第50讲 用样本估计总体 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列
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内容正文：
2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列 · 第50讲 用样本估计总体
第50讲 用样本估计总体
【艺术生专用·全国通用】
考点要求
1．理解平均数、中位数、众数的意义，会按定义求一组数据的集中趋势量；
2．理解百分位数的意义与求法，会由 定位并求第 百分位数；
3．掌握方差 与标准差 ，会求方差与标准差；
4．会用组中值与频率加权估计总体的数字特征，能比较两组数据的稳定性。
考查内容
常见题型
试卷位置
难度
培优得分策略
平均数、中位数、众数
选择题、填空题
第3~5题、第12~13题
中
中位数先排序，众数找出现次数最多的数
方差与标准差
选择题、填空题
第5~7题、第13题
中
先求平均数求偏差平方的平均，注意整体变换
百分位数
选择题、填空题
第5~7题、第13题
中
先排序，由 判断取法
由直方图估计数字特征
选择题、解答题
第6~7题、第15~18题
中偏难
用组中值按频率加权，中位数看累计频率
数字特征的意义与比较
选择题、填空题
第7~10题、第13题
中偏难
先比平均数，再比方差（标准差）
命题规律分析
用样本估计总体是统计的核心方法，落点就是一组组"数字特征"，新高考中多以选择题第 4~7 题、填空第 12~13 题出现，并作为解答题第 15~18 题的一问。培优层要求的不只是套公式：求中位数先排序、按奇偶取数；求百分位数先排序、由 定位；求方差记住"先求平均数、再求偏差平方的平均"；比较两组数据先看平均数是否相同，再看方差（标准差）的大小；由直方图估计数字特征时用组中值按频率加权。本讲重点突破含参中位数的分类讨论、百分位数的取法以及分组数据的加权平均，目标是把这档"必拿分"练到又快又准。
考点1 集中趋势与百分位数
知识点1 平均数、中位数、众数
平均数 ，反映平均水平，受极端值影响较大。
中位数需先排序，个数为奇数取中间的数、为偶数取中间两数的平均数；众数是出现次数最多的数，可能不止一个。
【易错清单】
1．求中位数忘记排序是出现最多的错误；
2．数据个数为偶数时中位数是中间两数的平均数，不要只取其中一个；众数要写全。
知识点2 百分位数
第 百分位数：排序后计算 ； 非整数时取大于 的最小整数所对应的项， 为整数时取第 项与第 项的平均数。
第 百分位数就是中位数，可用来相互检验结果。
【易错清单】
1．不排序直接取数是常见错误；
2． 为整数时要取两项数据的平均数，不要只取第 项。
考点2 离散程度
知识点3 方差与标准差
方差 ，标准差 ；方差（标准差）越大，数据波动越大。
计算步骤：先求平均数，再求各数据与平均数的差的平方，最后求这些平方数的平均数。
【易错清单】
1．忘记先算平均数，直接用原数据求平方；
2．方差的单位是原数据单位的平方，比较稳定性前必须先看平均数是否相同。
知识点4 数字特征的意义与整体变换
数据整体加常数 ：平均数加 、方差不变；数据整体乘 ：平均数乘 、方差乘 。
评水平用平均数，评稳定性用方差（标准差）；数据有极端值时，中位数比平均数更能反映集中趋势。
【易错清单】
1．只说"方差小"而不比较平均数，结论不完整；
2．整体变换时方差乘的是 而不是 。
考点3 由频率分布直方图估计数字特征
知识点5 由直方图估计平均数、众数与中位数
用组中值估计平均数：；估计众数取最高组的组中值。
估计中位数所在组：从左往右累加各组频率，累计频率首次达到或超过 的那一组。
【易错清单】
1．组中值是该组两端点的平均数，不要用端点值代替；
2．求平均数的估计值要用频率加权，不能对各组组中值取简单平均。
知识点6 分组数据与合并样本的数字特征
分组数据求平均数用频数加权：。
已知两部分的平均数与人数，合并后的平均数等于"总成绩除以总人数"，即两部分的加权平均。
【易错清单】
1．合并两组数据时不能把两个平均数再简单取平均；
2．由分组数据求出的平均数、中位数都是近似值，题目通常要求答"约"。
【题型1 求平均数、中位数、众数】
【例1】已知一组数据 的平均数等于中位数，则实数 的值为____________。
【答案】、 或
【解题思路】中位数随 的位置而变化，需按 落在数据中的位置分类讨论，再令平均数等于中位数。
【解答过程】这组数据共 个，平均数为 。
中位数是排序后第 、 个数的平均数，需按 的位置讨论：
若 ，排列为 ，中位数为 ，由 得 ，符合 ；
若 ，排列为 ，中位数为 ，同样得 ，与 矛盾，舍去；
若 ，排列为 ，中位数为 ，由 得 ，符合 ；
若 ，排列为 ，中位数为 ，由 得 ，符合 。
综上，、 或 。
【多解·巧解】含参数据求中位数，关键是判断参数落在哪个区间：参数每越过一个已有数据，中位数就换一种算法。把参数的几种位置逐一写出并代回验证，能有效避免漏解。
【易错提醒】最容易只取"参数在中间"这一种情形，漏掉 与 两种端点情形；求出 后必须回代检验是否落在所设区间内， 的情形就会因矛盾被舍去。
【变式1-1】已知一组数据 ，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解题思路】众数是出现次数最多的数；中位数先排序再取中间两数的平均数。
【解答过程】数据中 出现 次，出现次数最多，所以众数为 ；数据共 个，中间两数为 与 ，中位数为 。故选A。
【变式1-2】已知一组数据 的平均数为 ，则 ____________。
【答案】
【解题思路】用"各数据之和等于平均数乘数据个数"列方程求解。
【解答过程】这组数据共 个，由平均数为 得各数据之和为 ，即 ，解得 。
【变式1-3】某小组 名同学的身高（单位：cm）分别为 ，，，，，，则这组数据的众数为____________，平均数为____________。
【答案】众数为 ，平均数为
【解题思路】众数找出现次数最多的数；平均数等于各数据之和除以数据个数。
【解答过程】数据中 出现 次，出现次数最多，众数为 ；平均数为 。
【题型2 求方差与标准差】
【例2】已知一组数据 的平均数为 ，方差为 ，则数据 的平均数与方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解题思路】数据整体乘 再加 ，平均数变为原来的 倍再加 ，方差变为原来的 倍。
【解答过程】每个数据都乘 再加 ，平均数变为 ；
方差变为原来的 倍，即 。故选A。
【多解·巧解】记住整体变换规律：数据加（或减）常数只平移平均数、不改变方差；数据乘常数则平均数乘该常数、方差乘该常数的平方。加、乘两种变换可以叠加使用。
【易错提醒】别把方差也"加 "：常数 只改变平均数，方差不受影响；只有乘 才使方差乘 。容易误选D（把 记成 倍而非 倍）。
【变式2-1】已知一组数据 ，则这组数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】先求平均数，再求各偏差平方的平均数。
【解答过程】平均数为 ，各偏差的平方分别为 ，方差为 。故选C。
【变式2-2】已知一组数据 ，则这组数据的标准差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】先求方差，再开平方得标准差。
【解答过程】平均数为 ，各偏差的平方分别为 ，方差为 ，所以标准差为 。故选A。
【变式2-3】已知一组数据的方差为 ，若把这组数据中的每个数据都乘 ，则新数据的方差为____________。
【答案】
【解题思路】数据整体乘 ，方差变为原来的 倍。
【解答过程】每个数据都乘 ，方差变为原来的 倍，即 。
【题型3 求百分位数】
【例3】已知一组数据 ，则这组数据的第 百分位数为____________，第 百分位数为____________。
【答案】第 百分位数为 ，第 百分位数为
【解题思路】先排序，再算 ，根据 是否为整数确定取法。
【解答过程】数据已按从小到大排列，共 个。
第 百分位数： 不是整数，取大于 的最小整数 ，故为第 项数据，即 ；
第 百分位数： 不是整数，取大于 的最小整数 ，故为第 项数据，即 。
【多解·巧解】求百分位数"先排序、再算 、后取数"三步缺一不可； 为整数时取第 项与第 项的平均数，为非整数时取大于 的最小整数所对应的项。
【易错提醒】两个 都不是整数时，要向上取整再定位；若草率地四舍五入（ 约成 恰好正确，但 若约成 就错了），会取错数据。务必按"大于 的最小整数"处理。
【变式3-1】已知一组数据 ，则这组数据的第 百分位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】 为整数时，取第 项与第 项的平均数。
【解答过程】数据共 个， 为整数，第 百分位数为第 项与第 项数据的平均数，即 。故选B。
【变式3-2】已知一组数据 ，则这组数据的第 百分位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】先算 ，判断是否为整数后按规则取数。
【解答过程】数据共 个， 为整数，第 百分位数为第 项与第 项数据的平均数，即 。故选B。
【变式3-3】已知一组数据 ，则这组数据的第 百分位数是____________。
【答案】
【解题思路】第 百分位数就是中位数，可先算 再取数。
【解答过程】数据共 个， 为整数，第 百分位数为第 项与第 项数据的平均数，即 。
【题型4 由直方图估计数字特征】
【例4】某校随机抽取 名学生测量某项成绩，按 ，，，，， 分组（组距为 ），各组频率依次为 ，，，，，。则估计这 名学生该项成绩的平均分约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】用各组组中值代表该组数据，按频率加权求和。
【解答过程】各组的组中值依次为 ，，，，，，
估计平均数为 。故选B。
【多解·巧解】用直方图估计平均数要用"组中值乘频率"求和；组中值等于该组两个端点之和的一半，千万不要用端点值直接计算。先列出组中值再逐项相乘相加，最不容易错。
【易错提醒】容易把组中值取错（如把 取成 ）或漏用频率加权；本题各组频率之和为 ，可先核对总和为 再计算。
【变式4-1】某频率分布直方图中，最高的小长方形对应的一组为 （组距为 ）。则用该直方图估计的众数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】用直方图估计众数，取最高小长方形所在组的组中值。
【解答过程】最高小长方形对应 ，其组中值为 ，故估计众数为 。故选B。
【变式4-2】某校抽取 名学生测量身高（单位：cm），按 ，， 分组，各组频率依次为 ，，。则估计学生身高的平均数约为（ ）cm
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】各组组中值分别为 ，，，按频率加权求和。
【解答过程】估计平均数为 。故选B。
【变式4-3】某频率分布直方图中，，，， 各组的频率依次为 ，，，。则估计总体的中位数落在（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】用累计频率判断：中位数所在组的累计频率首次达到或超过 。
【解答过程】各组累计频率依次为 ，，，。由于 ，累计频率首次超过 的是 这一组，故估计中位数落在 。故选C。
【题型5 数字特征的意义与比较】
【例5】甲、乙两名同学各进行 次测试，成绩（单位：分）如下：甲：；乙：。若要从两人中选一人代表参赛（优先看成绩是否稳定），则应选（ ）
A．甲 B．乙 C．两人一样 D．无法确定
【答案】A
【解题思路】先分别求两人的平均数与方差，再"先平均、后离散"地比较稳定性。
【解答过程】甲的平均数为 ，各偏差的平方为 ，方差为 ；
乙的平均数为 ，各偏差的平方为 ，方差为 。
两人平均成绩相同，而甲的方差更小，成绩更稳定，故应选甲。故选A。
【多解·巧解】比较稳定性的标准流程是"先比平均数、再比方差"：平均成绩相同才能直接比较方差，方差越小越稳定；若平均数不同，则需先说明选择依据再定结论。
【易错提醒】不能只看某一两次成绩高低就下结论；两名同学平均分相同（都是 ），必须用方差（标准差）判断稳定性，只看总分相等会误以为"两人一样"。
【变式5-1】某次考试后，甲、乙两个班学生的平均成绩相同，标准差分别为 ，，则（ ）
A．甲班学生成绩的波动比乙班大 B．乙班学生成绩的波动比甲班大 C．两班学生成绩分布完全相同 D．无法判断
【答案】B
【解题思路】平均数相同时，标准差越大，波动越大。
【解答过程】两班平均成绩相同，而 ，所以乙班学生成绩的波动比甲班大。故选B。
【变式5-2】某班在一次测验中，男生平均分为 分，女生平均分为 分，男生有 人、女生有 人，则全班平均分为（ ）分
A． B． C． D．
【答案】C
【解题思路】全班平均分等于总分除以总人数，即两类平均分的加权平均。
【解答过程】全班的平均分为 。故选C。
【变式5-3】若一组数据 的平均数为 ，方差为 ，则数据 的平均数和方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解题思路】数据整体加同一个常数，平均数增加这个常数，方差不变。
【解答过程】每个数据都加 ，平均数增加 ，变为 ；各数据与平均数的差不变，故方差不变，仍为 。故选A。
【题型6 数字特征综合】
【例6】已知一组数据 的平均数为 ，方差为 。
(1) 求 ；
(2) 若把这组数据中的每个数据都乘 再减 ，求所得新数据的平均数与方差。
【答案】(1) ；
(2) 平均数为 ，方差为 。
【解题思路】(1) 用"各数据之和等于平均数乘数据个数"；(2) 用整体变换规律：乘 、减 时平均数乘 减 、方差乘 。
【解答过程】(1) 。
(2) 数据乘 再减 ，平均数变为 ；减常数不改变离散程度，乘 使方差变为原来的 倍，故方差为 。
【多解·巧解】整体变换记住两条：加（减）常数只平移平均数、方差不变；乘常数 则平均数乘 、方差乘 。熟练掌握后，这类题无需重新逐个计算。
【易错提醒】第(2)问的减 只影响平均数，不影响方差；若把方差也写成"减 "或乘 而非乘 ，都会出错。
【变式6-1】某班 名学生的一次测验成绩（单位：分）为 ，则这组数据的众数是____________，中位数是____________。
【答案】众数为 ，中位数为
【解题思路】众数找出现次数最多的数；中位数排序后取中间两数的平均数。
【解答过程】数据已按从小到大排列，其中 出现 次，出现次数最多，众数为 ；共 个数，中间第 、 个数分别是 和 ，故中位数为 。
【变式6-2】某公司 名员工的月工资（单位：千元）分别为 ，则这组数据的中位数为____________，平均数为____________。
【答案】中位数为 ，平均数为
【解题思路】数据个数为偶数，中位数为中间两数的平均数；平均数等于各数据之和除以个数。
【解答过程】共 个数，中间第 、 个数分别是 和 ，故中位数为 ；平均数为 。
【变式6-3】已知一组数据的平均数为 ，方差为 。若把这组数据中的每个数据都减去 ，得到一组新数据，则新数据的平均数为____________，方差为____________。
【答案】平均数为 ，方差为
【解题思路】数据整体减去同一个常数，平均数减去这个常数，方差不变。
【解答过程】每个数据都减去 ，平均数变为 ；各数据与平均数的差不变，故方差不变，仍为 。
一、单选题
1．（★★）一组数据 的众数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】众数是出现次数最多的数据。
【解答过程】这组数据中 出现 次，出现次数最多，所以众数为 。故选B。
2．（★★）一组数据 的中位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】先排序，再取中间两数的平均数。
【解答过程】把数据按从小到大排列为 ，共 个数，中间两数为 和 ，中位数为 。故选B。
3．（★★）一组数据 的平均数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】平均数等于各数据之和除以数据个数。
【解答过程】平均数为 。故选B。
4．（★★）下列关于众数的说法中，正确的是（ ）
A．一组数据的众数一定唯一 B．众数是这组数据中出现次数最多的数 C．众数一定等于这组数据的平均数 D．一组数据的众数最多只能有一个
【答案】B
【解题思路】回归众数的定义判断各选项。
【解答过程】众数是一组数据中出现次数最多的数，B正确；一组数据的众数可能不止一个，A、D错误；众数与平均数没有必然关系，C错误。故选B。
5．（★★）已知一组数据 ，则这组数据的第 百分位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】第 百分位数就是中位数；共 个数，取中间两数的平均数。
【解答过程】数据共 个， 为整数，第 百分位数为第 项与第 项数据的平均数，即 。故选B。
6．（★★★）一组数据 的方差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解题思路】先求平均数，再求偏差平方的平均数。
【解答过程】平均数为 ，各偏差的平方分别为 ，所以方差为 。故选B。
7．（★★★）已知一组数据 的中位数为 ，且第 百分位数为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解题思路】共 个数据，，第 百分位数取排序后第 项；对 的位置分类，找出使"第 项为 且中位数为 "成立的情形。
【解答过程】 不是整数，第 百分位数为排序后第 项；中位数为排序后第 、 项的平均数。
若 ，排序后第 项为 ，第 百分位数为 ，不符合；
若 ，排序为 ，第 项为 ，由第 百分位数为 得 ，此时中位数为 ，符合；
若 ，排序后第 项为 ，第 百分位数为 ，中位数为 ，符合。
综上，。故选A。
8．（★★★）某市随机抽取 户居民统计月用水量（单位：吨），按 ，，，， 分组（组距为 ），各组频率依次为 ，，，，。则 与月用水量的中位数的估计值分别为（ ）
A．， 吨 B．， 吨 C．， 吨 D．， 吨
【答案】A
【解题思路】先由"各组频率之和等于 "求出 ，再用累计频率定位中位数所在组，并在组内按比例插值。
【解答过程】由各组频率之和为 得 ，解得 。各组累计频率依次为 ，，，，，中位数落在 内，估计值为 吨。故选A。
二、多选题
9．（★★）关于一组数据的数字特征，下列说法正确的是（ ）
A．平均数容易受极端值的影响 B．中位数不易受极端值的影响 C．众数是一组数据中出现次数最多的数 D．一组数据的平均数、中位数、众数一定相等
【答案】ABC
【解题思路】逐项对照平均数、中位数、众数的含义与特点。
【解答过程】平均数利用了所有数据，容易受极端值影响，A正确；中位数只与中间位置的数据有关，不易受极端值影响，B正确；众数是出现次数最多的数，C正确；三者的含义不同，一般并不相等，D错误。故选ABC。
10．（★★）已知一组数据 ，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数为 B．中位数为 C．众数为 D．众数与中位数不相等
【答案】ABCD
【解题思路】分别求平均数、中位数、众数，再逐项判断。
【解答过程】平均数为 ，A正确；排序后中间两数为 和 ，中位数为 ，B正确；数据中 出现 次，出现次数最多，众数为 ，C正确；众数 与中位数 不相等，D正确。故选ABCD。
11．（★★★）某班 名学生参加一次数学测试，成绩分组及人数为： 有 人， 有 人， 有 人， 有 人， 有 人。下列说法正确的是（ ）
A．估计平均分约为 分 B．成绩在 内的频率为 C．中位数一定落在 内 D．估计众数为 分
【答案】ABC
【解题思路】先求各组频率，再用组中值估计平均数，用累计频率判断中位数所在组。
【解答过程】各组频率依次为 。估计平均数为 ，A正确； 内的频率为 ，B正确；累计频率依次为 ，累计频率首次超过 的是 ，故中位数落在 内，C正确；众数应取最高频率组 的组中值 ，D错误。故选ABC。
12．（★★★）已知一组数据 （）的平均数为 ，方差为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数据 的方差为 B．若这组数据的第 百分位数为 ，则数据 的第 百分位数为 C．若 ，在这组数据中添加一个数据 ，则新数据的方差变小 D．数据 的平均数为 ，方差为
【答案】ABC
【解题思路】A、D 用整体变换规律逐项核算；B 抓住"整体加常数不改变大小顺序，排序位置不变"；C 需推导新方差 ，并说明 的临界情形。
【解答过程】A：数据乘 后方差变为 ，再减 方差不变，仍为 ，正确；
B：整体加 后数据的大小顺序不变，排序后各数据所在位置不变：当 不是整数时，取大于 的最小整数对应的项，该数据恰加 ；当 为整数时，取第 、 项的平均数，即 ，正确；
C：添加 后新平均数仍为 ，新方差为 ，当 时 ，方差变小，正确（临界说明：若 ，新方差仍为 ，不会变小，故必须限定 ）；
D：新数据的平均数为 ，但每个偏差变为原来的相反数，平方不变，方差仍为 ，不是 ，错误。
故选ABC。
三、填空题
13．（★★）一组数据 的中位数是____________。
【答案】
【解题思路】数据已排序，共 个数，取中间的数。
【解答过程】数据已按从小到大排列，共 个数，中间第 个数是 ，故中位数为 。
14．（★★）一组数据 的方差是____________。
【答案】
【解题思路】先求平均数，再求偏差平方的平均数。
【解答过程】平均数为 ，各偏差的平方分别为 ，所以方差为 。
15．（★★★）一组数据 的第 百分位数是____________。
【答案】
【解题思路】先算 ，判断是否为整数后按规则取数。
【解答过程】数据共 个， 为整数，第 百分位数为第 项与第 项数据的平均数，即 。
16．（★★★）已知一组数据 （）的中位数不大于它们的平均数，则 的取值范围为____________。
【答案】 或
【解题思路】平均数随 连续变化，中位数则按 所在区间取值，需对 分四种区间讨论后解不等式。
【解答过程】平均数为 。
当 时，中位数为 ，由 得 ，在 内恒成立，故 均符合；
当 时，中位数为 ，由 得 ，故 符合；
当 时，中位数为 ，由 得 ，与 矛盾，舍去；
当 时，中位数为 ，由 得 ，结合 得 符合。
综上， 的取值范围为 或 。
四、解答题
17．（★★）已知一组数据：。
(1) 求这组数据的平均数、中位数和众数；
(2) 求这组数据的方差。
【答案】(1) 平均数为 ，中位数为 ，众数为 ；
(2) 方差为 。
【解题思路】(1) 用定义分别求三个集中趋势量；(2) 先求平均数，再求偏差平方的平均数。
【解答过程】(1) 平均数为 ；把数据按从小到大排列为 ，中间两数为 和 ，故中位数为 ；数据中 出现 次，出现次数最多，故众数为 。
(2) 各偏差的平方分别为 ，所以方差为 。
【多解·巧解】一组数据的平均数、中位数、众数要分别按定义求，不能互相套用；求方差时先用第(1)问的平均数，可避免重复计算。
【易错提醒】中位数必须先把数据排序，本题排序后中间两数恰好都是 ，容易误以为不必排序；方差的分母是数据个数 ，不是 ，写错会得到不同的结果。
18．（★★）某小组 名同学的某次测试成绩（单位：分）分别为 。
(1) 求这 名同学成绩的平均数与中位数；
(2) 求这 名同学成绩的标准差（结果保留根号）。
【答案】(1) 平均数为 ，中位数为 ；
(2) 标准差为 。
【解题思路】(1) 用定义求平均数、中位数；(2) 先求方差再开平方。
【解答过程】(1) 平均数为 ；数据共 个，中间第 个数是 ，故中位数为 。
(2) 各偏差的平方分别为 ，所以方差为 ，标准差为 。
【多解·巧解】标准差是方差的算术平方根，先算方差再开方；开方时把被开方数写成"完全平方数乘剩余数"的形式（），即得 。
【易错提醒】不要把方差的平方当成标准差，也不要漏开方； 要化成最简二次根式 ，直接写 一般不作为最终答案。
19．（★★）某校从甲、乙两名同学中选拔一人参加数学竞赛，两人近 次模拟测试成绩（单位：分）如下：
甲：；
乙：。
(1) 分别求两人成绩的平均数与方差；
(2) 若要从两人中选一人参赛（优先看成绩是否稳定），请说明应选谁。
【答案】(1) 甲的平均数为 、方差为 ；乙的平均数为 、方差为 ；
(2) 选甲，因为两人平均成绩相同，而甲的方差更小，成绩更稳定。
【解题思路】先分别求两人的平均数与方差，再"先平均、后离散"地作比较。
【解答过程】(1) 甲的平均数为 ，各偏差的平方为 ，方差为 ；乙的平均数为 ，各偏差的平方为 ，方差为 。
(2) 两人平均成绩相同，而甲的方差 小于乙的方差 ，说明甲的成绩更稳定，因此应选甲参赛。
【多解·巧解】选拔类问题的答题模板：先算平均数，说明是否相同；再算方差（标准差），方差小的更稳定；最后给出结论并点明理由。三步齐全才不丢步骤分。
【易错提醒】只写"甲的方差小，所以选甲"而漏掉"两人平均数相同"这一前提，结论不完整；若平均数不同，则不能仅凭方差下结论。
20．（★★★）某市为了解居民月用水量，随机抽取 户，得到月用水量（单位：吨）的频率分布如下：
：；：；：；：；：。
(1) 用组中值估计该市居民月用水量的平均数；
(2) 估计该市居民月用水量的中位数所在的组。
【答案】(1) 约 吨；
(2) 。
【解题思路】(1) 用"组中值乘频率"求和；(2) 用累计频率判断中位数所在组。
【解答过程】(1) 各组的组中值依次为 ，估计平均数为 吨。
(2) 各组累计频率依次为 ，由于 ，累计频率首次超过 的是 这一组，故估计中位数落在 。
【多解·巧解】用直方图估计平均数要用组中值按频率加权；估计中位数所在组要用累计频率，从左侧开始逐组累加，找到第一个不低于 的组。两类问题方法不同，不要混用。
【易错提醒】组中值是"两端点的平均数"（如 的组中值为 ），不是端点 或组距 ；判断中位数所在组时要看"累计频率首次超过 "的那一组，别只看单组频率最大的组。
21．（★★★）某班 名学生参加体育测试，成绩（单位：分）的频数分布如下： 有 人， 有 人， 有 人， 有 人， 有 人， 有 人。
(1) 求成绩在 内的频率；
(2) 用组中值估计这 名学生成绩的平均数。
【答案】(1) ；
(2) 约 分。
【解题思路】(1) 用相关两组频数之和除以总人数；(2) 用各组组中值按频数加权求平均数。
【解答过程】(1) 成绩在 内共有 人，频率为 。
(2) 各组组中值依次为 ，平均数的估计值为 分。
【多解·巧解】给出频数分布时，估计平均数用"组中值乘频数求和再除以总人数"，即频数加权的平均；这与"组中值乘频率求和"本质相同，选顺手的写法即可。
【易错提醒】第(2)问的分母是总人数 ，不是组数 ；分子是"组中值乘频数"之和而不是各组组中值的简单相加。频率与频数要分清。
22．（★★★）已知一组数据 的平均数为 ，方差为 。
(1) 求 ；
(2) 若把这组数据中的每个数据都减去 后再乘 ，求所得新数据的平均数与方差。
【答案】(1) ；
(2) 平均数为 ，方差为 。
【解题思路】(1) 用"各数据之和等于平均数乘数据个数"；(2) 用整体变换规律逐步推算。
【解答过程】(1) 。
(2) 数据先减 、再乘 ，平均数变为 ；减常数不改变离散程度，乘 使方差变为原来的 倍，故方差为 。
【多解·巧解】整体变换可逐步推算：减 时平均数减 、方差不变；再乘 时平均数乘 、方差乘 。按顺序处理，两条规律叠加即可。
【易错提醒】每一步都要区分"平均数变、方差不变（加减）"与"平均数乘 、方差乘 （乘除）"；减 不影响方差，若把方差也减 就错了。
23．（★★★）某校随机抽取 名学生统计体质测试成绩（单位：分），按 ，，，， 分组（组距为 ），各组频率依次为 ，，，，。
(1) 求 的值，并估计成绩在 内的人数；
(2) 用组中值估计这 名学生成绩的平均数，并估计中位数；
(3) 已知样本中成绩在 内的 名学生的实际平均分为 、方差为 ，成绩在 内的 名学生的实际平均分为 、方差为 ，求这 名学生成绩的实际平均数与实际方差。
【答案】(1) ，约 人；
(2) 平均数约为 分，中位数约为 分；
(3) 实际平均数为 分，实际方差为 。
【解题思路】(1) 由各组频率之和为 建立 的方程，频率乘样本量得人数；(2) 用组中值按频率加权求平均数，用累计频率定位中位数所在组并在组内插值；(3) 把总偏差平方拆成"组内偏差平方加组间偏差平方"两部分合并求方差。
【解答过程】(1) 由各组频率之和为 得 ，解得 。成绩在 内对应 与 两组，频率之和为 ，故人数约为 人。
(2) 各组组中值依次为 ，估计平均数为 分。各组累计频率依次为 ，累计频率在 内首次超过 ，中位数为 分。
(3) 这 人的实际平均分为 分。两组内部的偏差平方之和为 ，两组的组平均数相对总平均数 的偏差平方之和为 ，故实际方差为 。
【多解·巧解】第(2)问估计中位数必须在中位数所在组内按比例插值，公式为"组下限加组距乘以 与前面累计频率之差再除以该组频率"，本题插值结果恰好等于组中值 属于巧合，过程必须体现插值；第(3)问合并方差的关键是把每部分拆成"组内偏差平方加组间偏差平方"，即各组方差与"组平均数到总平均数的距离平方"按人数加权求和。
【易错提醒】① 第(1)问求 时漏掉某组频率，或求人数时忘记乘样本量 ；② 第(2)问把组中值取成组下限，或直接取累计频率刚超过 的组的组中值；③ 第(3)问合并方差时直接把 与 取平均，忽略"组平均数偏离总平均数"的贡献，正确结果是 而不是 。
24．（★★★）某公司统计甲、乙两名员工近 个月的绩效考核成绩（单位：分）如下：
甲：；
乙：，其中乙的平均分为 。
(1) 求 的值；
(2) 分别求甲、乙成绩的平均数与方差，并判断谁的成绩更稳定；
(3) 公司规定绩效分不低于 分的月份为"优秀月"。分别求甲、乙两人这 个月中"优秀月"的频率，并从平均数、方差、"优秀月"频率三个方面综合评价，说明公司应重点培养哪名员工。
【答案】(1) ；
(2) 甲的平均数为 、方差为 ；乙的平均数为 、方差为 ；乙的成绩更稳定；
(3) 甲、乙"优秀月"的频率均为 ；应重点培养乙。
【解题思路】(1) 用"各数据之和等于平均数乘月数"建立方程求 ；(2) 先排序再按"平均数、偏差平方、再平均"求方差；(3) 数出不低于 分的月数求频率，再对三个数字特征逐一比较，不能只看单一指标。
【解答过程】(1) 乙的 个月成绩之和为 ，故 ，即 ，解得 。
(2) 甲的平均数为 ，各偏差的平方分别为 ，方差为 ；乙的成绩从小到大排列为 ，平均数为 ，各偏差的平方分别为 ，方差为 。乙的平均分更高且方差更小，所以乙的成绩更稳定。
(3) 甲的成绩中不低于 分的有 共 个月，"优秀月"频率为 ；乙的成绩中不低于 分的有 共 个月，"优秀月"频率也为 。两人"优秀月"频率相同，但乙的平均分 高于甲的 ，方差 小于甲的 ，说明乙整体水平更高且发挥更稳定，故公司应重点培养乙。
【多解·巧解】求乙的方差必须先把 代入并重新排序，再按"平均数、偏差平方、平均"三步计算；综合评价类问题要把平均数、方差、频率三个指标逐一对比，当某个指标相同时（本题"优秀月"频率相同），必须转向其他指标寻找差异，结论才完整。
【易错提醒】① 由平均分求 时把 个月之和误写成 ；② 数"优秀月"时漏掉 分这类高分，或把 分误算进去；③ 两人"优秀月"频率恰好相同，只凭频率会误判"两人一样好"，必须结合平均数与方差综合判断。
—— 本节结束 ——
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$2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列 · 第50讲 用样本估计总体
第50讲 用样本估计总体
【艺术生专用·全国通用】
考点要求
1．理解平均数、中位数、众数的意义，会按定义求一组数据的集中趋势量；
2．理解百分位数的意义与求法，会由 定位并求第 百分位数；
3．掌握方差 与标准差 ，会求方差与标准差；
4．会用组中值与频率加权估计总体的数字特征，能比较两组数据的稳定性。
考查内容
常见题型
试卷位置
难度
培优得分策略
平均数、中位数、众数
选择题、填空题
第3~5题、第12~13题
中
中位数先排序，众数找出现次数最多的数
方差与标准差
选择题、填空题
第5~7题、第13题
中
先求平均数求偏差平方的平均，注意整体变换
百分位数
选择题、填空题
第5~7题、第13题
中
先排序，由 判断取法
由直方图估计数字特征
选择题、解答题
第6~7题、第15~18题
中偏难
用组中值按频率加权，中位数看累计频率
数字特征的意义与比较
选择题、填空题
第7~10题、第13题
中偏难
先比平均数，再比方差（标准差）
命题规律分析
用样本估计总体是统计的核心方法，落点就是一组组"数字特征"，新高考中多以选择题第 4~7 题、填空第 12~13 题出现，并作为解答题第 15~18 题的一问。培优层要求的不只是套公式：求中位数先排序、按奇偶取数；求百分位数先排序、由 定位；求方差记住"先求平均数、再求偏差平方的平均"；比较两组数据先看平均数是否相同，再看方差（标准差）的大小；由直方图估计数字特征时用组中值按频率加权。本讲重点突破含参中位数的分类讨论、百分位数的取法以及分组数据的加权平均，目标是把这档"必拿分"练到又快又准。
考点1 集中趋势与百分位数
知识点1 平均数、中位数、众数
平均数 ，反映平均水平，受极端值影响较大。
中位数需先排序，个数为奇数取中间的数、为偶数取中间两数的平均数；众数是出现次数最多的数，可能不止一个。
【易错清单】
1．求中位数忘记排序是出现最多的错误；
2．数据个数为偶数时中位数是中间两数的平均数，不要只取其中一个；众数要写全。
知识点2 百分位数
第 百分位数：排序后计算 ； 非整数时取大于 的最小整数所对应的项， 为整数时取第 项与第 项的平均数。
第 百分位数就是中位数，可用来相互检验结果。
【易错清单】
1．不排序直接取数是常见错误；
2． 为整数时要取两项数据的平均数，不要只取第 项。
考点2 离散程度
知识点3 方差与标准差
方差 ，标准差 ；方差（标准差）越大，数据波动越大。
计算步骤：先求平均数，再求各数据与平均数的差的平方，最后求这些平方数的平均数。
【易错清单】
1．忘记先算平均数，直接用原数据求平方；
2．方差的单位是原数据单位的平方，比较稳定性前必须先看平均数是否相同。
知识点4 数字特征的意义与整体变换
数据整体加常数 ：平均数加 、方差不变；数据整体乘 ：平均数乘 、方差乘 。
评水平用平均数，评稳定性用方差（标准差）；数据有极端值时，中位数比平均数更能反映集中趋势。
【易错清单】
1．只说"方差小"而不比较平均数，结论不完整；
2．整体变换时方差乘的是 而不是 。
考点3 由频率分布直方图估计数字特征
知识点5 由直方图估计平均数、众数与中位数
用组中值估计平均数：；估计众数取最高组的组中值。
估计中位数所在组：从左往右累加各组频率，累计频率首次达到或超过 的那一组。
【易错清单】
1．组中值是该组两端点的平均数，不要用端点值代替；
2．求平均数的估计值要用频率加权，不能对各组组中值取简单平均。
知识点6 分组数据与合并样本的数字特征
分组数据求平均数用频数加权：。
已知两部分的平均数与人数，合并后的平均数等于"总成绩除以总人数"，即两部分的加权平均。
【易错清单】
1．合并两组数据时不能把两个平均数再简单取平均；
2．由分组数据求出的平均数、中位数都是近似值，题目通常要求答"约"。
【题型1 求平均数、中位数、众数】
【例1】已知一组数据 的平均数等于中位数，则实数 的值为____________。
【变式1-1】已知一组数据 ，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式1-2】已知一组数据 的平均数为 ，则 ____________。
【变式1-3】某小组 名同学的身高（单位：cm）分别为 ，，，，，，则这组数据的众数为____________，平均数为____________。
【题型2 求方差与标准差】
【例2】已知一组数据 的平均数为 ，方差为 ，则数据 的平均数与方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式2-1】已知一组数据 ，则这组数据的方差为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知一组数据 ，则这组数据的标准差为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】已知一组数据的方差为 ，若把这组数据中的每个数据都乘 ，则新数据的方差为____________。
【题型3 求百分位数】
【例3】已知一组数据 ，则这组数据的第 百分位数为____________，第 百分位数为____________。
【变式3-1】已知一组数据 ，则这组数据的第 百分位数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】已知一组数据 ，则这组数据的第 百分位数是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】已知一组数据 ，则这组数据的第 百分位数是____________。
【题型4 由直方图估计数字特征】
【例4】某校随机抽取 名学生测量某项成绩，按 ，，，，， 分组（组距为 ），各组频率依次为 ，，，，，。则估计这 名学生该项成绩的平均分约为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】某频率分布直方图中，最高的小长方形对应的一组为 （组距为 ）。则用该直方图估计的众数为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】某校抽取 名学生测量身高（单位：cm），按 ，， 分组，各组频率依次为 ，，。则估计学生身高的平均数约为（ ）cm
A． B． C． D．
【变式4-3】某频率分布直方图中，，，， 各组的频率依次为 ，，，。则估计总体的中位数落在（ ）
A． B． C． D．
【题型5 数字特征的意义与比较】
【例5】甲、乙两名同学各进行 次测试，成绩（单位：分）如下：甲：；乙：。若要从两人中选一人代表参赛（优先看成绩是否稳定），则应选（ ）
A．甲 B．乙 C．两人一样 D．无法确定
【变式5-1】某次考试后，甲、乙两个班学生的平均成绩相同，标准差分别为 ，，则（ ）
A．甲班学生成绩的波动比乙班大 B．乙班学生成绩的波动比甲班大 C．两班学生成绩分布完全相同 D．无法判断
【变式5-2】某班在一次测验中，男生平均分为 分，女生平均分为 分，男生有 人、女生有 人，则全班平均分为（ ）分
A． B． C． D．
【变式5-3】若一组数据 的平均数为 ，方差为 ，则数据 的平均数和方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【题型6 数字特征综合】
【例6】已知一组数据 的平均数为 ，方差为 。
(1) 求 ；
(2) 若把这组数据中的每个数据都乘 再减 ，求所得新数据的平均数与方差。
【变式6-1】某班 名学生的一次测验成绩（单位：分）为 ，则这组数据的众数是____________，中位数是____________。
【变式6-2】某公司 名员工的月工资（单位：千元）分别为 ，则这组数据的中位数为____________，平均数为____________。
【变式6-3】已知一组数据的平均数为 ，方差为 。若把这组数据中的每个数据都减去 ，得到一组新数据，则新数据的平均数为____________，方差为____________。
一、单选题
1．（★★）一组数据 的众数是（ ）
A． B． C． D．
2．（★★）一组数据 的中位数是（ ）
A． B． C． D．
3．（★★）一组数据 的平均数是（ ）
A． B． C． D．
4．（★★）下列关于众数的说法中，正确的是（ ）
A．一组数据的众数一定唯一 B．众数是这组数据中出现次数最多的数 C．众数一定等于这组数据的平均数 D．一组数据的众数最多只能有一个
5．（★★）已知一组数据 ，则这组数据的第 百分位数是（ ）
A． B． C． D．
6．（★★★）一组数据 的方差是（ ）
A． B． C． D．
7．（★★★）已知一组数据 的中位数为 ，且第 百分位数为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（★★★）某市随机抽取 户居民统计月用水量（单位：吨），按 ，，，， 分组（组距为 ），各组频率依次为 ，，，，。则 与月用水量的中位数的估计值分别为（ ）
A．， 吨 B．， 吨 C．， 吨 D．， 吨
二、多选题
9．（★★）关于一组数据的数字特征，下列说法正确的是（ ）
A．平均数容易受极端值的影响 B．中位数不易受极端值的影响 C．众数是一组数据中出现次数最多的数 D．一组数据的平均数、中位数、众数一定相等
10．（★★）已知一组数据 ，则下列说法正确的是（ ）
A．平均数为 B．中位数为 C．众数为 D．众数与中位数不相等
11．（★★★）某班 名学生参加一次数学测试，成绩分组及人数为： 有 人， 有 人， 有 人， 有 人， 有 人。下列说法正确的是（ ）
A．估计平均分约为 分 B．成绩在 内的频率为 C．中位数一定落在 内 D．估计众数为 分
12．（★★★）已知一组数据 （）的平均数为 ，方差为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．数据 的方差为 B．若这组数据的第 百分位数为 ，则数据 的第 百分位数为 C．若 ，在这组数据中添加一个数据 ，则新数据的方差变小 D．数据 的平均数为 ，方差为
三、填空题
13．（★★）一组数据 的中位数是____________。
14．（★★）一组数据 的方差是____________。
15．（★★★）一组数据 的第 百分位数是____________。
16．（★★★）已知一组数据 （）的中位数不大于它们的平均数，则 的取值范围为____________。
四、解答题
17．（★★）已知一组数据：。
(1) 求这组数据的平均数、中位数和众数；
(2) 求这组数据的方差。
18．（★★）某小组 名同学的某次测试成绩（单位：分）分别为 。
(1) 求这 名同学成绩的平均数与中位数；
(2) 求这 名同学成绩的标准差（结果保留根号）。
19．（★★）某校从甲、乙两名同学中选拔一人参加数学竞赛，两人近 次模拟测试成绩（单位：分）如下：
甲：；
乙：。
(1) 分别求两人成绩的平均数与方差；
(2) 若要从两人中选一人参赛（优先看成绩是否稳定），请说明应选谁。
20．（★★★）某市为了解居民月用水量，随机抽取 户，得到月用水量（单位：吨）的频率分布如下：
：；：；：；：；：。
(1) 用组中值估计该市居民月用水量的平均数；
(2) 估计该市居民月用水量的中位数所在的组。
21．（★★★）某班 名学生参加体育测试，成绩（单位：分）的频数分布如下： 有 人， 有 人， 有 人， 有 人， 有 人， 有 人。
(1) 求成绩在 内的频率；
(2) 用组中值估计这 名学生成绩的平均数。
22．（★★★）已知一组数据 的平均数为 ，方差为 。
(1) 求 ；
(2) 若把这组数据中的每个数据都减去 后再乘 ，求所得新数据的平均数与方差。
23．（★★★）某校随机抽取 名学生统计体质测试成绩（单位：分），按 ，，，， 分组（组距为 ），各组频率依次为 ，，，，。
(1) 求 的值，并估计成绩在 内的人数；
(2) 用组中值估计这 名学生成绩的平均数，并估计中位数；
(3) 已知样本中成绩在 内的 名学生的实际平均分为 、方差为 ，成绩在 内的 名学生的实际平均分为 、方差为 ，求这 名学生成绩的实际平均数与实际方差。
24．（★★★）某公司统计甲、乙两名员工近 个月的绩效考核成绩（单位：分）如下：
甲：；
乙：，其中乙的平均分为 。
(1) 求 的值；
(2) 分别求甲、乙成绩的平均数与方差，并判断谁的成绩更稳定；
(3) 公司规定绩效分不低于 分的月份为"优秀月"。分别求甲、乙两人这 个月中"优秀月"的频率，并从平均数、方差、"优秀月"频率三个方面综合评价，说明公司应重点培养哪名员工。
—— 本节结束 ——
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