27.2 反比例函数的图象和性质 同步训练（一）图象与基本性质 2026-2027学年人教版数学九年级上册

27.2 反比例函数的图象和性质　同步训练（一） 主题：图象的识别与基本性质　　（人教版数学九年级上册） 适用年级：九年级（上册）　　满分 100 分　　时间 60 分钟 命题人：______　审题人：______　使用日期：______ 班级：______　姓名：______　考号：______　得分：______ 注意事项 1．解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，只写最后答案不能得分。 2．本卷涉及的结果如有近似值，按要求保留。 3．建议先易后难，合理分配时间。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 反比例函数 的图象位于（　　） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 2. 反比例函数 的图象在每一个象限内，y 随 x 的增大而（　　） A. 增大 B. 减小 C. 先增大后减小 D. 保持不变 3. 如图，双曲线是反比例函数 的图象，点 A、B、C、D 的横坐标依次为 1、2、3、6，则这四个点中纵坐标最大的是（　　） 图1 A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D 4. 反比例函数 的图象经过点 (3，−2)，则 k 的值为（　　） A. 6 B. −6 C. − D. 5. 下列各点中，在反比例函数 的图象上的是（　　） A. (2，2) B. (1，2) C. (4，2) D. (2，4) 6. 反比例函数 的图象所在的象限及增减性是（　　） A. 第一、三象限，每一象限内 y 随 x 的增大而减小 B. 第二、四象限，每一象限内 y 随 x 的增大而减小 C. 第二、四象限，每一象限内 y 随 x 的增大而增大 D. 第一、三象限，每一象限内 y 随 x 的增大而增大 7. 如图是用描点法画出的反比例函数 的图象，下列说法错误的是（　　） 图2 A. 图象有两支，分别位于第一、三象限 B. 图象与 x 轴、y 轴都没有交点 C. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大 D. 点 (4，2) 在该函数的图象上 8. 已知反比例函数 的图象经过点 (−2，3)，则当 x＞0 时，y 随 x 的增大而（　　） A. 增大 B. 减小 C. 先减小后增大 D. 无法确定 9. 若反比例函数 的图象在每一个象限内 y 都随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围是（　　） A. m＞−1 B. m＜−1 C. m＞1 D. m＜1 10. 如图，点 A(1，6)、B(3，2) 在反比例函数 的图象上，点 C(−1，−6) 也在此图象上。下列说法正确的是（　　） 图3 A. 因为 A、B 都在第一象限的图象上，1＜3 且 6＞2，所以对任意 x，y 都随 x 的增大而减小 B. y 的值随 x 的增大而减小 C. 当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大 D. 当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 11. 已知点 (2，−3) 在反比例函数 的图象上，则 k=      。 12. 反比例函数 的图象位于第      象限，且在每一个象限内 y 随 x 的增大而      。 13. 若反比例函数 的图象位于第二、四象限，则 m 的取值范围是      。 14. 已知点 A(−1，y1)、B(2，y2)、C(4，y3) 在反比例函数 的图象上，则 y1、y2、y3 的大小关系是      （用“＜”连接）。 三、解答题（本大题共4小题，共58分） 15.（12分）如图，反比例函数 （k≠0）的图象经过点 A(1，4)。 图4 （1）求 k 的值，并写出这个函数的解析式； （2）判断点 B(2，2)、C(4，1) 是否在该函数的图象上，并说明理由； （3）当 x=4 时，求 y 的值；当 y=−4 时，求 x 的值。 16.（14分）已知反比例函数 ，其图象如图所示。 图5 （1）用描点法画图时，取 x=1、2、3、6 及 −1、−2、−3、−6，分别写出对应的 y 值； （2）结合图象，写出它的两支分别位于哪些象限，以及在每一个象限内 y 随 x 的增大而怎样变化； （3）判断点 P(1.5，4)、Q(2，−3) 是否在该函数的图象上，并说明理由。 17.（16分）如图，反比例函数 （k≠0）的图象经过点 A(−1，4)，点 B、C、D 的坐标分别为 (−2，2)、(2，−2)、(4，−1)。 图6 （1）求 k 的值，并写出这个函数的解析式； （2）写出图象的两支分别位于哪些象限，以及在每一个象限内 y 随 x 的增大而怎样变化； （3）判断点 E(−4，1)、F(2，2) 是否在该函数的图象上，并说明理由； （4）设 M(−2，y1)、N(2，y2) 是该函数图象上的两点，求 y1、y2 的值，并比较 y1 与 y2 的大小。 18.（16分）如图，反比例函数 （k＞0）的图象经过点 (2，6)，它的另一支位于第三象限。 图7 （1）求 k 的值，并写出这个函数的解析式； （2）判断点 (6，2)、(3，4) 是否在该函数的图象上，并说明理由； （3）若点 (m，n) 在第一象限的该函数图象上，且 m、n 均为正整数，写出所有满足条件的点； （4）点 A(x1，y1)、B(x2，y2) 在第三象限的该函数图象上，且 x1＜x2，比较 y1 与 y2 的大小，并说明理由。 参考答案与评分标准（卷一） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.（3分）B　【考点】由解析式判断图象所在象限。【解析】k=4＞0，图象两支分别位于第一、三象限。【易错点】把“k＞0 图象在一、三象限”与“k＜0 在二、四象限”记混。 2.（3分）B　【考点】反比例函数的增减性。【解析】k=5＞0，在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小。【易错点】与正比例函数“k＞0 时 y 随 x 增大而增大”混淆。 3.（3分）A　【考点】图象上点的坐标与增减性的直观运用。【解析】k=6＞0，第一象限的这支图象中 y 随 x 的增大而减小，点 A 的横坐标最小，纵坐标最大；也可由 x·y=6 逐一验证：A(1，6)、B(2，3)、C(3，2)、D(6，1)，最大纵坐标为 6，对应点 A。【易错点】误认为图象越靠右 y 越大。 4.（3分）B　【考点】待定系数法求 k。【解析】k=3×(−2)=−6。【易错点】把 k 误算成 ，即忘记坐标相乘时符号为负。 5.（3分）A　【考点】判断点是否在图象上。【解析】将各点横纵坐标相乘：2×2=4=k；(1，2)：1×2=2≠4；(4，2)：4×2=8≠4；(2，4)：2×4=8≠4，故只有 (2，2) 在图象上。【易错点】只代入横坐标计算 =2 就误判其他点也在图象上。 6.（3分）C　【考点】k＜0 时图象位置与增减性。【解析】k=−5＜0，图象位于第二、四象限，且在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大。【易错点】记反增减性，误选 B。 7.（3分）C　【考点】描点法画出的双曲线的图象特征。【解析】k=8＞0，图象两支分别在第一、三象限，与坐标轴无交点，且每一象限内 y 随 x 的增大而减小；由 4×2=8 知点 (4，2) 在图象上。C 选项说“增大”，错误，故选 C。【易错点】增减性叙述漏掉“在每一个象限内”这一前提。 8.（3分）A　【考点】待定系数与增减性的综合。【解析】k=(−2)×3=−6＜0，图象位于第二、四象限，当 x＞0 时（第四象限这一支），y 随 x 的增大而增大，故选 A。【易错点】只求出 k=−6 而忘记先定图象位置，凭感觉选“减小”。 9.（3分）A　【考点】由增减性反推系数的取值范围。【解析】每一象限内 y 随 x 的增大而减小，需 m+1＞0，解得 m＞−1。【易错点】把不等号方向写反，得 m＜−1。 10.（3分）D　【考点】增减性前提“在每一个象限内”的辨析。【解析】k=6＞0，当 x＞0 时 y 随 x 的增大而减小，D 正确。A 中 y1=6＞y2=2，且增减性只限同一支内成立；B 缺少“在每一个象限内”的前提，当 x 取两支上的值时并不单调；C 中 x＜0 时 y 随 x 的增大而减小，C 错误。【易错点】把“每一象限内”的前提丢掉，认为全图象单调。 二、填空题（每小题3分，共12分） 11.（3分）−6　【考点】待定系数求 k。【解析】k=2×(−3)=−6。【易错点】符号出错得 6。 12.（3分）一、三；减小　【考点】由解析式判断象限与增减性。【解析】k=3＞0，图象在第一、三象限，每一象限内 y 随 x 的增大而减小。【易错点】两空顺序颠倒或把“减小”写成“增大”。 13.（3分）m＜−2　【考点】由图象位置求字母取值范围。【解析】图象在第二、四象限，需 m+2＜0，即 m＜−2。【易错点】移项时不等号方向出错，得 m＞−2。 14.（3分）y2＜y3＜y1　【考点】图象上三点函数值的大小比较。【解析】；；。故 y2＜y3＜y1。也可由 k=−4＜0，A 在第二象限（y＞0），B、C 在第四象限且 |x| 越大 y 越接近 0 来判断。【易错点】认为“y 随 x 增大而增大”可跨支使用，直接由 −1＜2＜4 得 y1＜y2＜y3。 三、解答题（共58分） 15.（12分）【考点】待定系数法求反比例函数解析式、判断点是否在图象上、由解析式求值。 【思路】把 A(1，4) 代入 y= 求 k，再对 B、C 验证横纵坐标之积是否等于 k，最后由解析式直接求值。 【步骤】（1）把 A(1，4) 代入 ，得 k=1×4=4。（2分）所以这个函数的解析式为 。（2分） （2）因为 2×2=4=k，所以点 B(2，2) 在该函数的图象上；（2分）因为 4×1=4=k，所以点 C(4，1) 也在该函数的图象上。（2分） （3）当 x=4 时，y==1；（2分）当 y=−4 时，−4=，解得 x=−1。（2分） 【易错点】第（2）问只代入横坐标而不验证乘积；第（3）问求 x=−1 时漏掉负号。 【变式拓展】若把点 A 换成 (2，2)，则 k=4，解析式不变，可追问“第三象限一支上横纵坐标均为整数的点有哪些”（(−1，−4)、(−2，−2)、(−4，−1)）。 16.（14分）【考点】描点法画反比例函数图象（列表、描点、连线）、图象象限位置与增减性、点的判断。 【思路】由 y= 逐一代入 x 求 y；由 k=6＞0 确定两支位置与增减性；用“横纵坐标之积是否等于 6”判断点是否在图象上。 【步骤】（1）当 x=1、2、3、6 时，y 分别为 6、3、2、1；（2分）当 x=−1、−2、−3、−6 时，y 分别为 −6、−3、−2、−1。（2分） （2）因为 k=6＞0，所以图象的两支分别位于第一、三象限；（2分）在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小。（2分） （3）因为 1.5×4=6=k，所以点 P(1.5，4) 在该函数的图象上；（3分）因为 2×(−3)=−6≠6，所以点 Q(2，−3) 不在该函数的图象上。（3分） 【易错点】列表时第三象限各点 y 值符号出错；第（3）问把 Q 的横坐标代入得 3 后直接写“不在”，没有与纵坐标 −3 作比较。 【变式拓展】若把解析式改为 y=−，则两支位于第二、四象限，每一象限内 y 随 x 的增大而增大，P(1.5，4) 变为不在图象上的点。 17.（16分）【考点】待定系数法求解析式、图象象限位置与增减性、点的判断、跨支两点函数值比较。 【思路】由 A(−1，4) 求 k=−4；由 k＜0 确定两支位置；对 E、F 验证乘积是否为 −4；M、N 分别在两支上，需分别代入求值再比较。 【步骤】（1）把 A(−1，4) 代入 ，得 k=(−1)×4=−4。（2分）所以这个函数的解析式为 y=−。（2分） （2）因为 k=−4＜0，所以图象的两支分别位于第二、四象限；（2分）在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。（2分） （3）因为 (−4)×1=−4=k，所以点 E(−4，1) 在该函数的图象上；（2分）因为 2×2=4≠−4，所以点 F(2，2) 不在该函数的图象上。（2分） （4）当 x=−2 时，；当 x=2 时，。（2分）因为 2＞−2，所以 y1＞y2。（2分） 【易错点】第（2）问由 k＜0 误判为“每一象限内 y 随 x 增大而减小”；第（4）问直接用增减性比较跨两支的两点，忽略 M 在第二象限、N 在第四象限。 【变式拓展】若点 G(a，a+1) 在该函数图象上，则 a(a+1)=−4，即 a2+a+4=0，此方程无实数解，可让学生体会并非所有形式的点都能落在图象上。 18.（16分）【考点】待定系数法求解析式、点的判断、正整数点的存在性、同一支上图象上两点函数值比较。 【思路】由点 (2，6) 求 k=12；验证乘积是否为 12；正整数点即把 12 分解为两个正整数的乘积；第（4）问两点同在第三象限一支上，用 k＞0 时的增减性比较。 【步骤】（1）把 (2，6) 代入 ，得 k=2×6=12。（2分）所以这个函数的解析式为 。（2分） （2）因为 6×2=12=k，所以点 (6，2) 在该函数的图象上；（2分）因为 3×4=12=k，所以点 (3，4) 也在该函数的图象上。（2分） （3）由 mn=12（m、n 为正整数），把 12 分解因数：12=1×12=2×6=3×4=4×3=6×2=12×1，（2分）所以满足条件的点共有 6 个：(1，12)、(2，6)、(3，4)、(4，3)、(6，2)、(12，1)。（2分） （4）y1＞y2。（1分）理由：因为 k=12＞0，在第三象限的这一支图象上，y 随 x 的增大而减小；（2分）又 x1＜x2，所以 y1＞y2。（1分） 【易错点】第（3）问漏掉 (4，3)、(6，2)、(12，1) 等点或忘记 12=1×12；第（4）问两点虽不在图中所示的这一支上，但仍属同一象限的一支，可直接用增减性，误用第 17 题跨支比较的方法反而绕远。 【变式拓展】若把条件改为“点 (m，n) 在第三象限的图象上且 m、n 均为整数”，则对应点为 (−1，−12)、(−2，−6)、(−3，−4)、(−4，−3)、(−6，−2)、(−12，−1)，可与第（3）问的结论形成对称。 附录：双向细目表（教师用） 题号 题型 分值 考查知识点 认知要求 难度 预计时间 1—10 选择 30 k ＞ 0 时图象在一、三象限且每一象限内 y 随 x 增大而减小； k ＜ 0 时在二、四象限且 y 随 x 增大而增大；判断点是否在图象上（横纵坐标之积等于 k ）；待定系数求 k 并判断增减性；描点法画出的双曲线的图象特征（两支、不过坐标轴）；增减性 “ 每一象限内 ” 前提的辨析 理解、运用 易 7 、中 2 、难 1 15 分钟 11—14 填空 12 由图象上一点求 k ；由解析式判断图象所在象限与增减性；由图象位置（二、四象限）列不等式求 m 的取值范围；图象上三点（跨两支）函数值的大小比较 理解、运用 易 2 、中 1 、难 1 10 分钟 15—18 解答 58 待定系数法求解析式并判断点是否在图象上、由解析式求值；描点法画图象的列表计算与象限、增减性表述；由图象上的点求解析式并综合判断点、比较跨支两点的函数值；由图象上一点求解析式、正整数点的存在性（因数分解）与同一支上两点函数值大小的推理 掌握、综合 易 1 、中 2 、难 1 25—30 分钟 难度预估：易约70%，中约20%，难约10%，全卷难度系数约 0.72。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $