2）若，求直线与轴的交点的坐标； （3）是否存在点，使得，，，四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $