精品解析：山东青岛市超银中学2026-2027学年九年级10月阶段反馈数学试题

2026-2027学年九年级数学竞赛（一） 一、选择题（共8道，每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 在平面中，下列命题为真命题的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是菱形 C. 四个角相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 3. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A. B. C. D. 4. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ） A. AC＝BD B. ∠DAB＝90° C. AB＝AD D. ∠ADC+∠ABC＝180° 6. 如图，在中，D，C，E三点在一条直线上，，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 7. 如图，正六边形和正方形，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6道，每题3分，共18分） 9. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 10. 若是关于x一元二次方程的一个根，则_________． 11. 如图，在长为42米、宽为20米的矩形地面上修筑道路（图中阴影部分），其中铅直方向的小路的宽度是水平小路宽度的2倍，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为640平方米，设水平方向道路的宽为x米，则可列方程为____． 12. 如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 13. 如图，在矩形中，，，P为矩形内一点，，连接，则的最小值为________． 14. 如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，已知点，，，点P是菱形边上的一个动点，连接，把绕着点E顺时针旋转得到，连接．若点P从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第秒时，点F的坐标为________． 三、作图题（共1道，每题4分，共4分） 15. 已知：直角，． 求作：矩形，使为矩形的一个内角，矩形的其余各顶点都在的各边上，且点到两点的距离相等． 四、解答题（共9道，共4分） 16. 解下列方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3）； （4） 17. 已知关于的一元二次方程． （1）方程的一个根是，求的值； （2）求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设、是方程的两根，是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边）．若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由． 20. 如图所示，点O是菱形对角线的交点，，连接． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 21. 小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如：，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： （1）多项式的“零值”为______，“对称值”为______； （2）若关于的多项式的两个“零值”相等，求的值以及多项式的“对称值”； （3）若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的两个“零值”之比是，求的值． 22. 如图，在中，，是边上的中线，过点作的平行线，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当满足________时，四边形是正方形．请说明理由； （3）连接交于，若，则________．（请直接写出答案） 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 深圳某新能源汽车零部件企业借助智能制造技术，对某款电动汽车的电池管理系统零部件进行一体化加工，生产效率显著提升．该零部件8月份生产100个，10月份生产144个． 素材2 该企业生产的零部件成本为30元/个．销售一段时间后发现，当零部件售价为40元/个时，月销售量为600个．若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是多少？ 任务2 为使月销售利润达到10000元，并且尽可能让新能源汽车企业得到实惠，该零部件的实际售价应定为多少元？ 24. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点 M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交 BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts(0＜t＜5)． (1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？ (2)设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (4)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学竞赛（一） 一、选择题（共8道，每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、最高次数为2）逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：，含两个未知数x和y，不符合“一元”条件，排除； 选项B：，未明确，若则方程变为一次方程，无法确定是否为二次方程，排除； 选项C：，展开为，整理得，满足整式、一元且最高次数为2，符合定义； 选项D：，含分式，非整式方程，排除； 故选：C． 2. 在平面中，下列命题为真命题的是（ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是菱形 C. 四个角相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例排除． 【详解】A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误； B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误； C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确； D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如铮形（如图），故此选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查命题与定理，正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定． 3. 观察下面的表格，一元二次方程的一个近似解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，根据表格，找出使的值最接近的x的值即可． 【详解】解：由表可知，当时，， ∵原方程为， ∴是原方程的一个近似解， 故选：D． 4. 已知、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是( ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根的判别式，由根与系数的关系和题目中的关系可知和，但根据可知，m只能等于3． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵，， ∴， ∴ 即 解得：或， ∵， ∴， 故选：A． 5. 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分．若添加下列条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（ ） A. AC＝BD B. ∠DAB＝90° C. AB＝AD D. ∠ADC+∠ABC＝180° 【答案】C 【解析】 【分析】首先证出四边形ABCD是平行四边形，再分别对各个选项分别进行判定是不是矩形即可． 【详解】解：∵四边形ABCD的对角线相交于点O，且互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， 若AC=BD，则四边形ABCD是矩形， 故选项A不符合题意； 若∠DAB=90°，则四边形ABCD是矩形， 故选项B不符合题意； 若AB=AD，则四边形ABCD是菱形， 故选项C符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ADC=∠ABC， 若∠ADC+∠ABC=180°， ∴∠ADC=∠ABC=90°， 则四边形ABCD是矩形， 故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质，关键是熟练掌握矩形的判定定理． 6. 如图，在中，D，C，E三点在一条直线上，，，，则的长为（ ） A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8 【答案】B 【解析】 【分析】设对角线AC与BD交于点O，过点O作于M，利用平行四边形性质得BO=DO，得MC=MD，然后利用相似三角形的判定与性质得出CF的长． 【详解】解：设对角线AC与BD交于点O， 在中， ，， 过点O作于M（如图）， ， ， ， ， ． 故选B． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、平行线分线段成比例性质、中位线的性质．熟练运用相关性质、会添辅助线、构造相似三角形是解决此题的关键． 7. 如图，正六边形和正方形，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形的性质和多边形的内角和公式可求出，．再根据正方形的性质可得出，，，从而可证为等腰三角形，再结合三角形内角和公式可求出，最后根据求解即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴，． ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查正多边形的性质，多边形的内角和，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理．掌握正多边形的性质和多边形的内角和公式为是解题关键． 8. “双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是，由第一月月销售量为辆，第三个月的销售量是第一个月的3倍，列出方程即可． 【详解】解：设第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是， 根据题意得：， 故选：D． 二、填空题（共6道，每题3分，共18分） 9. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴方程的判别式：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键． 10. 若是关于x一元二次方程的一个根，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接将方程的解代入方程求解即可． 【详解】解：将代入方程得： ， 解得：m=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查已知一元二次方程的解求参数，准确运算是解题的关键． 11. 如图，在长为42米、宽为20米的矩形地面上修筑道路（图中阴影部分），其中铅直方向的小路的宽度是水平小路宽度的2倍，余下部分种植草坪，要使草坪的面积为640平方米，设水平方向道路的宽为x米，则可列方程为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，设水平方向道路的宽为x米，则铅直方向的小路的宽度为米，根据草坪的面积为640平方米，列出方程即可． 【详解】解：设水平方向道路的宽为x米，则铅直方向的小路的宽度为米，根据题意得： ， 故答案为：． 12. 如图，菱形中，，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作，交边于点E，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线，解题的关键是利用菱形的性质求 出的长度．根据菱形的面积公式结合的长度即可得出、的长度，在中利用勾股定理即可求出的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴，CO＝3（舍去）． ∵AE⊥BC，， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，，，P为矩形内一点，，连接，则的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系，以为直径作，连接在矩形内部交于点P，则此时有最小值，由矩形的性质及圆的概念可求解的长，利用勾股定理可求解的长，进而可求解． 【详解】解：如图，以为直径作，连接在矩形内部交于点P，则此时有最小值， 矩形中，，， ， ， ， 即的最小值为8． 故答案为：8． 14. 如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，已知点，，，点P是菱形边上的一个动点，连接，把绕着点E顺时针旋转得到，连接．若点P从点A出发，以每秒5个单位长度沿方向运动，则第秒时，点F的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形判定与性质等知识点，发现运动规律，找到第秒是点的位置，然后作辅助线构造全等三角形是解本题的关键,首先根据四边形是菱形和的坐标，求出再根据题中运动方式可知点的运动轨迹每4秒一个循环，得到第秒时点的坐标与第3秒时点的坐标相同,画出第3秒时的位置，过点作轴于点，可证再根据全等三角形对应边相等，可得点的坐标． 【详解】解：∵四边形是菱形, ∵点从点出发，以每秒5个单位长度沿方向运动， ∴点的运动轨迹每4秒一个循环， ∴第秒时，点的坐标与第3秒时点的坐标相同，第3秒时点在点， 如图， 过点作 轴于点， 又且 ∴. 故答案为：． 三、作图题（共1道，每题4分，共4分） 15. 已知：直角，． 求作：矩形，使为矩形的一个内角，矩形的其余各顶点都在的各边上，且点到两点的距离相等． 【答案】 如图， 【解析】 【分析】此题考查了尺规作图——垂线和线段垂直平分线的作图、矩形的判定，根据作法即可求解，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法． 【详解】∵到两点的距离相等， ∴分别以、为圆心大于长度为半径画弧，相交点，，连接，交于点，交于点，然后以为圆心，任意长度为半径画弧，交两点，再分别以交点为圆心，大于交点距离的一半为半径画弧交于点，连接交于点， ∴矩形即为所求． 四、解答题（共9道，共4分） 16. 解下列方程： （1）（配方法） （2）（公式法） （3）； （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解即可． （2）利用公式法求解即可． （3）利用直接开平方法求解即可． （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 移项，得， 配方，得，即， 两边开平方，得， 解得． 【小问2详解】 解：∵， 在这里，， ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得，； 【小问4详解】 解：∵， ， ∴， 解得． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）方程的一个根是，求的值； （2）求证：无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1）； （2） 证明：∵关于的一元二次方程， ∴ ． ∴无论为何值，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可； （2）先计算根的判别式的值得到，则利用非负数的性质得到，然后根据根的判别式的意义得到结论． 【小问1详解】 解：把代入方程得， 解得， 即的值为； 【小问2详解】 略 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设、是方程的两根，是否存在实数使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）且；（2）当时，成立． 【解析】 【分析】（1）根据方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，得出△>0，求出k的值，再根据k-1≠0，即可得出答案； （2）先假设存在实数k使得成立，根据根与系数的关系求出x1x2，与x1+x2的值，再把进行整理，求出k的值，从而得出答案． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即：， 解得：， 又∵， ∴的取值范围是：且； 假设存在实数使得成立： ∵，， ∴， 解得：，， 由知：且， ∴， 即：当时，成立． 【点睛】考查一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系，熟记公式 是解决本题的关键. 19. 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边）．若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙，的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由． 【答案】要将这棵树围在矩形花园内，花园的面积不能为625平方米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设的长为x米，则BC的长为米，由矩形的面积公式列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：不能， 理由如下：设的长为x米，则BC的长为米， 由题意，得， 解得． 当时，， 即当米，米米， ∴要将这棵树围在矩形花园内，花园的面积不能为625平方米． 20. 如图所示，点O是菱形对角线的交点，，连接． （1）证明：四边形是平行四边形； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵点O是菱形对角线的交点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形； （2） 四边形是矩形，理由如下： 由（1）得：四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，再根据四边形是平行四边形，可得，进而得到，即可求证； （2）由（1）得：四边形是平行四边形，再由四边形是平行四边形，可得，从而得到，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 21. 小丽在进行因式分解时发现一个现象，关于的二次多项式若能分解成两个一次整式相乘的形式，当或时，原多项式的值为0，则定义和为多项式的“零值”，两个“零值”的平均值为多项式的“对称值”．例如：，当或时，的值为0，则多项式的“零值”为和，的“对称值”为． 根据上述材料，解决下列问题： （1）多项式的“零值”为______，“对称值”为______； （2）若关于的多项式的两个“零值”相等，求的值以及多项式的“对称值”； （3）若关于的多项式有一个“零值”为，关于的另一个多项式与多项式的“对称值”相同，且多项式的两个“零值”之比是，求的值． 【答案】（1）和，0 （2）当，“对称值”为2；当，“对称值”为； （3），， 【解析】 【分析】本题考查了整式的知识，因式分解，乘法公式，掌握“零值”和“对称值”定义是解题关键． （1）由，结合定义即可求解； （2）由题意令其“零值”为，则，可知，，得，即，可求得或，在求出对应的即可求解； （3）由得，故“对称值”为3．由的两个“零值”之比是，且“对称值”为3，得，再计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴和， ∴“对称值”为， 故答案为：和，0． 【小问2详解】 ∵关于的多项式的两个“零值”相等， 令其“零值”为，则， ∴， ∴，， 则，即， ∴， ∴或， ∴或， 当“零值”为时，，则， ∴对称值为； 当“零值”为时，，则， ∴对称值为； 综上，当，“对称值”为2；当，“对称值”为； 【小问3详解】 ∵， ∴，， ∵有一个“零值”为， ∴． ∴“对称值”为． ∵的两个“零值”之比是， ∴设两个“零值”为， ∴， ∴． ∴， ∴，． ∴，， 22. 如图，在中，，是边上的中线，过点作的平行线，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）当满足________时，四边形是正方形．请说明理由； （3）连接交于，若，则________．（请直接写出答案） 【答案】（1） 证明：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 当满足是等腰直角三角形时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴菱形是正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，推出，结合得出四边形是平行四边形，再结合即可得证； （2）由等腰直角三角形的性质可得，即，即可得证； （3）由直角三角形的性质可得，由（1）可得：四边形是菱形，得出，，进而得出，由相似三角形的性质可得，推出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵在中，，是边上的中线， ∴， 由（1）可得：四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、菱形的判定与性质、正方形的判定定理、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 深圳某新能源汽车零部件企业借助智能制造技术，对某款电动汽车的电池管理系统零部件进行一体化加工，生产效率显著提升．该零部件8月份生产100个，10月份生产144个． 素材2 该企业生产的零部件成本为30元/个．销售一段时间后发现，当零部件售价为40元/个时，月销售量为600个．若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是多少？ 任务2 为使月销售利润达到10000元，并且尽可能让新能源汽车企业得到实惠，该零部件的实际售价应定为多少元？ 【答案】任务1：该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是；任务2：该零部件的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找到等量关系，列出方程是解题的关键． 任务1：设平均月增长率是x，根据题意，列出方程，解方程即可求解； 任务2：设售价上涨m元，根据题意，列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：任务1：设该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 则该企业8月份到10月份生产数量的平均月增长率是； 任务2：设售价上涨m元，则实际售价为元， 根据题意得：， 解得，， 尽可能让新能源汽车企业得到实惠， 应选择售价较低的方案， 选择，则， 则该零部件的实际售价应定为元/个． 24. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BD⊥AC于点D，且BD＝8cm．点 M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA 的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交 BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts(0＜t＜5)． (1)当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形？ (2)设四边形PQCM的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使S四边形PQCM=S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (4)连接PC，是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质进行求解； （2）过P作PE⊥AC，交AC于E，根据PQ∥AC得出△PBQ∽△ABC，根据相似比求出函数关系式； （3）首先求出△ABC的面积，然后求出y的值，解出方程得出x的值； （4）假设存在某一时刻t，然后根据△AHM和△ADB相似进行以及△HMP的勾股定理进行解答． 【详解】解：（1）假设四边形PQCM是平行四边形， 则PMQC， ∴AP=AM ∴， 解得 答：当s时，四边形PQCM是平行四边形． （2）过P作PE⊥AC，交AC于E． ∵PQ AC ∴△PBQ∽△ABC， ∴△PBQ是等腰三角形，PQ=PB=， ∴， 即， 解得， ∴ 又∵， ∴ 答：y与t之间的函数关系式是； （3） 当时， 解得，（舍去） 答：当时，S四边形PQCM＝S△ABC； （4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上，则MP=MC， 过M作MH⊥AB，交AB于H，由△AHM∽△ADB ∴， 又 ∴， ∴ 即 在Rt△HMP中， 又∵ 由 ∴ 解得：（舍去） 答：当s时，点M在线段PC的垂直平分线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $