江苏省海头高级中学2026-2027学年高一上学期第一次调研测试数学试卷

海头高中高一年级2026-2027学年度上学期第一次调研测试 数 学 试 卷 （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1.设a，b为实数，已知，，且，则的值是（ ） A. 1或2 B.2 C. 1 D.4 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3.下列运算结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 4.若全集，，.若,则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则下列各式中，恒等的是（ ） A. B. C. D. 7. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．mn的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 8. 已知，，试用a，b表示正确的是（ ） A. B. C. D. . 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9.下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 10. 在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，南极星的星等是，则（    ） A．天狼星的星等大约是南极星星等的倍 B．太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是 C．天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是 D．天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是 11.关于的方程的两实根为，，且，，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写答题卡相应位置上. 12. 当时，命题是真命题，则实数的取值范围是______. 13．如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题： ①由图知，即可以得到不等式； ②由图知，即可以得到不等式； ③由图知，即可以得到不等式； 以上三个命题中真命题的是____________________.（写出所有的正确命题的序号） 14. 若存在，使得成立，则实数的最小值为___________． 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.满分13分，对数符号书写不规范，扣1分 计算： （1）（3分） （2）．（4分） （3）(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2－3 (lg 2)2. （6分） 16. 满分15分 甲：若关于的不等式的解集为；乙：若二次函数有两个零点。 (1)写出当甲为真命题时，实数的取值集合；（5分） (2)写出当乙为真命题时，实数的取值集合；（5分） (3)若甲、乙至多有一个真命题时，求实数的取值集合；（5分） 17. 满分15分 某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上。 (1)欲建长为10米的走廊，设长度为米，当多少时，的面积最大？（7分） (2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ （8分） 18.满分17分 已知全集，集合， （1）若，求；（3分） （2）若，且，求实数取值范围. （6分） （3）若集合，且是必要不充分条件，求实数取值范围（8分） 19. 满分17分 已知函数. (1)当时，不等式的解集为，求实数的值；（3分） (2)若，且，求关于的不等式的解集；（6分） (3)若对恒成立，求的最大值. （8分） 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 海头高中高一年级2026-2027学年度上学期第一次调研测试 数 学 试 卷 （本卷满分150分，共4页，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1.设a，b为实数，已知，，且，则的值是（ ） A. 1或2 B.2 C. 1 D.4 【答案】A 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 3.下列运算结果中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 4.若全集，，.若,则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 5.若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6. 若，，则下列各式中，恒等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 7. 设正实数m、n满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为4 B．mn的最大值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 【答案】C 8. 已知，，试用a，b表示正确的是（ ） A. B. C. D. . 【答案】C 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9.下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 10. 在天文学中，星等是衡量天体光度的量，是表示天体相对亮度的数值.天体亮度越强，星等的数值越小，星等的数值越大，天体的亮度就越暗.两颗星的星等与亮度满足(注意公式中下标)，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是，天狼星的星等是，南极星的星等是，则（    ） A．天狼星的星等大约是南极星星等的倍 B．太阳的亮度与天狼星的亮度的比值是 C．天狼星的亮度与太阳的亮度的比值是 D．天狼星的亮度与南极星的亮度的比值是 【答案】AC 11.关于的方程的两实根为，，且，，则（ ） A. B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写答题卡相应位置上. 12. 当时，命题是真命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 13．如图，在直角三角形中，，垂直于斜边，且垂足为，设及的长度分别为和，是的中点，点绕点顺时针旋转后得到点，过点作垂直于，且垂足为．有以下三个命题： ①由图知，即可以得到不等式； ②由图知，即可以得到不等式； ③由图知，即可以得到不等式； 以上三个命题中真命题的是____________________.（写出所有的正确命题的序号） 【答案】①②③ 14. 若存在，使得成立，则实数的最小值为___________． 【答案】 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.满分13分，对数符号书写不规范，扣1分 计算： （1）（3分） （2）．（4分） （3）(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2－3 (lg 2)2. （6分） 【解析】（1）原式= ………………………3分 （注：整体对数符号书写不规范，扣1分） （2）原式（1分） （1分） ．（2分） …………………………4分 （3）原式＝(lg2)3＋(lg5)3＋3lg2－3 (lg 2)2 =(lg2＋lg5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2] ＋3lg2(1－lg 2)（3分） ＝(lg2)2－ lg2·lg5＋(lg5)2＋3lg2lg 5 ＝(lg2)2－ 2lg2·lg5＋(lg5)2 ＝(lg2＋lg5)2＝1 （3分） ………………………6分 16. 满分15分 甲：若关于的不等式的解集为；乙：若二次函数有两个零点。 (1)写出当甲为真命题时，实数的取值集合；（5分） (2)写出当乙为真命题时，实数的取值集合；（5分） (3)若甲、乙至多有一个真命题时，求实数的取值集合；（5分） 【答案】(1)；(2)；(3)或. 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式、一元二次方程根的分布问题、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）利用一元二次型不等式恒成立求出集合. （2）利用一元二次方程实根分布列式求出集合. （3）求出，进而求出其补集得集合. 【详解】（1）由关于的不等式的解集为，得，恒成立， 当时，成立，则；（2分） ………………..2分 当时，，解得，（3分） 所以实数的取值集合. ………..5分 （2）由题意，关于的方程有两个不相等的实根， 得，（2分） ………… 7分 即（3分） 所以数的取值集合. …………10分 （3）当甲、乙都是真命题时，， （2分） ……………12分 因此当甲、乙至多有一个真命题时，或，（3分） 所以实数的取值集合或. …………..15分 17. 满分15分 某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上.    (1)欲建长为10米的走廊，设长度为米，当多少时，的面积最大？（7分） (2)为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ （8分） 【答案】(1)长度为米；(2)的长的范围是（单位：米） 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）设长度为米，求出，可得的面积的表达式，然后由基本不等式求解即可； （2）设的长为米，由，得，求得，得的面积的表达式，由题意列不等式，求解即可． 【详解】（1）∵，∴， ∴的面积为，（2分） ……………….2分 由题意， ，，（1分） ……………….3分 ，（3分） ………6分 当且仅当，即时等号成立， ∴当长度为米时, 的面积最大，最大值为平方米. ……………7分 （2）设的长为米，则为米，其中，∵为矩形，，∴，∴，则，（3分） ………………10分 故，整理得，（2分） ……………….12分 又，则或，（2分） ……………….14分 故的长的范围是（单位：米）． （1分） ……………..15分 18.满分17分 已知全集，集合， （1）若，求；（3分） （2）若，且，求实数取值范围. （6分） （3）若集合，且是必要不充分条件，求实数取值范围（8分） 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、交并补混合运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】（1）因为，所以或. （1分） 当时，， （1分） 故. （1分） …………………………………3分 （2）因为，则 （1分） ……………………………4分 因为，此时，所以 （3分） ………………7分 所以，解得，实数的取值范围是.（2分） ………9分 （注：如果没有用，直接默认，得到正确的答案，只扣2分） （3）法1:= （1分） ………………………………10分 由题，则C ⫋ B，⫋， 等价于在上恒成立，（1分）……………………………11分 所以, （2分） ………………………………13分 即，即， （2分） 所以实数的取值范围是 ……………………………17分 法2：= （1分） ………………………………10分 因为是必要不充分条件，所以则C ⫋ B， 令，解得 当，即时， ，解得 （3分） ……………………………13分 当，即时，，不符合题意；（1分） ……………………14分 当，即时， ，解得 （2分） ……………………………16分 综上，所以实数的取值范围是 ………………………17分 （注：此法如果默认，得到答案，扣3分，缺综上扣1分） 19. 满分17分 已知函数. (1)当时，不等式的解集为，求实数的值；（3分） (2)若，且，求关于的不等式的解集；（6分） (3)若对恒成立，求的最大值. （8分） 【难度】0.4 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据不等式对应方程的解结合韦达定理即可求出实数的值； （2）把代入得到一个包含未知参量的一元二次不等式，分类讨论即可； （3）利用换元法结合基本不等式求最值即可 【详解】（1）由不等式的解集为（1分） ………………..1分 可得方程的两根为且， 由根与系数的关系可得：，. （2分） ………………..3分 （2）由得， 又因为，所以原不等式化为，即（2分） ……5分 当时，，得；（1分） 当时，的解是 当时，不等式的解集为 （1分） 当时，，由不等式得：（1分） 当时，，由不等式得： （1分） 综上所述，不等式的解集为： 当时，； 当时，； 当时，；当时，。 ……………….9分 （注：解集写成不等式，扣2，不写综上但前面解集用集合表示，次步不写不扣分） （3）由得，∵对恒成立， ∴， （1分） ……………….10分 化简得，且， 代入得： （2分） ………………12分 令，则，，（1分） ，（1分） ………………14分 ，当且仅当，即时，等号成立，（3分） 故的最大值为. ……………17分 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $