第28讲 平面向量的综合应用与最值 范围问题讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第28讲 平面向量的综合应用与最值·范围问题 第28讲 平面向量的综合应用与最值·范围问题 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握向量数量积的坐标运算与几何意义，会用"配凑、投影、建系"求数量积与模的最值、范围； 2．理解 与 的几何意义，会用"圆的几何/三角不等式"求模的范围； 3．会用夹角公式 处理"锐角、钝角、垂直"中的参数范围； 4．会用平面向量基本定理与"四心"的向量特征（含奔驰定理）解决三角形综合与动点轨迹、范围问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 向量数量积的最值 选择题、填空题 第3~7题、第13题 中 把向量整体化，用投影或建系求范围 向量模长的最值范围 选择题、填空题 第5~7题、第12~13题 中偏难 转"圆上点到原点距离" 夹角、垂直与参数范围 选择题、填空题 第4~6题、第12题 中 锐角点积且不共线同向；垂直点积 三角形"四心"与奔驰定理 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 重心 ；奔驰定理配对面面积 向量与轨迹、最值综合 解答题 第17~18题 难 先建系或几何意义，再配方/不等式/数形结合 命题规律分析 平面向量在新高考里既是独立考点，又是解析几何、解三角形、立体几何的"通用语言"。基础档只考概念与坐标运算；培优加码在四处：一是数量积最值（把向量整体化，用投影或建系求范围）；二是模的范围（ 立刻转成"圆上点到原点距离"）；三是夹角参数范围（锐角、钝角、垂直的边界条件极易漏）；四是四心与动点轨迹（重心向量和为零、奔驰定理、 化圆）。本讲把"先标准化、再几何意义、最后配方/不等式"三步讲透，凡是带圆、带距离的向量题一律优先画圆读圆心距加减半径。 考点1 向量的数量积与模的最值 知识点1 数量积的最值 数量积 ，其范围由夹角决定：，等号当 时取到； 求 型最值，常把 视为整体，转化为"固定向量在动向量上的投影范围"；坐标法下即求线性式在一组约束下的范围。 【易错清单】 1．夹角为锐角要求 且两向量不共线同向（夹角 不算锐角），易漏"不共线同向"； 2．数量积可正可负，比较大小别忽略符号； 推不出 或 。 知识点2 向量模长的最值范围 ，配方是求模最值的基本功； 几何上， 表示 终点在以 为圆心、 为半径的圆上，则 表示圆上点到原点的距离，范围为 。 【易错清单】 1．下界要带绝对值 ，当 时圆心在原点圆内，最小距离为 ； 2．用三角不等式 求上界、 求下界，等号方向别写反。 考点2 夹角、四心与轨迹综合 知识点3 夹角、垂直与参数范围 夹角公式 ；锐角 且 不共线同向；钝角 且不共线反向； 垂直（正交）；坐标下 时即 。 【易错清单】 1．"锐角"与"钝角"都要求排除共线同向/反向的边界（、 不算）； 2．由 求参数范围时，注意分母 恒正，直接解关于参数的不等式。 知识点4 向量与三角形"四心"、轨迹 重心 ：；外心 ：；垂心 满足 ； 奔驰定理：若 在 内，，则 。动点满足 等向量等式常转化为圆或直线轨迹。 【易错清单】 1．奔驰定理的权重是"该顶点所对三角形的面积"，不是邻面积，顺序易错； 2． 对应 ，轨迹是以 为直径的圆（不含 两点），别把它当成直线。 【题型1 数量积的最值】 【例1】已知向量 ，， 为单位向量（），则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 视为整体，数量积范围由投影决定。 【解答过程】，故 。。故选A。 【多解·巧解】把 看成一个固定向量 ，则 ，取值范围恰好是 。这类题的核心就是"先合并、再看投影"，别被两个向量分别干扰。 【易错提醒】误把 算成 （其实是 ），从而错选 ；或忘记 是单位向量而写成无界。 【变式1-1】已知向量 ，，若 是单位向量，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】合并后求模。 【解答过程】，模为 。故 。故选A。 【变式1-2】已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】展开后用定义求数量积。 【解答过程】。故选A。 【变式1-3】已知 均为单位向量，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】逐项展开合并。 【解答过程】。故选A。 【题型2 向量模长的最值范围】 【例2】已知 ，，向量 满足 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】几何意义： 在以 为圆心、半径 的圆上。 【解答过程】设 ，则 。 表示 在以 为圆心、 为半径的圆上， 为该圆上点到原点的距离，最大值为 。故选A。 【多解·巧解】凡是 的形式，立刻想到" 在以 为圆心、 为半径的圆上"； 就是圆上点到原点的距离，最大值=圆心距+半径，最小值=圆心距半径。这比代数配方快得多。 【易错提醒】把 错算成 （其实是 ），从而得到 ；或最小值的绝对值漏写。 【变式2-1】已知 ，，向量 满足 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】最小值为 。 【解答过程】由上题 ，故 的最小值为 。故选A。 【变式2-2】已知向量 ，，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同向时取最大，为模之和。 【解答过程】，当 与 同向时取等号。故选A。 【变式2-3】已知点 在以原点为圆心、半径为 的圆上，点 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】圆上点到定点距离范围。 【解答过程】 在圆 上， 为圆上点到 的距离。圆心到 距离为 ，故范围为 。故选A。 【题型3 向量夹角与垂直中的参数范围】 【例3】已知向量 ，，若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（　　） A．　B． 且 　C．　D． 【答案】B 【解题思路】锐角点积 且 不共线同向。 【解答过程】，得 。若两向量同向共线，则 ，由 得 ，代入 得 ，此时夹角为 ，应排除。故 且 。故选B。 【多解·巧解】夹角为锐角要写两条：①数量积 ；②排除共线同向（夹角 不是锐角）。常见错误是只写 把 也收进来。检验共线只需看"是否存在比例系数 使两向量成比例"。 【易错提醒】漏掉 ：当 时 ，夹角 不属于锐角；或把 写成 包含了直角情形。 【变式3-1】已知向量 ，，若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】钝角点积 且不共线反向。 【解答过程】 得 。若共线需 ，由 得 ，只可能同向（），不存在反向共线情形，故无需另排除。所以 。故选A。 【变式3-2】已知向量 ，，若 ，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】垂直点积为 。 【解答过程】，得 。故选A。 【变式3-3】已知 ，，，则 与 的夹角 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用夹角公式求 。 【解答过程】，故 。故选C。 【题型4 向量与三角形"四心"、奔驰定理】 【例4】在 中，点 满足 ，则点 是 的（　　） A．重心　B．外心　C．内心　D．垂心 【答案】A 【解题思路】三向量和为零是重心的向量特征。 【解答过程】若 为 的重心，则 ；反之满足该式的点即为重心。故选A。 【多解·巧解】三角形"四心"的向量特征要记牢：重心 ；外心 ；垂心满足两两垂直的向量点积相等；区分"和为零"与"模相等"是关键。 【易错提醒】把外心（到三顶点距离相等）与重心（三向量和为零）混淆；或误以为 表示垂心。 【变式4-1】在 中，若 为重心，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】重心性质直接应用。 【解答过程】重心满足指向三顶点的向量之和为零：。故选A。 【变式4-2】已知非零向量 满足 且 ，则 是（　　） A．等边三角形　B．直角三角形　C．等腰三角形　D．锐角三角形 【答案】A 【解题思路】重心与外心重合 等边。 【解答过程】由 知 为重心；又 知 为外心。重心与外心重合的三角形必为等边三角形。故选A。 【变式4-3】（奔驰定理）在 中， 在其内部，若 ，则下列等式成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】权重 = 该顶点所对三角形的面积。 【解答过程】奔驰定理：面积比 ，则 。本题 ，故 。故选A。 【题型5 向量等式求轨迹与范围（动点）】 【例5】已知 ，，动点 满足 ，则点 的轨迹是（　　） A．以 为直径的圆　B．直线 的中垂线　C．椭圆　D．抛物线 【答案】A 【解题思路】 。 【解答过程】 表示 ，即 ，故 在以 为直径的圆上（不含 两点）。故选A。 【多解·巧解】遇到 先想几何意义： 是直角，轨迹直接是以 为直径的圆（直径所对圆周角）。比设 展开快，且不易漏"不含端点"。 【易错提醒】把 误当成""而错答中垂线；或忘写轨迹不含 两点。 【变式5-1】已知 ，，动点 满足 ，则点 的轨迹方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】以 为直径的圆，圆心 ，半径 。 【解答过程】 中点为 ，半径 ，故轨迹方程为 。故选A。 【变式5-2】已知 ，，动点 满足 ，则 的轨迹是（　　） A．直线 　B．直线 　C．圆　D．抛物线 【答案】A 【解题思路】到两定点距离相等 中垂线。 【解答过程】 表示 到 与 距离相等，轨迹为线段 的中垂线 。故选A。 【变式5-3】已知 ，，动点 满足 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求轨迹圆，再求到原点距离的最大值。 【解答过程】设 ，则 ，，点积为 ，即 。轨迹是圆心 、半径 的圆。圆心到原点距离为 ，故 。故选A。 【题型6 最值综合（建系/不等式/数形结合）】 【例6】在直角 中，，，点 在斜边 上运动，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】建系把几何最值转成二次函数。 【解答过程】以 为原点， 为坐标轴建系：，斜边 。设 ，则 ，，点积 。由 ，最小值在 时为 ，最大值在 或 时为 。故范围为 。故选A。 【多解·巧解】动点落在"线段/直线/圆"上求向量最值，"建系+参数化"是最稳的通用方法：把动点用一个参数表示，目标式化为一元函数再求最值。本题也可注意到 ，但建系更直接。 【易错提醒】误以为最大值取正：当 与 或 重合时，一个向量为零向量，点积为 而非负；最小值在 为 中点时取得。 【变式6-1】（同例6 背景）在直角 中，，，点 在斜边 上运动，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 是斜边上的中线长到端点的距离。 【解答过程】设 ，则 。 时最小值为 （），故 ；最大值在 或 时为 。范围为 。故选A。 【变式6-2】在边长为 的正方形 中， 为一对顶点，动点 在正方形内部及边上，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】建系配方。 【解答过程】以 建系，设 ，则 ，，点积 。最小值在正方形中心 处取得，为 。故选A。 【变式6-3】已知 为单位向量，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】模平方展开。 【解答过程】，故 。故选A。 一、单选题 1．（★★）已知向量 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】坐标数量积公式。 【解答过程】。故选A。 2．（★★）已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】模平方展开。 【解答过程】，故 。故选A。 3．（★★）已知向量 ，，若 ，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】垂直点积为 。 【解答过程】，得 。故选A。 4．（★★）已知单位向量 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】模平方展开。 【解答过程】，故 。故选A。 5．（★★）在 中，若 ，则点 是 的（　　） A．中点　B．重心　C．外心　D．三等分点 【答案】A 【解题思路】向量式对应中点公式。 【解答过程】以 为原点，，，故 ，即 为 中点。故选A。 6．（★★★）已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （）的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 平方成关于 的二次函数，配方求最小值。 【解答过程】。由 ，得 ，当 时取最小值 ，故最小值为 。故选A。 7．（★★★）已知向量 ，，向量 满足 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 的终点在以 为圆心的圆上， 等于 乘以 在 上的投影数量。 【解答过程】，故 表示 的终点在以 为圆心、 为半径的圆上。，当 时 ；由圆的半径在 方向上的投影变化范围是 ，故取值范围为 。故选A。 8．（★★★）在 中，，，点 为边 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用极化恒等式 直接求解。 【解答过程】由极化恒等式（ 为 中点），。代入 得 ，故 ，。故选A。 二、多选题 9．（★★）关于向量数量积，下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 或 　B．　C．　D． 【答案】BCD 【解题思路】逐项判断数量积性质。 【解答过程】A 错：垂直时数量积也为 ，未必有零向量；B 对：数量积满足交换律；C 对：数乘可提；D 对：由 直接得到。故选BCD。 10．（★★）关于三角形"四心"的向量特征，下列说法正确的是（　　） A．重心 ：　B．外心 ：　C．内心 ：　D．若 且 ，则 为等边三角形 【答案】ABD 【解题思路】区分四心的向量特征。 【解答过程】A 对，是重心特征；B 对，是外心特征；C 错， 才是重心，不是内心；D 对，重心与外心重合必为等边。故选ABD。 11．（★★★）已知向量 ，，下列说法正确的是（　　） A．　B．　C． 与 的夹角为钝角　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项用坐标运算与夹角公式验证。 【解答过程】A ，正确；B ，，正确；C 由 且两向量不共线，夹角为钝角，正确；D ，，错误。故选ABC。 12．（★★★）已知向量 ， 满足 ，下列说法正确的是（　　） A． 的最大值为 　B． 的取值范围是 　C．若 ，则 　D． 的最小值为 【答案】ABD 【解题思路】 是单位向量，用投影与模平方展开逐项判断。 【解答过程】A ，当 时取最大值 ，正确；B ，由 得取值范围 ，故 ，正确；C 得 即 ，结合 得 或 ，错误；D ， 时最小值为 （），故 ，正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）已知向量 ，，若 ，则实数 ______。 【答案】 【解题思路】坐标平行条件。 【解答过程】 得 ，即 ，故 。 14．（★★）已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 ______。 【答案】 【解题思路】模平方展开。 【解答过程】，故 。 15．（★★★）已知向量 ，，若向量 （），则 的最小值为 ______。 【答案】 【解题思路】把 化为关于 的二次函数，配方求最小值。 【解答过程】，则 ，当 时取最小值 ，故 。 16．（★★★）已知单位向量 的夹角为 ，若向量 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 ______。 【答案】 且 【解题思路】锐角要求数量积为正且不共线同向，逐条列条件。 【解答过程】，得 。再排除共线同向（夹角 ）的情形： 与 共线需 与 相关，而 不共线，故只能 ，此时 ，夹角为 ，应排除。故 且 。 四、解答题 17．（★★）已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 判断 与 是否垂直，并说明理由。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 垂直。 【解题思路】坐标运算与垂直判定。 【解答过程】(1) 。 (2) ，故 。 (3) 由 知 。 【多解·巧解】坐标法下数量积与垂直都只看分量：，为 即垂直。本题两向量恰好正交，可顺便用勾股定理验证 。 【易错提醒】(2) 中把 误算成 ；模不能直接相加，必须平方或坐标求。 18．（★★）已知 ，，且 与 的夹角为 。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】用定义与模平方展开。 【解答过程】(1) 。 (2) ，故 。 (3) 。 【多解·巧解】求 一律先平方：，再开方。把 当作已知数代入，避免反复回到夹角。 【易错提醒】(2) 中交叉项系数是 ，别漏系数 ；(3) 展开时注意 。 19．（★★）已知 ，，。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】向量坐标化后求点积与夹角余弦。 【解答过程】(1) ，，。 (2) ，故 。 【多解·巧解】点坐标求向量要先"终点减起点"：。若数量积为 则夹角余弦直接为 ，无需再算两模长——可省一步。 【易错提醒】(1) 向量方向写反： 应是 而非 ；方向错会导致点积符号反、结论错。 20．（★★★）在 中，，，，点 在边 上，且 。 (1) 用 、 表示 ； (2) 求 ； (3) 求 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】先用定比分点把 分解为 、 的组合，再用 与数量积展开。 【解答过程】(1) 由 知 ，故 。 (2) 由 ，得 ，故 。 (3) 。 【多解·巧解】处理三角形内的分点向量，"用两条已知边作基底分解"是通法：先由定比分点写出 ，再把所有数量积化成 、、 三个已知量。求模一律先平方，别对向量直接开方。 【易错提醒】(1) 系数容易写反： 意味着 ，故 前的系数是 ；(3) 展开时 的系数是 而不是 ，系数与符号同时出错就容易得到负值。 21．（★★★）已知向量 ，。 (1) 求 ； (2) 若 与 垂直，求实数 ； (3) 求 （）的最小值。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】、 都是单位向量且夹角 ；(2) 用垂直点积为零；(3) 把模平方配方。 【解答过程】(1) 由 ，，故 ，。 (2) ，故 。 (3) ，当 时取最小值 ，故 。 【多解·巧解】(3) 与 (2) 相互印证： 取最小值时 恰好与 垂直，这正是"点到直线距离最短"的向量版本，用这个几何意义可以直接判定最小值出现在垂足处。 【易错提醒】(3) 配方时交叉项系数是 ，别把 代成 ；最小值的答案是 而不是 ，忘记开方是常见错误。 22．（★★★）已知 ，， 与 的夹角为 。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 与 夹角 的余弦值。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】先把夹角条件兑换成 作为唯一已知量，再用模平方与数量积展开、夹角公式。 【解答过程】由 ，，夹角 得 。 (1) ，故 。 (2) 。 (3) ，故 ；又 ，故 。 【多解·巧解】这类题的通用套路：先把"夹角条件"换算成 的数值并记作唯一已知量，之后无论求模、求点积还是求夹角，全部化为 、、 的代数式，不必反复回到夹角公式。 【易错提醒】(2) 中 ，展开共四项并两两合并，别漏掉 这一项；(3) 求余弦时分子是 而非 ，分母是 。 23．（★★★）在 中，，，点 为边 的中点，且 。 (1) 求边 的长； (2) 求 ； (3) 若点 在边 上（含端点），求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 用中线长公式把 与 、 联系起来解方程；(2) 直接用定义；(3) 建系把动点参数化，化为二次函数求范围。 【解答过程】(1) 设 ，由余弦定理 。由中线长公式 ，代入得 ，即 ，解得 （ 舍去），故 。 (2) 。 (3) 由 (1) 知 且 ，即 为等边三角形。以 所在直线为 轴、 中点为原点建系，则 、、。设 （），则 ，，故 。当 时取最小值 ，当 时取最大值 ，故取值范围为 。 【多解·巧解】(1) 中线长公式 也可换用" 两边平方"，两种写法结果一致，选顺手的一种。(3) 动点在线段上求数量积范围，"取这条线段作坐标轴、把动点写成一个参数"最省力。 【易错提醒】(1) 中线长公式中 前是减号且整体除以 ，别记成 的一半；(3) 建系后 而不是 ，方向写反会让点积整体变号，取值范围也随之出错。 24．（★★★）在 中，，，，点 满足 （）。 (1) 求 及 ； (2) 若 ，说明点 的位置； (3) 在 (2) 的条件下且 ，求 的取值范围。 【答案】(1) ，； (2) 点 在直线 上； (3) 。 【解题思路】(2) 用等和线： 点 落在直线 上；(3) 用极化恒等式 （ 为 中点）。 【解答过程】(1) ；，故 。 (2) 由 得 ，说明点 在过 且方向为 的直线上，即点 在直线 上。 (3) 由 且 得 ，点 在线段 上。设 为 的中点，由极化恒等式 。当 在线段 上运动时 ，故 ，即取值范围为 。 【多解·巧解】(2) 是"等和线"结论： 中， 对应直线 ， 对应与 平行的一族直线。(3) 用极化恒等式把 化为"到 中点距离的平方减常数"，最小值在 为中点处取得（）、最大值在端点处取得，无需建系。 【易错提醒】(2) 结论是"点 在直线 上"而非"在线段 上"，只有当 都非负时才在线段上，两个条件不能混为一谈；(3) 由 与 ，常数项是 而不是 ， 的上界是 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第28讲 平面向量的综合应用与最值·范围问题 第28讲 平面向量的综合应用与最值·范围问题 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握向量数量积的坐标运算与几何意义，会用"配凑、投影、建系"求数量积与模的最值、范围； 2．理解 与 的几何意义，会用"圆的几何/三角不等式"求模的范围； 3．会用夹角公式 处理"锐角、钝角、垂直"中的参数范围； 4．会用平面向量基本定理与"四心"的向量特征（含奔驰定理）解决三角形综合与动点轨迹、范围问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 向量数量积的最值 选择题、填空题 第3~7题、第13题 中 把向量整体化，用投影或建系求范围 向量模长的最值范围 选择题、填空题 第5~7题、第12~13题 中偏难 转"圆上点到原点距离" 夹角、垂直与参数范围 选择题、填空题 第4~6题、第12题 中 锐角点积且不共线同向；垂直点积 三角形"四心"与奔驰定理 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 重心 ；奔驰定理配对面面积 向量与轨迹、最值综合 解答题 第17~18题 难 先建系或几何意义，再配方/不等式/数形结合 命题规律分析 平面向量在新高考里既是独立考点，又是解析几何、解三角形、立体几何的"通用语言"。基础档只考概念与坐标运算；培优加码在四处：一是数量积最值（把向量整体化，用投影或建系求范围）；二是模的范围（ 立刻转成"圆上点到原点距离"）；三是夹角参数范围（锐角、钝角、垂直的边界条件极易漏）；四是四心与动点轨迹（重心向量和为零、奔驰定理、 化圆）。本讲把"先标准化、再几何意义、最后配方/不等式"三步讲透，凡是带圆、带距离的向量题一律优先画圆读圆心距加减半径。 考点1 向量的数量积与模的最值 知识点1 数量积的最值 数量积 ，其范围由夹角决定：，等号当 时取到； 求 型最值，常把 视为整体，转化为"固定向量在动向量上的投影范围"；坐标法下即求线性式在一组约束下的范围。 【易错清单】 1．夹角为锐角要求 且两向量不共线同向（夹角 不算锐角），易漏"不共线同向"； 2．数量积可正可负，比较大小别忽略符号； 推不出 或 。 知识点2 向量模长的最值范围 ，配方是求模最值的基本功； 几何上， 表示 终点在以 为圆心、 为半径的圆上，则 表示圆上点到原点的距离，范围为 。 【易错清单】 1．下界要带绝对值 ，当 时圆心在原点圆内，最小距离为 ； 2．用三角不等式 求上界、 求下界，等号方向别写反。 考点2 夹角、四心与轨迹综合 知识点3 夹角、垂直与参数范围 夹角公式 ；锐角 且 不共线同向；钝角 且不共线反向； 垂直（正交）；坐标下 时即 。 【易错清单】 1．"锐角"与"钝角"都要求排除共线同向/反向的边界（、 不算）； 2．由 求参数范围时，注意分母 恒正，直接解关于参数的不等式。 知识点4 向量与三角形"四心"、轨迹 重心 ：；外心 ：；垂心 满足 ； 奔驰定理：若 在 内，，则 。动点满足 等向量等式常转化为圆或直线轨迹。 【易错清单】 1．奔驰定理的权重是"该顶点所对三角形的面积"，不是邻面积，顺序易错； 2． 对应 ，轨迹是以 为直径的圆（不含 两点），别把它当成直线。 【题型1 数量积的最值】 【例1】已知向量 ，， 为单位向量（），则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】已知向量 ，，若 是单位向量，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】已知 均为单位向量，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 向量模长的最值范围】 【例2】已知 ，，向量 满足 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知 ，，向量 满足 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知向量 ，，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知点 在以原点为圆心、半径为 的圆上，点 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 向量夹角与垂直中的参数范围】 【例3】已知向量 ，，若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（　　） A．　B． 且 　C．　D． 【变式3-1】已知向量 ，，若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】已知向量 ，，若 ，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知 ，，，则 与 的夹角 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 向量与三角形"四心"、奔驰定理】 【例4】在 中，点 满足 ，则点 是 的（　　） A．重心　B．外心　C．内心　D．垂心 【变式4-1】在 中，若 为重心，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知非零向量 满足 且 ，则 是（　　） A．等边三角形　B．直角三角形　C．等腰三角形　D．锐角三角形 【变式4-3】（奔驰定理）在 中， 在其内部，若 ，则下列等式成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 向量等式求轨迹与范围（动点）】 【例5】已知 ，，动点 满足 ，则点 的轨迹是（　　） A．以 为直径的圆　B．直线 的中垂线　C．椭圆　D．抛物线 【变式5-1】已知 ，，动点 满足 ，则点 的轨迹方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知 ，，动点 满足 ，则 的轨迹是（　　） A．直线 　B．直线 　C．圆　D．抛物线 【变式5-3】已知 ，，动点 满足 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 最值综合（建系/不等式/数形结合）】 【例6】在直角 中，，，点 在斜边 上运动，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】（同例6 背景）在直角 中，，，点 在斜边 上运动，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】在边长为 的正方形 中， 为一对顶点，动点 在正方形内部及边上，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知 为单位向量，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）已知向量 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知向量 ，，若 ，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知单位向量 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）在 中，若 ，则点 是 的（　　） A．中点　B．重心　C．外心　D．三等分点 6．（★★★）已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （）的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知向量 ，，向量 满足 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）在 中，，，点 为边 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于向量数量积，下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 或 　B．　C．　D． 10．（★★）关于三角形"四心"的向量特征，下列说法正确的是（　　） A．重心 ：　B．外心 ：　C．内心 ：　D．若 且 ，则 为等边三角形 11．（★★★）已知向量 ，，下列说法正确的是（　　） A．　B．　C． 与 的夹角为钝角　D． 12．（★★★）已知向量 ， 满足 ，下列说法正确的是（　　） A． 的最大值为 　B． 的取值范围是 　C．若 ，则 　D． 的最小值为 三、填空题 13．（★★）已知向量 ，，若 ，则实数 ______。 14．（★★）已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 ______。 15．（★★★）已知向量 ，，若向量 （），则 的最小值为 ______。 16．（★★★）已知单位向量 的夹角为 ，若向量 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 ______。 四、解答题 17．（★★）已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 判断 与 是否垂直，并说明理由。 18．（★★）已知 ，，且 与 的夹角为 。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 19．（★★）已知 ，，。 (1) 求 ； (2) 求 。 20．（★★★）在 中，，，，点 在边 上，且 。 (1) 用 、 表示 ； (2) 求 ； (3) 求 。 21．（★★★）已知向量 ，。 (1) 求 ； (2) 若 与 垂直，求实数 ； (3) 求 （）的最小值。 22．（★★★）已知 ，， 与 的夹角为 。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 与 夹角 的余弦值。 23．（★★★）在 中，，，点 为边 的中点，且 。 (1) 求边 的长； (2) 求 ； (3) 若点 在边 上（含端点），求 的取值范围。 24．（★★★）在 中，，，，点 满足 （）。 (1) 求 及 ； (2) 若 ，说明点 的位置； (3) 在 (2) 的条件下且 ，求 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $