27.2 反比例函数的图象和性质 同步训练（四）与一次函数的综合 2026-2027学年人教版数学九年级上册

27.2 反比例函数的图象和性质　同步训练（四） 主题：与一次函数的综合　　（人教版数学九年级上册） 适用年级：九年级（上册）　　满分 100 分　　时间 60 分钟 命题人：______　审题人：______　使用日期：______ 班级：______　姓名：______　考号：______　得分：______ 注意事项 1．解答题应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，只写最后答案不能得分。 2．本卷涉及的结果如有近似值，按要求保留。 3．建议先易后难，合理分配时间。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于 A(2,2)、B(−2,−2) 两点，则下列说法正确的是（　　） 图1 A. B. 点 A 与点 B 关于原点对称 C. 当 时， 随 的增大而增大 D. 两图象只有一个交点 2. 已知反比例函数 的图象经过点 (4,−2)，则下列各点中，也在该函数图象上的是（　　） A. (2，4) B. (−2，4) C. (1，8) D. (−8，−1) 3. 一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 A、B，则点 A、B 的坐标分别是（　　） A. (1，6) 和 (−3，−2) B. (1，6) 和 (3，2) C. (−1，−6) 和 (3，2) D. (2，3) 和 (−3，−2) 4. 如图，反比例函数 的图象经过点 A(1,6)、B(3,2)，则直线 AB 的解析式为（　　） 图2 A. B. C. D. 5. 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A(2,−3)、B(3,−2) 两点，则 k 与 b 的值分别是（　　） 图3 A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 一次函数 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，则 △AOB（O 为坐标原点）的面积为（　　） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 若反比例函数 的图象与正比例函数 （）的图象有两个交点，则 k 的值可以是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，直线 与反比例函数 的图象在第一象限交于点 A(2,2)，点 B(−2,−2) 是该图象另一支上的点，则当反比例函数的图象位于直线 上方时，x 的取值范围是（　　） 图4 A. $0 B. C. 或 D. 9. 已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A(2,3)、B(−6,−1) 两点，则不等式 的解集是（　　） A. $-62$ B. $-6 C. D. 或 $0 10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 （）与反比例函数 的图象可能是（　　） A. 直线经过第一、二、四象限，双曲线位于第一、三象限 B. 直线经过第一、三、四象限，双曲线位于第二、四象限 C. 直线经过第一、二、四象限，双曲线位于第二、四象限 D. 直线经过第二、三、四象限，双曲线位于第一、三象限 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 11. 若点 A(2，m) 在反比例函数 的图象上，则       。 12. 若反比例函数 的图象经过点 (4，3)，则       。 13. 已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A(−4,2)、B(2,−4) 两点，则       ，      ，      。 14. 已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A(1,3)、B(3,1) 两点，O 为坐标原点，则 △OAB 的面积是      。 三、解答题（本大题共4小题，共58分） 15.（12分）已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 A(2,6)、B(−6,−2)。 （1）求 m 的值及反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式； （3）求 △OAB 的面积（O 为坐标原点）。 16.（14分）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 A(1,4)、B(−4,−1)，与 x 轴交于点 C。 图5 （1）求 k 的值及反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式； （3）求 △OAB 的面积（O 为坐标原点）。 17.（16分）如图，反比例函数 在第一象限内的图象经过点 A(2,4)、B(4,2)，连接 OA、OB。 图6 （1）求反比例函数的解析式，并判断点 B 是否在该函数的图象上； （2）求直线 AB 的解析式； （3）求 △OAB 的面积（O 为坐标原点）。 18.（16分）已知一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 A(4,−1)、B(−1,4)。 （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求 △OAB 的面积（O 为坐标原点）； （3）若点 P(t，0) 在 x 轴上，且 △PAB 的面积为 15，求 t 的值。 参考答案与评分标准（卷四） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. B（3分）　【考点】反比例函数与正比例函数图象的交点及对称性。【思路】先由交点求 k，再逐项判断图象特征。【步骤】把 A(2,2) 代入 得 ，故 A 错误（3分）； 与 的图象都关于原点对称，它们的交点 A(2,2) 与 B(−2,−2) 也关于原点对称，B 正确；当 时， 中 y 随 x 的增大而减小，C 错误；两图象有两个交点，D 错误。故选 B。【易错点】误由 −2×2 得 而选 A。【变式拓展】把正比例函数换成 ，则 化为 ，两图象没有交点。 2. B（3分）　【考点】用待定系数法求反比例函数的解析式、判断点是否在图象上。【思路】先求 k，再用"横纵坐标之积等于 k"逐项检验。【步骤】设 ，把 (4,−2) 代入得 ，即 （2分）；因为 2×4=8，−2×4=−8，1×8=8，(−8)×(−1)=8，只有 (−2,4) 的横纵坐标之积为 −8，故它在图象上。故选 B（1分）。【易错点】把点的横纵坐标颠倒，误把 (2,4) 当作 为 −8 的点。【变式拓展】若点 (a,2) 也在该图象上，则由 得 。 3. A（3分）　【考点】一次函数与反比例函数图象的交点（联立方程）。【思路】令两函数值相等，得到一元二次方程，因式分解求 x。【步骤】由 得 ，即 （2分）；因式分解得 ，所以 或 ，对应 或 ，两交点为 (1,6)、(−3,−2)。故选 A（1分）。【易错点】分解后漏掉一解，只得到一个交点。【变式拓展】把一次函数换成 ，则 化为 ，交点为 (1,6)、(3,2)。 4. A（3分）　【考点】由图象上两点用待定系数法求一次函数的解析式。【思路】设 ，把 A、B 两点坐标代入解方程组。【步骤】把 A(1,6)、B(3,2) 代入得 （2分）；两式相减得 ，，再代入得 ，所以 。故选 A（1分）。【易错点】把直线斜率算成 ，符号弄反。【变式拓展】把 A、B 换成 (−1,−6)、(3,2)，仍可用同样的方程组求出 。 5. A（3分）　【考点】由交点坐标求反比例函数中的 k 与一次函数中的 b。【思路】点在图象上，坐标满足解析式，分别代入即可。【步骤】把 A(2,−3) 代入 得 ；把 A(2,−3) 代入 得 （2分）；检验 B(3,−2)：，与一次函数图象相符，与 也相符。故选 A（1分）。【易错点】求 b 时忘记先减去横坐标，误得 以外的值。【变式拓展】若把一次函数改为 且它与 的两交点横坐标之积为 6，同样可用坐标代入法求解。 6. B（3分）　【考点】一次函数图象与坐标轴交点的坐标及三角形面积。【思路】先求直线与两坐标轴的交点，再用 横截距 纵截距。【步骤】令 得 ，即 A(2,0)；令 得 ，即 B(0,−6)（2分）；。故选 B（1分）。【易错点】把纵截距的负号代入面积计算而得 −6。【变式拓展】若直线改为 ，则交点为 (−2,0)、(0,6)，面积仍为 6。 7. C（3分）　【考点】正比例函数与反比例函数图象的交点个数。【思路】联立后化为一元二次方程，由 判断解的个数。【步骤】由 得 ，即 （2分）；当 时 有两个不相等的实数根，两图象有两个交点，四个选项中只有 1 大于 0；当 时 ，方程无实数根，两图象没有交点。故选 C（1分）。【易错点】忽略 的符号而认为任意 都有两个交点。【变式拓展】若反比例函数为 、正比例函数为 ，则两图象有交点时必有 ，这与"交点在第一、三象限"是同一事实的两种表述。 8. A（3分）　【考点】由图象比较反比例函数值与常数的大小。【思路】把"图象在直线上方"转化为不等式 ，再结合 的正负讨论。【步骤】由 知 且 （2分）；当 时 ，不满足条件，故 $00y=-2\frac{4}{x}<-2-2 9. A（3分）　【考点】利用图象（解不等式）比较一次函数与反比例函数的值。【思路】分 与 两种情况去分母，转化为一元二次不等式。【步骤】当 时，由 得 ，即 ，解得 ；当 时，两边同乘 x（负数）方向改变，得 ，解得 $-62xx-6 10. C（3分）　【考点】一次函数与反比例函数图象位置与 k、b 符号的一致性。【思路】先由直线的走势与截距确定 k、b 的符号，再核对双曲线所在象限。【步骤】两个函数中的 k 是同一个数（），两条图象中的 k 的符号必须一致：A 中直线下降（）而双曲线在第一、三象限（），矛盾；B 中直线上升（）而双曲线在第二、四象限（），矛盾；D 中直线经过第二、三、四象限，，而双曲线在第一、三象限要求 ，矛盾（2分）；C 中直线经过第一、二、四象限， 且 ，双曲线在第二、四象限也要求 ，一致。故选 C（1分）。【易错点】只判断一个函数的图象而忘记两函数中 k 必须同号。【变式拓展】当 且 时，直线经过第一、二、三象限，此时双曲线应在第一、三象限。 二、填空题（每小题3分，共12分） 11. （3分）　【考点】点在反比例函数图象上的坐标特征。【思路】把点 A 的横坐标代入解析式求纵坐标。【步骤】当 时，，所以 。【易错点】把"点在图象上"误记成 ，算成 。【变式拓展】若点 B(−3，n) 也在该图象上，则 。 12. 12（3分）　【考点】用待定系数法求反比例函数中的 k。【思路】点在图象上，横纵坐标之积等于 k。【步骤】把 (4,3) 代入 ，得 ，所以 。【易错点】把 算成 ，即把 与 混淆。【变式拓展】若该图象经过点 ，则 ，此时图象位于第二、四象限。 13. ，，（3分）　【考点】反比例函数与一次函数解析式的待定系数法。【思路】由反比例函数图象上的点求 m，再由两个交点求 k、b。【步骤】由 A(−4,2) 在 上得 （1分）；设 ，代入 A、B 得 ，解得 、（2分）。【易错点】解方程组时符号出错，把 k 算成 1。【变式拓展】把交点改为 (2,−4)、(−4,2)，两个函数的解析式不变，说明两交点可以互换位置。 14. 4（3分）　【考点】反比例函数与一次函数交点及三角形面积的割补法。【思路】先求直线与 x 轴的交点，再用大三角形减去小三角形。【步骤】令 得 ，直线与 x 轴交于点 C(4,0)，OC=4；点 A(1,3)、B(3,1) 都在 x 轴上方，。【易错点】把两个三角形的面积相加而误得 8，忽略 A、B 在 x 轴同侧。【变式拓展】若直线改为 且交点为 (−1,3)、(3,7)，两点同在 x 轴上方，仍用两面积之差求面积。 三、解答题（共58分） 15.（12分）【考点】待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式、直线与 x 轴的交点、三角形面积的割补法。 【思路】（1）把点 A 的坐标代入 求 m；（2）设一次函数为 ，代入 A、B 两点解方程组；（3）先求直线与 x 轴的交点 C，再把 △OAB 分成 △OAC 与 △OBC。 【步骤】（1）把 A(2,6) 代入 ，得 ，所以反比例函数的解析式为 。检验：当 时 ，点 B(−6,−2) 在该图象上。（4分） （2）设一次函数的解析式为 ，把 A(2,6)、B(−6,−2) 分别代入，得 ，（2分）解得 ，，所以一次函数的解析式为 。（2分） （3）令 ，得 ，所以直线 与 x 轴交于点 C(−4,0)，OC=4。点 A、B 分别在 x 轴的上方和下方，所以 ，（2分）即 。（2分） 【易错点】第（1）问把 m 算成 ；第（3）问只算出一个三角形的面积，漏加另一部分。 【变式拓展】把反比例函数改为 、一次函数改为 ，两函数图象交于 (3,2) 与 (−2,−3)，仍可用"求交点→求 x 轴截距→割补求面积"的通法解决。 16.（14分）【考点】待定系数法、一次函数与 x 轴的交点、图象分割法求三角形面积。 【思路】（1）由点 A 在反比例函数图象上求 k；（2）由 A、B 两点求 a、b；（3）先求点 C 的坐标，再以 x 轴为界把 △OAB 分成两个三角形。 【步骤】（1）把 A(1,4) 代入 ，得 ，所以反比例函数的解析式为 。（4分） （2）设一次函数的解析式为 ，把 A(1,4)、B(−4,−1) 分别代入，得 ，（2分）解得 ，，所以一次函数的解析式为 。（2分） （3）令 ，得 ，所以 C(−3,0)，OC=3。点 A(1,4) 在 x 轴上方，点 B(−4,−1) 在 x 轴下方，所以 ，（3分）即 。（3分） 【易错点】第（3）问把 A、B 都当作在 x 轴上方，算成 。 【变式拓展】若把一次函数改为 ，它与 的图象交于 (4,−1) 与 (−1,4)，同样以 x 轴为界分割，可得 。 17.（16分）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、割补法求面积。 【思路】（1）由 A 求 k，再把 B 的坐标代入检验；（2）设 ，代入 A、B 求解析式；（3）求直线 AB 与 x 轴的交点 D，把 △OAB 的面积转化为两个三角形面积之差。 【步骤】（1）设 ，把 A(2,4) 代入得 ，所以 。（2分）当 时 ，与点 B 的纵坐标相同，所以点 B(4,2) 在该函数的图象上。（2分） （2）设直线 AB 的解析式为 ，把 A(2,4)、B(4,2) 分别代入，得 ，（3分）解得 ，，所以直线 AB 的解析式为 。（3分） （3）令 ，得 ，所以直线 AB 与 x 轴交于点 D(6,0)，OD=6。点 A、B 都在 x 轴上方，（3分）所以 。（3分） 【易错点】第（1）问只把 B 的坐标代入求 k 而漏掉验证；第（3）问误把两个三角形的面积相加而得到 18。 【变式拓展】因为 A、B 在双曲线上，且直线 AB 的解析式为 ，所以无论 A、B 在双曲线上怎样取关于直线 对称的两点， 都可用同样的割补法求出。 18.（16分）【考点】反比例函数与一次函数的综合、三角形面积的割补法、绝对值方程与分类讨论。 【思路】（1）由交点坐标分别求两函数的解析式；（2）求直线与 x 轴的交点 C，分割求面积；（3）把 △PAB 的面积用 |t−3| 表示，列绝对值方程求解。 【步骤】（1）把 A(4,−1) 代入 ，得 ，所以反比例函数的解析式为 （检验：当 时 ，点 B 在该图象上）。（2分） 设一次函数的解析式为 ，把 A(4,−1)、B(−1,4) 分别代入，得 ，解得 ，，所以一次函数的解析式为 。（2分） （2）令 ，得 ，所以直线 与 x 轴交于点 C(3,0)，OC=3。点 A(4,−1) 在 x 轴下方，点 B(−1,4) 在 x 轴上方，（3分）所以 。（3分） （3）设 P(t，0)。因为 A、B 两点在 x 轴的两侧，所以 。（2分） 由 得 ，所以 或 ，（2分）解得 或 ，即点 P 的坐标为 (9,0) 或 (−3,0)。（2分） 【易错点】第（3）问只解出 ，漏掉绝对值方程的另一个根 ；求 时忽略 A、B 在 x 轴两侧而算成 。 【变式拓展】若把条件改为"△PAB 的面积不小于 15"，则由 得 ，即 或 ，此时点 P 的横坐标的取值范围为 或 。 附录：双向细目表（教师用） 题号 题型 分值 考查知识点 认知要求 难度 预计时间 1—10 选择 30 反比例函数与正比例函数图象交点的对称性；由点求 k 并判断点是否在图象上；联立两函数解析式求交点坐标；由图象上两点求一次函数解析式；由交点求 k 、 b ；一次函数与坐标轴围成三角形的面积；两图象交点个数的条件；由图象比较函数值大小；利用图象解不等式；两图象位置与 k 、 b 符号的一致性 理解、掌握、运用 易 7 题、中 2 题、难 1 题 约 15 分钟 11—14 填空 12 图象上点的坐标特征求 m ；待定系数法求 k ；由两交点同时确定反比例函数与一次函数中的 m 、 k 、 b ；两函数交点与 x 轴围成三角形面积的割补法 理解、掌握 易 2 题、中 1 题、难 1 题 约 10 分钟 15—18 解答 58 由交点待定两函数解析式并求直线与 x 轴围成三角形的面积；以 x 轴为界分割求 △OAB 的面积；由图象上两点求反比例函数与一次函数解析式并用 " 大减小 " 求面积；含参数点 P 使面积等于定值的绝对值方程与分类讨论 掌握、运用、创造 易 1 题、中 2 题、难 1 题 25—30 分钟 分值校验：30+12+58=100，与卷头"满分 100 分"一致。 难度预估：易约70%，中约20%，难约10%，全卷难度系数约 0.72。 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $