精品解析：江苏省新海高级中学2025-2026学年高一上学期10月质量检测数学试题

2025-2026学年度高一第一学期10月学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 一、单选题（共8小题 满分40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用并集的定义可求得集合. 【详解】由题意可知，，因此，. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由全称命题的否定即可得到结果. 【详解】因为命题为全称命题，则其否定为: ，. 故选:B 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法判断A、C、D，应用作差法比较大小判断B. 【详解】A：取，，则，错； B：由，则，故，对； C：若，则，错； D：取，则，错. 故选：B 4. 已知函数，，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】若函数在上单调递增，则，解得， 所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 故选：C． 6. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再利用单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，由在上单调递减，，得， 所以. 故选：C 7. 我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（ ） （参考数据：） A. 2292年 B. 2456年 C. 2674年 D. 2838年 【答案】B 【解析】 【分析】利用半衰期的意义求出，再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得. 【详解】依题意，当时，，即，解得， 设经过年碳14含量衰减为原来的，经过年碳14含量衰减为原来的， 则，即，所以 . 故选：B 8. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到的最值，进而得到关于的二次不等式，从而取倒即可得解. 【详解】由，，，得， 则 又， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得或（舍去）， 故，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 二、多选题（共3小题 满分18分） 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若函数，且，则 B. 若为奇函数，则的解集为 C. 设表示不超过的最大整数，如，则不等式的解集是 D. 若函数的定义域为，则的取值范围是或 【答案】AD 【解析】 【分析】求得，根据，可判定A正确；因为函数的单调性不确定，可判定B错误；求得不等式的解集为，得到，可判定C错误；根据题意，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确． 【详解】对于A中，由，可得，又由，解得，所以A正确； 对于B中，由为奇函数，但函数的单调性不确定，所以B错误； 对于C中，由，可得，则， 所以不等式解集为，所以C错误； 对于D中，由的定义域为，则满足， 解得或，所以D正确． 故选：AD． 10. 已知a＞0，b＞0，且ab＝1，，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据a＞0，b＞0，且ab＝1，，分和，由指数函数和对数函数的图象判断. 【详解】解：∵a＞0，b＞0，且ab＝1，， ∴当时，，则函数与函数在同一坐标系中的图象是： ， 当时，，则函数与函数在同一坐标系中的图象是： 故选：AB． 11. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数图象可得，即可结合图象，根据选项即可求解. 【详解】作出的图象如下：令，则， 故，，A错误，BC正确， 令，则或 ，结合图象可知，D正确. 故选：BCD 三、填空题（共3小题 满分15分） 12. 已知，，用含a、b的式子表示____________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出和，然后再将进行分解，用求出的和来表示，最后转化为用、表示. 【详解】因为，. 由,可得，将其代入中， 得到. 对进行化简，所以.. 因为. 把代入可得： . 故答案为：. 13. 若函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数、反比例函数的性质，根据的单调性，分析计算，即可得答案. 【详解】当时， 为一次函数， 因为单调递减，所以， 当时，为反比例函数， 因为单调递减，所以， 所以由题意可知，解得，即的取值范围是. 故答案为： 14. 定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的个数是________． 【答案】11 【解析】 【分析】分别分析与的性质，从而作出函数与函数图像，再观察其交点个数即可得解. 【详解】因为，所以，则的周期为2， 又为偶函数，且当时，， 所以可利用的周期性与奇偶性作出的大致图像， 因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以函数与函数的大致图像如图所示， 考虑特殊位置，当时，； 当时，； 当时，； 又函数的零点个数即函数与函数图像的交点个数， 所以由图像可知函数与函数图像的交点个数为11个. 故答案为：11. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 四、解答题（共5大题 满分77分） 15. 求值： （1）； （2）. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】(1)利用指数幂的运算法则计算即可求解； (2)利用对数的运算法则化简计算即可得解. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 原式. 16. 已知函数. （1）判断函数在上的单调性，并利用定义证明； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） 函数在区间上是单调递减函数. 证明：在区间上任取两个实数，且， 则 因为，所以，所以， 即，故在区间上是单调递减函数. （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （2）根据函数的单调性，把不等式转化为不等式组，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知在区间上是单调递减， 又，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 17. 已知函数. （1）求，的值； （2）若，求实数a的值； （3）直接写出的单调区间. 【答案】（1） （2） （3）单调递增区间，单调递减区间， 【解析】 【分析】（1）根据分段函数定义直接代入计算即可； （2）分类讨论实数a的取值范围，解方程即可得出符合题意的a的值； （3）画出函数图像即可直接写出单调区间． 【小问1详解】 根据分段函数解析式可得， 易知；所以    　 即. 【小问2详解】 ①当时，， 解得，或（舍）. 　 ②当时，，解得（舍）. 综上可得. 即实数a的值为 【小问3详解】 画出函数图像如图所示： 所以，单调递增区间，单调递减区间， 18. 已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 【答案】（1）不等式的解集为. （2）的最小值为； （3）的最小值为. 【解析】 【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集； （2）由已知可得，结合基本不等式求结论； （3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值. 【小问1详解】 由已知的解集为，且， 所以是方程的解， 所以，， 所以，， 所以不等式可化为， 所以， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 因为， 所以 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立， 即当且仅当， 时等号成立； 所以的最小值为； 【小问3详解】 因为对任意，不等式恒成立， 所以，， 所以，， ， 令，则，， 所以， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】（1）是上的有界函数，理由如下： 当时，， 当时，， 由对勾函数性质得或， 或， 或， ∴的值域为，， ∴存在，使得， 所以是上的有界函数； （2） （3）存在，当时，； 当时，. 【解析】 【分析】（1）考虑和两种情况，结合对勾函数性质得到函数值域，进而得到，存在，使得，证明出是上的有界函数； （2）由题意可知在上恒成立，变形得到，换元后根据函数单调性得到答案； （3）分离常数，得到函数单调性，故，分和两种情况，得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知在上恒成立， ，， 即， ∴在上恒成立， ∴． 设，，， 由，得． ∵在上单调递减，在上是单调递增， ∴在上，，． 所以，实数a的取值范围是. 【小问3详解】 ， ∵，， ∴在上递增， 根据复合函数的单调性可得在上递减， ∴， ∴h(x)存在上界. ①若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， ②若，两边平方整理得， 即时，；此时，即， 综上，当时，； 当时，. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念和性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一第一学期10月学业水平质量监测 数学试题 注意事项 1．本试卷共4页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号等用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 一、单选题（共8小题 满分40分） 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数，，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数满足，且在上单调递减，则，的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 7. 我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰减为原来的一半），即经过年后，碳14的含量（为碳14的初始含量，为常数），则碳14含量由原来的衰减为大约需要经过（ ） （参考数据：） A. 2292年 B. 2456年 C. 2674年 D. 2838年 8. 已知，，且，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. 9 D. 二、多选题（共3小题 满分18分） 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若函数，且，则 B. 若为奇函数，则的解集为 C. 设表示不超过的最大整数，如，则不等式的解集是 D. 若函数的定义域为，则的取值范围是或 10. 已知a＞0，b＞0，且ab＝1，，则函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 的取值范围为 三、填空题（共3小题 满分15分） 12. 已知，，用含a、b的式子表示____________． 13. 若函数在上单调递减，则的取值范围是___________. 14. 定义在上的偶函数满足，且当时，，函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的零点的个数是________． 四、解答题（共5大题 满分77分） 15. 求值： （1）； （2）. 16. 已知函数. （1）判断函数在上的单调性，并利用定义证明； （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知函数. （1）求，的值； （2）若，求实数a的值； （3）直接写出的单调区间. 18. 已知二次函数 （1）若的解集为，解关于的不等式； （2）若且，求的最小值； （3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值． 19. 定义在D上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界. （1）判断函数是否是上的有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围； （3）若，函数在区间上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $