第58讲 离散型随机变量及其分布列 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第58讲 离散型随机变量及其分布列 第58讲 离散型随机变量及其分布列 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解离散型随机变量的意义，会准确写出随机变量的全部取值； 2．掌握分布列的求法与两条基本性质，会用"各概率之和为 "求含参问题； 3．掌握均值与方差的计算，优先用 求方差，并能由 、 反求参数； 4．熟练运用 、，会用期望与方差解决实际决策问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 离散型随机变量的取值与分布列 选择题、解答题 第5~7题、第15~16题 中 先定全部取值，逐一求概率，最后验"和为 " 均值与方差的计算 选择题、填空题 第6~7题、第13~14题 中 取值乘概率求和；方差用 含参分布列 选择题、填空题、解答题 第7~10题、第13~14题 中偏难 用"和为 "或已知期望列方程，再验非负 两点分布 选择题、填空题 第5~6题、第13题 中 记牢 、 均值方差的性质与决策 多选题、解答题 第9~10题、第17~18题 中偏难 用 ；均值同看方差 命题规律分析 离散型随机变量的分布列是概率统计的"身份证"，均值方差则是它的两个"特征值"。新高考中本专题常以单选第 5~7 题、多选第 9~10 题、填空第 13~14 题以及解答题第 15~18 题出现。培优层的要求远不止"套公式"：一是把"定取值—算概率—列表格—验和为 "做成流水线，二是面对含参分布列会用"和为 "和"期望已知"反求参数，三是把线性变换的性质与期望决策串成一条链。本讲聚焦"含参分布列"和"线性变换求期望方差"这两类拉开差距的题型，把每一步都落到规范算式上，确保这一板块的分数稳稳拿下。 考点1 离散型随机变量及其分布列 知识点1 离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量叫随机变量；若其所有取值可以一一列出，则称为离散型随机变量。 取值是否"可数"是判断的关键：掷骰子的点数、射击命中的环数是离散型，而身高、时间、降雨量不是。 【易错清单】 1．把身高、时间、温度等连续型变量误当作离散型随机变量； 2．随机变量的取值一般写成可数的数，不要写成区间； 3．取值只写了一部分，会导致后面的分布列"各概率之和不为 "。 知识点2 分布列及其性质 离散型随机变量各取值 及其概率 构成的表叫分布列，两条性质：，。 求分布列四步：定取值—算概率—列成表—用"和为 "检验；含参问题直接由"和为 "列方程。 【易错清单】 1．忘用"和为 "检验，概率算错却浑然不知； 2．"至少""至多"类事件容易漏算或多算，可转化为对立事件再作差； 3．概率须满足 ，出现负数或大于 一定算错。 考点2 均值与方差 知识点3 均值（数学期望） 若 ，则均值 ，它是随机变量取值的加权平均，权重为对应概率。 均值不一定是随机变量能取到的值；取值为 的项对均值没有贡献，可直接略去。 【易错清单】 1．求均值时漏乘、少乘某个取值，或忘记负号； 2．误以为"均值一定是某个可能的取值"； 3．用公式 时漏加常数项 。 知识点4 方差与标准差 方差 ，更常用的是 ；标准差为 。 方差反映取值的离散程度，方差越大取值越分散；方差恒非负。 【易错清单】 1．把 与 搞混，二者一个是"先平方再求期望"，一个是"先求期望再平方"； 2．算 时忘记给取值平方，直接用了均值； 3．方差带平方，注意与均值、标准差在单位上的区别。 考点3 两点分布与均值方差的性质 知识点5 两点分布 若 只取 与 ，且 、，则称 服从两点分布，且 ，。 "成功或失败""中奖或不中奖""合格或不合格"都可用两点分布刻画。 【易错清单】 1．把两点分布的均值误记成 ，忽略了它由成功概率 决定； 2． 中 取 ，不能取错； 3．取值是其它两个数时要先作线性变换，不能直接套两点分布公式。 知识点6 均值与方差的性质 若 ，则 ，（方差与常数 无关，倍数按平方缩放）。 特别地 ，，。 【易错清单】 1．把 错写成 ，方差没有"加常数"这一项； 2．，负号被平方抵消，不要写成 ； 3．线性变换不必重求 的分布列，直接用性质更快更准。 【题型1 分布列的求法】 【例1】袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中任取 个球，用 表示取到的红球个数。求 的分布列。 【变式1-1】抛掷一枚质地均匀的硬币 次，用 表示正面朝上的次数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知随机变量 的分布列为 （），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中任取 个球，用 表示取到的红球个数，求 的分布列。 【题型2 均值（期望）的计算】 【例2】已知随机变量 的分布列为 ，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】抛掷一枚质地均匀的骰子，用 表示出现的点数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】袋中装有 个红球和 个白球，从中任取 个球，用 表示取到的红球个数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知随机变量 的分布列为 ，，，且 。 (1) 求 的值； (2) 求 。 【题型3 方差的计算】 【例3】已知随机变量 的分布列为 ，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知随机变量 的分布列为 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】抛掷一枚质地均匀的骰子，用 表示出现的点数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】某射手射击一次命中目标的概率为 ，命中得 分，不中得 分。用 表示一次射击的得分，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 两点分布】 【例4】已知随机变量 服从两点分布，且 。 (1) 写出 的分布列； (2) 求 与 。 【变式4-1】某次试验成功的概率为 ，用 表示一次试验是否成功（成功取 ，失败取 ）。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知随机变量 服从两点分布，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】随机变量 只取 和 两个值，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 均值与方差的性质】 【例5】已知随机变量 满足 ，。 (1) 求 ； (2) 求 。 【变式5-1】已知随机变量 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知随机变量 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知随机变量 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 分布列的实际应用】 【例6】从编号分别为 的 个球中任取 个球，用 表示取出球的最大编号。 (1) 求 的分布列； (2) 求 。 【变式6-1】某商店举行抽奖活动，一次抽奖中奖的概率为 。用 表示一次抽奖的结果（中奖取 ，不中奖取 ），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】一盒中装有形状、大小完全相同的 个白球和 个黑球，从中任取 个球，用 表示取到的黑球个数。求 的分布列与 。 【变式6-3】一袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个黄球，从中任取 个球，用 表示取到的红球个数，求 与 。 一、单选题 1．（★★）下列变量中是离散型随机变量的是（　　） A．某篮球运动员一场比赛的得分　B．某地一天内的降雨量　C．某人的身高　D．某物体的温度 2．（★★）若随机变量 的分布列为 （），则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）抛掷一枚质地均匀的硬币一次，用 表示结果（正面取 ，反面取 ），则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知随机变量 服从两点分布，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，令 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，，且 。令 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）某商场推出两种积分方案：方案一：从装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球的袋中任取 个球，每取到 个红球得 分，每取到 个白球得 分，用 表示方案一的得分；方案二：直接获得 分。则下列结论正确的是（　　） A．，且方案一更稳定　B．，且方案二更稳定　C．，且方案二更稳定　D．，且两方案稳定性相同 二、多选题 9．（★★）下列关于离散型随机变量及其分布列的说法中，正确的是（　　） A．离散型随机变量的取值可以一一列举出来　B．分布列中所有概率之和等于 　C．分布列中每一个概率都不小于 　D．离散型随机变量的取值一定是有限个 10．（★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 12．（★★★）已知随机变量 的所有可能取值为 ，，，且 ，（），，则下列结论正确的是（　　） A．，且 　B．，且 　C．当 时，　D． 存在最大值 三、填空题 13．（★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，则 ____________。 14．（★★）已知随机变量 的分布列为 （），则 ____________。 15．（★★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，则 ____________。 16．（★★★）已知随机变量 的分布列为 ，，（），且 ，则 的取值范围是 ____________。 四、解答题 17．（★★）袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中任取 个球，用 表示取到的白球个数。 (1) 求 的分布列； (2) 求 。 18．（★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，。 (1) 求 ； (2) 求 。 19．（★★）已知随机变量 服从两点分布，且 。 (1) 求 与 ； (2) 设 ，求 与 。 20．（★★★）从编号分别为 的 个球中任取 个球，用 表示取出球的最小编号。 (1) 求 的分布列； (2) 求 。 21．（★★★）已知随机变量 的分布列为 （）。 (1) 求 与 ； (2) 设 ，求 与 。 22．（★★★）某工厂生产的一箱产品共 件，其中有 件次品，现从中任取 件，用 表示取到的次品数。 (1) 求 的分布列； (2) 求 。 23．（★★★）某商场举办抽奖活动：袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，顾客从中任取 个球，用 表示取到的红球个数；每取到 个红球，商场奖励顾客 元，取到白球没有奖励。 (1) 求 的分布列； (2) 求 与 ； (3) 顾客参加一次抽奖须先支付 元（），用 表示一次抽奖的净收益（净收益 奖励 支付）。若要使顾客净收益的期望不小于 ，求 的最大值，并求此时 。 24．（★★★）某公司有两个投资方案，一年后的利润（单位：万元）分布列如下： 方案A：，； 方案B：，，。 (1) 求 与 ，并判断两方案的平均利润是否相同； (2) 求 与 ，并比较两方案利润的稳定性； (3) 现将方案A调整为：利润为 万元与 万元（）各以 的概率发生，且期望仍为 万元。若要求调整后方案A的方差不超过方案B的方差，求 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第58讲 离散型随机变量及其分布列 第58讲 离散型随机变量及其分布列 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解离散型随机变量的意义，会准确写出随机变量的全部取值； 2．掌握分布列的求法与两条基本性质，会用"各概率之和为 "求含参问题； 3．掌握均值与方差的计算，优先用 求方差，并能由 、 反求参数； 4．熟练运用 、，会用期望与方差解决实际决策问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 离散型随机变量的取值与分布列 选择题、解答题 第5~7题、第15~16题 中 先定全部取值，逐一求概率，最后验"和为 " 均值与方差的计算 选择题、填空题 第6~7题、第13~14题 中 取值乘概率求和；方差用 含参分布列 选择题、填空题、解答题 第7~10题、第13~14题 中偏难 用"和为 "或已知期望列方程，再验非负 两点分布 选择题、填空题 第5~6题、第13题 中 记牢 、 均值方差的性质与决策 多选题、解答题 第9~10题、第17~18题 中偏难 用 ；均值同看方差 命题规律分析 离散型随机变量的分布列是概率统计的"身份证"，均值方差则是它的两个"特征值"。新高考中本专题常以单选第 5~7 题、多选第 9~10 题、填空第 13~14 题以及解答题第 15~18 题出现。培优层的要求远不止"套公式"：一是把"定取值—算概率—列表格—验和为 "做成流水线，二是面对含参分布列会用"和为 "和"期望已知"反求参数，三是把线性变换的性质与期望决策串成一条链。本讲聚焦"含参分布列"和"线性变换求期望方差"这两类拉开差距的题型，把每一步都落到规范算式上，确保这一板块的分数稳稳拿下。 考点1 离散型随机变量及其分布列 知识点1 离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量叫随机变量；若其所有取值可以一一列出，则称为离散型随机变量。 取值是否"可数"是判断的关键：掷骰子的点数、射击命中的环数是离散型，而身高、时间、降雨量不是。 【易错清单】 1．把身高、时间、温度等连续型变量误当作离散型随机变量； 2．随机变量的取值一般写成可数的数，不要写成区间； 3．取值只写了一部分，会导致后面的分布列"各概率之和不为 "。 知识点2 分布列及其性质 离散型随机变量各取值 及其概率 构成的表叫分布列，两条性质：，。 求分布列四步：定取值—算概率—列成表—用"和为 "检验；含参问题直接由"和为 "列方程。 【易错清单】 1．忘用"和为 "检验，概率算错却浑然不知； 2．"至少""至多"类事件容易漏算或多算，可转化为对立事件再作差； 3．概率须满足 ，出现负数或大于 一定算错。 考点2 均值与方差 知识点3 均值（数学期望） 若 ，则均值 ，它是随机变量取值的加权平均，权重为对应概率。 均值不一定是随机变量能取到的值；取值为 的项对均值没有贡献，可直接略去。 【易错清单】 1．求均值时漏乘、少乘某个取值，或忘记负号； 2．误以为"均值一定是某个可能的取值"； 3．用公式 时漏加常数项 。 知识点4 方差与标准差 方差 ，更常用的是 ；标准差为 。 方差反映取值的离散程度，方差越大取值越分散；方差恒非负。 【易错清单】 1．把 与 搞混，二者一个是"先平方再求期望"，一个是"先求期望再平方"； 2．算 时忘记给取值平方，直接用了均值； 3．方差带平方，注意与均值、标准差在单位上的区别。 考点3 两点分布与均值方差的性质 知识点5 两点分布 若 只取 与 ，且 、，则称 服从两点分布，且 ，。 "成功或失败""中奖或不中奖""合格或不合格"都可用两点分布刻画。 【易错清单】 1．把两点分布的均值误记成 ，忽略了它由成功概率 决定； 2． 中 取 ，不能取错； 3．取值是其它两个数时要先作线性变换，不能直接套两点分布公式。 知识点6 均值与方差的性质 若 ，则 ，（方差与常数 无关，倍数按平方缩放）。 特别地 ，，。 【易错清单】 1．把 错写成 ，方差没有"加常数"这一项； 2．，负号被平方抵消，不要写成 ； 3．线性变换不必重求 的分布列，直接用性质更快更准。 【题型1 分布列的求法】 【例1】袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中任取 个球，用 表示取到的红球个数。求 的分布列。 【答案】，，，。 【解题思路】先定 取 ，再用组合数逐一求概率，最后用"和为 "检验。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法。 ：取 个白球，有 种，； ：取 红 白，有 种，； ：取 红 白，有 种，； ：取 个红球，有 种，。 检验：。 【多解·巧解】分布列求出后还可顺带检验期望：本题 服从超几何分布，；若再按定义逐项加权也应得到 ，两法一致可作为分布列的"验算器"。 【易错提醒】取值上限是 ，别多写 ；求 时分子是"红球取 个、白球取 个"的组合数之积，漏掉另一类球的取法是最常见的错误。 【变式1-1】抛掷一枚质地均匀的硬币 次，用 表示正面朝上的次数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】 取 ，先确定 包含的结果数，再除以总结果数。 【解答过程】抛掷硬币 次共有 种等可能结果， 表示恰有 次正面，从 次中选 次取正面，有 种，所以 。故选C。 【变式1-2】已知随机变量 的分布列为 （），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】，把对应概率相加。 【解答过程】由分布列得 ，，所以 。故选C。 【变式1-3】袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中任取 个球，用 表示取到的红球个数，求 的分布列。 【答案】，，。 【解题思路】先定取值 ，再用组合数分别求概率，最后检验和为 。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法。 ：取 个白球，有 种，； ：取 红 白，有 种，； ：取 红 白，有 种，。 检验：。 【题型2 均值（期望）的计算】 【例2】已知随机变量 的分布列为 ，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】均值等于"每个取值乘以它的概率"再求和。 【解答过程】。故选B。 【多解·巧解】取值为 的项贡献为零，可直接略去，只剩 ，秒算；注意负号的运算不要漏，这是最常见的失分点。 【易错提醒】把 的贡献写成 或漏掉负号，会得到 的错误结果；另外 可以取到分布列之外的值（本题 就不是取值），不要误以为"均值必是可能取值"。 【变式2-1】抛掷一枚质地均匀的骰子，用 表示出现的点数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】各取值等概率时，均值就是所有取值的算术平均数。 【解答过程】 取 ，每个值的概率均为 ，。故选B。 【变式2-2】袋中装有 个红球和 个白球，从中任取 个球，用 表示取到的红球个数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先写分布列，再按"取值乘概率求和"算均值。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法，，，。所以 。故选B。 【变式2-3】已知随机变量 的分布列为 ，，，且 。 (1) 求 的值； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先用已知期望列方程求 ，再用"和为 "检验，最后按 求方差。 【解答过程】(1) 由 ，即 ，解得 。 检验：，符合分布列性质。 (2) ， 所以 。 【题型3 方差的计算】 【例3】已知随机变量 的分布列为 ，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用 ：先求 ，再求 ，最后作差。 【解答过程】由例2知 。又 ，所以 。故选C。 【多解·巧解】求方差优先用 ，比定义式少算一遍"偏差的平方"；也可用定义式 求和交叉验算，两法一致说明 没算错。 【易错提醒】 与 位置最容易搞反：前者是"取值平方后加权"，后者是"均值再平方"，本题分别是 与 ，写成 之外的组合都会出错。 【变式3-1】已知随机变量 的分布列为 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先求 ，再求 ，最后作差。 【解答过程】，，所以 。故选B。 【变式3-2】抛掷一枚质地均匀的骰子，用 表示出现的点数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】等可能取值先分别求 与 ，再用公式作差。 【解答过程】，，所以 。故选A。 【变式3-3】某射手射击一次命中目标的概率为 ，命中得 分，不中得 分。用 表示一次射击的得分，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先求 与 ，再作差求方差。 【解答过程】 取 和 ，，，，，所以 。故选C。 【题型4 两点分布】 【例4】已知随机变量 服从两点分布，且 。 (1) 写出 的分布列； (2) 求 与 。 【答案】(1) ，； (2) ，。 【解题思路】两点分布只取 、，由 直接得 ，再用公式求均值方差。 【解答过程】(1) 因为 服从两点分布且 ，所以 ， 分布列为 ，。 (2) ；。 【多解·巧解】两点分布有现成公式：（），。用公式一步得 、，比逐项列式更快，考试时先想"能不能套两点分布"。 【易错提醒】别把两点分布的均值记成 ——它由成功概率 决定，本题是 ； 中 取的是 ，不要取成 。 【变式4-1】某次试验成功的概率为 ，用 表示一次试验是否成功（成功取 ，失败取 ）。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两点分布 ，。 【解答过程】由两点分布知 ，所以 。故选A。 【变式4-2】已知随机变量 服从两点分布，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】直接套两点分布的均值、方差公式。 【解答过程】由两点分布 ，所以 。故选B。 【变式4-3】随机变量 只取 和 两个值，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先用"和为 "求概率，再求均值。 【解答过程】设 ，则 ，由分布列性质 ，得 ，所以 ，。故选C。 【题型5 均值与方差的性质】 【例5】已知随机变量 满足 ，。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】用性质 ，，直接代入。 【解答过程】(1) 。 (2) 。 【多解·巧解】线性变换不必先求 的分布列：均值"倍数照乘、常数照加"，方差"只乘倍数平方、与常数无关"。这一对性质记牢，比从头列 的分布列省一半计算量。 【易错提醒】最典型的错误是把 写成 ：方差既没有"加常数"这一项，倍数还要平方。均值与方差的性质"形似神不似"，务必分开记。 【变式5-1】已知随机变量 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】把方差公式变形为 。 【解答过程】由 ，得 。故选C。 【变式5-2】已知随机变量 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】直接用 。 【解答过程】。故选B。 【变式5-3】已知随机变量 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】直接用 ，注意常数 不影响方差。 【解答过程】。故选C。 【题型6 分布列的实际应用】 【例6】从编号分别为 的 个球中任取 个球，用 表示取出球的最大编号。 (1) 求 的分布列； (2) 求 。 【答案】(1) ，，； (2) 。 【解题思路】最大编号最小为 ，用"最大值定型、其余任取"的方法计数求概率。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法，最大编号最小为 ，故 取 。 (1) ：必取 ，再从 中取 个，有 种，； ：必取 ，再从 中取 个，有 种，； ：必取 ，再从 中取 个，有 种，。 检验：。 (2) 。 【多解·巧解】"最大值/最小值"型计数有一个统一套路：先"定型"那个特殊号码，再从剩余号码中任取补足个数。计数写成组合数之积，最后用"和为 "检验，逻辑清晰且不易漏项。 【易错提醒】别把 也写进取值——取 个球，最大编号至少是 ；计数时容易忘记"定型"的号码本身也算一个，导致组合数取成 之类的无意义值。 【变式6-1】某商店举行抽奖活动，一次抽奖中奖的概率为 。用 表示一次抽奖的结果（中奖取 ，不中奖取 ），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】中奖与不中奖是典型的两点分布，直接用 。 【解答过程】 服从两点分布，，故 。故选A。 【变式6-2】一盒中装有形状、大小完全相同的 个白球和 个黑球，从中任取 个球，用 表示取到的黑球个数。求 的分布列与 。 【答案】，，；。 【解题思路】先列分布列，再求均值。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法。 ：取 个白球，有 种，； ：取 黑 白，有 种，； ：取 个黑球，有 种，。 检验：。 。 【变式6-3】一袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个黄球，从中任取 个球，用 表示取到的红球个数，求 与 。 【答案】，。 【解题思路】先列分布列，再依次求 、，最后作差得方差。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法，分布列为 ，，。；，所以 。 一、单选题 1．（★★）下列变量中是离散型随机变量的是（　　） A．某篮球运动员一场比赛的得分　B．某地一天内的降雨量　C．某人的身高　D．某物体的温度 【答案】A 【解题思路】判断离散型随机变量的关键是"取值能否一一列出"。 【解答过程】离散型随机变量的取值可以一一列举。一场比赛的得分是可数的非负整数；降雨量、身高、温度都能在某个区间内连续取值，不能一一列举。故选A。 2．（★★）若随机变量 的分布列为 （），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】分布列给出了概率的表达式，直接代入即可。 【解答过程】把 代入得 。故选C。 3．（★★）抛掷一枚质地均匀的硬币一次，用 表示结果（正面取 ，反面取 ），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】两点分布 。 【解答过程】 服从两点分布，，故 。故选C。 4．（★★）已知随机变量 服从两点分布，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两点分布方差公式 。 【解答过程】。故选A。 5．（★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】取值乘概率再求和。 【解答过程】。故选B。 6．（★★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，令 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用 ，先求原变量的均值。 【解答过程】先求 ，由性质 。故选C。 7．（★★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，，且 。令 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】分布列含双参数：先用"和为 "与已知期望联立解出 、，再求 ，最后用 放大。 【解答过程】由分布列性质 ，得 ；由 ，得 。两式相减得 ，代回得 （均为正概率，符合分布列要求）。于是 ，。故 。故选C。误选A是求出 后忘记作线性变换；误选B是把倍数直接乘方差而漏了平方；误选D是求 时漏掉 这一项，得到 、。 8．（★★★）某商场推出两种积分方案：方案一：从装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球的袋中任取 个球，每取到 个红球得 分，每取到 个白球得 分，用 表示方案一的得分；方案二：直接获得 分。则下列结论正确的是（　　） A．，且方案一更稳定　B．，且方案二更稳定　C．，且方案二更稳定　D．，且两方案稳定性相同 【答案】B 【解题思路】先用超几何计数求红球数 的分布列，把得分写成 用线性性质求期望方差，再比较两方案方差定稳定性。 【解答过程】设取到的红球数为 ，从 个球中取 个共 种取法，，，。得分 。，故 ；又 ，，故 。方案二得分恒为 ，方差为 ；两方案期望相同而方案二方差更小，故方案二更稳定。故选B。误选C是忽略"白球得 分"这一规则，把期望算成 ；误选A是把"方差小更稳定"的方向记反；误选D是误以为期望相同就一样稳定。 二、多选题 9．（★★）下列关于离散型随机变量及其分布列的说法中，正确的是（　　） A．离散型随机变量的取值可以一一列举出来　B．分布列中所有概率之和等于 　C．分布列中每一个概率都不小于 　D．离散型随机变量的取值一定是有限个 【答案】ABC 【解题思路】对照离散型随机变量的定义与分布列的两条性质逐项判断。 【解答过程】由离散型随机变量的定义，其取值可以一一列出，A正确；分布列的两条性质为 且 ，B、C正确；离散型随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限可列个，D错误。故选ABC。 10．（★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABD 【解题思路】逐项计算均值、方差与概率，注意 要把对应概率相加。 【解答过程】，A正确；，，B正确；，C错误；，D正确。故选ABD。 11．（★★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABD 【解题思路】先算 、，再求方差；线性变换的方差要乘倍数平方。 【解答过程】，A正确；，D正确；，B正确；，C错误。故选ABD。 12．（★★★）已知随机变量 的所有可能取值为 ，，，且 ，（），，则下列结论正确的是（　　） A．，且 　B．，且 　C．当 时，　D． 存在最大值 【答案】ABC 【解题思路】先由 得 ，再由"三个取值概率均为正"定出 的临界范围，最后逐项推方差并讨论最大值能否取到。 【解答过程】设 。由 ，得 ，于是 。因为 是 的可能取值，须 ，即 ，故 （临界值 使 ， 将不再取 ，被排除），A正确；，，B正确；当 时，，，C正确；由 知 ： 可以无限接近 ，但 取不到，故 不存在最大值 ，D错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用"各概率之和等于 "列方程求参数。 【解答过程】由分布列性质 ，得 ，解得 （满足 ）。 14．（★★）已知随机变量 的分布列为 （），则 ____________。 【答案】 【解题思路】先写出各概率，再按均值定义求和。 【解答过程】，，，。 15．（★★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先求 、，再用 。 【解答过程】，，所以 。 16．（★★★）已知随机变量 的分布列为 ，，（），且 ，则 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】先用"和为 "把 用 表示，由 定出 的范围，再把 化为 的二次函数看单调性，最后按端点能否取到写范围。 【解答过程】由 得 （）。，得 ，故 。，。该函数在 上单调递减（对 求导得 ）：当 时，，可以取到（此时 ，符合 ）；当 时，，但 不在范围内， 取不到。故 的取值范围是 。 四、解答题 17．（★★）袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，从中任取 个球，用 表示取到的白球个数。 (1) 求 的分布列； (2) 求 。 【答案】(1) ，，； (2) 。 【解题思路】(1) 先定取值 ，再用组合数求概率；(2) 按定义求均值。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法。 (1) ：取 个红球，有 种，； ：取 白 红，有 种，； ：取 白 红，有 种，。 检验：。 (2) 。 【多解·巧解】第(1)问先写全取值再逐项求概率，最后用"和为 "检验；第(2)问也可用超几何分布均值公式 快速核算。 【易错提醒】本题 表示"白球个数"，分子中"取 个白球"要乘上"取 个红球"的取法，别把两类球的组合数写反；分布列末尾一定检验各概率之和为 。 18．（★★）已知随机变量 的分布列为 ，，，。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 按定义求和；(2) 先求 ，再用 。 【解答过程】(1) 。 (2) ， 所以 。 【多解·巧解】求方差前先核对分布列各概率之和是否为 （本题 ），数据无误再放心计算；用 比定义式更省事。 【易错提醒】 与 要分清，作差顺序不能反；方差恒非负，若算出负数说明 或 算错了。 19．（★★）已知随机变量 服从两点分布，且 。 (1) 求 与 ； (2) 设 ，求 与 。 【答案】(1) ，； (2) ，。 【解题思路】两点分布用 、；线性变换用均值方差的性质。 【解答过程】(1) 由 服从两点分布且 ，得 。 ；。 (2) ； 。 【多解·巧解】两点分布的 取的是 ，当题目给的是 时要先换算；线性变换"先求 再变换"，比重新列 的分布列快得多。 【易错提醒】第(2)问 ，倍数要平方且不加常数项；若写成 或忘记平方都会出错。 20．（★★★）从编号分别为 的 个球中任取 个球，用 表示取出球的最小编号。 (1) 求 的分布列； (2) 求 。 【答案】(1) ，，； (2) 。 【解题思路】最小编号最大为 ，用"最小值定型、其余从比它大的号码中任取"的方法计数。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法，最小编号最大为 ，故 取 。 (1) ：必取 ，再从 中取 个，有 种，； ：必取 ，再从 中取 个，有 种，； ：必取 ，须同时取 ，有 种，。 检验：。 (2) 。 【多解·巧解】"最小编号"型与"最大编号"型方法对称：一个从"比它大的号码"中补足个数，一个从"比它小的号码"中补足个数。弄清"定型后还剩几个名额、从哪些号码里选"，组合数就不会写错。 【易错提醒】最小编号最大只能到 （取 时最小为 ），不能出现 ； 时只剩 两个号码，必须全取，对应的取法只有 种。 21．（★★★）已知随机变量 的分布列为 （）。 (1) 求 与 ； (2) 设 ，求 与 。 【答案】(1) ，； (2) ，。 【解题思路】(1) 先求 、 再作差；(2) 直接用线性变换的性质。 【解答过程】(1) ； ， 所以 。 (2) ；。 【多解·巧解】第(2)问先写清 、，再套 、；常数 只改变均值、不影响方差。 【易错提醒】，负号与常数都被"平方"或"忽略"了；第(1)问的 与 别混，作差得方差 。 22．（★★★）某工厂生产的一箱产品共 件，其中有 件次品，现从中任取 件，用 表示取到的次品数。 (1) 求 的分布列； (2) 求 。 【答案】(1) ，，； (2) 。 【解题思路】先明确 表示次品数、取值为 ，再用组合数算概率并按定义求期望。 【解答过程】从 件中任取 件，共有 种取法。 (1) ：取 件正品，有 种，； ：取 件次品 件正品，有 种，； ：取 件次品，有 种，。 检验：。 (2) 。 【多解·巧解】实际应用题先明确随机变量表示什么、有哪些取值，再用组合数算概率，按定义求期望；也可用超几何均值公式 检验。 【易错提醒】"和为 "检验能立刻发现漏项；本题次品只有 件， 最大到 ，不要因"共 件"以外还写出 之类的取值。 23．（★★★）某商场举办抽奖活动：袋中装有形状、大小完全相同的 个红球和 个白球，顾客从中任取 个球，用 表示取到的红球个数；每取到 个红球，商场奖励顾客 元，取到白球没有奖励。 (1) 求 的分布列； (2) 求 与 ； (3) 顾客参加一次抽奖须先支付 元（），用 表示一次抽奖的净收益（净收益 奖励 支付）。若要使顾客净收益的期望不小于 ，求 的最大值，并求此时 。 【答案】(1) ，，； (2) ，； (3) 的最大值为 ，此时 。 【解题思路】(1)(2) 按超几何计数列分布列，再求期望与方差；(3) 净收益 ，用线性性质把期望、方差都化为 的量，再解不等式定 。 【解答过程】从 个球中任取 个，共有 种取法。 (1) ：取 个白球，有 种，； ：取 红 白，有 种，； ：取 个红球，有 种，。 检验：。 (2) ； ， 。 (3) 一次抽奖的奖励为 元，净收益 。 ，得 ，故 的最大值为 。 此时 （常数 不影响方差）。 【多解·巧解】第(2)问期望可用超几何均值公式验算：，与逐项加权一致；第(3)问不必重新列 的分布列，直接用 、，一步到位。 【易错提醒】第(3)问 ，倍数要平方，且常数 与方差无关，把 算进方差或漏掉平方都是典型错误；分布列求出后务必用"和为 "检验。 24．（★★★）某公司有两个投资方案，一年后的利润（单位：万元）分布列如下： 方案A：，； 方案B：，，。 (1) 求 与 ，并判断两方案的平均利润是否相同； (2) 求 与 ，并比较两方案利润的稳定性； (3) 现将方案A调整为：利润为 万元与 万元（）各以 的概率发生，且期望仍为 万元。若要求调整后方案A的方差不超过方案B的方差，求 的取值范围。 【答案】(1) ，，两方案平均利润相同； (2) ，，方案B的利润更稳定； (3) 的取值范围是 。 【解题思路】(1)(2) 按定义求期望与方差再比较；(3) 由期望为 把 用 表示，看出对称结构下方差恰为 ，解不等式并注意 的约束。 【解答过程】(1) ； 。 两方案平均利润相同，都是 万元。 (2) ，； ，。 因为 ，所以方案B的利润更稳定。 (3) 由 得 ；由 得 。 调整后 ，而 ，两取值关于期望对称，于是 。 由 ，得 ，解得 ； 结合 ，得 的取值范围是 。 【多解·巧解】第(3)问的关键是看出"对称两点分布"的结构：两取值关于期望 对称，两个偏差平方相等，方差恰为 ，不必死算两个平方的加权平均；先由期望解出 再代入方差公式，思路更顺。 【易错提醒】第(3)问容易漏掉约束 （等价于 ）：若只解 ，会误写成 ，而 时 被破坏；第(2)问比较稳定性只看方差，不要拿个别取值的大小下结论。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $