第51讲 成对数据的统计分析 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第51讲 成对数据的统计分析 第51讲 成对数据的统计分析 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解相关关系的含义，会由散点图与样本相关系数 判断两个变量线性相关的方向与强弱； 2．掌握用最小二乘法求经验回归方程 ，会用回归方程进行预测，理解残差与拟合效果； 3．了解 列联表的结构，会计算 统计量并结合临界值判断两个分类变量的关联； 4．能通过换元把非线性关系转化为线性关系再作回归分析，体会"用数据说话"的统计思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 相关关系与样本相关系数 选择题 第5~7题 中 看散点判方向，比 判强弱 经验回归方程与预测 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13~14题、第18题 中 先求 ，再算 ，代 求 残差与拟合效果 选择题、解答题 第7题、第19题 中偏难 残差 ， 越接近 越好 列联表与 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第18~19题 中 先补全表格，算 再套公式 非线性关系的转化 选择题、填空题、解答题 第7~8题、第14题、第19题 中偏难 换元 或 ，化为线性再回归 命题规律分析 成对数据的统计分析是统计板块的"压轴常客"，在新高考中常落在选择题第 题、填空题第 题，也常作为解答题第 题的一问出现。基础层只要"套公式"就能拿分，培优层真正的分水岭有三处：一是样本相关系数 的比较与相关强弱的判定，二是经验回归方程的整体代换以及残差、 的应用，三是 独立性检验的规范计算与结论表述。本讲在夯实"求均值、求 、代 求预测值、算 "四个基本功的基础上，重点突破非线性换元、拟合效果比较与统计决策，把这一块从"会算"提升到"算得对且说得清"。 考点1 相关关系与样本相关系数 知识点1 相关关系与散点图 两个变量间的关系分为函数关系（确定）与相关关系（非确定）；把成对数据 画成散点图，可直观判断是否相关。 散点自左下向右上分布为正相关，自左上向右下分布为负相关；分布杂乱则线性相关很弱。 【易错清单】 1．相关关系不等于因果关系，也不能表述为"一定"； 2．判断相关方向只看整体趋势，个别点偏离不影响结论。 知识点2 样本相关系数 样本相关系数 ，且 。 为正相关， 为负相关； 越接近 线性相关越强，越接近 越弱。 【易错清单】 1．比较强弱要看 ： 的相关性强于 ； 2． 只刻画线性相关， 只说明两变量之间没有线性相关，不代表完全无关。 考点2 经验回归方程与回归分析 知识点3 经验回归方程与最小二乘法 经验回归方程 ，其中 ，。 回归直线必过样本中心点 ； 两变量正相关， 两变量负相关。 【易错清单】 1． 的公式易错写成 ，符号要记牢； 2． 可以为负数，它只是回归直线的截距，不代表算错。 知识点4 残差与拟合效果 残差 ；残差平方和 越小，模型拟合效果越好。 决定系数 ， 越接近 拟合越好。 【易错清单】 1． 越大只说明对已有数据拟合得好，不能保证预测一定准确； 2．预测值 是估计值，与实测值 一般并不相等。 考点3 列联表与独立性检验 知识点5 列联表 把两个分类变量的样本频数整理成 列联表，总合计数 ，行合计、列合计与总合计必须相互吻合。 【易错清单】 1．表中填写的是频数而不是频率； 2．补全表格时先写合计行、合计列，再用减法求空格，最后用总合计核对。 知识点6 独立性检验 ， 越大，两个变量有关联的可能性越大。 当 临界值时，在犯错误概率不超过该临界值对应概率的前提下，认为两个变量有关联。 【易错清单】 1．不要漏掉分子中的 ，分母四个括号要与行、列合计一一对应； 2．结论只能表述为"在犯错概率不超过某值的前提下认为有关"，不能说成"一定有关"。 【题型1 相关关系的判断与样本相关系数】 【例1】下列关于相关关系与样本相关系数 的说法正确的是（　　） A．若 ，说明两个变量之间的线性相关程度较弱　B．样本相关系数 的取值范围是 　C．若散点图中的点整体上从左上方向右下方分布，则两个变量负相关　D．两个变量正相关时，一个变量增大，另一个变量一定增大 【答案】C 【解题思路】逐项对照相关关系的定义、散点图方向与 的意义判断。 【解答过程】A中 接近 ，线性相关程度强，错误； B中 的取值范围是 ，错误； C中散点自左上向右下分布， 增大时 有减小的趋势，为负相关，正确； D中相关关系不允许用"一定"描述，错误。故选C。 【多解·巧解】判断相关强弱只看 与 的距离： 的相关性比 更强。可用口诀"符号管方向、绝对值管强弱"，快速区分两类说法。 【易错提醒】把 的符号与强弱混为一谈：符号定方向， 定强弱；此外相关关系是一种统计关系，不能表述为"一定"。 【变式1-1】甲、乙两组样本的样本相关系数分别为 ，，则（　　） A．甲组线性相关程度更强　B．乙组线性相关程度更强　C．两组线性相关程度相同　D．无法比较 【答案】A 【解题思路】比较 的大小判断强弱。 【解答过程】，故甲组线性相关程度更强。故选A。 【变式1-2】四组数据的样本相关系数分别为 ，，，，则线性相关程度最强的一组是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】 最接近 的相关性最强。 【解答过程】，，，，其中 最大，故第三组最强。故选C。 【变式1-3】已知变量 与 的样本相关系数 ，则 与 ____________（填"正"或"负"）相关，且线性相关程度 ____________（填"强"或"弱"）。 【答案】负；强 【解题思路】看 的符号定方向，看 定强弱。 【解答过程】，故为负相关； 接近 ，线性相关程度强。 【题型2 经验回归方程的求解】 【例2】某研究小组收集了变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测 时 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先求 、，再求 ，最后用 求截距。 【解答过程】，。 各 依次为 ，各 依次为 ， 所以 ，， 故 ，， 所以经验回归方程为 。 (2) 把 代入，得 。 【多解·巧解】求出方程后把 代回自检：，说明回归直线过样本中心点；也可直接用 一步写出截距，避免逐项展开。 【易错提醒】 的公式容易记成 ；另外 的分母是 ，不要与 写反。 【变式2-1】已知 关于 的经验回归方程为 ，且该直线经过样本中心点 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】回归直线必过样本中心点，代入即可求 。 【解答过程】把 代入 ，得 ，解得 。 【变式2-2】已知 组数据满足 ，，且 ，，则经验回归方程为 ____________。 【答案】 【解题思路】先算 ，再用 。 【解答过程】，，故 。 【变式2-3】已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 求 关于 的经验回归方程。 【答案】 【解题思路】同求 、，注意 时 的符号。 【解答过程】，。 各 依次为 ，各 依次为 ， 则 ，， 故 ，，所以 。 【题型3 残差与拟合效果】 【例3】已知 关于 的经验回归方程为 。当 时实测值 ，则该点的残差为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】残差等于实测值减去预测值。 【解答过程】把 代入方程得 ，残差 。故选B。 【多解·巧解】残差 （实测减预测），其绝对值越小说明该点被回归直线刻画得越好；把所有残差平方后累加得到残差平方和，可用来比较不同模型的整体拟合效果。 【易错提醒】残差顺序别写反成 ，否则符号全错；本题若写成 就会误选A。 【变式3-1】已知 ，当 时实测值 ，则残差为 ____________。 【答案】 【解题思路】残差 。 【解答过程】，残差 。 【变式3-2】用两个模型分别拟合同一组数据，算得残差平方和分别为 与 ，则（　　） A．第一个模型拟合效果更好　B．第二个模型拟合效果更好　C．两个模型一样好　D．无法判断 【答案】B 【解题思路】残差平方和越小，拟合效果越好。 【解答过程】因为 ，第二个模型的残差平方和更小，所以第二个模型拟合效果更好。故选B。 【变式3-3】某回归模型的决定系数 ，下列说法正确的是（　　） A．该模型能解释约 的因变量变化　B．该模型一定有 的预测准确率　C．该模型的残差平方和为 　D．自变量与因变量一定成正比 【答案】A 【解题思路】 越接近 说明拟合越好。 【解答过程】 表示模型解释了因变量约 的变化，A正确； 不是预测准确率，B错误； 残差平方和与 不是同一个量，C错误； 回归只反映线性趋势，不等于成正比，D错误。故选A。 【题型4 列联表与独立性检验】 【例4】某中学随机调查了 名学生，了解性别与是否喜欢某项运动的情况：男生 人，其中喜欢的 人；女生 人，其中喜欢的 人。 (1) 完成关于性别与是否喜欢该项运动的 列联表； (2) 计算 的值，并判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为性别与是否喜欢该项运动有关（）。 【答案】(1) 列联表见解析； (2) ，能认为性别与是否喜欢该项运动有关。 【解题思路】(1) 抓住"行合计、列合计、总合计"补全表格；(2) 算出 后套 公式，再与临界值比较。 【解答过程】(1) 男生 人中喜欢的 人，则不喜欢的为 人； 女生 人中喜欢的 人，则不喜欢的为 人； 喜欢该项运动的共 人，不喜欢的共 人，合计 人。 (2) 取 ，，，，则 ， ， 。 因为 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下，认为性别与是否喜欢该项运动有关。 【多解·巧解】 可"先约分再乘方"：本题四个括号都是 ，分母为 ，分子 ，直接约分得 ，比先展开分子再除快得多。 【易错提醒】最容易漏乘分子中的 ；另外结论必须写成"在犯错误概率不超过 的前提下认为有关"，不能写成"一定有关"。 【变式4-1】在独立性检验中，若 ，临界值 ，则（　　） A．在犯错误概率不超过 的前提下认为两个变量有关　B．两个变量一定无关　C．两个变量一定有关　D．无法作出判断 【答案】A 【解题思路】 不小于临界值就认为有关。 【解答过程】因为 ，即 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下认为两个变量有关。故选A。 【变式4-2】在 列联表中，已知两行的行合计分别为 、，两列的列合计分别为 、，则总合计数 ____________。 【答案】 【解题思路】行合计之和等于列合计之和，都等于总合计。 【解答过程】，也等于 ，两者吻合。 【变式4-3】某调查中算得 ，已知 ，，则（　　） A．有 的把握认为两个变量有关　B．没有充分的证据认为两个变量有关　C．两个变量一定无关　D．有 的把握认为两个变量有关 【答案】B 【解题思路】把 与临界值比较作出判断。 【解答过程】因为 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下，没有充分的证据认为两个变量有关。故选B。 【题型5 非线性关系的转化】 【例5】已知变量 与 的散点图近似落在曲线 附近，令 后 与 呈线性相关。若 关于 的经验回归方程为 ，则 关于 的经验回归方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 回代即可。 【解答过程】因为 ，所以 。故选A。 【多解·巧解】非线性回归的通用套路是"换元 — 求线性回归方程 — 回代"：对数型令 ，幂型令 ，反比例型令 ，把曲线拉直成直线，求出线性方程后再把 换回原来的表达式。 【易错提醒】回代时忘了 的定义，直接用 代 ；另外回代后模型的形式必须与换元前的假设一致。 【变式5-1】已知 与 近似满足 。若令 后求得 关于 的经验回归方程为 ，则当 时预测的 值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先算 ，再代入线性方程。 【解答过程】，代入 得 。故选A。 【变式5-2】已知变量 与 满足 ，为化为线性关系，应令 ____________。 【答案】 【解题思路】把 整体换成新变量。 【解答过程】令 ，则原式化为 ，是关于 的一次式，对应线性回归模型。 【变式5-3】用模型 拟合某组数据，令 ，由数据得 关于 的经验回归方程为 ，则 关于 的经验回归方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】回代 。 【解答过程】把 代入 ，得 。故选A。 【题型6 统计综合（回归与检验）】 【例6】某企业为研究产品单价 （元）与月销量 （件）的关系，统计了 个月的数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 判断 与 是正相关还是负相关； (2) 求 关于 的经验回归方程； (3) 预测单价为 元时的月销量。 【答案】(1) 负相关； (2) ； (3) 件。 【解题思路】(1) 观察数据变化趋势；(2) 求 、；(3) 代入 。 【解答过程】(1) 随着单价 增大，月销量 总体上减小，故为负相关。 (2) ，。 各 依次为 ，各 依次为 ， 则 ，， 故 ，，所以 。 (3) 把 代入得 ，即预测月销量约为 件。 【多解·巧解】本题数据关于 对称，两组离差都很容易算；求出 后用样本中心点回代检验：，说明回归方程正确。 【易错提醒】 时 中的 变为加号，符号容易写错；此外预测值只是估计，不能当作精确销量。 【变式6-1】已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测 时 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】求 、 后代入预测。 【解答过程】，。 各 依次为 ，各 依次为 ， 则 ，， 故 ，，所以 。 (2) 时 。 【变式6-2】某校随机调查了 名学生，了解是否住校与成绩是否优秀的情况：住校生 人中优秀的 人，非住校生 人中优秀的 人。 (1) 完成关于是否住校与成绩是否优秀的 列联表； (2) 计算 ，并判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为是否住校与成绩是否优秀有关（）。 【答案】(1) 列联表见解析； (2) ，能认为二者有关。 【解题思路】补全表格后算 再套公式。 【解答过程】(1) 住校 人中优秀 人，则不优秀 人；非住校 人中优秀 人，则不优秀 人； 优秀共 人，不优秀共 人，合计 人。 (2) 取 ，，，，则 ， ， 。 因为 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下，认为是否住校与成绩是否优秀有关。 【变式6-3】已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测 时 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】求 、 后代入。 【解答过程】，。 各 依次为 ，各 依次为 ， 则 ，， 故 ，，所以 。 (2) 时 。 一、单选题 1．（★★）下列两个变量之间的关系中，属于相关关系的是（　　） A．圆的周长与它的半径　B．正方形的面积与它的边长　C．商品的价格与需求量　D．匀速直线运动中路程与时间 【答案】C 【解题思路】函数关系是确定的，相关关系是不确定的。 【解答过程】A、B、D中一个变量确定后另一个完全确定，都是函数关系；C中价格确定后需求量不能完全确定，属于相关关系。故选C。 2．（★★）若两个变量的散点图中的点整体上从左上方向右下方分布，则这两个变量（　　） A．正相关　B．负相关　C．不相关　D．无法判断 【答案】B 【解题思路】散点自左上向右下分布，说明一个变量增大时另一个变量减小。 【解答过程】散点自左上向右下分布， 增大时 有减小的趋势，两个变量负相关。故选B。 3．（★★）已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】把 代入回归方程。 【解答过程】把 代入 ，得 。故选C。 4．（★★）经验回归直线 一定经过点（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】经验回归直线必过样本中心点。 【解答过程】经验回归直线一定经过样本中心点 。故选B。 5．（★★）已知两组样本的样本相关系数分别为 ，，则（　　） A．第一组线性相关程度更强　B．第二组线性相关程度更强　C．两组线性相关程度相同　D．无法比较 【答案】A 【解题思路】比较 的大小。 【解答过程】，故第一组线性相关程度更强。故选A。 6．（★★★）已知 组数据满足 ，，，，则经验回归方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先算 ，再用 。 【解答过程】，，故 。故选A。 7．（★★★）已知变量 与 的经验回归方程为 。现对每组数据作变换：，，则 关于 的经验回归方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】回归方程刻画两个变量间的线性关系，把 ， 代入原方程整理；也可用"新斜率为原斜率的 倍、新直线过新中心点"求解。 【解答过程】由 ， 得 ，，代入 ，得 ， 所以 ，即 。 也可用斜率与中心点验证： 的系数为 ；新中心点满足 ，两种方法一致。故选A。 8．（★★★）某 列联表的两行合计均为 ，两列合计均为 ，样本量 ，四个格子频数均不为 ，记左上角格子频数为 。若由该表算得 ，则 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】C 【解题思路】由行、列合计先用 表示 、、，代入 公式得关于 的方程；注意 可正可负，平方后需取双根。 【解答过程】由 ， 得 ；再由 得 。 于是 ， ， 所以 ，，解得 或 。 两个解都使四个格子频数不为 ，代回验证： 时 ； 时 ，平方后相同， 均为 。故选C。 二、多选题 9．（★★）下列关于相关关系与样本相关系数的说法正确的是（　　） A．相关关系是一种非确定性关系　B．样本相关系数 可以为负数　C． 越接近 ，线性相关程度越强　D． 说明两个变量之间没有任何关系 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照相关关系与 的意义。 【解答过程】相关关系是非确定性关系，A正确； 可正可负，B正确； 越接近 线性相关越强，C正确； 只说明没有线性相关，不代表两变量毫无关系，D错误。故选ABC。 10．（★★）下列关于经验回归方程的说法正确的是（　　） A．回归直线必过样本中心点 　B． 时两个变量正相关　C．用回归方程求出的 是预测值　D．残差平方和越大，拟合效果越好 【答案】ABC 【解题思路】回顾经验回归方程与最小二乘法的基本性质。 【解答过程】回归直线过样本中心点 ，A正确； 说明正相关，B正确； 是预测值，C正确；残差平方和越小拟合效果才越好，D错误。故选ABC。 11．（★★★）已知变量 与 的 组数据中 ，，，则（　　） A．　B．经验回归方程为 　C．当 时预测值 　D． 每增加 ， 一定增加 【答案】ABC 【解题思路】先用 求截距，再逐项验证。 【解答过程】，A正确；经验回归方程为 ，B正确； 时 ，C正确； 表示 平均增加约 ，不能表述为"一定"，D错误。故选ABC。 12．（★★★）已知变量 与 的 组数据求得 关于 的经验回归方程为 ，记第 个样本点的残差为 。则下列说法正确的是（　　） A．将每个 换成 （ 不变）后， 关于 的经验回归方程为 　B．残差满足 　C．当 时， 的预测值为 　D．若某个样本点的残差 ，则该样本点一定是样本中心点 【答案】ABC 【解题思路】A 用"纵坐标整体变换、新方程由原方程代换"核算；B 由回归直线过样本中心点推残差之和；C 直接代入；D 需辨析"落在回归直线上"与"是样本中心点"，并举反例说明临界情形。 【解答过程】A：新纵坐标 ，新方程为 （新斜率为原斜率的 倍，且新直线过新中心点 ），正确； B：回归直线过样本中心点，故 ，所以 ，正确； C： 时 ，即预测值为 ，正确； D：残差为 只说明该点恰好落在回归直线上，不一定是中心点。反例：数据 ，， 的经验回归方程为 ，点 满足 ，残差为 ，但样本中心点为 ，该点不是中心点，错误。 故选ABC。 三、填空题 13．（★★）已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时 ____________。 【答案】 【解题思路】把 代入回归方程。 【解答过程】把 代入 ，得 。 14．（★★）已知变量 与 的观测数据满足 ，，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】直接用公式 。 【解答过程】。 15．（★★★）已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时预测的 值为 ____________。 【答案】 【解题思路】先算 ，再代入。 【解答过程】，代入 得 。 16．（★★★）已知变量 与 的 组数据中，前四组分别为 ，，，，且由这 组数据求得的经验回归方程为 ，，则第五组数据为____________。 【答案】 【解题思路】回归直线必过样本中心点，先用 在直线上得 ；再用 建立 的方程。 【解答过程】设第五组数据为 ，则 ，。 回归直线过样本中心点，故 ，整理得 ，即 。 又 ，其中 ， 所以 ，两边乘 得 ， 化简得 ，即 ，，解得 ，从而 。 检验：五组数据的样本中心为 ，恰在直线 上，且此时 ，斜率恰为 ，与题设一致。故第五组数据为 。 四、解答题 17．（★★）已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测 时 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先求 、，再求 、，最后代入预测。 【解答过程】，。 各 依次为 ，各 依次为 ， 则 ，， 故 ，，所以 。 (2) 时 。 【多解·巧解】求出方程后把 代回：，说明回归直线过样本中心点； 的分母只与 有关，与 无关，可先算出备用。 【易错提醒】 与 的公式容易张冠李戴；另外 是正数，别因为直觉上"截距应为整"就怀疑出错。 18．（★★）某班随机调查 名学生是否喜欢跳绳与是否喜欢踢毽的情况：喜欢跳绳的 人中喜欢踢毽的 人；不喜欢跳绳的 人中喜欢踢毽的 人。 (1) 完成关于是否喜欢跳绳与是否喜欢踢毽的 列联表； (2) 计算 的值，并判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为是否喜欢跳绳与是否喜欢踢毽有关（）。 【答案】(1) 列联表见解析； (2) ，能认为二者有关。 【解题思路】先补全列联表，再算 并套 公式。 【解答过程】(1) 喜欢跳绳 人中喜欢踢毽 人，则不喜欢踢毽 人； 不喜欢跳绳 人中喜欢踢毽 人，则不喜欢踢毽 人； 喜欢踢毽共 人，不喜欢踢毽共 人，合计 人。 (2) 取 ，，，，则 ， ， 。 因为 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下，认为是否喜欢跳绳与是否喜欢踢毽有关。 【多解·巧解】列联表的四个括号是行、列合计：本题两行合计均为 、两列合计均为 ；分母 ，与分子约分后可快速得到 。 【易错提醒】不要漏乘分子中的 ；结论要注明"在犯错误概率不超过 的前提下"，不能简单写成"一定有关"。 19．（★★）已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 判断 与 是正相关还是负相关； (2) 求 关于 的经验回归方程； (3) 预测 时 的值。 【答案】(1) 正相关； (2) ； (3) 。 【解题思路】先看趋势定方向，再求 、 并代入。 【解答过程】(1) 随着 增大， 总体上增大，故为正相关。 (2) ，。 各 依次为 ，各 依次为 ， 则 ，， 故 ，，所以 。 (3) 时 。 【多解·巧解】方向判断可以只看数据趋势，也可以看 的符号：本题为正，故 、正相关，两者结论一致。 【易错提醒】 带小数，计算 时容易出错；用样本中心点回代检验：，可及时发现问题。 20．（★★★）某校随机调查了 名学生，了解性别与是否喜欢数学的情况：男生 人中喜欢数学的 人，女生 人中喜欢数学的 人。 (1) 完成关于性别与是否喜欢数学的 列联表； (2) 计算 的值； (3) 判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为性别与是否喜欢数学有关（）。 【答案】(1) 列联表见解析； (2) ； (3) 能认为性别与是否喜欢数学有关。 【解题思路】补全表格后算 ，套公式并与临界值比较。 【解答过程】(1) 男生 人中喜欢数学 人，则不喜欢 人； 女生 人中喜欢数学 人，则不喜欢 人； 喜欢数学共 人，不喜欢数学共 人，合计 人。 (2) 取 ，，，，则 ， ， 。 (3) 因为 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下，认为性别与是否喜欢数学有关。 【多解·巧解】临界值越大，"认为有关"所需的证据越强；本题 远大于 ，结论在更严格的 水平下依然成立。 【易错提醒】注意本题临界值是 对应的 ，不要用 的 ；此外 要平方后再乘 。 21．（★★★）为研究某商品的需求量 与价格 的关系，作散点图发现 与 近似成线性关系。令 ，由数据算得 ，，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 求 关于 的经验回归方程。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先按线性模型求 、，再把 回代。 【解答过程】(1) ，， 所以 关于 的经验回归方程为 。 (2) 把 回代，得 关于 的经验回归方程为 。 【多解·巧解】非线性回归两步走：先换元把关系拉直、求出线性方程，再把 换回原变量。换元后求方程与普通线性回归完全相同，不必重新推导。 【易错提醒】回代时不要漏掉系数： 中的 是 的系数，回代后应写成 ，而不是 。 22．（★★★）用两个回归模型拟合同一组数据，已知总平方和 ，模型一、模型二的残差平方和分别为 与 。 (1) 分别求两个模型的决定系数 （结果保留三位小数）； (2) 判断哪个模型拟合效果更好。 【答案】(1) ，； (2) 模型二拟合效果更好。 【解题思路】用 求解并比较。 【解答过程】(1) ；。 (2) 因为 ，所以模型二的拟合效果更好。 【多解·巧解】 越大表示模型解释的因变量变化比例越高；也可用残差平方和直接比较，残差平方和越小拟合越好，结论一致。 【易错提醒】 的公式是 ，别漏掉前面的 ；此外 的值应落在 ，算出负值说明用错了分母。 23．（★★★）某车企研究 个城市的充电桩数量 （百个）与当月新能源汽车销量 （千辆）的关系，收集数据如下： 依次为 ， 依次为 ，且 关于 的经验回归直线的斜率 。 (1) 求 的值与 关于 的经验回归方程； (2) 预测充电桩数量为 百个的城市的月销量；若某市充电桩数量为 百个时实测月销量为 千辆，求该组数据的残差，并说明该市实际销量高于还是低于预测水平； (3) 该公司另随机调查了 名消费者，其中看过该车型广告的 人中有购车意愿的 人，未看过广告的 人中有购车意愿的 人。完成关于是否看过广告与是否有购车意愿的 列联表，计算 ，并判断在犯错误概率不超过 的前提下能否认为是否看过广告与是否有购车意愿有关（）。 【答案】(1) ，； (2) 预测月销量约为 千辆；残差为 ，实际销量高于预测水平； (3) ，能认为是否看过广告与是否有购车意愿有关。 【解题思路】(1) 用 把斜率写成 的函数再解方程；(2) 代入方程预测，按"残差等于实测减预测"定符号；(3) 补全列联表后套 公式，与 水平的临界值比较作统计推断。 【解答过程】(1) ，，，。 所以 ，。 由 得 ，解得 ，此时 。 ，故经验回归方程为 。 (2) 把 代入，得 ，即预测月销量约为 千辆。 残差为实测值减预测值：，残差为正说明实测值高于预测值，故该市实际销量高于预测水平。 (3) 看过广告 人中有购车意愿 人、无购车意愿 人；未看过广告 人中有购车意愿 人、无购车意愿 人；有购车意愿共 人，无购车意愿共 人，合计 人。 取 ，，，，则 ， 。 因为 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下，认为是否看过广告与是否有购车意愿有关。 【多解·巧解】斜率含参时不必逐项算离差：用 与 整体代入， 只出现在 与 两处；求出方程后用样本中心回代检验：。 【易错提醒】(1) 中 同时出现在 与 中，漏掉任何一处都会解错；(2) 中残差是"实测减预测"，若写成 就会把"高于"误判为"低于"；(3) 中分子不要漏乘 ，结论必须限定"在犯错误概率不超过 的前提下"，不能写成"一定有关"。 24．（★★★）某食品加工厂为研究月产量 （吨）与单位成本 （万元/吨）的关系，抽取 个月的数据作散点图，发现 与 近似呈线性相关。由数据算得 ，，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测月产量为 吨时的单位成本；若要单位成本的预测值不超过 万元/吨，求月产量 的取值范围； (3) 该厂另随机调查了 家销售门店，了解是否采用新包装与月销量是否提升的情况：采用新包装的 家中月销量提升的有 家，未采用新包装的 家中月销量提升的有 家。完成 列联表，计算 ，并判断在犯错误概率不超过 的前提下能否认为采用新包装与月销量提升有关（）。 【答案】(1) ； (2) 约 万元/吨；； (3) ，能认为采用新包装与月销量提升有关。 【解题思路】(1) 先对 求线性回归方程再回代；(2) 代入预测，解分式不等式时注意 的前提；(3) 补全列联表后计算 ，按 水平作统计推断。 【解答过程】(1) ，， 所以 关于 的经验回归方程为 ；把 回代，得 关于 的经验回归方程为 。 (2) 把 代入，得 ，即预测单位成本约为 万元/吨。 由 且 ，得 ，两边同乘正数 得 ，即月产量不小于 吨。 (3) 采用新包装 家中提升 家、未提升 家；未采用新包装 家中提升 家、未提升 家；提升共 家，未提升共 家，合计 家。 取 ，，，，则 ， 。 因为 ，所以在犯错误概率不超过 的前提下，认为采用新包装与月销量提升有关。 【多解·巧解】非线性回归按"换元 — 求线性方程 — 回代"三步走，换元后的求法与普通线性回归完全相同；第(2)问解 时，由月产量 可直接两边同乘 去分母，无需分情况讨论，但前提 要写明。 【易错提醒】(1) 回代时斜率 是 的系数，应写成 ，不要写成 ；(2) 中若漏掉 的前提，两边同乘 就需要讨论不等号方向；(3) 中补表时要用行合计、列合计相互核对， 的分子别漏乘 ，结论不能写成"一定有关"。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第51讲 成对数据的统计分析 第51讲 成对数据的统计分析 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解相关关系的含义，会由散点图与样本相关系数 判断两个变量线性相关的方向与强弱； 2．掌握用最小二乘法求经验回归方程 ，会用回归方程进行预测，理解残差与拟合效果； 3．了解 列联表的结构，会计算 统计量并结合临界值判断两个分类变量的关联； 4．能通过换元把非线性关系转化为线性关系再作回归分析，体会"用数据说话"的统计思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 相关关系与样本相关系数 选择题 第5~7题 中 看散点判方向，比 判强弱 经验回归方程与预测 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13~14题、第18题 中 先求 ，再算 ，代 求 残差与拟合效果 选择题、解答题 第7题、第19题 中偏难 残差 ， 越接近 越好 列联表与 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第18~19题 中 先补全表格，算 再套公式 非线性关系的转化 选择题、填空题、解答题 第7~8题、第14题、第19题 中偏难 换元 或 ，化为线性再回归 命题规律分析 成对数据的统计分析是统计板块的"压轴常客"，在新高考中常落在选择题第 题、填空题第 题，也常作为解答题第 题的一问出现。基础层只要"套公式"就能拿分，培优层真正的分水岭有三处：一是样本相关系数 的比较与相关强弱的判定，二是经验回归方程的整体代换以及残差、 的应用，三是 独立性检验的规范计算与结论表述。本讲在夯实"求均值、求 、代 求预测值、算 "四个基本功的基础上，重点突破非线性换元、拟合效果比较与统计决策，把这一块从"会算"提升到"算得对且说得清"。 考点1 相关关系与样本相关系数 知识点1 相关关系与散点图 两个变量间的关系分为函数关系（确定）与相关关系（非确定）；把成对数据 画成散点图，可直观判断是否相关。 散点自左下向右上分布为正相关，自左上向右下分布为负相关；分布杂乱则线性相关很弱。 【易错清单】 1．相关关系不等于因果关系，也不能表述为"一定"； 2．判断相关方向只看整体趋势，个别点偏离不影响结论。 知识点2 样本相关系数 样本相关系数 ，且 。 为正相关， 为负相关； 越接近 线性相关越强，越接近 越弱。 【易错清单】 1．比较强弱要看 ： 的相关性强于 ； 2． 只刻画线性相关， 只说明两变量之间没有线性相关，不代表完全无关。 考点2 经验回归方程与回归分析 知识点3 经验回归方程与最小二乘法 经验回归方程 ，其中 ，。 回归直线必过样本中心点 ； 两变量正相关， 两变量负相关。 【易错清单】 1． 的公式易错写成 ，符号要记牢； 2． 可以为负数，它只是回归直线的截距，不代表算错。 知识点4 残差与拟合效果 残差 ；残差平方和 越小，模型拟合效果越好。 决定系数 ， 越接近 拟合越好。 【易错清单】 1． 越大只说明对已有数据拟合得好，不能保证预测一定准确； 2．预测值 是估计值，与实测值 一般并不相等。 考点3 列联表与独立性检验 知识点5 列联表 把两个分类变量的样本频数整理成 列联表，总合计数 ，行合计、列合计与总合计必须相互吻合。 【易错清单】 1．表中填写的是频数而不是频率； 2．补全表格时先写合计行、合计列，再用减法求空格，最后用总合计核对。 知识点6 独立性检验 ， 越大，两个变量有关联的可能性越大。 当 临界值时，在犯错误概率不超过该临界值对应概率的前提下，认为两个变量有关联。 【易错清单】 1．不要漏掉分子中的 ，分母四个括号要与行、列合计一一对应； 2．结论只能表述为"在犯错概率不超过某值的前提下认为有关"，不能说成"一定有关"。 【题型1 相关关系的判断与样本相关系数】 【例1】下列关于相关关系与样本相关系数 的说法正确的是（　　） A．若 ，说明两个变量之间的线性相关程度较弱　B．样本相关系数 的取值范围是 　C．若散点图中的点整体上从左上方向右下方分布，则两个变量负相关　D．两个变量正相关时，一个变量增大，另一个变量一定增大 【变式1-1】甲、乙两组样本的样本相关系数分别为 ，，则（　　） A．甲组线性相关程度更强　B．乙组线性相关程度更强　C．两组线性相关程度相同　D．无法比较 【变式1-2】四组数据的样本相关系数分别为 ，，，，则线性相关程度最强的一组是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】已知变量 与 的样本相关系数 ，则 与 ____________（填"正"或"负"）相关，且线性相关程度 ____________（填"强"或"弱"）。 【题型2 经验回归方程的求解】 【例2】某研究小组收集了变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测 时 的值。 【变式2-1】已知 关于 的经验回归方程为 ，且该直线经过样本中心点 ，则 ____________。 【变式2-2】已知 组数据满足 ，，且 ，，则经验回归方程为 ____________。 【变式2-3】已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 求 关于 的经验回归方程。 【题型3 残差与拟合效果】 【例3】已知 关于 的经验回归方程为 。当 时实测值 ，则该点的残差为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知 ，当 时实测值 ，则残差为 ____________。 【变式3-2】用两个模型分别拟合同一组数据，算得残差平方和分别为 与 ，则（　　） A．第一个模型拟合效果更好　B．第二个模型拟合效果更好　C．两个模型一样好　D．无法判断 【变式3-3】某回归模型的决定系数 ，下列说法正确的是（　　） A．该模型能解释约 的因变量变化　B．该模型一定有 的预测准确率　C．该模型的残差平方和为 　D．自变量与因变量一定成正比 【题型4 列联表与独立性检验】 【例4】某中学随机调查了 名学生，了解性别与是否喜欢某项运动的情况：男生 人，其中喜欢的 人；女生 人，其中喜欢的 人。 (1) 完成关于性别与是否喜欢该项运动的 列联表； (2) 计算 的值，并判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为性别与是否喜欢该项运动有关（）。 【变式4-1】在独立性检验中，若 ，临界值 ，则（　　） A．在犯错误概率不超过 的前提下认为两个变量有关　B．两个变量一定无关　C．两个变量一定有关　D．无法作出判断 【变式4-2】在 列联表中，已知两行的行合计分别为 、，两列的列合计分别为 、，则总合计数 ____________。 【变式4-3】某调查中算得 ，已知 ，，则（　　） A．有 的把握认为两个变量有关　B．没有充分的证据认为两个变量有关　C．两个变量一定无关　D．有 的把握认为两个变量有关 【题型5 非线性关系的转化】 【例5】已知变量 与 的散点图近似落在曲线 附近，令 后 与 呈线性相关。若 关于 的经验回归方程为 ，则 关于 的经验回归方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知 与 近似满足 。若令 后求得 关于 的经验回归方程为 ，则当 时预测的 值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知变量 与 满足 ，为化为线性关系，应令 ____________。 【变式5-3】用模型 拟合某组数据，令 ，由数据得 关于 的经验回归方程为 ，则 关于 的经验回归方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 统计综合（回归与检验）】 【例6】某企业为研究产品单价 （元）与月销量 （件）的关系，统计了 个月的数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 判断 与 是正相关还是负相关； (2) 求 关于 的经验回归方程； (3) 预测单价为 元时的月销量。 【变式6-1】已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测 时 的值。 【变式6-2】某校随机调查了 名学生，了解是否住校与成绩是否优秀的情况：住校生 人中优秀的 人，非住校生 人中优秀的 人。 (1) 完成关于是否住校与成绩是否优秀的 列联表； (2) 计算 ，并判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为是否住校与成绩是否优秀有关（）。 【变式6-3】已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测 时 的值。 一、单选题 1．（★★）下列两个变量之间的关系中，属于相关关系的是（　　） A．圆的周长与它的半径　B．正方形的面积与它的边长　C．商品的价格与需求量　D．匀速直线运动中路程与时间 2．（★★）若两个变量的散点图中的点整体上从左上方向右下方分布，则这两个变量（　　） A．正相关　B．负相关　C．不相关　D．无法判断 3．（★★）已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）经验回归直线 一定经过点（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知两组样本的样本相关系数分别为 ，，则（　　） A．第一组线性相关程度更强　B．第二组线性相关程度更强　C．两组线性相关程度相同　D．无法比较 6．（★★★）已知 组数据满足 ，，，，则经验回归方程为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知变量 与 的经验回归方程为 。现对每组数据作变换：，，则 关于 的经验回归方程为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）某 列联表的两行合计均为 ，两列合计均为 ，样本量 ，四个格子频数均不为 ，记左上角格子频数为 。若由该表算得 ，则 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于相关关系与样本相关系数的说法正确的是（　　） A．相关关系是一种非确定性关系　B．样本相关系数 可以为负数　C． 越接近 ，线性相关程度越强　D． 说明两个变量之间没有任何关系 10．（★★）下列关于经验回归方程的说法正确的是（　　） A．回归直线必过样本中心点 　B． 时两个变量正相关　C．用回归方程求出的 是预测值　D．残差平方和越大，拟合效果越好 11．（★★★）已知变量 与 的 组数据中 ，，，则（　　） A．　B．经验回归方程为 　C．当 时预测值 　D． 每增加 ， 一定增加 12．（★★★）已知变量 与 的 组数据求得 关于 的经验回归方程为 ，记第 个样本点的残差为 。则下列说法正确的是（　　） A．将每个 换成 （ 不变）后， 关于 的经验回归方程为 　B．残差满足 　C．当 时， 的预测值为 　D．若某个样本点的残差 ，则该样本点一定是样本中心点 三、填空题 13．（★★）已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时 ____________。 14．（★★）已知变量 与 的观测数据满足 ，，，则 ____________。 15．（★★★）已知 关于 的经验回归方程为 ，则当 时预测的 值为 ____________。 16．（★★★）已知变量 与 的 组数据中，前四组分别为 ，，，，且由这 组数据求得的经验回归方程为 ，，则第五组数据为____________。 四、解答题 17．（★★）已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测 时 的值。 18．（★★）某班随机调查 名学生是否喜欢跳绳与是否喜欢踢毽的情况：喜欢跳绳的 人中喜欢踢毽的 人；不喜欢跳绳的 人中喜欢踢毽的 人。 (1) 完成关于是否喜欢跳绳与是否喜欢踢毽的 列联表； (2) 计算 的值，并判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为是否喜欢跳绳与是否喜欢踢毽有关（）。 19．（★★）已知变量 与 的 组数据： 依次为 ， 依次为 。 (1) 判断 与 是正相关还是负相关； (2) 求 关于 的经验回归方程； (3) 预测 时 的值。 20．（★★★）某校随机调查了 名学生，了解性别与是否喜欢数学的情况：男生 人中喜欢数学的 人，女生 人中喜欢数学的 人。 (1) 完成关于性别与是否喜欢数学的 列联表； (2) 计算 的值； (3) 判断在犯错误概率不超过 的前提下，能否认为性别与是否喜欢数学有关（）。 21．（★★★）为研究某商品的需求量 与价格 的关系，作散点图发现 与 近似成线性关系。令 ，由数据算得 ，，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 求 关于 的经验回归方程。 22．（★★★）用两个回归模型拟合同一组数据，已知总平方和 ，模型一、模型二的残差平方和分别为 与 。 (1) 分别求两个模型的决定系数 （结果保留三位小数）； (2) 判断哪个模型拟合效果更好。 23．（★★★）某车企研究 个城市的充电桩数量 （百个）与当月新能源汽车销量 （千辆）的关系，收集数据如下： 依次为 ， 依次为 ，且 关于 的经验回归直线的斜率 。 (1) 求 的值与 关于 的经验回归方程； (2) 预测充电桩数量为 百个的城市的月销量；若某市充电桩数量为 百个时实测月销量为 千辆，求该组数据的残差，并说明该市实际销量高于还是低于预测水平； (3) 该公司另随机调查了 名消费者，其中看过该车型广告的 人中有购车意愿的 人，未看过广告的 人中有购车意愿的 人。完成关于是否看过广告与是否有购车意愿的 列联表，计算 ，并判断在犯错误概率不超过 的前提下能否认为是否看过广告与是否有购车意愿有关（）。 24．（★★★）某食品加工厂为研究月产量 （吨）与单位成本 （万元/吨）的关系，抽取 个月的数据作散点图，发现 与 近似呈线性相关。由数据算得 ，，，。 (1) 求 关于 的经验回归方程； (2) 预测月产量为 吨时的单位成本；若要单位成本的预测值不超过 万元/吨，求月产量 的取值范围； (3) 该厂另随机调查了 家销售门店，了解是否采用新包装与月销量是否提升的情况：采用新包装的 家中月销量提升的有 家，未采用新包装的 家中月销量提升的有 家。完成 列联表，计算 ，并判断在犯错误概率不超过 的前提下能否认为采用新包装与月销量提升有关（）。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $