精品解析：山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2025-2026学年上学期九年级数学优才(13)

青大附中九年级数学优才（13） 一、选择题：本题共2小题，每小题3分，共6分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为抛物线上三点，且总有，则m的取值范围是（　　） A. m＞2 B. C. D. m＞3 2. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④ 二、填空题：本题共1小题，每小题3分，共3分． 3. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围是____________． 三、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 4. 如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）． 5. 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作轴于点，将沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． （1）求抛物线解析式； （2）连接BE，求的面积； （3）拋物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 6. 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点，与轴交于点．抛物线的顶点为，若点的坐标是，点是该抛物线在第二象限图象上的一个动点． （1）求该抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）设点的横坐标是，问当取何值时，四边形的面积最大； （3）如图，若直线的解析式是，点和点分别在抛物线上和直线上，问：是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标 7. 已知抛物线（a为常数，a≠0）． （1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）如图1，当时，若点P是直线上方抛物线上的一个动点，求点P到直线距离的最大值； （3）如图2，当时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线上方抛物线上的一个动点，交于点E，设点E的横坐标为n，记，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值． 8. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，直线交抛物线于两点，交轴于点． （1）若，求的值及点的坐标； （2）如图（1）连接，．当时，求的值； （3）如图（2）直线交轴正半轴于点，直线交轴负半轴于点，求的值． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，直线过点B，C． 以下对于此母题，设计若干常见问题，并进行分析． （1）求抛物线与直线的函数表达式． （2）观察图象，直接写出当时x的取值范围． （3）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． （4）若点D为直线下方抛物线上一动点，当点D运动到某一位置时，的面积有最大值，求的最大面积及此时点D的坐标． （5）将直线向下平移k个单位长度后与抛物线只有一个公共点，求k的值和这个公共点的坐标． （6）将原抛物线沿x轴翻折后，再向右平移2个单位长度，得到新抛物线，请直接写出新抛物线的解析式． （7）①在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求出此时点P的坐标及的最小值； ②在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，求出此时点Q的坐标． （8）若N为x轴上的一个动点，M为抛物线上的一个动点，使B，C，N，M四点构成平行四边形，求出点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青大附中九年级数学优才（13） 一、选择题：本题共2小题，每小题3分，共6分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若为抛物线上三点，且总有，则m的取值范围是（　　） A. m＞2 B. C. D. m＞3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=， ∵， ∴， 解得m＜3， ∵， ∴， 解得m＞， 综上所述＜m＜3， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数，解决本题的关键是掌握其图象和性质． 2. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列论中：①；②若点均在该二次函数图象上，则；③若m为任意实数，则；④方程的两实数根为，且，则．正确结论的序号为（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②③④ D. ①④ 【答案】B 【解析】 【分析】将代入，可判断①；根据抛物线的对称轴及增减性可判断②；根据抛物线的顶点坐标可判断③；根据的图象与x轴的交点的位置可判断④． 【详解】解：将代入，可得， 故①正确； 二次函数图象的对称轴为直线， 点到对称轴的距离分别为：4，1，3， ， 图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， 故②错误； 二次函数图象的对称轴为直线， ， 又， ， ， 当时，y取最大值，最大值为， 即二次函数的图象的顶点坐标为， 若m为任意实数，则 故③正确； 二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， 与x轴的另一个交点坐标为， 的图象向上平移一个单位长度，即为的图象， 的图象与x轴的两个交点一个在的左侧，另一个在的右侧， 若方程的两实数根为，且，则， 故④正确； 综上可知，正确的有①③④， 故选B． 【点睛】本题考查根据二次函数图象判断式子符号，二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系，熟练运用数形结合思想． 二、填空题：本题共1小题，每小题3分，共3分． 3. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数的图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．解方程得，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时b的值和当直线与抛物线有唯一公共点时b的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，b的取值范围． 【详解】解：当时，， 解得，则， 将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，， 解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时， 方程有相等的实数解， 则方程整理为：， 则 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，则b的取值范围为． 故答案为： 三、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 4. 如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）． 【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（， ）时，△CBE的面积最大． 【解析】 【分析】（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标； （3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标． 【详解】（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C， ∴B（3，0），C（0，3）， 把B、C坐标代入抛物线解析式可得 ，解得， ∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3； （2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1）， 设M（2，t），且C（0，3）， ∴MC=，MP=|t+1|，PC=， ∵△CPM为等腰三角形， ∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况， ①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t= ，此时M（2，）； ②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）； ③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）； 综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）； （3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D， 设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3）， ∵0＜x＜3， ∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x， ∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+， ∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，）， 即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大． 5. 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作轴于点，将沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． （1）求抛物线解析式； （2）连接BE，求的面积； （3）拋物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合运用待定系数法求解即可； （2）先确定点B的坐标，然后确定直线AB的解析式，进而确定、、，最后根据结合三角形的面积公式即可解答； （3）先说明是等腰直角三角形，设点P的坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可． 【小问1详解】 解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处 ∴ 把A，E两点坐标代入得，解得 ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线与y轴交于点B ∴令时， ∴ 设直线AB的解析式为 把A，B两点坐标代入得解得 ∴直线AB的解析式为； ∴点C在直线AB上轴于点 当时 ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴的面积是2． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： ∵， ∴ 在中 ∴是等腰直角三角形 ∵点P在抛物线上 ∴设点P的坐标为 ①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M 在中∵∴ 即解得（舍去） 当时 ∴ ②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N 在中 ∴ ∴ ∴解得（舍去） 当时 ∴ 综上，符合条件的P点坐标是或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及求二次函数的性质、二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键． 6. 如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于点，与轴交于点．抛物线的顶点为，若点的坐标是，点是该抛物线在第二象限图象上的一个动点． （1）求该抛物线的解析式和顶点的坐标； （2）设点的横坐标是，问当取何值时，四边形的面积最大； （3）如图，若直线的解析式是，点和点分别在抛物线上和直线上，问：是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标 【答案】（1），； （2）时，四边形的面积最大 （3）或或或 【解析】 【分析】利用待定系数法求二次函数解析式，然后化为顶点式即可得顶点坐标； 设，由可求得，即可得到答案； 根据题意分情况讨论，①平行四边形以为边时，则，设Q点的坐标是，点的坐标是，可列方程求出点；②平行四边形以为对角线时，则的中点为 可设点的坐标是，点的坐标是，根据坐标中点公式列方程即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线的图象经过点， 　， 解得， 抛物线的解析式是， 化为顶点式为：， ∴顶点E的坐标是； 【小问2详解】 解：令，即， 解得，， ，． 点的横坐标是， ， 连结，如下图所示： ； ∴， 当时，四边形的面积最大为； 【小问3详解】 ①平行四边形以为边时，直线l：，可设点的坐标是，点的坐标是， ， ∴， 当，如图，解得：，， 此时Q点的坐标分别是，； 当，如图， 解得：， 不合题意，舍去，此时Q点的坐标是； ②平行四边形以为对角线时，如图， 根据平行四边形的对角线相互平分可知，两点到轴距离相等； 设点坐标为，则点的坐标是， 得到， 整理得， 解得：， 不合题意，舍去， 此时点的坐标是， 综上所述，满足条件的点坐标为：或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数的解析式有关知识．分情况讨论平行四边形的边长与坐标的关系是解题的关键． 7. 已知抛物线（a为常数，a≠0）． （1）请直接写出该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）如图1，当时，若点P是直线上方抛物线上的一个动点，求点P到直线距离的最大值； （3）如图2，当时，设该抛物线与x轴分别交于A、B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C．点D是直线上方抛物线上的一个动点，交于点E，设点E的横坐标为n，记，当n为何值时，S取得最大值？并求出S的最大值． 【答案】（1）顶点为，对称轴为直线； （2） （3）当时，S有最大值． 【解析】 【分析】（1）由，即可求顶点为，对称轴为直线； （2）过点P作于点H，作于点N，交线段于点M，，，求得,证明是等腰直角三角形，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则，则，根据二次函数的性质即可得到答案； （3）与等高得，过点D作轴交AC于点F，过B点作轴交AC于点G，由得，设，求得，此时，待定系数法求出直线的解析式,与解析式联立，求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴顶点为，对称轴为直线； 【小问2详解】 如图，过点P作于点H，作于点N，交线段于点M，，， 当时，， 当，， 当，，解得， ∴,,, ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴, ∴, ∴是等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则，， ∴， ∴， ∵点P是直线上方抛物线上的一个动点， ∴， ∴时，有最大值， 即点P到直线距离的最大值为； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 当，， 当，，解得， ∴,,, ∵与等高， ∵， 过点D作轴交AC于点F，过B点作轴交AC于点G， ∴， ∴， 由（2）可知直线的解析式为， 设，则， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点D是直线上方抛物线上的一个动点， ∴， ∴当时，S有最大值， 当时， 此时， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立， ∴， ∴当时，S有最大值． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式是解题的关键． 8. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上，直线交抛物线于两点，交轴于点． （1）若，求的值及点的坐标； （2）如图（1）连接，．当时，求的值； （3）如图（2）直线交轴正半轴于点，直线交轴负半轴于点，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，直线为，因为点在上，则，解得；直线交轴于点，所以，解得，即可求解； （2）证明，得到，，则，，进而求解； （3）由点、的坐标得，直线的表达式为：，得到，同理可得，进而求解． 【小问1详解】 解：当时，直线为， 因为点在上， 所以，解得． 因为直线交轴于点， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作的垂线交的延长线于点，过作轴的垂线，垂足为． 直线交轴于点，取，可得， 所以． ， 则为等腰直角三角形， 则，， ，， ， ， ， ，， ，， 设直线为，则有，解得：， 所以直线为， 联立方程组， 解得：或， 所以点坐标为， 因为点在直线上， 所以， 解得：； 【小问3详解】 解：设点、的坐标分别为：、， 联立和并整理得：， 则，， 设直线表达式为， 则，解得 ∴直线的表达式为：， 令，则， 同理可得，直线的表达式为：， 令，则， 则． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，根与系数的关系等，综合性较强，有一定难度．明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，直线过点B，C． 以下对于此母题，设计若干常见问题，并进行分析． （1）求抛物线与直线的函数表达式． （2）观察图象，直接写出当时x的取值范围． （3）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标． （4）若点D为直线下方抛物线上一动点，当点D运动到某一位置时，的面积有最大值，求的最大面积及此时点D的坐标． （5）将直线向下平移k个单位长度后与抛物线只有一个公共点，求k的值和这个公共点的坐标． （6）将原抛物线沿x轴翻折后，再向右平移2个单位长度，得到新抛物线，请直接写出新抛物线的解析式． （7）①在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求出此时点P的坐标及的最小值； ②在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，求出此时点Q的坐标． （8）若N为x轴上的一个动点，M为抛物线上的一个动点，使B，C，N，M四点构成平行四边形，求出点N的坐标． 【答案】（1），； （2）或； （3）； （4），； （5），； （6）； （7）①，；② （8）或或或 【解析】 【分析】（1）根据，得到，，交点式求出抛物线的解析式，进而求出点坐标，待定系数法求出一次函数的解析式； （2）直接根据图象法，求出不等式的解集即可； （3）设，根据两点间距离公式结合勾股定理进行求解即可； （4）作轴交于点，设，则，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可； （5）根据平移，求出平移后的直线的解析式，根据直线与抛物线只有一个交点，得到对应的一元二次方程有2个相等的实数根，得到，进行求解即可； （6）根据翻折的性质，以及平移规则进行求解即可； （7）①根据两点之间线段最短，得到当在线段上时，的值最小，为的值，进行求解即可；②根据，得到当点在直线上时，，进行求解即可； （8）设，分三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴抛物线的解析式为：， ∴当时，， ∴， 把，代入，得 ，解得， ∴； 【小问2详解】 解：由图象可知：的解集为或； 【小问3详解】 解：设， ∵， ∴，，， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）； ∴，即； 【小问4详解】 解：作轴交于点， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大为；此时； 【小问5详解】 解：由题意，平移后的解析式为， 令，整理，得， ∵平移后的直线与抛物线只有一个交点， ∴，解得， ∴，解得， 当时，， ∴这个公共点的坐标为 【小问6详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴将抛物线沿轴翻折后的抛物线的顶点坐标为，开口向下， ∴翻折后的抛物线的解析式为， ∴再向右平移2个单位长度，得到的新抛物线的解析式为； 【小问7详解】 解：①由两点之间线段最短，可知，当点在线段上时，的值最小为的长， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴，此时； ②∵， ∴， 同（1）法可得直线的解析式为， ∵， ∴当点在直线上时，，值最大为， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴； 【小问8详解】 解：，设， 当点组成平行四边形时，分3种情况： ①当为对角线时，则，解得或（舍去）； ∴； ②当为对角线时，则，解得或； ∴或； ③当为对角线时，则，解得或（舍去）； ∴； 综上：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数图象的变换，二次函数的最值问题，勾股定理，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $