第55讲 二项式定理 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第55讲 二项式定理 第55讲 二项式定理 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解二项式定理，能熟练写出 的二项展开式并数清项数； 2．掌握通项公式 ，会求指定项、指定项的系数与常数项； 3．理解二项式系数的对称性与最大值，会用赋值法求各项系数和及奇、偶项系数之和； 4．能由已知项的系数（或常数项）反求参数 、，解决二项式定理的综合应用问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 求指定项与指定项的系数 选择题、填空题 第4~6题、第12~13题 中 写通项，令指数等于目标值解出 求常数项（含负指数） 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 合并幂指数，令 的指数为 二项式系数最大项 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 看 的奇偶，偶数取中间一项、奇数取中间两项 赋值法求系数和 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 令 、，和差得奇偶项系数和 由系数反求参数 选择题、填空题、解答题 第7题、第13题、第18题 中偏难 用通项写系数表达式，列方程反解并检验 命题规律分析 二项式定理是第六章的收官内容，也是高考的"性价比"题型。新高考中本专题多落在选择题第 4~7 题、填空题第 12~13 题，并可延伸为解答题第 15~18 题的一问。基础档只考"求指定项、求系数和"，培优档则把常数项（含负指数）、二项式系数最大项、赋值法奇偶项系数和，以及"由系数反求参数"串联起来，用多个步骤同时设卡。本讲的拿分主线只有两条：凡求"某项"或"某系数"一律"先写通项、再令指数等于目标值"；凡求"系数和"一律"赋值 与 "。把这两条定式练到条件反射，再配上比值法判断系数最大项，这一板块的培优分便可稳稳拿下。 考点1 二项式定理与通项 知识点1 二项式定理 二项式定理：（），共 项，各项的系数 叫二项式系数。 用求和记号写成 ； 的指数逐个递减、 的指数逐个递增，两者之和恒为 。 【易错清单】 1．展开式有 项而不是 项，容易数错； 2．"二项式系数"只指 ，与"项的系数"（还含数字因子）不是一回事； 3．处理 时应看成 ，负号随 的幂一起变化。 知识点2 二项展开式的通项 通项公式：，表示展开式的第 项（，，，）。 求指定项时，先把通项整理成"系数 "的形式，再令 等于目标次数，解出 后代回。 【易错清单】 1．通项中两个因子的指数易写反，应为 ； 2．第 项对应二项式系数 ，下标与项序号相差 ； 3． 忘记 这个符号因子，系数正负会算错。 考点2 二项式系数的性质与赋值法 知识点3 对称性与最大值 对称性：； 为偶数时中间一项的二项式系数最大， 为奇数时中间两项相等且最大。 所有二项式系数之和为 ，其中奇数项之和与偶数项之和都等于 。 【易错清单】 1．"二项式系数最大"与"项的系数最大"是两回事，后者还要考虑数字因子； 2． 为奇数时最中间两项并列最大，别只写一项； 3．"二项式系数和 "与"各项系数和"不能混用，后者要用赋值法。 知识点4 赋值法求系数和 设 ，则各项系数和为 。 奇数项系数和 ，偶数项系数和 ；常数项 。 【易错清单】 1．求常数项直接令 ，不要与"求系数和"混淆； 2．求奇、偶项系数和时减式方向别写反， 的符号处理易错； 3．求"各项系数和"必须令 ，不能用二项式系数之和 代替。 考点3 二项式定理的综合应用 知识点5 求常数项与含负指数的指定项 含 与 的通项，先合并指数：，再令指数等于目标值。 求常数项就是令通项中 的指数为 ，解出 后代入系数部分。 【易错清单】 1．合并含负指数的幂时符号与系数易错，务必逐项核对指数； 2．常数项是"不含 的项"，对应指数为 ，不是系数为 ； 3．通项中的数字因子（如 ）与符号因子 都要计入。 知识点6 由系数反求参数 已知某项系数（或常数项），用通项写出该系数关于 或 的表达式，再列方程求解。 由 反求 时，解出后须检验 为正整数且 。 【易错清单】 1．列方程前先把系数表达式化到最简，避免把数字因子漏在外； 2．由 得 ，注意舍去不合题意的负根； 3．含参展开式（如 ）求 时，正、负解都要保留（如 型）。 【题型1 求指定项（含 项）】 【例1】 的展开式中含 的项是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】 的展开式中含 的项是______。 【变式1-2】 的展开式中含 的项的系数是______。 【变式1-3】 的展开式中含 的项是______。 【题型2 求某项的系数】 【例2】 的展开式中含 的项的系数是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】 的展开式中含 的项的系数是______。 【变式2-2】 的展开式中含 的项的系数是______。 【变式2-3】 的展开式中含 的项的系数是______。 【题型3 二项式系数最大的项】 【例3】 的展开式中，二项式系数最大的项是（　　） A．第项　B．第项　C．第项和第项　D．第项 【变式3-1】 的展开式中，二项式系数最大的项是第______项。 【变式3-2】已知 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则 ______。 【变式3-3】 的展开式中系数最大的项是______。 【题型4 赋值法求系数和】 【例4】已知 。 (1) 求 ； (2) 求 。 【变式4-1】已知 ，则 ______。 【变式4-2】已知 ，则 ______。 【变式4-3】已知 ，则 ______。 【题型5 常数项】 【例5】 的展开式中的常数项是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】 的展开式中的常数项是______。 【变式5-2】 的展开式中的常数项是______。 【变式5-3】已知 的展开式中常数项为 ，则 ______。 【题型6 综合应用（由系数反求参数）】 【例6】已知 的展开式中含 的项的系数为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】已知 的展开式中常数项为 ，则 ______。 【变式6-2】已知 的展开式中含 的项的系数为 ，则 ______。 【变式6-3】已知 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则 ______。 一、单选题 1．（★★） 的展开式中含 的项的系数是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★） 的展开式中含 的项的系数是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★） 的展开式中含 的项的系数是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★） 的展开式中的常数项是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★） 的展开式中含 的项的系数是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，则展开式中各项系数之和为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★） 的展开式中含 的项的系数是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于 的展开式，下列说法正确的是（　　） A．展开式共有 项　B．二项式系数最大的项是第 项和第 项　C．令 ，可得各项系数之和为 　D．所有二项式系数之和为 10．（★★）关于 的展开式，下列说法正确的是（　　） A．共有 项　B．常数项为 　C．含 的项的系数为 　D．含 的项的系数为 11．（★★★）已知 的展开式中含 的项的系数为 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．含 的项的系数为 　C．含 的项的系数为 　D．各项系数之和为 12．（★★★）已知 的展开式中第 4 项与第 6 项的二项式系数相等，则下列结论正确的是（　　） A．　B．展开式中不含常数项　C．含 的项的系数为 　D．展开式中系数最大的项是第 7 项 三、填空题 13．（★★） 的展开式中含 的项的系数是______。 14．（★★） 的展开式中含 的项的系数是______。 15．（★★★） 的展开式中的常数项是______。 16．（★★★）已知 （）的展开式中系数最大的项只有第 4 项，则实数 的取值范围是______。 四、解答题 17．（★★）已知二项式 。 (1) 求展开式中含 的项； (2) 求展开式各项系数之和。 18．（★★）已知二项式 。 (1) 求展开式中的常数项； (2) 求展开式中含 的项的系数。 19．（★★）已知 。 (1) 求 ； (2) 求 。 20．（★★★）已知二项式 的展开式中含 的项的系数为 。 (1) 求 的值； (2) 求展开式中含 的项的系数。 21．（★★★）已知二项式 。 (1) 设第 项的系数为 ，写出 的表达式，并比较相邻两项系数的大小； (2) 求展开式中系数最大的项。 22．（★★★）利用二项式定理求值。 (1) 求 的值； (2) 求 的值。 23．（★★★）已知 ，且 。 (1) 求 的值； (2) 求展开式中含 的奇次幂各项的系数之和； (3) 用二项式定理证明：对任意正整数 ， 能被 整除。 24．（★★★）已知 （）的展开式中常数项为 。 (1) 求 的值； (2) 求展开式中含 的项的系数； (3) 求展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第55讲 二项式定理 第55讲 二项式定理 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解二项式定理，能熟练写出 的二项展开式并数清项数； 2．掌握通项公式 ，会求指定项、指定项的系数与常数项； 3．理解二项式系数的对称性与最大值，会用赋值法求各项系数和及奇、偶项系数之和； 4．能由已知项的系数（或常数项）反求参数 、，解决二项式定理的综合应用问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 求指定项与指定项的系数 选择题、填空题 第4~6题、第12~13题 中 写通项，令指数等于目标值解出 求常数项（含负指数） 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 合并幂指数，令 的指数为 二项式系数最大项 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 看 的奇偶，偶数取中间一项、奇数取中间两项 赋值法求系数和 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 令 、，和差得奇偶项系数和 由系数反求参数 选择题、填空题、解答题 第7题、第13题、第18题 中偏难 用通项写系数表达式，列方程反解并检验 命题规律分析 二项式定理是第六章的收官内容，也是高考的"性价比"题型。新高考中本专题多落在选择题第 4~7 题、填空题第 12~13 题，并可延伸为解答题第 15~18 题的一问。基础档只考"求指定项、求系数和"，培优档则把常数项（含负指数）、二项式系数最大项、赋值法奇偶项系数和，以及"由系数反求参数"串联起来，用多个步骤同时设卡。本讲的拿分主线只有两条：凡求"某项"或"某系数"一律"先写通项、再令指数等于目标值"；凡求"系数和"一律"赋值 与 "。把这两条定式练到条件反射，再配上比值法判断系数最大项，这一板块的培优分便可稳稳拿下。 考点1 二项式定理与通项 知识点1 二项式定理 二项式定理：（），共 项，各项的系数 叫二项式系数。 用求和记号写成 ； 的指数逐个递减、 的指数逐个递增，两者之和恒为 。 【易错清单】 1．展开式有 项而不是 项，容易数错； 2．"二项式系数"只指 ，与"项的系数"（还含数字因子）不是一回事； 3．处理 时应看成 ，负号随 的幂一起变化。 知识点2 二项展开式的通项 通项公式：，表示展开式的第 项（，，，）。 求指定项时，先把通项整理成"系数 "的形式，再令 等于目标次数，解出 后代回。 【易错清单】 1．通项中两个因子的指数易写反，应为 ； 2．第 项对应二项式系数 ，下标与项序号相差 ； 3． 忘记 这个符号因子，系数正负会算错。 考点2 二项式系数的性质与赋值法 知识点3 对称性与最大值 对称性：； 为偶数时中间一项的二项式系数最大， 为奇数时中间两项相等且最大。 所有二项式系数之和为 ，其中奇数项之和与偶数项之和都等于 。 【易错清单】 1．"二项式系数最大"与"项的系数最大"是两回事，后者还要考虑数字因子； 2． 为奇数时最中间两项并列最大，别只写一项； 3．"二项式系数和 "与"各项系数和"不能混用，后者要用赋值法。 知识点4 赋值法求系数和 设 ，则各项系数和为 。 奇数项系数和 ，偶数项系数和 ；常数项 。 【易错清单】 1．求常数项直接令 ，不要与"求系数和"混淆； 2．求奇、偶项系数和时减式方向别写反， 的符号处理易错； 3．求"各项系数和"必须令 ，不能用二项式系数之和 代替。 考点3 二项式定理的综合应用 知识点5 求常数项与含负指数的指定项 含 与 的通项，先合并指数：，再令指数等于目标值。 求常数项就是令通项中 的指数为 ，解出 后代入系数部分。 【易错清单】 1．合并含负指数的幂时符号与系数易错，务必逐项核对指数； 2．常数项是"不含 的项"，对应指数为 ，不是系数为 ； 3．通项中的数字因子（如 ）与符号因子 都要计入。 知识点6 由系数反求参数 已知某项系数（或常数项），用通项写出该系数关于 或 的表达式，再列方程求解。 由 反求 时，解出后须检验 为正整数且 。 【易错清单】 1．列方程前先把系数表达式化到最简，避免把数字因子漏在外； 2．由 得 ，注意舍去不合题意的负根； 3．含参展开式（如 ）求 时，正、负解都要保留（如 型）。 【题型1 求指定项（含 项）】 【例1】 的展开式中含 的项是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先写通项，把两个幂合并成一个 的指数式，再令指数等于 解出 。 【解答过程】通项 。令 ，得 ，所以含 的项为 。故选A。 【多解·巧解】求"含 的项"的固定套路：先写通项，把 的幂合并成一个指数，再令指数等于 解出 并代回。 【易错提醒】本例系数有两处陷阱：数字因子 与符号因子 都必须乘进去，只算 会得到 （误选C）。 【变式1-1】 的展开式中含 的项是______。 【答案】 【解题思路】通项中合并 的指数，再令指数等于 。 【解答过程】通项 。令 ，得 ，所以含 的项为 。 【变式1-2】 的展开式中含 的项的系数是______。 【答案】 【解题思路】通项中同时含 ，令 求系数。 【解答过程】通项 。令 ，系数为 。 【变式1-3】 的展开式中含 的项是______。 【答案】 【解题思路】通项合并 的指数后令其等于 。 【解答过程】通项 。令 ，得 ，所以含 的项为 。 【题型2 求某项的系数】 【例2】 的展开式中含 的项的系数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用通项定位 对应的 ，再算含数字因子的系数。 【解答过程】通项 。令 ，得 ，所以含 的项的系数为 。故选A。 【多解·巧解】求"某项的系数"时，通项里的数字因子（本题的 ）要取 次幂， 解出后一定把它乘进去。 【易错提醒】本题最容易漏乘 ，只算 会误选D；也可能把两个幂的指数合并错。 【变式2-1】 的展开式中含 的项的系数是______。 【答案】 【解题思路】通项中含 与 ，令指数为 。 【解答过程】通项 。令 ，得 ，系数为 。 【变式2-2】 的展开式中含 的项的系数是______。 【答案】 【解题思路】通项中含 与 。 【解答过程】通项 。令 ，系数为 。 【变式2-3】 的展开式中含 的项的系数是______。 【答案】 【解题思路】通项含 ，合并指数后令其为 。 【解答过程】通项 。令 ，得 ，系数为 。 【题型3 二项式系数最大的项】 【例3】 的展开式中，二项式系数最大的项是（　　） A．第项　B．第项　C．第项和第项　D．第项 【答案】B 【解题思路】 为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，即第 项。 【解答过程】 为偶数，二项式系数最大的项是第 项，其系数为 ，是所有二项式系数中最大的。故选B。 【多解·巧解】先看 的奇偶： 为偶数取中间一项， 为奇数取中间两项。"二项式系数最大"只看 ，与数字因子无关，别与"项的系数最大"混淆。 【易错提醒】 为奇数时最中间两项并列最大，只写一项会漏解；本题 为偶数才有唯一的中间项（第 项）。 【变式3-1】 的展开式中，二项式系数最大的项是第______项。 【答案】 和 【解题思路】 为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。 【解答过程】 为奇数，中间两项是第 项与第 项，其二项式系数 相等且为最大。 【变式3-2】已知 的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则 ______。 【答案】 【解题思路】"唯一最大"说明 为偶数，中间项序号为 。 【解答过程】二项式系数最大的项唯一，说明 为偶数，中间项是第 项。由 ，解得 。 【变式3-3】 的展开式中系数最大的项是______。 【答案】 【解题思路】用比值法比较相邻两项的系数大小，判断系数何时由增转减。 【解答过程】设第 项的系数为 ，考察相邻系数之比。当 即 时系数递增，当 时递减，故 时系数最大，该项为 。 【题型4 赋值法求系数和】 【例4】已知 。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先令 得所有系数之和，再令 得交错和，两式作差求奇数项系数和。 【解答过程】(1) 令 ，得 。 (2) 令 ，得 。 由(1)式减去该式得 ， 所以 。 【多解·巧解】赋值法"两步走"：先令 得所有系数之和，再令 得"交错和"，两式相减（除以 ）得奇数项系数和，相加得偶数项系数和。 【易错提醒】求奇数项系数和用 ，减式方向写反会得到 ；另外本题 ，不要误写成 。 【变式4-1】已知 ，则 ______。 【答案】 【解题思路】令 求各项系数之和。 【解答过程】令 ，得 。 【变式4-2】已知 ，则 ______。 【答案】 【解题思路】令 求各项系数之和。 【解答过程】令 ，得 。 【变式4-3】已知 ，则 ______。 【答案】 【解题思路】偶数项系数和用 。 【解答过程】令 得 ；令 得 。两式相加得 ，所以 。 【题型5 常数项】 【例5】 的展开式中的常数项是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】写出通项，合并 的指数，令指数为 解出 。 【解答过程】通项 。令 ，得 ，所以常数项为 。故选A。 【多解·巧解】常数项就是"不含 "的项，即令通项中 的指数为 ；含负指数的幂先合并，再解 。 【易错提醒】 为偶数，故 取正值，别把常数项误当作负项；通项里 的符号随 的奇偶而定。 【变式5-1】 的展开式中的常数项是______。 【答案】 【解题思路】通项合并指数，令指数为 。 【解答过程】通项 。令 ，得 ，所以常数项为 。 【变式5-2】 的展开式中的常数项是______。 【答案】 【解题思路】通项含 ，合并指数后令其为 。 【解答过程】通项 。令 ，得 ，所以常数项为 。 【变式5-3】已知 的展开式中常数项为 ，则 ______。 【答案】 【解题思路】先由通项确定常数项对应的 与 的关系，再由此求 。 【解答过程】通项 。令 ，得 ，故 是 的倍数。常数项为 ；取 得 ，符合要求，故 。 【题型6 综合应用（由系数反求参数）】 【例6】已知 的展开式中含 的项的系数为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用通项写出含 的项的系数关于 的表达式，再列方程求解。 【解答过程】通项 。令 ，系数为 。由 ，得 ，所以 。故选A。 【多解·巧解】综合题"先写通项、再列方程"：用通项把目标系数写成关于参数的表达式，再让题目条件代入求参数。 【易错提醒】由 得 是唯一实根，不要习惯性地写成 （那是 型才有两解）。 【变式6-1】已知 的展开式中常数项为 ，则 ______。 【答案】 【解题思路】先求常数项（含 的表达式），再列方程求 。 【解答过程】通项 。令 ，得 ，常数项为 。由 ，得 ，所以 。 【变式6-2】已知 的展开式中含 的项的系数为 ，则 ______。 【答案】 【解题思路】用通项写出含 的项的系数关于 的表达式，再解方程。 【解答过程】通项 。令 ，系数为 。由 ，得 ，即 ，解得 （ 舍去）。 【变式6-3】已知 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等，则 ______。 【答案】 【解题思路】第3项、第5项对应的组合数下标求和即得 。 【解答过程】第 项的二项式系数为 ，第 项的二项式系数为 。由 得 （不成立）或 ，所以 。 一、单选题 1．（★★） 的展开式中含 的项的系数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】含 的项对应 ，系数为 。 【解答过程】通项 ，令 ，得 ，系数为 。故选A。 2．（★★） 的展开式中含 的项的系数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】通项含 ，令 。 【解答过程】通项 ，令 ，系数为 。故选A。 3．（★★） 的展开式中含 的项的系数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】通项中含 ，令指数为 。 【解答过程】通项 ，令 ，得 ，系数为 。故选A。 4．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】令 求各项系数之和。 【解答过程】令 ，得 。故选B。 5．（★★） 的展开式中的常数项是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】通项合并指数后令 的指数为 。 【解答过程】通项 ，令 ，得 ，常数项为 。故选B。 6．（★★★） 的展开式中含 的项的系数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】通项含 ，合并指数后令其为 。 【解答过程】通项 ，令 ，得 ，系数为 。故选A。 7．（★★★）已知 的展开式中第 5 项与第 7 项的二项式系数相等，则展开式中各项系数之和为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先由二项式系数相等的对称性反求 ，再用赋值法令 求各项系数之和。 【解答过程】第 5 项与第 7 项的二项式系数分别为 与 。由 ，因 ，由对称性 得 。设 ，则各项系数之和为 。故选B。误选C是把"二项式系数之和 "误当作各项系数之和；误选D是误取 ；误选A是把 的符号算错。 8．（★★★） 的展开式中含 的项的系数是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把三项式拆成 两组，按 分类二次展开，逐段收集 的系数后求和。 【解答过程】，其通项为。要凑出 ，需 ，得 ，，，逐段收集： 时，； 时，； 时，。故含 的项的系数为 。故选B。误选A、C是只算了 或 的单段贡献；误选D是漏掉 段的符号（）。 二、多选题 9．（★★）关于 的展开式，下列说法正确的是（　　） A．展开式共有 项　B．二项式系数最大的项是第 项和第 项　C．令 ，可得各项系数之和为 　D．所有二项式系数之和为 【答案】BCD 【解题思路】逐项用项数公式、二项式系数最大规律、赋值法与系数和公式核对。 【解答过程】，展开式共有 项，A 错误； 为奇数，二项式系数最大的项是第 项和第 项，B 正确；令 ，各项系数之和为 ，C 正确；所有二项式系数之和为 ，D 正确。故选BCD。 10．（★★）关于 的展开式，下列说法正确的是（　　） A．共有 项　B．常数项为 　C．含 的项的系数为 　D．含 的项的系数为 【答案】ABC 【解题思路】写出通项 ，逐项核算。 【解答过程】，展开式共 项，A 正确；令 得 ，常数项为 ，B 正确；令 得 ，含 的项的系数为 ，C 正确；令 得 ，含 的项的系数为 ，D 错误。故选ABC。 11．（★★★）已知 的展开式中含 的项的系数为 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．含 的项的系数为 　C．含 的项的系数为 　D．各项系数之和为 【答案】ABC 【解题思路】先用系数条件求 ，再逐项计算核对。 【解答过程】含 的项系数为 ，得 ，解得 ，A 正确；含 的项系数为 ，B 正确；含 的项系数为 ，C 正确；令 ，各项系数之和为 ，D 错误。故选ABC。 12．（★★★）已知 的展开式中第 4 项与第 6 项的二项式系数相等，则下列结论正确的是（　　） A．　B．展开式中不含常数项　C．含 的项的系数为 　D．展开式中系数最大的项是第 7 项 【答案】ABD 【解题思路】先由二项式系数相等的对称性求出 ，写出通项后逐项独立推导：常数项看指数方程有无整数解，系数最值用比值法找峰值。 【解答过程】第 4 项与第 6 项的二项式系数分别为 与 ，因 ，由对称性得 ，A 正确。通项 。B：常数项需 ，得 不是整数，故展开式中不含常数项，B 正确；C：含 的项需 ，得 ，其系数为 ， 只是二项式系数 ，C 错误；D：设第 项的系数为 ，则 ，当 即 时系数递增，此后递减（ 时比值为 ），故 即第 7 项的系数最大，为 ，D 正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★） 的展开式中含 的项的系数是______。 【答案】 【解题思路】含 的项对应 ，注意 的符号。 【解答过程】通项 ，令 ，系数为 。 14．（★★） 的展开式中含 的项的系数是______。 【答案】 【解题思路】通项中含 ，令 。 【解答过程】通项 ，令 ，系数为 。 15．（★★★） 的展开式中的常数项是______。 【答案】 【解题思路】通项含 ，合并指数后令其为 。 【解答过程】通项 ，令 ，得 ，常数项为 。 16．（★★★）已知 （）的展开式中系数最大的项只有第 4 项，则实数 的取值范围是______。 【答案】 【解题思路】写出相邻两项系数之比，"只有第 4 项系数最大"等价于第 4 项系数严格大于左右相邻两项，解不等式组并剔除并列临界的等号情形。 【解答过程】设第 项的系数为 （，，，），相邻两项系数之比 随 增大而减小，系数先增后减。"系数最大的项只有第 4 项"即 严格大于左右相邻两项：由 得 ，即 ；由 得 ，即 。当 或 时会出现两项并列最大，与"只有第 4 项"矛盾，须剔除等号，故 。 四、解答题 17．（★★）已知二项式 。 (1) 求展开式中含 的项； (2) 求展开式各项系数之和。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用通项定位含 的项；(2) 令 求系数和。 【解答过程】(1) 通项 ，令 ，得 ，含 的项为 。 (2) 令 ，各项系数之和为 。 【多解·巧解】第(2)问"各项系数之和"就是把 代入原式，得 ，比逐项相加快得多，也不易漏项。 【易错提醒】第(1)问别漏乘数字因子 ；第(2)问是"各项系数之和"（令 ），不是"二项式系数之和"（），两者不可混用。 18．（★★）已知二项式 。 (1) 求展开式中的常数项； (2) 求展开式中含 的项的系数。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先写出通项并合并 的指数，再分别令指数为 与 。 【解答过程】通项 。 (1) 令 ，得 ，常数项为 。 (2) 令 ，得 ，含 的项的系数为 。 【多解·巧解】本题通项的指数是 ，一次写出后常数项与指定项都能"套"出来；解 前先把指数式写清楚，再令它等于目标值。 【易错提醒】 为正、 为负，符号随 的奇偶变化；通项里 的负号必须带上，否则第(2)问会算成 。 19．（★★）已知 。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 令 ；(2) 用 与 的和求偶数项系数和。 【解答过程】(1) 令 ，得 。 (2) 令 ，得 。 两式相加得 ，所以 。 【多解·巧解】偶数项系数和用 ，奇数项系数和用 ；两式"相加消奇、相减消偶"，记忆时抓住"和除 得偶、差除 得奇"。 【易错提醒】 是把 代入原式（本题为 ），别把符号代错；求偶数项和时是与 相加，而非相减。 20．（★★★）已知二项式 的展开式中含 的项的系数为 。 (1) 求 的值； (2) 求展开式中含 的项的系数。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】用通项写出含 的项的系数，解出 ，再求含 的项的系数。 【解答过程】(1) 通项 ，含 的项的系数为 。 由 ，得 ，即 ，， 所以 。 (2) 由 ，含 的项的系数为 。 【多解·巧解】由 反求 时，可直接凑连续整数之积 得 ，比解三次方程更快，也避免展开出错。 【易错提醒】反求 后要检验 （本题 满足）；第(2)问别忘了数字因子 ，漏乘会算成 。 21．（★★★）已知二项式 。 (1) 设第 项的系数为 ，写出 的表达式，并比较相邻两项系数的大小； (2) 求展开式中系数最大的项。 【答案】(1) ，当 时系数递增，当 时系数递减； (2) 系数最大的项为 与 。 【解题思路】用比值法比较相邻两项的系数，找到系数由增转减的位置，即为系数最大项。 【解答过程】(1) 通项 ，其系数 ， 所以 。 当 即 时 ，系数递增；当 时 ，系数递减。 (2) 由(1)知系数在 与 处并列最大：，。 所以系数最大的项为 与 。 【多解·巧解】求"系数最大项"的标准方法是比值法：比较相邻两项系数之比 与 的大小，系数由增转减处即为最大；也可套结论" 附近取整"。 【易错提醒】当 （未出现整数解但边界）时会出现两项并列最大，本题 处比值恰为 ，故 并列最大，只写一项会漏解；另外求的是"项的系数最大"而非"二项式系数最大"。 22．（★★★）利用二项式定理求值。 (1) 求 的值； (2) 求 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】在 中分别令 与 ，再用和差求奇、偶项系数和。 【解答过程】(1) 在 中令 ， 得 。 (2) 令 ，得 。 两式相加得 ， 所以 。 【多解·巧解】这是"赋值法"的组合解释：令 得所有二项式系数之和 ，令 得奇、偶项之差为 ，从而奇、偶项之和各为 。 【易错提醒】第(2)问偶次项之和为 而非 ；要先确认奇、偶项之差为 （这里 成立）才能对半分。 23．（★★★）已知 ，且 。 (1) 求 的值； (2) 求展开式中含 的奇次幂各项的系数之和； (3) 用二项式定理证明：对任意正整数 ， 能被 整除。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 证明见解答。 【解题思路】(1) 令 得全部系数和，减去常数项后解指数方程；(2) 奇次幂系数和用 ；(3) 把 写成 展开，提出公因数 。 【解答过程】(1) 令 ，得 ；令 ，得 。 所以 ，即 。由 ，，得 ，故 。 (2) 设 。含 的奇次幂各项的系数之和为 ，其中 ，。 所以奇次幂系数之和为 。 (3) 对任意正整数 ，。 括号内为整数，记为 ，则 ，故 能被 整除。 【多解·巧解】第(2)问的奇次幂系数和直接套 ，本题 特别小，运算很轻；第(3)问解整除问题的通用变形是"把底数凑成除数的倍数加一个小量"：，展开后除末项外都是 的倍数，单独处理末项即可。 【易错提醒】第(1)问容易漏掉常数项 ，把条件写成 （无整数解）；第(2)问 而不是 （ 为偶数，），减式方向写反会得到 ；第(3)问必须写出展开式并把 提到括号外，只写结论不给过程会扣分。 24．（★★★）已知 （）的展开式中常数项为 。 (1) 求 的值； (2) 求展开式中含 的项的系数； (3) 求展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 二项式系数最大的项是第 4 项（）；系数最大的项是第 6 项（）。 【解题思路】先用通项把常数项写成 的方程求参，再令指数等于 求指定项系数；第(3)问区分"二项式系数最大"（只看 ）与"系数最大"（比值法找数字因子参与后的峰值）。 【解答过程】(1) 通项 。令 ，得 ，常数项为 。由 ，得 ，又 ，故 。 (2) 令 ，得 ，含 的项的系数为 。 (3) 二项式系数最大： 为偶数，中间一项的二项式系数最大，即第 4 项，该项为 。 系数最大：设第 项的系数为 ，则 。 当 即 时系数递增（ 时比值为 ），当 时递减（ 时比值为 ）， 故 时系数最大，为 ，该项为 ，即第 6 项。 【多解·巧解】第(3)问的关键是分清两个"最大"：二项式系数最大只看 ， 为偶数时取中间一项（第 4 项）；系数最大要计入数字因子 ，用比值法找峰值（第 6 项），两者位置可以不同，不能混为一谈。 【易错提醒】第(1)问常数项是 而非 （ 的指数随 取四次方），且 在 下只有 ；第(3)问若不检验比值穿过 的位置，容易误取第 5 项（系数 ）；系数最大的项是含 的负幂项，不要因为"含分母"就把它排除。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $