第54讲 排列与组合 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第54讲 排列与组合 第54讲 排列与组合 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解排列、组合的概念，能准确区分"与顺序有关"的排列问题与"与顺序无关"的组合问题； 2．掌握排列数公式 与组合数公式 ，会化简并解含参方程； 3．熟练运用捆绑法、插空法处理相邻与不相邻问题，会用"特殊位置优先"与"正难则反"突破限制条件； 4．掌握分组、分配问题中"平均分组要除以阶乘"的判别，能解决"至少"型计数与数字排列综合问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 排列数、组合数的计算与性质 选择题、填空题 第3~5题、第12~13题 中 先判"有序/无序"，再套公式，对称性注意两解 相邻与不相邻问题 选择题、填空题 第5~6题、第13题 中 相邻捆绑（内部再乘），不相邻插空（空位 个） 分组与分配问题 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第15~18题 中偏难 平均分组除组数阶乘，分配看对象是否有区别 限制条件下的排列 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 特殊位置优先，正难则反用总数减不合条件数 数字排列与综合计数 选择题、填空题、解答题 第7题、第13题、第18题 中偏难 按"末位""首位"等特殊位先定，分类相乘再相加 命题规律分析 排列与组合是第六章"计数原理"的核心，也是概率问题的基础工具。新高考中本专题多落在选择题第 4~7 题、填空题第 12~13 题，并以分组分配、限制条件排列的形式出现在解答题第 15~18 题。基础档只考"排列数、组合数的直接计算"，培优档则把相邻捆绑、不相邻插空、平均分组、"至少"型间接法叠加起来，用多个限制同时卡住考生。本讲在概念与公式之上，重点训练"先判有序无序、特殊元素优先、正难则反"三条主线，把捆绑与插空的"先捆后排、先排后插"做成肌肉记忆，再把分组分配中"除不除阶乘"的判断讲透，目标是让这档"看似花样多、实则有定式"的题稳稳得分。 考点1 排列与排列数 知识点1 排列的概念与排列数公式 从 个不同元素中取出 （）个元素排成一列，叫做一个排列；所有排列的个数记作 。 排列数公式：，规定 ，。 【易错清单】 1．排列与顺序有关，把"选出并排序"当成"只选出"会少乘顺序数； 2． 是 个连续整数相乘，不是 个，容易多乘或少乘； 3．公式要求 ，反解参数后必须检验这一条件。 知识点2 排列数的性质与含参求值 递推关系：，常用于化简式子或解含字母的排列数方程。 解 型方程时，先展开为关于 的多项式，求出正整数解再检验 。 【易错清单】 1．，切勿错记为 ； 2．两边消去公因子时须保证所消因式不为 ； 3．解出参数后别忘检验 且 、 均为正整数。 考点2 组合与组合数 知识点3 组合数公式 从 个不同元素中取出 个元素合成一组，叫做一个组合，与顺序无关。 组合数公式：，规定 ，。 【易错清单】 1．组合与顺序无关，"选出两人分别担任正、副组长"是排列而非组合； 2． 的分母是 ，漏掉 是高频错误； 3． 不是 ，，这两个特例要记牢。 知识点4 组合数的性质与恒等式 对称性：；递推性：。 求和恒等式：，其中奇数项之和等于偶数项之和，均为 。 【易错清单】 1．由 应得 或 ，只写一种会漏解； 2． 与 的上下标不能颠倒； 3．解含 的方程后须检验 。 考点3 计数模型与方法 知识点5 捆绑法与插空法 相邻问题用捆绑法：把相邻元素看成一个整体参与排列，最后乘以整体内部的排列数。 不相邻问题用插空法：先排其余元素，再把不相邻元素插入形成的 个空位（含两端）。 【易错清单】 1．捆绑后忘记乘整体内部的排列数，结果偏小； 2．插空时空位数是 （含两端），不是 ； 3．既有相邻又有不相邻时，先捆绑后插空，顺序不能反。 知识点6 分组、分配与正难则反 平均分组要除以相同组数的阶乘 ；分给有区别的对象（分配）则不再除。 "至少"型计数常用正难则反：用总数减去不符合条件的情形。 【易错清单】 1．平均分组忘除 ，结果偏大 倍；部分平均时只除以相同个数组数的阶乘； 2．"分成几堆"与"分给几个人"不同，前者要除、后者不除； 3．间接法要保证"补集"恰好涵盖全部不合条件的情形，不重不漏。 【题型1 排列数、组合数的计算与含参求值】 【例1】若 ，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】若 ，则 ______。 【变式1-2】计算 ______。 【变式1-3】若 ，则 ______。 【题型2 相邻问题（捆绑法）】 【例2】4名男生和2名女生排成一排，若2名女生必须相邻，则不同的排法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【变式2-1】5人站成一排，甲、乙相邻且丙、丁相邻，共有______种站法。 【变式2-2】将3本不同的数学书和2本不同的语文书排成一排，要求同科书相邻，共有______种排法。 【变式2-3】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲、乙、丙三人必须相邻，共有______种排法。 【题型3 不相邻问题（插空法）】 【例3】4名男生和3名女生排成一排，要求3名女生互不相邻，则不同的排法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【变式3-1】5人站成一排，甲、乙两人不相邻，共有______种站法。 【变式3-2】将3本不同的数学书和3本不同的语文书排成一排，要求数学书互不相邻，共有______种排法。 【变式3-3】6人站成一排，甲、乙、丙三人互不相邻，共有______种站法。 【题型4 分组与分配】 【例4】将6本不同的书分成三组，三组的本数分别为1，2，3，则不同的分法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【变式4-1】将6本不同的书平均分成三组，每组2本，共有______种分法。 【变式4-2】将5名志愿者分成三组，三组人数分别为2，2，1，共有______种分法。 【变式4-3】将4名同学分到甲、乙两个不同的兴趣小组，要求每组不少于1人，共有______种分法。 【题型5 限制条件下的排列（特殊位置与间接法）】 【例5】用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的三位偶数（　　） A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 【变式5-1】5个人排成一排，甲既不站排头也不站排尾，共有______种站法。 【变式5-2】7人排成一排，甲不站排头且乙不站排尾，共有______种站法。 【变式5-3】用1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位奇数______个。 【题型6 综合应用（正难则反与多限制）】 【例6】从5名男生和4名女生中选出4人参加活动，要求男生、女生都至少有1人，则不同的选法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【变式6-1】从6名男生和4名女生中选出3人，要求至少有1名女生，共有______种选法。 【变式6-2】从5名男生和3名女生中选出4人，要求至多有2名女生，共有______种选法。 【变式6-3】从4名男生和3名女生中选出3人，要求男生人数不少于女生人数，共有______种选法。 一、单选题 1．（★★）甲、乙、丙、丁4人站成一排，甲不站在两端，则不同的站法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 2．（★★）从5名男生和3名女生中选出3人，要求男生、女生都至少有1人，则不同的选法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 3．（★★）计算 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）5名同学站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的站法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 5．（★★）4名男生和2名女生排成一排，2名女生互不相邻，则不同的排法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 6．（★★★）6名同学站成一排，甲不站排头、乙不站排尾，则不同的站法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 7．（★★★）将包括甲、乙在内的6名志愿者分配到3个不同的社区服务，要求每个社区至少1人，且甲、乙必须分到同一个社区，则不同的分配方案共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 8．（★★★）将14个相同的小球全部分给甲、乙、丙三人，要求每人至少1个，且丙至多5个，则不同的分法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 二、多选题 9．（★★）下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★★）下列结论正确的是（　　） A．5人排成一排，甲、乙相邻的站法有 种　B．5人排成一排，甲、乙不相邻的站法有 种　C．将4本不同的书平均分成2组，有 种分法　D．将4本不同的书分给甲、乙两人，每人2本，有 种分法 11．（★★★）从5名男生和3名女生中选出3人，下列结论正确的是（　　） A．恰有2名女生的选法有 种　B．至少有1名女生的选法有 种　C．全是男生的选法有 种　D．恰有1名男生的选法有 种 12．（★★★）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，下列结论正确的是（　　） A．甲、乙相邻且丙、丁不相邻的站法共有 种　B．甲在乙的左侧（可相邻）的站法共有 种　C．甲、乙、丙三人恰有两人相邻的站法共有 种　D．甲、乙之间恰有 人、 人、 人时，对应的站法数依次为 、、 种 三、填空题 13．（★★）______。 14．（★★）从8名同学中选出3人参加活动，共有______种选法。 15．（★★★）将4本不同的书分给3名同学，要求每人至少1本，共有______种分法。 16．（★★★）用 组成没有重复数字的四位数，要求千位数字大于百位数字、百位数字大于十位数字，这样的四位数共有______个。 四、解答题 17．（★★）计算与求值。 (1) 求 的值； (2) 已知 ，求 的值。 18．（★★）4名男生和3名女生排成一排。 (1) 求3名女生相邻的排法数； (2) 求3名女生互不相邻的排法数。 19．（★★）从6名男生和4名女生中选出4人参加活动。 (1) 求恰有2名女生的选法数； (2) 求至少有2名女生的选法数。 20．（★★★）将6本不同的书分成三组。 (1) 若平均分成三组，每组2本，求分法数； (2) 若甲得1本、乙得2本、丙得3本，求分法数。 21．（★★★）6名同学站成一排。 (1) 求甲不站排头、乙不站排尾的站法数； (2) 求甲、乙、丙三人必须相邻的站法数。 22．（★★★）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成无重复数字的四位数。 (1) 求四位数的个数； (2) 求四位偶数的个数。 23．（★★★）将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，要求每人至少1本。 (1) 若甲得3本、乙得2本、丙得1本，求不同的分法数； (2) 若每人恰好得2本，求不同的分法数； (3) 若甲恰好得1本，求不同的分法数。 24．（★★★）甲、乙、丙、丁等7名同学站成一排。 (1) 求甲、乙相邻且丙、丁也相邻的站法数； (2) 求甲、乙之间恰有3人的站法数； (3) 求甲、乙相邻，且甲不站排头、乙不站排尾的站法数。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第54讲 排列与组合 第54讲 排列与组合 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解排列、组合的概念，能准确区分"与顺序有关"的排列问题与"与顺序无关"的组合问题； 2．掌握排列数公式 与组合数公式 ，会化简并解含参方程； 3．熟练运用捆绑法、插空法处理相邻与不相邻问题，会用"特殊位置优先"与"正难则反"突破限制条件； 4．掌握分组、分配问题中"平均分组要除以阶乘"的判别，能解决"至少"型计数与数字排列综合问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 排列数、组合数的计算与性质 选择题、填空题 第3~5题、第12~13题 中 先判"有序/无序"，再套公式，对称性注意两解 相邻与不相邻问题 选择题、填空题 第5~6题、第13题 中 相邻捆绑（内部再乘），不相邻插空（空位 个） 分组与分配问题 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第15~18题 中偏难 平均分组除组数阶乘，分配看对象是否有区别 限制条件下的排列 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 特殊位置优先，正难则反用总数减不合条件数 数字排列与综合计数 选择题、填空题、解答题 第7题、第13题、第18题 中偏难 按"末位""首位"等特殊位先定，分类相乘再相加 命题规律分析 排列与组合是第六章"计数原理"的核心，也是概率问题的基础工具。新高考中本专题多落在选择题第 4~7 题、填空题第 12~13 题，并以分组分配、限制条件排列的形式出现在解答题第 15~18 题。基础档只考"排列数、组合数的直接计算"，培优档则把相邻捆绑、不相邻插空、平均分组、"至少"型间接法叠加起来，用多个限制同时卡住考生。本讲在概念与公式之上，重点训练"先判有序无序、特殊元素优先、正难则反"三条主线，把捆绑与插空的"先捆后排、先排后插"做成肌肉记忆，再把分组分配中"除不除阶乘"的判断讲透，目标是让这档"看似花样多、实则有定式"的题稳稳得分。 考点1 排列与排列数 知识点1 排列的概念与排列数公式 从 个不同元素中取出 （）个元素排成一列，叫做一个排列；所有排列的个数记作 。 排列数公式：，规定 ，。 【易错清单】 1．排列与顺序有关，把"选出并排序"当成"只选出"会少乘顺序数； 2． 是 个连续整数相乘，不是 个，容易多乘或少乘； 3．公式要求 ，反解参数后必须检验这一条件。 知识点2 排列数的性质与含参求值 递推关系：，常用于化简式子或解含字母的排列数方程。 解 型方程时，先展开为关于 的多项式，求出正整数解再检验 。 【易错清单】 1．，切勿错记为 ； 2．两边消去公因子时须保证所消因式不为 ； 3．解出参数后别忘检验 且 、 均为正整数。 考点2 组合与组合数 知识点3 组合数公式 从 个不同元素中取出 个元素合成一组，叫做一个组合，与顺序无关。 组合数公式：，规定 ，。 【易错清单】 1．组合与顺序无关，"选出两人分别担任正、副组长"是排列而非组合； 2． 的分母是 ，漏掉 是高频错误； 3． 不是 ，，这两个特例要记牢。 知识点4 组合数的性质与恒等式 对称性：；递推性：。 求和恒等式：，其中奇数项之和等于偶数项之和，均为 。 【易错清单】 1．由 应得 或 ，只写一种会漏解； 2． 与 的上下标不能颠倒； 3．解含 的方程后须检验 。 考点3 计数模型与方法 知识点5 捆绑法与插空法 相邻问题用捆绑法：把相邻元素看成一个整体参与排列，最后乘以整体内部的排列数。 不相邻问题用插空法：先排其余元素，再把不相邻元素插入形成的 个空位（含两端）。 【易错清单】 1．捆绑后忘记乘整体内部的排列数，结果偏小； 2．插空时空位数是 （含两端），不是 ； 3．既有相邻又有不相邻时，先捆绑后插空，顺序不能反。 知识点6 分组、分配与正难则反 平均分组要除以相同组数的阶乘 ；分给有区别的对象（分配）则不再除。 "至少"型计数常用正难则反：用总数减去不符合条件的情形。 【易错清单】 1．平均分组忘除 ，结果偏大 倍；部分平均时只除以相同个数组数的阶乘； 2．"分成几堆"与"分给几个人"不同，前者要除、后者不除； 3．间接法要保证"补集"恰好涵盖全部不合条件的情形，不重不漏。 【题型1 排列数、组合数的计算与含参求值】 【例1】若 ，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由对称性把 写成 ，或按 与 两种情况求解。 【解答过程】由 得 或 。这里 ，，因为 ，所以 ，即 （满足 ）。故选B。 【多解·巧解】直接用对称性 ，令 即得 ，一步到位，比记"两种情况"更直观。 【易错提醒】若机械地只写 ，会得到 的矛盾而漏掉真正的解；反之若题目改为 ，则 是唯一解，不要死记"总有两个解"。 【变式1-1】若 ，则 ______。 【答案】 【解题思路】把排列数展开为连续整数之积，凑出 。 【解答过程】由 ，得 。 【变式1-2】计算 ______。 【答案】 【解题思路】先用对称性化简 ，再相加。 【解答过程】，，所以 。 【变式1-3】若 ，则 ______。 【答案】 【解题思路】先写出组合数之比，约分后解方程。 【解答过程】，解得 （满足 ）。 【题型2 相邻问题（捆绑法）】 【例2】4名男生和2名女生排成一排，若2名女生必须相邻，则不同的排法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】B 【解题思路】捆绑法：把2名女生捆成一个整体，与4名男生共5个"元素"排列，最后乘内部顺序。 【解答过程】把2名女生捆成整体，与4名男生共5个"元素"排列，有 种；2名女生内部有 种顺序。共有 种不同的排法。故选B。 【多解·巧解】捆绑法的固定动作是"先捆后排，内部再乘"：把相邻元素先当作一个"大元素"，全排后再补上内部的顺序。 【易错提醒】漏乘内部 会得到 （误选A）；忘了女生之间也要定顺序，是这类题的头号失分点。 【变式2-1】5人站成一排，甲、乙相邻且丙、丁相邻，共有______种站法。 【答案】 【解题思路】把甲、乙捆一块，丙、丁捆一块，与剩下1人共3个"元素"排列。 【解答过程】甲、乙捆成一块，丙、丁捆成一块，与第5人共3个"元素"排列，有 种；两块内部各有 种。共有 种站法。 【变式2-2】将3本不同的数学书和2本不同的语文书排成一排，要求同科书相邻，共有______种排法。 【答案】 【解题思路】把两科分别捆成一块，共2个"元素"排列，再乘各块内部排列数。 【解答过程】两科各捆成一块，共2个"元素"排列，有 种；数学书内部有 种，语文书内部有 种。共有 种排法。 【变式2-3】甲、乙、丙、丁、戊5人排成一排，甲、乙、丙三人必须相邻，共有______种排法。 【答案】 【解题思路】把甲、乙、丙捆成整体，与丁、戊共3个"元素"排列。 【解答过程】把甲、乙、丙捆成整体，与丁、戊共3个"元素"排列，有 种；整体内部有 种。共有 种排法。 【题型3 不相邻问题（插空法）】 【例3】4名男生和3名女生排成一排，要求3名女生互不相邻，则不同的排法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】A 【解题思路】插空法：先排4名男生，再把3名女生插入形成的5个空位（含两端）。 【解答过程】先排4名男生，有 种；排好后形成 个空位，把3名女生插入其中，有 种。共有 种不同的排法。故选A。 【多解·巧解】插空法口诀"先排后插，空位要数全"： 个元素排好后有 个空（两端也算），插入是有顺序的，用排列 而非组合。 【易错提醒】空位数是 而不是 ，数错空位会整体算错；插入时用 （有序），误用 会漏掉女生的排列顺序。 【变式3-1】5人站成一排，甲、乙两人不相邻，共有______种站法。 【答案】 【解题思路】可插空计算，也可用总数减去相邻的情形（间接法）。 【解答过程】插空法：先排其余3人，有 种；形成4个空位，把甲、乙插入，有 种。共有 种站法。 【变式3-2】将3本不同的数学书和3本不同的语文书排成一排，要求数学书互不相邻，共有______种排法。 【答案】 【解题思路】先排语文书，再把数学书插入空位。 【解答过程】先排3本语文书，有 种；形成4个空位，把3本数学书插入，有 种。共有 种排法。 【变式3-3】6人站成一排，甲、乙、丙三人互不相邻，共有______种站法。 【答案】 【解题思路】先排其余3人，再把甲、乙、丙插入4个空位。 【解答过程】先排其余3人，有 种；形成4个空位，把甲、乙、丙插入，有 种。共有 种站法。 【题型4 分组与分配】 【例4】将6本不同的书分成三组，三组的本数分别为1，2，3，则不同的分法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】A 【解题思路】非平均分组"逐组抽取、不回放"，各组方法数相乘，本数不同则不除以阶乘。 【解答过程】先取1本成一组，有 种；再取2本成一组，有 种；剩下3本成一组，有 种。共有 种不同的分法。故选A。 【多解·巧解】判断"要不要除"只需看各组本数：本数各不相同（非平均分组）不除；本数有重复（平均分组）就把重复的那部分除以相同组数的阶乘。 【易错提醒】本题三组本数 互不相同，属于非平均分组，千万不能除以 ，否则会错算成 。 【变式4-1】将6本不同的书平均分成三组，每组2本，共有______种分法。 【答案】 【解题思路】平均分成3组，要除以 消除组的先后顺序。 【解答过程】先按次序取三组：；三组本数相同且无名称，除以 ，共有 种分法。 【变式4-2】将5名志愿者分成三组，三组人数分别为2，2，1，共有______种分法。 【答案】 【解题思路】只有人数相同的两个"2人组"之间需要消除顺序。 【解答过程】先分两组各2人、剩1人：；其中两个2人组人数相同，要除以 ，共有 种分法。 【变式4-3】将4名同学分到甲、乙两个不同的兴趣小组，要求每组不少于1人，共有______种分法。 【答案】 【解题思路】每个同学都有2种去处，减去"全在同一组"的2种情形。 【解答过程】4名同学各自可选甲、乙两组，共 种分法；去掉"全在甲组""全在乙组"2种不合题意的情形，共有 种分法。 【题型5 限制条件下的排列（特殊位置与间接法）】 【例5】用0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的三位偶数（　　） A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 【答案】D 【解题思路】按"末位是否为0"分类：末位为0时首位不受限；末位非0时首位不能为0。 【解答过程】① 末位为 ：首位、十位从其余5个数字中取2个排列，有 个；② 末位为 或 （ 种）：首位不能为 ，有 种取法，十位从剩下4个数字中取，有 种。共 个。由分类计数得 个。故选D。 【多解·巧解】数字排列题先抓"特殊位置"：判断哪个数位限制最多（这里是首位不能为 、末位必须是偶数），分完类再相乘相加，思路整齐不出错。 【易错提醒】末位非 时若仍按 计算，会把"首位为 "的假三位数一并算入；分类计数时务必把"首位不能为 "这个隐藏限制带进每一类。 【变式5-1】5个人排成一排，甲既不站排头也不站排尾，共有______种站法。 【答案】 【解题思路】特殊位置优先：先安排甲的位置，再排其余人。 【解答过程】甲只能站中间的3个位置，有 种；其余4人任意排列，有 种。共有 种站法。 【变式5-2】7人排成一排，甲不站排头且乙不站排尾，共有______种站法。 【答案】 【解题思路】两个限制用容斥：全排列，减去甲站排头与乙站排尾，再加回两者同时发生的情形。 【解答过程】全排列有 种；甲站排头有 种，乙站排尾有 种；甲站排头且乙站排尾有 种。由容斥原理，共有 种站法。 【变式5-3】用1，2，3，4，5可以组成没有重复数字的五位奇数______个。 【答案】 【解题思路】奇数要求末位为奇数，先定末位再排其余位。 【解答过程】末位必须是 ，， 中的一个，有 种；其余四位由剩下4个数字全排，有 种。共有 个五位奇数。 【题型6 综合应用（正难则反与多限制）】 【例6】从5名男生和4名女生中选出4人参加活动，要求男生、女生都至少有1人，则不同的选法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】A 【解题思路】正难则反：用全部选法减去"全是男生"与"全是女生"两种极端情形。 【解答过程】从9人中任选4人共有 种；全是男生有 种，全是女生有 种。所以男生、女生都至少有1人的选法共有 种。故选A。 【多解·巧解】"都至少有 人"用间接法最快：总选法减去"某一类为 人"的极端情形，比正面按 男 女、 男 女、 男 女逐一分类相加更省事。 【易错提醒】减去的两种极端情形互斥（不可能同时全是男生又全是女生），不会重复减；若换成"至多"型则要改成正面分类相加，方向不要弄反。 【变式6-1】从6名男生和4名女生中选出3人，要求至少有1名女生，共有______种选法。 【答案】 【解题思路】间接法：总数减去"全是男生"。 【解答过程】从10人中任选3人共有 种；全是男生有 种。所以至少有1名女生的选法共有 种。 【变式6-2】从5名男生和3名女生中选出4人，要求至多有2名女生，共有______种选法。 【答案】 【解题思路】"至多"型按女生人数正面分类相加。 【解答过程】至多有2名女生，即女生人数为 ，，： 女有 种； 女有 种； 女有 种。共有 种选法。 【变式6-3】从4名男生和3名女生中选出3人，要求男生人数不少于女生人数，共有______种选法。 【答案】 【解题思路】"男生不少于女生"在选3人时即男生至少2人，分两类。 【解答过程】选3人时"男不少于女"要求男生至少2人，即男生 人或 人： 男有 种； 男 女有 种。共有 种选法。 一、单选题 1．（★★）甲、乙、丙、丁4人站成一排，甲不站在两端，则不同的站法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】A 【解题思路】特殊位置优先：先安排甲的位置。 【解答过程】甲只能站中间的2个位置，有 种；其余3人全排有 种。共有 种站法。故选A。 2．（★★）从5名男生和3名女生中选出3人，要求男生、女生都至少有1人，则不同的选法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】A 【解题思路】间接法：总数减去"全是男生"与"全是女生"。 【解答过程】从8人中任选3人共有 种；全是男生 种，全是女生 种。共有 种选法。故选A。 3．（★★）计算 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用对称性化简后相加，或用递推性合并。 【解答过程】，，所以 。故选B。 4．（★★）5名同学站成一排，甲、乙两人不相邻，则不同的站法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】A 【解题思路】间接法：总数减去甲、乙相邻的站法。 【解答过程】5人全排有 种；甲、乙相邻有 种。所以不相邻的站法有 种。故选A。 5．（★★）4名男生和2名女生排成一排，2名女生互不相邻，则不同的排法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】A 【解题思路】插空法：先排4名男生，再把2名女生插入5个空位。 【解答过程】先排4名男生，有 种；形成5个空位，把2名女生插入，有 种。共有 种排法。故选A。 6．（★★★）6名同学站成一排，甲不站排头、乙不站排尾，则不同的站法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】B 【解题思路】两限制用容斥：全排减甲站排头、减乙站排尾，再加回同时发生的情形。 【解答过程】全排有 种；甲站排头 种，乙站排尾 种；甲站排头且乙站排尾 种。共有 种站法。故选B。 7．（★★★）将包括甲、乙在内的6名志愿者分配到3个不同的社区服务，要求每个社区至少1人，且甲、乙必须分到同一个社区，则不同的分配方案共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】B 【解题思路】把甲、乙捆成一个"复合元素"，问题化为5个元素分到3个社区且每社区至少1个"元素"，再用容斥计数。 【解答过程】把甲、乙捆成一个复合元素，与另外4人共5个"元素"。每个"元素"都有 种去处，共 种；恰有1个社区空着的有 种，恰有2个社区空着（即全去同一社区）的有 种。由容斥得 种分配方案。故选B。误选D是漏掉"甲、乙同社区"的约束；误选C是把条件反向理解成"甲、乙不同社区"（）；误选A是只算了甲、乙分到某个指定社区时的方案数 ，漏乘 。 8．（★★★）将14个相同的小球全部分给甲、乙、丙三人，要求每人至少1个，且丙至多5个，则不同的分法共有（　　） A． 种　B． 种　C． 种　D． 种 【答案】B 【解题思路】先用隔板法求"每人至少1个"的总数，再正难则反，减去"丙至少6个"的情形，注意"至多"型要转化。 【解答过程】14个相同的小球排成一行，内部形成 个空隙，插入 块隔板分成 份，每份至少1个，共有 种。"丙至多5个"正难则反：丙至少 个时，先给丙 个，剩下 个再分给三人每人至少1个，有 种。所以满足条件的分法共有 种。故选B。误选C是忽略"丙至多5个"的限制；误选A是把减去的 当成了答案；误选D是把该减的加了上去（），方向弄反。 二、多选题 9．（★★）下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐一按排列数、组合数公式计算并核对。 【解答过程】，A 正确；，B 正确；，C 正确；，D 错误。故选ABC。 10．（★★）下列结论正确的是（　　） A．5人排成一排，甲、乙相邻的站法有 种　B．5人排成一排，甲、乙不相邻的站法有 种　C．将4本不同的书平均分成2组，有 种分法　D．将4本不同的书分给甲、乙两人，每人2本，有 种分法 【答案】ABC 【解题思路】分别用捆绑、插空、平均分组与分配的方法核对。 【解答过程】A 中甲、乙相邻有 种，正确；B 中不相邻有 种，正确；C 中 种，正确；D 中分给有名字的两人， 种，不是 ，错误。故选ABC。 11．（★★★）从5名男生和3名女生中选出3人，下列结论正确的是（　　） A．恰有2名女生的选法有 种　B．至少有1名女生的选法有 种　C．全是男生的选法有 种　D．恰有1名男生的选法有 种 【答案】ABC 【解题思路】逐项用组合数计算，注意"恰有"与"至少"的区别。 【解答过程】A 中 种，正确；B 中 种，正确；C 中 种，正确；D 中恰有1名男生即恰有2名女生，应等于 种而非 种，错误。故选ABC。 12．（★★★）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排，下列结论正确的是（　　） A．甲、乙相邻且丙、丁不相邻的站法共有 种　B．甲在乙的左侧（可相邻）的站法共有 种　C．甲、乙、丙三人恰有两人相邻的站法共有 种　D．甲、乙之间恰有 人、 人、 人时，对应的站法数依次为 、、 种 【答案】ABD 【解题思路】逐项独立核算：相邻与不相邻混合时先捆绑再间接；定序用对称性；"之间恰有 人"按位置对逐个枚举。 【解答过程】A：甲、乙捆成整体，与丙、丁、戊共4个"元素"排列有 种，其中丙、丁也相邻的有 种，故 种，正确；B：甲在乙左侧与乙在甲左侧各占一半，共 种，正确；C：三人全相邻有 种，互不相邻有 种，恰有两人相邻应为 种， 是只减全相邻而漏了互不相邻的 种，错误；D：恰有 人时位置对为 ，，，共 种；恰有 人时位置对为 ，，共 种；恰有 人时位置对为 ，共 种，依次正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）______。 【答案】 【解题思路】排列数从 开始连续取 个整数相乘。 【解答过程】。 14．（★★）从8名同学中选出3人参加活动，共有______种选法。 【答案】 【解题思路】选人只与"选谁"有关，与顺序无关，用组合数。 【解答过程】 种选法。 15．（★★★）将4本不同的书分给3名同学，要求每人至少1本，共有______种分法。 【答案】 【解题思路】4本书给3人且每人至少1本，人数结构必为1，1，2，先分组再分配。 【解答过程】先选出2本给同一个人，有 种；至此形成 ，， 三组，分给3名不同的同学，有 种。共有 种分法。 16．（★★★）用 组成没有重复数字的四位数，要求千位数字大于百位数字、百位数字大于十位数字，这样的四位数共有______个。 【答案】 【解题思路】反向构造：先选 个数字并定下个位，其余 个数字从大到小放入千、百、十位，顺序唯一；千位是三者中最大者，必不为 ，首位限制自动满足。 【解答过程】满足"千位 百位 十位"时，千、百、十位上的 个数字一旦选定，排列方式唯一（从大到小依次放入）。故反向构造：先从 个数字中选 个，有 种；再从这 个数字中选 个作个位，有 种；其余 个数字从大到小依次放入千、百、十位，其中千位是三者中的最大数，三个互不相同的数字中至多一个为 ，故最大数不可能是 ，首位限制自动满足。共有 个。 四、解答题 17．（★★）计算与求值。 (1) 求 的值； (2) 已知 ，求 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 分别求组合数再相加，或用递推性合并；(2) 写出组合数表达式后约分求解。 【解答过程】(1) ，，所以 。 (2) ，约去 （因 ）得 ， 所以 ，解得 。 【多解·巧解】第(1)问可直接用递推性质 ，比逐项计算更快；第(2)问用"约分消去公因子"把三次方程化为一次方程，避免展开成高次式。 【易错提醒】第(2)问约去 时隐含 （否则 无意义），约分是合法的；求出 后要检验 ，切勿漏掉取值范围。 18．（★★）4名男生和3名女生排成一排。 (1) 求3名女生相邻的排法数； (2) 求3名女生互不相邻的排法数。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用捆绑法；(2) 用插空法，两问恰为一对姊妹问。 【解答过程】(1) 把3名女生捆成整体，与4名男生共5个"元素"排列，有 种；女生内部有 种。共有 种排法。 (2) 先排4名男生，有 种；形成5个空位，把3名女生插入，有 种。共有 种排法。 【多解·巧解】"相邻"与"不相邻"是同一背景下的相反要求：相邻用捆绑（先捆后排、内部再乘），不相邻用插空（先排后插、空位含两端），两法对照记忆最牢固。 【易错提醒】第(2)问空位数是 个；插入的女生有顺序，应用 而非 ，否则会漏掉女生的排列顺序。 19．（★★）从6名男生和4名女生中选出4人参加活动。 (1) 求恰有2名女生的选法数； (2) 求至少有2名女生的选法数。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 分步选人；(2) 正面按女生人数分类相加，或用间接法验证。 【解答过程】(1) 从4名女生中选2名有 种，从6名男生中选2名有 种，共有 种。 (2) 女生人数为 ，，： 女有 种， 女有 种， 女有 种， 共有 种。 【多解·巧解】第(2)问也可用间接法：，与正面分类结果一致，两法互验能有效发现漏项。 【易错提醒】正面分类时每一类都必须"取足4人"，即女生取 人时男生要取 人，别只算女生的组合数而漏乘男生的组合数。 20．（★★★）将6本不同的书分成三组。 (1) 若平均分成三组，每组2本，求分法数； (2) 若甲得1本、乙得2本、丙得3本，求分法数。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 平均分组要除以 ；(2) 分给有名有姓的三人，逐人取书，不除。 【解答过程】(1) 先按次序取三组：；三组本数相同且无名称，除以 ，得 种。 (2) 甲的1本有 种，乙的2本有 种，丙的3本有 种，共有 种分法。 【多解·巧解】区分"分组"与"分配"的分水岭是对象有无区别：第(1)问三堆无名称（要除 ），第(2)问甲、乙、丙有名字（逐人取书，不除）。判断"除不除"一看对象名不名、二看组数是否重复。 【易错提醒】第(1)问若不除 会算成 ；第(2)问若误除以阶乘会算成 ，两种错误方向相反，务必先辨"有没有名字"再动手。 21．（★★★）6名同学站成一排。 (1) 求甲不站排头、乙不站排尾的站法数； (2) 求甲、乙、丙三人必须相邻的站法数。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 两个限制用容斥；(2) 用捆绑法把三人看成一个整体。 【解答过程】(1) 全排有 种；甲站排头 种，乙站排尾 种；甲站排头且乙站排尾 种。由容斥得 种。 (2) 把甲、乙、丙捆成整体，与其余3人共4个"元素"排列，有 种；整体内部有 种。共有 种站法。 【多解·巧解】第(1)问是"两个限制"的标准容斥：先全排，减去两个单限制，再加回被重复减去的交集情形，口诀"先加后减"帮助记忆次序。 【易错提醒】第(1)问最容易只减两次而忘记加回交集 ，导致结果偏小 ；第(2)问别忘了乘三人内部的 。 22．（★★★）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成无重复数字的四位数。 (1) 求四位数的个数； (2) 求四位偶数的个数。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】按"特殊位置优先"处理：先定首位不能为0，末位分类讨论是否为0。 【解答过程】(1) 首位不能为 ，有 种；其余三位从剩下5个数字中取3个排列，有 种。共有 个四位数。 (2) 按末位分类：末位为 时，其余三位有 个；末位为 或 （ 种）时，首位不能为 且不能取末位数字，有 种，中间两位有 种，共 个。 所以四位偶数共有 个。 【多解·巧解】数字排列题的通用次序是"先定末位（是否取 ）→ 再定首位（不能为 ）→ 最后排中间位"，把限制最多的数位先处理，能避免重复计数。 【易错提醒】第(2)问末位非 时，首位既不能取 、也不能取已用的末位数字，只剩 种选择；漏掉这一限制会把结果算大，务必把"排除已用数字"带上。 23．（★★★）将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，要求每人至少1本。 (1) 若甲得3本、乙得2本、丙得1本，求不同的分法数； (2) 若每人恰好得2本，求不同的分法数； (3) 若甲恰好得1本，求不同的分法数。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1)(2) 按指定本数逐人取书，本数有无重复决定除不除阶乘；(3) 先给甲取1本，再把剩余5本分给乙、丙且每人至少1本，按乙的本数分类。 【解答过程】(1) 甲取3本有 种，乙再取2本有 种，丙取剩下的1本有 种，共有 种。 (2) 甲取2本有 种，乙再取2本有 种，丙取最后2本有 种，共有 种。三人是不同对象，逐人取书时不需要再除以 。 (3) 甲取1本有 种；剩余5本分给乙、丙且每人至少1本，按乙的本数分类：乙1本丙4本有 种，乙2本丙3本有 种，乙3本丙2本有 种，乙4本丙1本有 种，共 种（也可用间接法 ）。共有 种分法。 【多解·巧解】第(3)问可整体验证：满足"每人至少1本"的全部分法为 种，其中人数结构 有 种（即第(2)问）、 有 种，故结构 有 种，甲得1本的情形占其中一半（乙、丙地位对称），恰为 种，与分类结果一致。 【易错提醒】第(2)问是分给有名字的三人，逐人取书后不要再除以 ，否则会错算成 ；第(3)问剩余5本给乙、丙时不能直接算 ，必须去掉"其中一人独拿5本"的 种情形。 24．（★★★）甲、乙、丙、丁等7名同学站成一排。 (1) 求甲、乙相邻且丙、丁也相邻的站法数； (2) 求甲、乙之间恰有3人的站法数； (3) 求甲、乙相邻，且甲不站排头、乙不站排尾的站法数。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 双捆绑；(2) 先数相隔4格的位置对，再排中间与其余位置；(3) 在"甲、乙相邻"的前提下用容斥，注意甲站排头与乙站排尾不可能同时发生。 【解答过程】(1) 甲、乙捆成一块，丙、丁捆成一块，与其余3人共5个"元素"排列，有 种；两块内部各有 种。共有 种站法。 (2) 甲、乙之间恰有3人，即两人相隔4格，7个位置中这样的位置对为 ，， 共3对，甲、乙可交换有 种；中间3个位置从其余5人中选3人排列有 种；剩下2人排在剩下2个位置有 种。共有 种站法。 (3) 甲、乙相邻的站法：捆成整体后共6个"元素"，有 种。其中甲站排头的：甲、乙相邻时乙必站第2位，其余5个"元素"全排有 种；乙站排尾的：同理甲必站第6位，有 种。而"甲站排头且乙站排尾"要求甲在第1位、乙在第7位，两人不相邻，与前提矛盾，交集为空集，不必加回。故所求站法共有 种。 【多解·巧解】第(3)问的突破口是发现两个被减事件互斥：在"甲、乙相邻"的前提下，甲站排头会把乙"锁"在第2位，乙自然不可能站排尾，直接两次相减即可；第(2)问也可把"甲、中间3人、乙"看成一个长条整体，与其余2人共3个"单位"排列（），内部再定序（甲乙方位 种、中间3人 种），结果同为 ，两法互验。 【易错提醒】第(3)问若照搬"减两次再加回交集"的套路，会误加一个不存在的交集；第(2)问位置对是"相隔4格"而非"相隔3格"，数错间距或漏乘甲、乙交换的 种都会算错。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $