第52讲 统计与成对数据分析综合 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第52讲 统计与成对数据分析综合（培优加餐） 第52讲 统计与成对数据分析综合（培优加餐） 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．会用样本平均数、方差（标准差）刻画数据的集中趋势与波动程度，掌握数据线性变换 对数字特征的影响； 2．会读频率分布直方图与频率分布表，会用中点值估计平均数、用累计频率确定百分位数； 3．能综合运用样本相关系数、经验回归方程与 解决成对数据的相关与回归问题； 4．能规范完成 列联表的填写与 独立性检验，并作出统计决策与合理表述。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 样本数字特征与数据变换 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中 变换 ：均值同变换、方差乘 频率分布与百分位数 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第18题 中 直方图面积即频率，百分位数看累计频率 相关性与经验回归方程 选择题、解答题 第7题、第18题 中 列离差表求 ，用 回代检验 非线性回归与拟合效果 选择题、填空题、解答题 第7~8题、第14题、第19题 中偏难 换元拉直，用 比较拟合优劣 列联表与独立性检验 选择题、填空题、解答题 第7题、第13题、第18~19题 中 补全表格，算 后套 并规范表述 命题规律分析 本专题是第九章的加餐提升课，把"统计估计"与"成对数据分析"两大板块熔于一炉。在新高考中，这类综合题常出现在选择题第 题、填空题第 题，更多时候以解答题第 题的形式出现，往往一问考数字特征、二问考回归、三问考独立性检验。培优层的拿分关键在于三点：一是熟练数据变换对平均数、方差的影响规律，能"秒算"出新数据的数字特征；二是把频数、频率、组中值、百分位数之间的换算理清；三是能在一道大题中把"求均值、求回归、算 "三件事又快又准地串起来。本讲以综合应用为主线，帮助学生在统计大题上做到"步骤全、计算准、表述规范"。 考点1 用样本估计总体 知识点1 数字特征与数据变换 样本平均数 ；样本方差 ，标准差 。 若 ，则 ，（即平移不改变方差，伸缩按平方倍变化）。 【易错清单】 1．比较平均水平看平均数，比较稳定性看方差或标准差，两者不要混用； 2．数据整体加同一个常数，方差不变；整体乘同一个常数，方差变为原来的平方倍。 知识点2 频率分布与百分位数 频率分布直方图中各小矩形的面积等于对应区间的频率，所有面积之和为 ，纵轴表示""。 把 个数据从小到大排列，计算 ：若 不是整数，取大于 的最小整数 ，第 项为第 百分位数；若 是整数，取第 项与第 项的平均数。 【易错清单】 1．直方图纵轴不是频率，求频率必须用"高 组距"（即面积）； 2．用中点值估计平均数时要按频率加权，不能简单取各组中点的算术平均。 考点2 成对数据的相关性与回归 知识点3 相关性与样本相关系数 样本相关系数 ，且 。 【易错清单】 1． 的符号表示相关方向， 表示相关强弱； 2．相关关系不等于因果关系， 越大只能说明线性相关越强。 知识点4 经验回归方程与拟合效果 ，，回归直线必过 。 决定系数 ， 越接近 拟合效果越好。 【易错清单】 1． 的符号容易算错，求出后用 回代检验； 2．预测值只是估计值，超出样本数据范围太远时预测可靠性下降。 考点3 列联表与独立性检验 知识点5 列联表与 ，其中 ；行合计、列合计与总合计必须吻合。 【易错清单】 1．补全表格先写合计，再用减法求空格，最后用总合计核对； 2． 分子不要漏乘 ，分母要与行、列合计一一对应。 知识点6 独立性检验的规范表述 当 临界值时，在犯错误概率不超过该临界值对应概率的前提下，认为两个分类变量有关联。 【易错清单】 1．结论要用"在…前提下认为有关"或"有…的把握"表述，不能说成"一定有关"； 2．临界值越大，要判断"有关"所需的证据越强。 【题型1 用样本的数字特征估计总体】 【例1】甲、乙两名运动员各进行 次射击测试，两人成绩的平均数都是 环，成绩的方差分别为 ，，则（　　） A．甲的成绩比乙稳定　B．乙的成绩比甲稳定　C．两人的成绩一样稳定　D．无法比较稳定性 【答案】B 【解题思路】平均数相同，比较方差判断稳定性，方差越小越稳定。 【解答过程】两人的平均成绩相同，都是 环，只需比较方差。 因为 ，乙的方差更小，成绩波动更小， 所以乙的成绩比甲稳定。故选B。 【多解·巧解】判断稳定性统一看方差（或标准差）：方差越小，数据越集中、越稳定。若两组平均数不同，则要结合"平均水平"与"稳定性"综合讨论，不能只比一方。 【易错提醒】不要把方差的大小与稳定性方向弄反：方差越大说明波动越大、越不稳定，本题容易误选A。 【变式1-1】已知一组数据 的平均数为 ，方差为 ，则数据 的平均数为 ____________，方差为 ____________。 【答案】； 【解题思路】利用 的数字特征变换规律。 【解答过程】新数据的平均数为 ；新数据的方差为 。 【变式1-2】将一组数据的每一个数据都加上 ，得到一组新数据，则（　　） A．平均数、方差都改变　B．平均数改变、方差不变　C．平均数不变、方差改变　D．平均数、方差都不变 【答案】B 【解题思路】整体平移只改变位置，不改变波动。 【解答过程】每个数据都加 ，相当于作变换 ，平均数变为原来的加 ，而方差不变。故选B。 【变式1-3】甲、乙两组数据的平均数相同，标准差分别为 ，，若要选一组较稳定的数据，应选（　　） A．甲组　B．乙组　C．两组都可以　D．无法判断 【答案】A 【解题思路】平均数相同时，标准差越小越稳定。 【解答过程】因为 ，甲组标准差更小，数据更集中，故甲组更稳定。故选A。 【题型2 频率分布直方图与百分位数】 【例2】某校从高一年级随机抽取 名学生的数学成绩，按 ，，，， 分组，各组的频率依次为 ，，，，。 (1) 求这 名学生成绩的平均数（各组用中点值估计）； (2) 求这组数据的第 百分位数所在的组。 【答案】(1) ； (2) 第 百分位数落在 组。 【解题思路】(1) 用"频率 组中值"求和；(2) 按累计频率判断百分位数所在的组。 【解答过程】(1) 各组中点值依次为 ， 平均数约为 。 (2) 各组的累计频率依次为 ，，，，， 累计频率首次达到 的是第 组，故第 百分位数落在 组。 【多解·巧解】用中点值估计平均数时，把每组中点值当作该组的代表值，再用频率加权求和；找百分位数所在组只需看"累计频率首次达到 的组"，不必精确到具体数值。 【易错提醒】直方图的纵轴是""而不是频率，本题若把各组的频率直接当作组中值相乘会算错；此外加权时权重是频率之和为 。 【变式2-1】某次测试中 名学生的成绩从小到大排列为 ，则这组数据的第 百分位数是 ____________。 【答案】 【解题思路】先算 ，再按规则取位。 【解答过程】，，不是整数，取大于 的最小整数 ，第 项为 ，故第 百分位数为 。 【变式2-2】承上题数据 ，则这组数据的第 百分位数是 ____________。 【答案】 【解题思路】 为整数时取相邻两项的平均数。 【解答过程】，是整数，取第 项与第 项的平均数，即 。 【变式2-3】在频率分布直方图中，某组 对应小矩形的高为 ，组距为 ，则该组的频率为 ____________。 【答案】 【解题思路】频率等于小矩形的面积，即"高 组距"。 【解答过程】该组频率为 。 【题型3 成对数据的相关性与回归】 【例3】已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 判断 与 是正相关还是负相关； (2) 求 关于 的经验回归方程； (3) 预测 时 的值。 【答案】(1) 正相关； (2) ； (3) 。 【解题思路】先由离差乘积之和的符号定方向，再求 、 并代入。 【解答过程】(1) ，。 各 依次为 ，各 依次为 ， ，故为正相关。 (2) ， ，， 所以 。 (3) 时 。 【多解·巧解】相关方向不必单独想，看 的符号即可：为正则正相关、。求出方程后用样本中心点回代：，可检验计算无误。 【易错提醒】、 带小数时容易算错离差；另外 的公式是 ，符号不要写成加号。 【变式3-1】已知变量 与 的观测数据满足 ，，，，则经验回归方程为 ____________。 【答案】 【解题思路】先算 ，再用 。 【解答过程】，，故 。 【变式3-2】已知变量 与 的样本相关系数 ，则 与 ____________（填"正"或"负"）相关，且线性相关程度 ____________（填"强"或"弱"）。 【答案】负；强 【解题思路】看符号定方向，看绝对值定强弱。 【解答过程】，故为负相关； 较接近 ，线性相关程度强。 【变式3-3】已知 关于 的经验回归方程为 。当 时实测值 ，则该点的残差为 ____________。 【答案】 【解题思路】残差 。 【解答过程】，残差 。 【题型4 非线性回归与拟合效果】 【例4】某产品年产量 （万件）与年投入的研发费用 （万元）近似满足 。令 ，由数据算得 ，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 求 关于 的经验回归方程； (3) 预测 时的年产量。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 万件。 【解题思路】先按线性模型求出 关于 的方程，再把 回代。 【解答过程】(1) ， 所以 关于 的经验回归方程为 。 (2) 把 回代，得 关于 的经验回归方程为 。 (3) 时 ，，即预测年产量约为 万件。 【多解·巧解】非线性回归的三步"换元 — 求线性方程 — 回代"适用于对数型 、幂型 、反比例型 等所有可线性化的模型。求出 的方程后用 回代检验：。 【易错提醒】回代时要把 换回原变量并保留系数，本题应得 ，不要漏掉系数 或写成 。 【变式4-1】已知变量 与 近似满足 。令 后求得 关于 的经验回归方程为 ，则 关于 的经验回归方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 回代。 【解答过程】把 代入 ，得 。故选A。 【变式4-2】用两个回归模型拟合同一组数据，已知总平方和 ，模型一、模型二的残差平方和分别为 与 ，则（　　） A．模型一拟合效果更好　B．模型二拟合效果更好　C．两个模型一样好　D．无法判断 【答案】A 【解题思路】残差平方和越小，拟合效果越好。 【解答过程】因为 ，模型一的残差平方和更小，故模型一拟合效果更好。故选A。 【变式4-3】某回归模型的决定系数 ，则该模型能解释因变量约 ____________ 的变化。 【答案】 【解题思路】 表示模型解释因变量变化的比例。 【解答过程】 表示模型解释了因变量约 的变化。 【题型5 列联表与独立性检验】 【例5】某校随机调查了 名学生，了解性别与是否喜欢阅读的情况：男生 人中喜欢阅读的 人，女生 人中喜欢阅读的 人。 (1) 完成关于性别与是否喜欢阅读的 列联表； (2) 计算 的值； (3) 判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为性别与是否喜欢阅读有关（）。 【答案】(1) 列联表见解析； (2) ； (3) 能认为性别与是否喜欢阅读有关。 【解题思路】补全表格后算 ，再套 公式并与临界值比较。 【解答过程】(1) 男生 人中喜欢阅读 人，则不喜欢 人； 女生 人中喜欢阅读 人，则不喜欢 人； 喜欢阅读共 人，不喜欢阅读共 人，合计 人。 (2) 取 ，，，，则 ， ， 。 (3) 因为 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下，认为性别与是否喜欢阅读有关。 【多解·巧解】本题四个括号都是 ，分母为 ；分子 ，先约去 再算，可迅速得到 ，避免大数相乘出错。 【易错提醒】结论要写明"在犯错误概率不超过 的前提下认为有关"，不能写成"一定有关"；另外 的分子别忘了乘 。 【变式5-1】在独立性检验中，若算得 ，临界值 ，则（　　） A．在犯错误概率不超过 的前提下认为两个变量有关　B．两个变量一定无关　C．两个变量一定有关　D．无法判断 【答案】A 【解题思路】 不小于临界值就认为有关。 【解答过程】因为 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下认为两个变量有关。故选A。 【变式5-2】在 列联表中，已知两行的行合计分别为 、，其中第一行第一列的数据为 ，则第一行第二列的数据为 ____________。 【答案】 【解题思路】同一行的两数据之和等于行合计。 【解答过程】第一行合计为 ，第一列数据为 ，则第一行第二列数据为 。 【变式5-3】根据 列联表算得 ，已知 ，则（　　） A．有 的把握认为两个变量有关　B．没有充分的证据认为两个变量有关　C．两个变量一定无关　D．有 的把握认为两个变量有关 【答案】B 【解题思路】把 与临界值比较。 【解答过程】因为 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下，没有充分的证据认为两个变量有关。故选B。 【题型6 统计与成对数据综合应用】 【例6】某工厂随机抽取 天的日产量 （千件）与单位成本 （元）的数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 若规定单位成本不高于 元为"达标"，从这 天中任取 天，求这一天达标的频率； (3) 预测日产量为 千件时的单位成本。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 约 元。 【解题思路】(1) 用最小二乘法求回归方程；(2) 数出达标天数再求频率；(3) 代入 。 【解答过程】(1) ，。 各 依次为 ，各 依次为 ， 则 ，， 故 ，，所以 。 (2) 单位成本不高于 元的有 天（），故达标频率为 。 (3) 时 ，即预测单位成本约为 元。 【多解·巧解】"频率"是"满足条件的天数 总天数"，属于用样本频率估计概率；回归部分求出方程后用样本中心点回代：。 【易错提醒】 时 变成加号，符号易错；(3) 的预测值仅为估计，实际单位成本会有波动。 【变式6-1】某班 名学生某次测试成绩按 ，，， 分组，各组的频率依次为 ，，，。 (1) 求这 名学生成绩的平均数（各组用中点值估计）； (2) 求这组数据的第 百分位数所在的组。 【答案】(1) ； (2) 第 百分位数落在 组。 【解题思路】用频率加权求平均数，用累计频率定百分位数所在的组。 【解答过程】(1) 各组中点值依次为 ， 平均数约为 。 (2) 累计频率依次为 ，累计频率首次达到 的是第 组， 故第 百分位数落在 组。 【变式6-2】已知变量 与 的数据满足 ，，。 (1) 求经验回归方程 中的 ； (2) 若把每个 都加上 得到新变量 ，求 关于 的经验回归方程。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用 ；(2) 整体平移只改变 与 ，斜率不变。 【解答过程】(1) 。 (2) 每个 加 后，，而斜率 不变仍为 ， ， 所以 关于 的经验回归方程为 。 【变式6-3】某调查算得 ，已知临界值 ，，判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为两个变量有关。 【答案】能认为两个变量有关。 【解题思路】把 与 对应的临界值比较。 【解答过程】因为 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下，认为两个变量有关。 一、单选题 1．（★★）已知一组数据为 ，则这组数据的平均数和方差分别为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求平均数，再用 求方差。 【解答过程】，各离差为 ，平方和为 ，故方差为 。故选A。 2．（★★）甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别为 ，，则（　　） A．甲组更稳定　B．乙组更稳定　C．两组一样稳定　D．无法判断 【答案】A 【解题思路】平均数相同时方差越小越稳定。 【解答过程】因为 ，甲组方差更小，数据更集中，故甲组更稳定。故选A。 3．（★★）将一组数据中的每一个数据都乘以 ，得到一组新数据，则新数据的方差是原来方差的（　　） A． 倍　B． 倍　C．　D．不变 【答案】B 【解题思路】 时方差变为原来的 倍。 【解答过程】每个数据乘以 ，相当于 ，方差变为原来的 倍。故选B。 4．（★★）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和等于（　　） A．　B．　C．样本容量　D．组距 【答案】B 【解题思路】各矩形面积等于对应频率，频率之和为 。 【解答过程】各小矩形的面积等于相应区间的频率，所有频率之和为 ，故面积之和等于 。故选B。 5．（★★）已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】把 代入回归方程。 【解答过程】把 代入 ，得 。故选C。 6．（★★★）某校抽取 名学生成绩按 ，，， 分组，各组频率依次为 ，用组中值估计这 名学生成绩的平均数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用"频率 组中值"求和。 【解答过程】各组中点值依次为 ，平均数约为 。故选B。 7．（★★★）某工厂从甲、乙两条生产线生产的产品中按 的比例分层随机抽样，共抽取 件零件检测质量（单位：克）。甲线样本的平均数为 ，方差为 ；乙线样本的平均数为 ，方差为 。则这 件零件质量的总方差为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先由抽样比确定两组样本量并求总平均数，再用"组内方差的加权平均加上各组均值对总均值偏离的加权平方"合成总方差。 【解答过程】甲、乙两组样本量分别为 件与 件，权重为 与 。总平均数为 。把每个数据分解为组均值与偏差之和，交叉项相消后得总方差。故选C。其中A是只算组内方差加权平均 ，B是只算组间部分 ，D是把总平均数误用简单平均 计算所得。 8．（★★★）某 列联表的两行合计均为 ，两列合计分别为 与 ，样本量 ，四个格子频数均不为 ，记第一行第一列格子的频数为 。若在犯错误概率不超过 的前提下认为两个变量有关，而在犯错误概率不超过 的前提下没有充分证据认为有关（，），则满足条件的整数 的个数为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用 表示其余三个频数并代入 公式，得 ，再用两个临界值夹逼 的整数取值。 【解答过程】由 得 ；由 得 ；由 得 ，故整数 须满足 。，。由条件得 ，即 。因为 是完全平方数，所以 ，即 或 ，解得 ，共 个，均在 内。故选C。 二、多选题 9．（★★）下列关于样本平均数与方差的说法正确的是（　　） A．平均数刻画数据的集中趋势，方差刻画数据的波动程度　B．方差越小，数据越稳定　C．若每个数据都加上 ，则方差不变　D．若每个数据都乘以 ，则方差变为原来的 倍 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照平均数、方差的含义与变换规律。 【解答过程】平均数是集中趋势、方差是波动程度，A正确；方差越小越稳定，B正确；整体加常数方差不变，C正确；整体乘 方差变为原来的 倍而非 倍，D错误。故选ABC。 10．（★★）下列关于成对数据的说法正确的是（　　） A．样本相关系数 的取值范围是 　B． 越接近 ，线性相关程度越强　C．经验回归直线必过样本中心点 　D． 越大，两个变量之间的因果性越强 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照相关性与回归的基本结论。 【解答过程】，A正确； 越接近 越强，B正确；回归直线过样本中心点，C正确；相关关系不等于因果关系，D错误。故选ABC。 11．（★★★）已知一组数据 的平均数为 ，方差为 ，令 ，则（　　） A． 的平均数为 　B． 的方差为 　C． 的标准差为 　D． 的方差为 【答案】ABC 【解题思路】用 的变换规律逐个计算。 【解答过程】平均数为 ，A正确；方差为 ，B正确、D错误；标准差为 ，C正确。故选ABC。 12．（★★★）已知变量 与 的 组数据 （）中， 依次为 ，且 关于 的经验回归方程为 ，记第 组数据的残差为 。则下列说法正确的是（　　） A．样本中心点为 ，且该点在回归直线上　B．　C．将每个 换成 （ 不变）后， 关于 的经验回归方程为 　D．若用另一模型拟合这 组数据，总平方和为 ，残差平方和为 ，当该模型的决定系数 时， 【答案】ABD 【解题思路】A 用回归直线过样本中心点求 ；B 由中心点性质推残差之和；C 按"斜率乘系数、截距按变换重算"核对；D 用 解含参不等式得临界值。 【解答过程】A：；回归直线过样本中心点，故 ，样本中心点为 ，A正确； B：，故 ，B正确； C：新纵坐标 ，新斜率为 ，新中心为 ，新截距为 ，故 ，选项中截距 是漏加常数 所致，C错误； D：，得 ，即 （且 ），D正确。 故选ABD。 三、填空题 13．（★★）已知一组数据为 ，则这组数据的方差为 ____________。 【答案】 【解题思路】先求平均数，再求方差。 【解答过程】，各离差为 ，平方和为 ，故方差为 。 14．（★★）已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时 ____________。 【答案】 【解题思路】把 代入回归方程。 【解答过程】把 代入 ，得 。 15．（★★★）已知一组数据从小到大排列为 ，则这组数据的第 百分位数为 ____________。 【答案】 【解题思路】 为整数时取相邻两项的平均数。 【解答过程】，，是整数，取第 项与第 项的平均数，即 。 16．（★★★）已知一组数据 的平均数与中位数相等，则 的值为 ____________。 【答案】、 或 【解题思路】平均数含 ，中位数随 在排序中的位置而变，按 与 的大小关系分段讨论。 【解答过程】平均数为 ，中位数由 的位置确定： 当 时，中位数为 ，由 得 ，满足； 当 时，中位数仍为 ，得 ，不在此段，舍去； 当 时，中位数为 ，由 得 ，满足； 当 时，中位数为 ，由 得 ，不在此段，舍去； 当 时，中位数为 ，得 ，满足。 综上，、 或 。 四、解答题 17．（★★）甲、乙两名学生 次测试成绩如下：甲为 ；乙为 。 (1) 分别求甲、乙成绩的平均数； (2) 分别求甲、乙成绩的方差，并判断谁的成绩更稳定。 【答案】(1) 甲、乙的平均数都是 ； (2) ，，甲的成绩更稳定。 【解题思路】先求平均数，再用方差刻画波动，最后比较稳定性。 【解答过程】(1) 甲的平均数为 ； 乙的平均数为 。 (2) 甲各离差为 ，平方和为 ，方差为 ； 乙各离差为 ，平方和为 ，方差为 。 因为 ，甲成绩的方差更小，所以甲的成绩更稳定。 【多解·巧解】两人平均数相同时才可直接比方差；若平均数不同，应结合"平均水平高"与"波动小"综合判断。本题两组数据都有离差 与负数，注意平方运算别漏符号。 【易错提醒】方差公式是"离差平方的平均数"，不要忘记最后除以数据个数 ；另外比较稳定性用方差（或标准差），不能说"平均数小的更稳定"。 18．（★★）已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测 时 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先求 、，再求 、。 【解答过程】，。 各 依次为 ，各 依次为 ， 则 ，， 故 ，，所以 。 (2) 时 。 【多解·巧解】离差表是求回归方程的"万能工具"：先算两组离差，再分别求乘积之和与 离差平方和。求出方程后用 回代检验：。 【易错提醒】 的分母是 （只与 有关）； 中不要漏掉"减号"。 19．（★★）某校随机调查 名学生，了解性别与是否喜欢运动的情况：男生 人中喜欢运动的 人，女生 人中喜欢运动的 人。 (1) 完成关于性别与是否喜欢运动的 列联表； (2) 计算 的值； (3) 判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为性别与是否喜欢运动有关（）。 【答案】(1) 列联表见解析； (2) ； (3) 能认为性别与是否喜欢运动有关。 【解题思路】先补全列联表，再算 并套公式。 【解答过程】(1) 男生 人中喜欢运动 人，则不喜欢 人； 女生 人中喜欢运动 人，则不喜欢 人； 喜欢运动共 人，不喜欢运动共 人，合计 人。 (2) 取 ，，，，则 ， ， 。 (3) 因为 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下，认为性别与是否喜欢运动有关。 【多解·巧解】补全表格时抓住"行合计、列合计、总合计"三者相等关系； 计算可先约分再乘方，本题四个合计都是 ，约分后立即得到结果。 【易错提醒】不要把"没有充分证据认为有关"与"认为无关"混为一谈；结论表述必须带上"在犯错误概率不超过 的前提下"。 20．（★★★）某市从高一年级随机抽取 名学生，按 ，，，， 分组，各组的频率依次为 ，，，，。 (1) 求这 名学生成绩的平均数（各组用中点值估计）； (2) 求这组数据的第 百分位数所在的组； (3) 若成绩不低于 分为及格，估计及格率。 【答案】(1) ； (2) 第 百分位数落在 组； (3) 及格率约为 。 【解题思路】用频率加权求平均数，用累计频率定百分位数所在的组，用频率之和求及格率。 【解答过程】(1) 各组中点值依次为 ， 平均数约为 。 (2) 累计频率依次为 ，累计频率首次达到 的是第 组， 故第 百分位数落在 组。 (3) 及格（不低于 分）的频率为 ，故及格率约为 。 【多解·巧解】频率分布问题里有三个"小换算"要分清：频率、累计频率、频率/组距。求平均值用"频率 组中值"求和；求百分位数所在组用累计频率。 【易错提醒】第 百分位数所在组是"累计频率首次达到 的组"，本题累计频率 对应的组还没到 ，不要误判为 。 21．（★★★）某地区连续 年的年人均收入 （单位：千元）与年人均消费 （单位：千元）近似满足 。令 ，由数据算得 ，，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 求 关于 的经验回归方程； (3) 预测 时的年人均消费。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 千元。 【解题思路】先把非线性关系换元为线性，求出线性方程后再回代。 【解答过程】(1) ，， 所以 关于 的经验回归方程为 。 (2) 把 回代，得 。 (3) 时 ，，即预测年人均消费约为 千元。 【多解·巧解】判断能否线性化，看"换元后是否为一次式"：、、 都是常见的换元对象。换元后求回归方程与普通线性回归完全一致。 【易错提醒】回代时别丢掉系数： 回代后是 ，不是 。 22．（★★★）用两个回归模型拟合同一组数据，已知总平方和 ，模型一、模型二的残差平方和分别为 与 。 (1) 分别求两个模型的决定系数 （结果保留三位小数）； (2) 判断哪个模型拟合效果更好。 【答案】(1) ，； (2) 模型一拟合效果更好。 【解题思路】用 求解并比较。 【解答过程】(1) ，。 (2) 因为 ，所以模型一的拟合效果更好。 【多解·巧解】 与残差平方和是"反向"的：残差平方和越小， 越接近 ，拟合越好。两种比较方式结论一致，可任选其一。 【易错提醒】 的公式是 ，别漏掉前面的 ； 应落在 内，若算出负值说明分母用错。 23．（★★★）某市环保部门随机抽取一年中 天的空气质量指数（AQI）数据，按 ，，，， 分组绘制频率分布直方图，前四组对应小矩形的高（）依次为 ，，，，最后一组的频率为 。 (1) 求第三组的频率，并用各组中点值估计这 天 AQI 的平均数； (2) 求第 百分位数的估计值； (3) 规定 AQI 低于 的天为"优良"，其余为"污染"。从样本中按"优良"与"污染"分层随机抽取 天复查，求两层各抽多少天；再从这 天中随机抽取 天作深度分析，求恰有 天来自"优良"的概率。 【答案】(1) 第三组频率为 ，平均数约为 ； (2) 第 百分位数的估计值为 ； (3) "优良"抽 天、"污染"抽 天；恰有 天来自"优良"的概率为 。 【解题思路】(1) 高乘组距得频率，用"频率 组中值"求平均数；(2) 先由累计频率定位所在组，再在组内按比例内插；(3) 分层抽样按频率比分配人数，末问用组合计数求古典概型概率。 【解答过程】(1) 组距为 ，前四组频率依次为 ，，，，加上最后一组 ，频率之和恰为 ，故第三组频率为 。 各组中点值依次为 ，平均数约为 。 (2) 累计频率依次为 ，，，，。 介于 与 之间，故第 百分位数位于 内， 估计值为 。 (3) "优良"的频率为 ，共 天；"污染"共 天。按比例分配："优良"抽 天，"污染"抽 天。 从 天中随机抽 天，恰有 天来自"优良"的概率为 。 【多解·巧解】百分位数的组内内插公式为 ，对等距分组普遍适用；分层抽样人数等于抽取总数乘该层频率，结果非整数时按比例调整。 【易错提醒】(1) 中矩形的高是"频率/组距"，必须乘以组距 才是频率，且可用频率和为 核验；(2) 中 落在第三组时，内插要用 ，不能直接用 ；(3) 中概率的分母是 ，分子按"优良选一、污染选一"分步相乘。 24．（★★★）某科技公司统计了 个月的研发投入 （单位：百万元）与月利润 （单位：百万元），散点图显示 与 近似满足 。令 ，由数据算得 ，，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程，并写出 关于 的经验回归方程； (2) 若要月利润的预测值不低于 百万元，估计研发投入 至少为多少百万元（参考数据：）； (3) 该公司另回访了 家同行业企业：采用该模型辅助决策的 家中效益提升的有 家，未采用的 家中效益提升的有 家。完成关于是否采用该模型与是否效益提升的 列联表，计算 ，并判断在犯错误概率不超过 的前提下能否认为采用该模型与效益提升有关（）。 【答案】(1) ，； (2) 至少约 百万元； (3) ，能认为采用该模型与效益提升有关。 【解题思路】(1) 取对数换元后按原始和式公式求回归系数，再回代；(2) 利用 的单调性取对数解不等式；(3) 补全列联表后计算 ，与 水平的临界值比较作统计推断。 【解答过程】(1) ，。 ， ， 故 关于 的经验回归方程为 ；由 回代，得 关于 的经验回归方程为 。 (2) 由 ，两边取自然对数得 ， 所以 ，，即研发投入至少约为 百万元。 (3) 采用该模型的 家中提升 家、未提升 家；未采用的 家中提升 家、未提升 家；提升共 家，未提升共 家，合计 家。 取 ，，，，则 ， 。 因为 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下，认为采用该模型与效益提升有关。 【多解·巧解】指数模型按"取对数 — 求线性方程 — 回代"三步走；题目给的是和式而非中心值时，用 整体代入最稳妥；第 (2) 问利用单调性两边取对数，不等号方向不变。 【易错提醒】(1) 回代时应写 ，不要写成 ；(2) 中由 得 依赖 单调递增，方向不能弄反；(3) 中 的分子别漏乘 ，结论必须限定"在犯错误概率不超过 的前提下"，不能写成"一定有关"。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第52讲 统计与成对数据分析综合（培优加餐） 第52讲 统计与成对数据分析综合（培优加餐） 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．会用样本平均数、方差（标准差）刻画数据的集中趋势与波动程度，掌握数据线性变换 对数字特征的影响； 2．会读频率分布直方图与频率分布表，会用中点值估计平均数、用累计频率确定百分位数； 3．能综合运用样本相关系数、经验回归方程与 解决成对数据的相关与回归问题； 4．能规范完成 列联表的填写与 独立性检验，并作出统计决策与合理表述。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 样本数字特征与数据变换 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中 变换 ：均值同变换、方差乘 频率分布与百分位数 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第18题 中 直方图面积即频率，百分位数看累计频率 相关性与经验回归方程 选择题、解答题 第7题、第18题 中 列离差表求 ，用 回代检验 非线性回归与拟合效果 选择题、填空题、解答题 第7~8题、第14题、第19题 中偏难 换元拉直，用 比较拟合优劣 列联表与独立性检验 选择题、填空题、解答题 第7题、第13题、第18~19题 中 补全表格，算 后套 并规范表述 命题规律分析 本专题是第九章的加餐提升课，把"统计估计"与"成对数据分析"两大板块熔于一炉。在新高考中，这类综合题常出现在选择题第 题、填空题第 题，更多时候以解答题第 题的形式出现，往往一问考数字特征、二问考回归、三问考独立性检验。培优层的拿分关键在于三点：一是熟练数据变换对平均数、方差的影响规律，能"秒算"出新数据的数字特征；二是把频数、频率、组中值、百分位数之间的换算理清；三是能在一道大题中把"求均值、求回归、算 "三件事又快又准地串起来。本讲以综合应用为主线，帮助学生在统计大题上做到"步骤全、计算准、表述规范"。 考点1 用样本估计总体 知识点1 数字特征与数据变换 样本平均数 ；样本方差 ，标准差 。 若 ，则 ，（即平移不改变方差，伸缩按平方倍变化）。 【易错清单】 1．比较平均水平看平均数，比较稳定性看方差或标准差，两者不要混用； 2．数据整体加同一个常数，方差不变；整体乘同一个常数，方差变为原来的平方倍。 知识点2 频率分布与百分位数 频率分布直方图中各小矩形的面积等于对应区间的频率，所有面积之和为 ，纵轴表示""。 把 个数据从小到大排列，计算 ：若 不是整数，取大于 的最小整数 ，第 项为第 百分位数；若 是整数，取第 项与第 项的平均数。 【易错清单】 1．直方图纵轴不是频率，求频率必须用"高 组距"（即面积）； 2．用中点值估计平均数时要按频率加权，不能简单取各组中点的算术平均。 考点2 成对数据的相关性与回归 知识点3 相关性与样本相关系数 样本相关系数 ，且 。 【易错清单】 1． 的符号表示相关方向， 表示相关强弱； 2．相关关系不等于因果关系， 越大只能说明线性相关越强。 知识点4 经验回归方程与拟合效果 ，，回归直线必过 。 决定系数 ， 越接近 拟合效果越好。 【易错清单】 1． 的符号容易算错，求出后用 回代检验； 2．预测值只是估计值，超出样本数据范围太远时预测可靠性下降。 考点3 列联表与独立性检验 知识点5 列联表与 ，其中 ；行合计、列合计与总合计必须吻合。 【易错清单】 1．补全表格先写合计，再用减法求空格，最后用总合计核对； 2． 分子不要漏乘 ，分母要与行、列合计一一对应。 知识点6 独立性检验的规范表述 当 临界值时，在犯错误概率不超过该临界值对应概率的前提下，认为两个分类变量有关联。 【易错清单】 1．结论要用"在…前提下认为有关"或"有…的把握"表述，不能说成"一定有关"； 2．临界值越大，要判断"有关"所需的证据越强。 【题型1 用样本的数字特征估计总体】 【例1】甲、乙两名运动员各进行 次射击测试，两人成绩的平均数都是 环，成绩的方差分别为 ，，则（　　） A．甲的成绩比乙稳定　B．乙的成绩比甲稳定　C．两人的成绩一样稳定　D．无法比较稳定性 【变式1-1】已知一组数据 的平均数为 ，方差为 ，则数据 的平均数为 ____________，方差为 ____________。 【变式1-2】将一组数据的每一个数据都加上 ，得到一组新数据，则（　　） A．平均数、方差都改变　B．平均数改变、方差不变　C．平均数不变、方差改变　D．平均数、方差都不变 【变式1-3】甲、乙两组数据的平均数相同，标准差分别为 ，，若要选一组较稳定的数据，应选（　　） A．甲组　B．乙组　C．两组都可以　D．无法判断 【题型2 频率分布直方图与百分位数】 【例2】某校从高一年级随机抽取 名学生的数学成绩，按 ，，，， 分组，各组的频率依次为 ，，，，。 (1) 求这 名学生成绩的平均数（各组用中点值估计）； (2) 求这组数据的第 百分位数所在的组。 【变式2-1】某次测试中 名学生的成绩从小到大排列为 ，则这组数据的第 百分位数是 ____________。 【变式2-2】承上题数据 ，则这组数据的第 百分位数是 ____________。 【变式2-3】在频率分布直方图中，某组 对应小矩形的高为 ，组距为 ，则该组的频率为 ____________。 【题型3 成对数据的相关性与回归】 【例3】已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 判断 与 是正相关还是负相关； (2) 求 关于 的经验回归方程； (3) 预测 时 的值。 【变式3-1】已知变量 与 的观测数据满足 ，，，，则经验回归方程为 ____________。 【变式3-2】已知变量 与 的样本相关系数 ，则 与 ____________（填"正"或"负"）相关，且线性相关程度 ____________（填"强"或"弱"）。 【变式3-3】已知 关于 的经验回归方程为 。当 时实测值 ，则该点的残差为 ____________。 【题型4 非线性回归与拟合效果】 【例4】某产品年产量 （万件）与年投入的研发费用 （万元）近似满足 。令 ，由数据算得 ，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 求 关于 的经验回归方程； (3) 预测 时的年产量。 【变式4-1】已知变量 与 近似满足 。令 后求得 关于 的经验回归方程为 ，则 关于 的经验回归方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】用两个回归模型拟合同一组数据，已知总平方和 ，模型一、模型二的残差平方和分别为 与 ，则（　　） A．模型一拟合效果更好　B．模型二拟合效果更好　C．两个模型一样好　D．无法判断 【变式4-3】某回归模型的决定系数 ，则该模型能解释因变量约 ____________ 的变化。 【题型5 列联表与独立性检验】 【例5】某校随机调查了 名学生，了解性别与是否喜欢阅读的情况：男生 人中喜欢阅读的 人，女生 人中喜欢阅读的 人。 (1) 完成关于性别与是否喜欢阅读的 列联表； (2) 计算 的值； (3) 判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为性别与是否喜欢阅读有关（）。 【变式5-1】在独立性检验中，若算得 ，临界值 ，则（　　） A．在犯错误概率不超过 的前提下认为两个变量有关　B．两个变量一定无关　C．两个变量一定有关　D．无法判断 【变式5-2】在 列联表中，已知两行的行合计分别为 、，其中第一行第一列的数据为 ，则第一行第二列的数据为 ____________。 【变式5-3】根据 列联表算得 ，已知 ，则（　　） A．有 的把握认为两个变量有关　B．没有充分的证据认为两个变量有关　C．两个变量一定无关　D．有 的把握认为两个变量有关 【题型6 统计与成对数据综合应用】 【例6】某工厂随机抽取 天的日产量 （千件）与单位成本 （元）的数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 若规定单位成本不高于 元为"达标"，从这 天中任取 天，求这一天达标的频率； (3) 预测日产量为 千件时的单位成本。 【变式6-1】某班 名学生某次测试成绩按 ，，， 分组，各组的频率依次为 ，，，。 (1) 求这 名学生成绩的平均数（各组用中点值估计）； (2) 求这组数据的第 百分位数所在的组。 【变式6-2】已知变量 与 的数据满足 ，，。 (1) 求经验回归方程 中的 ； (2) 若把每个 都加上 得到新变量 ，求 关于 的经验回归方程。 【变式6-3】某调查算得 ，已知临界值 ，，判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为两个变量有关。 一、单选题 1．（★★）已知一组数据为 ，则这组数据的平均数和方差分别为（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）甲、乙两组数据的平均数相同，方差分别为 ，，则（　　） A．甲组更稳定　B．乙组更稳定　C．两组一样稳定　D．无法判断 3．（★★）将一组数据中的每一个数据都乘以 ，得到一组新数据，则新数据的方差是原来方差的（　　） A． 倍　B． 倍　C．　D．不变 4．（★★）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和等于（　　） A．　B．　C．样本容量　D．组距 5．（★★）已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）某校抽取 名学生成绩按 ，，， 分组，各组频率依次为 ，用组中值估计这 名学生成绩的平均数为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）某工厂从甲、乙两条生产线生产的产品中按 的比例分层随机抽样，共抽取 件零件检测质量（单位：克）。甲线样本的平均数为 ，方差为 ；乙线样本的平均数为 ，方差为 。则这 件零件质量的总方差为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）某 列联表的两行合计均为 ，两列合计分别为 与 ，样本量 ，四个格子频数均不为 ，记第一行第一列格子的频数为 。若在犯错误概率不超过 的前提下认为两个变量有关，而在犯错误概率不超过 的前提下没有充分证据认为有关（，），则满足条件的整数 的个数为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于样本平均数与方差的说法正确的是（　　） A．平均数刻画数据的集中趋势，方差刻画数据的波动程度　B．方差越小，数据越稳定　C．若每个数据都加上 ，则方差不变　D．若每个数据都乘以 ，则方差变为原来的 倍 10．（★★）下列关于成对数据的说法正确的是（　　） A．样本相关系数 的取值范围是 　B． 越接近 ，线性相关程度越强　C．经验回归直线必过样本中心点 　D． 越大，两个变量之间的因果性越强 11．（★★★）已知一组数据 的平均数为 ，方差为 ，令 ，则（　　） A． 的平均数为 　B． 的方差为 　C． 的标准差为 　D． 的方差为 12．（★★★）已知变量 与 的 组数据 （）中， 依次为 ，且 关于 的经验回归方程为 ，记第 组数据的残差为 。则下列说法正确的是（　　） A．样本中心点为 ，且该点在回归直线上　B．　C．将每个 换成 （ 不变）后， 关于 的经验回归方程为 　D．若用另一模型拟合这 组数据，总平方和为 ，残差平方和为 ，当该模型的决定系数 时， 三、填空题 13．（★★）已知一组数据为 ，则这组数据的方差为 ____________。 14．（★★）已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时 ____________。 15．（★★★）已知一组数据从小到大排列为 ，则这组数据的第 百分位数为 ____________。 16．（★★★）已知一组数据 的平均数与中位数相等，则 的值为 ____________。 四、解答题 17．（★★）甲、乙两名学生 次测试成绩如下：甲为 ；乙为 。 (1) 分别求甲、乙成绩的平均数； (2) 分别求甲、乙成绩的方差，并判断谁的成绩更稳定。 18．（★★）已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测 时 的值。 19．（★★）某校随机调查 名学生，了解性别与是否喜欢运动的情况：男生 人中喜欢运动的 人，女生 人中喜欢运动的 人。 (1) 完成关于性别与是否喜欢运动的 列联表； (2) 计算 的值； (3) 判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为性别与是否喜欢运动有关（）。 20．（★★★）某市从高一年级随机抽取 名学生，按 ，，，， 分组，各组的频率依次为 ，，，，。 (1) 求这 名学生成绩的平均数（各组用中点值估计）； (2) 求这组数据的第 百分位数所在的组； (3) 若成绩不低于 分为及格，估计及格率。 21．（★★★）某地区连续 年的年人均收入 （单位：千元）与年人均消费 （单位：千元）近似满足 。令 ，由数据算得 ，，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 求 关于 的经验回归方程； (3) 预测 时的年人均消费。 22．（★★★）用两个回归模型拟合同一组数据，已知总平方和 ，模型一、模型二的残差平方和分别为 与 。 (1) 分别求两个模型的决定系数 （结果保留三位小数）； (2) 判断哪个模型拟合效果更好。 23．（★★★）某市环保部门随机抽取一年中 天的空气质量指数（AQI）数据，按 ，，，， 分组绘制频率分布直方图，前四组对应小矩形的高（）依次为 ，，，，最后一组的频率为 。 (1) 求第三组的频率，并用各组中点值估计这 天 AQI 的平均数； (2) 求第 百分位数的估计值； (3) 规定 AQI 低于 的天为"优良"，其余为"污染"。从样本中按"优良"与"污染"分层随机抽取 天复查，求两层各抽多少天；再从这 天中随机抽取 天作深度分析，求恰有 天来自"优良"的概率。 24．（★★★）某科技公司统计了 个月的研发投入 （单位：百万元）与月利润 （单位：百万元），散点图显示 与 近似满足 。令 ，由数据算得 ，，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程，并写出 关于 的经验回归方程； (2) 若要月利润的预测值不低于 百万元，估计研发投入 至少为多少百万元（参考数据：）； (3) 该公司另回访了 家同行业企业：采用该模型辅助决策的 家中效益提升的有 家，未采用的 家中效益提升的有 家。完成关于是否采用该模型与是否效益提升的 列联表，计算 ，并判断在犯错误概率不超过 的前提下能否认为采用该模型与效益提升有关（）。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $