第47讲 直线与圆锥曲线的位置关系 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第47讲 直线与圆锥曲线的位置关系 第47讲 直线与圆锥曲线的位置关系 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．会用联立方程、消元与判别式判断直线与圆锥曲线的位置关系，注意抛物线、双曲线的退化情形； 2．熟练掌握弦长公式，会用 简化运算； 3．掌握点差法，会由弦的中点求斜率、由斜率求中点轨迹，并记得回代检验； 4．会求直线与圆锥曲线围成的三角形面积，会处理定点、定值与参数的取值范围问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 位置关系的判定 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中 先判断定点在内还是外，再算 弦长 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中 用 求 中点弦（点差法） 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 记公式后必须回代检验 面积与定点定值 解答题 第18~20题 中偏难 原点三角形用行列式公式，定点用设线技巧 参数的取值范围 选择题、解答题 第8题、第19~20题 中偏难 抓住 ，别忘退化情形 命题规律分析 直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的核心，也是新高考解答题的常客，多落在选择题第6~8题、填空题第13~14题与解答题第17~20题。本专题的运算量普遍偏大，培优的关键是把通法练成条件反射：判断位置关系用"联立—消元—判别式"；求弦长先写两根之和与两根之积，再用 一步到位；遇中点弦果断用点差法；求面积优先用 。此外还有三个必须养成的习惯：设过 轴上一点的直线用 （不漏竖直情形）、点差法之后必须回代检验、求范围时 与 要按题设取舍。把这几条变成习惯，解析几何的计算失误会大幅下降。 考点1 位置关系的判定 知识点1 联立与判别式 把直线方程代入曲线方程，消去一个未知数得一元二次方程 ，由 的符号判断公共点个数： 相交、 相切、 相离。 求交点间的距离时，，比先求两根之和与积再平方更省事。 【易错清单】 1．"有两个公共点"用 ，"有公共点"用 ，两者的等号取舍不同； 2．公式 中的 是联立后二次项系数，不是椭圆的 ； 3． 算出来后建议在草稿上核对一次常数项，这是出错率最高的一步。 知识点2 三类曲线的判定要点 椭圆：二次项系数恒正，过椭圆内部一点的任意直线必与椭圆交于两点；过椭圆外部一点的直线只有部分斜率能相交。 抛物线：与对称轴平行的直线联立后方程退化为一次方程，只有一个公共点；双曲线：与渐近线平行的直线同样只有一个公共点。这两类"只有一个公共点"都不是相切。 【易错清单】 1．判断点在椭圆内还是外，把点代入 ，小于 为内、大于 为外； 2．"只有一个公共点"要分相切与平行（退化）两类，漏掉后者是典型失分点。 考点2 弦长与中点弦 知识点3 弦长公式 ，其中 。 斜率不存在时改用 （此时应消 保留 ）；过抛物线焦点的弦还可用 。 【易错清单】 1．别漏掉 因子； 2．，中间的减号别写成加号； 3．焦点弦公式只对过焦点的弦成立，一般弦要用通用公式。 知识点4 中点弦与点差法 把两点坐标代入曲线方程后作差，配合 、 即可求出弦的斜率。 常用结论：椭圆 有 ；双曲线 有 ；抛物线 有 。 【易错清单】 1．椭圆带负号、双曲线不带负号，两个公式别混用； 2．点差法只给出必要条件，必须回代检验 ，否则可能算出一条不相交的直线； 3． 时公式分母为零，此时弦垂直于 轴，斜率不存在，需单独讨论。 考点3 面积、定点与范围 知识点5 三角形面积的求法 以弦为底、以点到直线的距离为高：，。 若三角形的一个顶点是原点，用行列式公式更快：。 【易错清单】 1．行列式公式只适用于一个顶点在原点的情形，一般三点要用底乘高或坐标公式； 2．焦点弦上的三角形可拆成以焦点为顶点的两块，，合并时需要先说明 、 异号。 知识点6 定点、定值与范围 定值：联立后用韦达定理把所求量写成参数的式子，化简后参数被消去即得定值；定点：把含参直线整理成关于参数的形式，令参数的系数为零解出定点。 范围：由"有两个不同公共点"得 ，由"有公共点"得 ，再剔除使二次项系数为零的退化值。 【易错清单】 1．设 会漏掉斜率不存在的直线，过 轴上的点建议设 ； 2．求范围时别忘了排除与渐近线平行（或与对称轴平行）的情形； 3．消参求轨迹时要注明变量的取值范围。 【题型1 位置关系的判定】 【例1】判断直线 与椭圆 的位置关系。 【答案】对任意实数 ，直线 与椭圆 都相交于两个不同的点。 【解题思路】联立后看判别式的符号；也可先看定点 是否在椭圆内部。 【解答过程】把 代入 得 ，即 。 因 恒成立，只需看判别式： 。 故对任意实数 ，直线与椭圆都有两个不同的公共点，即恒相交。 【多解·巧解】更快的判断是先看定点在椭圆内还是外：直线 恒过点 ，而 ，该点在椭圆内部。过椭圆内部一点的任意直线必与椭圆交于两点，于是连判别式都不必算。这个结论在选择题里几乎是秒杀级的：先代入定点判内外，在内则恒相交，在外才需要算 。 【易错提醒】① 误去讨论 ：椭圆联立后的二次项系数恒正，不存在退化情形；② 计算 时把常数项写错（应为 而不是 ）， 与 会给出完全相反的结论；③ 若直线改成 （过椭圆外一点），结论就不再是"恒相交"。 【变式1-1】若直线 与椭圆 相切，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】联立后令判别式等于零。 【解答过程】把 代入 得 。 相切则 ，得 ，即 。故选B。 【变式1-2】若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】斜率 不等于渐近线斜率 ，故只有一个公共点必是相切，令 。 【解答过程】把 代入 得 ，即 。 只有一个公共点且二次项系数不为零，需 ，得 。故选A。 【变式1-3】若直线 与抛物线 只有一个公共点，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】C 【解题思路】分两类： 时直线与对称轴平行（方程退化）； 时相切。 【解答过程】把 代入 得 。 ① 当 时，方程化为 ，有唯一解，此时直线与抛物线的对称轴平行，只有一个公共点； ② 当 时，需 ，得 。 故 或 。故选C。 【题型2 弦长问题】 【例2】已知椭圆 ，直线 交 于 、 两点，求 。 【答案】 【解题思路】联立后用 ，再乘 。 【解答过程】把 代入 得 。 。 故 。 。 【多解·巧解】求弦长的固定动作只有三步：联立、用 、乘 。用 比先算 、 再平方要少两步，且不容易在符号上出错。另外若题目只问 而问弦长，千万别忘记最后乘 ——这是最常见的丢分项。 【易错提醒】① 把公式中的 当成椭圆的 （应为联立后的二次项系数 ）；② 中，两个负号相乘得正，别算成 ；③ 忘记 。 【变式2-1】直线 与抛物线 交于 、 两点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】联立后用 ，再乘 。 【解答过程】把 代入 得 。 ，故 。 。故选B。 【变式2-2】过抛物线 焦点的弦 满足 ，则弦 中点的横坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】焦点弦满足 ，求出 后取一半。 【解答过程】由 且 得 。 故中点横坐标为 。故选B。 【变式2-3】椭圆 被直线 截得的弦长为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】直线垂直于 轴，弦长直接用 。 【解答过程】把 代入 得 ，即 ，。 故弦长为 。故选D。 【题型3 中点弦问题（点差法）】 【例3】已知椭圆 的一条弦 的中点为 ，求直线 的方程。 【答案】 【解题思路】用点差法公式 ，再回代检验。 【解答过程】设 、，两点都在椭圆上，故 ，。 两式作差：。 代入 、 得 ， 即 ，故 。 直线 为 ，即 。 检验：把 代入 得 ，即 ，解得 或 ，对应两点 、 都在椭圆上，中点为 ，弦确实存在。 【多解·巧解】点差法可以直接背结论：椭圆 、双曲线 、抛物线 有 。记忆要点是椭圆带负号、双曲线不带负号（椭圆方程中是加号、双曲线中是减号）。本题代入即 ，比现场作差快得多，但必须补上回代检验。顺带一提：本题回代后得到整点 与 ，答案很干净——如果回代后得到的是复杂无理数，多半是某一步算错了。 【易错提醒】① 椭圆与双曲线的公式差一个负号，别混用；② 点差法只给必要条件，必须回代检验（本题求出两个端点后要验证它们都在椭圆上）；③ 若 ，公式分母为零，此时弦垂直于 轴，斜率不存在，应单独讨论。 【变式3-1】椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】代入 。 【解答过程】。故选A。 【变式3-2】抛物线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】抛物线的点差法公式为 ，此处 。 【解答过程】由 得 ，故 。故选B。 【变式3-3】椭圆 中所有斜率为 的平行弦，它们的中点所在的直线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 代入点差法公式 ，得到中点的坐标关系。 【解答过程】设中点为 ，由 得 ，即 。 故中点都在直线 上（取椭圆内部的那一段）。故选A。 【题型4 与圆锥曲线有关的面积问题】 【例4】已知椭圆 ，直线 交 于 、 两点， 为坐标原点，求 的面积。 【答案】 【解题思路】一个顶点是原点，优先用 。 【解答过程】设 、，其中 、。 。 由例2已得 ，故 。 【多解·巧解】当三角形的一个顶点是原点时， 比"底乘高"快得多：本题代入 后交叉项 自动抵消，直接得到 ，弦长和点到直线的距离都不必算。凡是"原点 + 弦"的三角形，先试行列式公式。若记不住这个公式，用 也行：，，结果同为 。 【易错提醒】① 用底乘高时，点到直线的距离别漏掉分母 ；② 行列式公式中别漏掉系数 ；③ 若直线过原点，则三点共线、面积为 ，此时公式仍然成立，不要因为算出 就以为算错了。 【变式4-1】椭圆 与直线 交于 、 两点，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】弦平行于 轴，底为弦长、高为 。 【解答过程】把 代入得 ，即 ，，弦长为 。 高为原点到直线 的距离 ，故 。故选A。 【变式4-2】双曲线 与直线 交于 、 两点，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求弦长，再求原点到直线的距离。 【解答过程】把 代入 得 。 ，，故 。 原点到直线 的距离为 。 。故选A。 【变式4-3】过抛物线 焦点的直线交抛物线于 、 两点，若 的面积为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】把面积拆成以 为底的两块，得 。 【解答过程】设直线为 ，代入 得 ，故 ，。 ，得 。 ，得 。 ，故 。故选C。 【题型5 定值问题与弦的最值】 【例5】已知椭圆 ，过右焦点 的直线 交 于 、 两点。 (1) 证明 为定值，并求出该定值； (2) 求 面积的最大值。 【答案】(1) 定值为 ； (2) 。 【解题思路】设 （含竖直直线），用韦达定理表示 、，再用焦半径公式化简。 【解答过程】由 、 得 ，右焦点 ，。 (1) 设 ，代入 得 。 ，。 ，。 由焦半径公式（右焦点）：，。 ； 。 故 ，为定值。 (2) ，故 、 异号， 。 。 令 ，则 ，该式在 上随 增大而减小，故 （即 ）时最大，，。 【多解·巧解】本题的两处关键化简值得记住：一是用 作参数并令 整体换元，把 变成 ，单调性一眼可见；二是面积拆成以 为公共底的两块，比"弦长乘距离"省一半运算。另外椭圆的焦半径公式可以直接推导：，故 ，不必死记。 【易错提醒】① 设 会漏掉竖直直线 ，而最大值恰好在此时取得；② 只在两数异号时成立，必须先由 说明；③ 换元后要注意新变量的取值范围是 而不是 。 【变式5-1】已知椭圆 ，过右焦点的弦 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用倒数和定值 与倍数关系联立。 【解答过程】由 ，设 ，则 。 ，即 ，得 。 故 。故选B。 【变式5-2】已知抛物线 ，弦 的长为 ，则弦 中点横坐标的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】设 、，把弦长与中点横坐标都用 、 表示。 【解答过程】设 、，记 、。 ，故 ，得 。 中点横坐标 。 令 ，则 。 由 （等号在 时取得，且 ），得 。故选C。 【变式5-3】已知椭圆 ，过右焦点 的弦 的长记为 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】过焦点的最短弦是通径 ，最长弦是长轴 。 【解答过程】过焦点的最短弦为通径，长 ；最长弦为长轴，长 。 故 。故选A。 【题型6 参数的取值范围问题】 【例6】已知椭圆 ，直线 与 有公共点，求实数 的取值范围。 【答案】 或 【解题思路】联立后令 ；也可由"过椭圆外一点的直线"用切线斜率夹逼。 【解答过程】把 代入 得 。 有公共点需 ： ，得 。 故 或 。 【多解·巧解】几何判断能帮你提前预知答案形状：直线 恒过点 ，而 ，该点在椭圆外部。过椭圆外一点的直线，只有当它的斜率"足够陡"时才会与椭圆相交，所以答案必是 某个正数这种两段形式——如果你算出的答案是 某数，几乎可以断定判别式符号写反了。先判定点在内还是外，再决定答案的形状，是检验结果的好办法。 【易错提醒】① "有公共点"包括相切，用 ；若是"有两个不同的公共点"则用 ；② 判别式中 的符号别写错，写成 会得到 这种荒谬结论；③ 解 必须写成两段，写成 会漏掉整个左半边。 【变式6-1】直线 与椭圆 相交于两个不同的点，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】定点 在椭圆内部，故任意斜率都相交。 【解答过程】由 知点 在椭圆内部，过椭圆内一点的任意直线都与椭圆交于两个不同的点。 故 可取任意实数。故选A。 【变式6-2】直线 与双曲线 有两个不同的公共点，则 的取值范围是（　　） A．　B． 且 　C．　D． 【答案】B 【解题思路】既要 ，又要排除与渐近线平行的情形。 【解答过程】把 代入 得 。 ① 需 ，即 ； ② 需 ，得 。 故 且 。故选B。 【变式6-3】已知椭圆 上存在两个不同的点关于直线 对称，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两点关于直线对称则弦垂直于该直线、中点在直线上，再用点差法与"中点在椭圆内"求解。 【解答过程】设两点所在弦的中点为 。弦与直线 垂直，故弦的斜率为 。 由点差法 ，得 。 又中点在直线 上，故 ，得 、。 中点必须在椭圆内部：，即 。 故 。故选A。 一、单选题 1．（★★）直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交于两点　D．无法确定 【答案】C 【解题思路】定点 在椭圆内部，必相交于两点。 【解答过程】由 知 在椭圆内部，故直线与椭圆相交于两点。故选C。 2．（★★）直线 与抛物线 的公共点个数为（　　） A．　B．　C．　D．无数个 【答案】A 【解题思路】联立后看判别式。 【解答过程】把 代入 得 ，即 ，无实数解。故公共点个数为 。故选A。 3．（★★）椭圆 的一条弦 的中点为 ，则直线 的斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】代入点差法公式 。 【解答过程】。故选A。 4．（★★）椭圆 中，过右焦点的弦的最短长度为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】过焦点的最短弦是通径，长为 。 【解答过程】通径长为 。故选A。 5．（★★）直线 与抛物线 恰有一个公共点，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】C 【解题思路】分与对称轴平行（）和相切（）两类。 【解答过程】联立得 。 时方程化为 ，只有一个公共点； 时令 ，得 。 故 或 。故选C。 6．（★★★）已知椭圆 ，直线 与椭圆有公共点，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】联立后令 。 【解答过程】联立得 ，令 ，得 ，即 。故选C。 7．（★★★）已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 、 两点， 为弦 的中点，则点 的横坐标的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设 （覆盖竖直直线）把中点横坐标表示为 的函数，由 求值域；端点 与 谁取得到、谁取不到要逐一交代。 【解答过程】设 （ 即竖直直线 ，已被参数覆盖）。 代入 得 ， 判别式 恒成立，直线与椭圆必交于两点。 由韦达定理 ，于是中点的横坐标 。 由 得 ，故 ： 时 ，能取到； 时 ，取不到。 故 的取值范围是 。故选A。 8．（★★★）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点，则 面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把面积化为 后用 ，换元 （ 恰对应 ），再用均值不等式求最大值。 【解答过程】把 代入 ，得 。 相交需 ，即 。 由 得 ， 故 。 。 令 ，则 ，。 由 （）， 得 ， 等号在 即 （满足 ）时成立。 故 面积的最大值为 。故选A。 二、多选题 9．（★★）关于直线与椭圆的位置关系，下列说法正确的是（　　） A．过椭圆内一点的直线必与椭圆交于两点　B．过椭圆外一点可以作椭圆的两条切线　C．与椭圆只有一个公共点的直线一定是椭圆的切线　D．给定斜率 的直线与椭圆可能相离 【答案】ABCD 【解题思路】椭圆没有退化情形，逐项判断。 【解答过程】A：椭圆内部一点出发的直线必穿过椭圆，正确； B：椭圆外一点恰有两条切线，正确； C：椭圆联立后二次项系数不为零，只有一个公共点即 ，是切线，正确； D：斜率固定时平移直线，离椭圆足够远即相离，正确。 故选ABCD。 10．（★★）关于弦长公式，下列说法正确的是（　　） A．斜率为 的弦满足 　B．斜率不存在时 　C．　D．，其中 为联立后二次项系数 【答案】ABCD 【解题思路】四条都是弦长计算的标准结论。 【解答过程】A：由两点间距离公式与 得到，正确； B：竖直弦的距离就是纵坐标之差的绝对值，正确； C：由完全平方公式变形得到，正确； D：由求根公式两根之差得到，正确。 故选ABCD。 11．（★★★）已知椭圆 与直线 交于 、 两点，下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 的面积为 【答案】ABCD 【解题思路】联立后由韦达定理与弦长、面积公式逐项核对。 【解答过程】联立得 ，故 、，A、B 正确； ，，C 正确； ，D 正确。 故选ABCD。 12．（★★★）已知椭圆 与直线 交于 、 两点， 为弦 的中点， 为坐标原点，下列说法正确的是（　　） A．存在斜率不存在的直线 ，使得 　B．直线 与 有两个不同交点的充要条件是 　C．若 ，则直线 过原点　D．若 ，则 面积的最大值为 【答案】ABC 【解题思路】A 取特殊直线验证；B 由判别式做等价转化；C 抓住"最长弦只能是长轴"；D 把面积表示为 的函数求出最大值再比对，注意别把 的最大值当成面积最大值。 【解答过程】A：取 （即 轴），交点为 与 ，，正确； B：联立得 ，二次项系数 恒不为零， 两个不同交点等价于 ， 化简得 ，即 ，正确； C：椭圆上任意两点的距离不超过长轴长 ，且等号当且仅当两点为长轴端点 与 ， 故 时直线 即 轴，过原点，正确； D： 时 ，， 。由 ， 故 。 令 ，则 。 记 ，则 的导数为 （）， 故 在 上单调递减，（即 ）时 最大，为 ， 的最大值为 ，错误。 故选ABC。 三、填空题 13．（★★）椭圆 被直线 截得的弦长为 ____________。 【答案】 【解题思路】代入 求两个交点横坐标之差。 【解答过程】把 代入得 ，即 ，。 弦长为 。 14．（★★）抛物线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为 ____________。 【答案】 【解题思路】抛物线的点差法公式为 。 【解答过程】由 得 ，故 。 15．（★★★）已知椭圆 ，过右焦点的弦 满足 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用倒数和定值 与倍数关系联立。 【解答过程】由 与 ，设 ， 则 ，得 ，故 。 16．（★★★）已知椭圆 上存在两个不同的点关于直线 对称，则实数 的值为 ____________。 【答案】 【解题思路】分 与 两类： 时椭圆本身关于 轴对称，直接成立； 时用点差法与"中点在对称轴上"联立求出中点，再检验中点是否在椭圆内部。 【解答过程】① 当 时，直线 即 轴。椭圆方程中 只以 出现，椭圆关于 轴对称， 故椭圆上任意一点（纵坐标不为 ）关于 轴的对称点仍在椭圆上， 例如 与 ，满足"存在两个不同的点关于 对称"。 ② 当 时，设这对点的中点为 。由对称性，连线垂直于 ， 故弦的斜率 ，且 在直线 上，即 。 由点差法，，故 ，得 。 与 联立：，因 ，解得 ，。 但中点必须在椭圆内部： 恒成立， 即这样的中点不存在，故 时满足条件的两点不存在。 综上，。 四、解答题 17．（★★）已知椭圆 。 (1) 判断直线 与 的位置关系； (2) 求直线被 截得的弦长。 【答案】(1) 相交于两个不同的点； (2) 。 【解题思路】(1) 联立后看 ；(2) 用 。 【解答过程】(1) 把 代入 得 。 ，故直线与椭圆相交于两个不同的点。 (2) ， 故弦长为 。 【多解·巧解】第 (1) 问其实可以不算判别式：直线恒过点 ，而 ，点在椭圆内部，所以必相交于两点。先判定点在椭圆内还是外，能在选择题里省下整段计算，在解答题里也能作为验算手段。第 (2) 问用 求 时， 是联立后的二次项系数 ，不是椭圆的长半轴 。 【易错提醒】① 把公式中的 当成椭圆的 ；② 中符号处理错误，正确结果是 ；③ 弦长忘记乘 。 18．（★★）已知椭圆 的一条弦 的中点为 ，求直线 的方程。 【答案】 【解题思路】点差法求斜率，再回代检验弦是否存在。 【解答过程】设 、，两点代入椭圆方程后作差得 。 代入 、 得 ， 即 。 直线为 ，即 。 检验：代入椭圆得 ，即 ，两交点为 、，中点为 ，符合。 【多解·巧解】点差法可以直接用结论 ，本题即 。公式要配一句检验：把求出的直线代回曲线方程，若能解出两个不同的交点且中点与题设一致，才算完整。本题回代恰好得到整点 与 ，这种"答案很干净"的现象通常说明计算无误。 【易错提醒】① 与双曲线的公式 混淆（椭圆多一个负号）；② 不回代检验就下结论：点差法只保证"若弦存在则斜率必为它"，反过来未必成立；③ 分子分母代反（应为 ）。 19．（★★）已知抛物线 与直线 交于 、 两点， 为坐标原点。 (1) 求 ； (2) 求 的面积。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 联立后用弦长公式；(2) 用行列式公式 。 【解答过程】(1) 把 代入 得 。 ，。 。 (2) 由 得 。 故 。 【多解·巧解】第 (2) 问的关键观察是：把 代入行列式后，二次项 自动抵消，剩下一项 。于是 ，等于"原点到直线的有向截距的一半"乘"横坐标之差"，连弦长和距离都不用算。这个化简在抛物线、椭圆的直线弦面积题中反复出现。 【易错提醒】① 弦长公式漏掉 ；② 行列式展开时符号出错， 应为 而不是 （取绝对值后结果相同，但中间步骤要写对）；③ 别漏掉面积公式中的 。 20．（★★★）已知椭圆 ，直线 与 相切。 (1) 求 的值； (2) 求切点坐标。 【答案】(1) ； (2) 切点为 或 。 【解题思路】联立后令 求 ，再把 代回求重根对应的切点。 【解答过程】(1) 把 代入 得 。 相切则 ，得 。 (2) 当 时，方程为 ，即 ，，； 当 时，方程为 ，即 ，，。 故切点为 或 。 【多解·巧解】求切点时不必重新解方程：相切时二次方程有重根，而重根公式是 ，本题即 （因 时 ）。代入 得 ，再由直线方程求 。用重根公式 比重新因式分解快，而且在 是复杂数值时优势更明显。 【易错提醒】① 判别式中 写成正号，会得到 而无解；② 求出 后只写一个切点，漏掉另一个；③ 两个切点的纵坐标相同（都是 ）是本题的特点，不要因为纵坐标相同就以为算错了。 21．（★★★）已知椭圆 与直线 交于 、 两点。 (1) 求 的取值范围； (2) 若 ，求 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 联立后令 ；(2) 用 反解 。 【解答过程】(1) 把 代入 得 。 有两个不同交点需 ，得 ，即 。 (2) ，故 。 得 ，即 ，，故 （都在 内）。 【多解·巧解】第 (2) 问不必先求 与 ，直接用 把弦长与参数 联系起来，一步解出 。凡是"已知弦长求参数"，都先把弦长写成 的式子，因为 本身已经含参数，比绕道两根之和与两根之积更直接。 【易错提醒】① 展开时别把 算错；② 求出 后要检验它们落在 (1) 的范围内（，满足）；③ "交于 、 两点"是两个不同点，必须用 而不是 。 22．（★★★）已知双曲线 ，直线 。 (1) 若 与 有两个不同的公共点，求 的取值范围； (2) 若 与 只有一个公共点，求 的值。 【答案】(1) 且 ； (2) 或 。 【解题思路】两问互补：两个公共点要 且非退化；一个公共点分相切与平行两类。 【解答过程】把 代入 得 。 (1) 需 且 ： ，得 ；再剔除 。 (2) 只有一个公共点有两类情形： ① 相切：，即 ； ② 与渐近线平行：，即 ，此时方程退化为一次方程，只有一个解。 故 或 。 【多解·巧解】两问的答案刚好拼成全体实数，这可以作为自检信号：对双曲线而言，斜率 的直线要么有两个交点、要么有一个交点、要么无交点，三种情形互不重叠且穷尽所有可能。本题 (1) 给出 （去掉 ），(2) 给出四个临界值，剩下的 就是无交点的情形，三者并起来正好是 。用"分类是否穷尽"来验算，是解析几何最实用的自检方法。 【易错提醒】① (2) 中只想到了相切（），漏掉与渐近线平行的两个值 ；② (1) 中忘记排除 ：此时方程退化为一次方程，虽然"有解"，但只有一个公共点；③ 别写成 。 23．（★★★）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。 (1) 若 ，求 的最小值； (2) 若 ，证明：点 到直线 的距离为定值； (3) 在 (2) 的条件下，求 面积的最大值。 【答案】(1) ； (2) 定值为 ； (3) 。 【解题思路】(1) 把 表示为 的函数再比较；(2) 把垂直翻译成 ，用韦达定理整体代换出 ，代入距离公式后 恰好消去；(3) 在该约束下把面积化为单变量函数求最大值。 【解答过程】(1) 把 代入 ， 得 ， ，对任意 都交于两点。 ， 。 令 ，则 ， 等号当且仅当 （即 ）时成立，故 的最小值为 。 (2) 联立 与 ，得 ， 。 ，， 。 等价于 ，即 ，故 。 此时 ，判别式恒正，两个交点确实存在。 点 到直线 的距离 ， 故 ，，为定值。 (3) 由 ， 得 。 在 (2) 的条件下，，， 故 。 令 ，则 。 设 ，则 ， 故 在 处取最大值 。 于是 ，即 ， 等号在 （此时 ）时成立，如直线 与 交于 与 ，垂直条件与面积都可逐一验证。 故 面积的最大值为 。 【多解·巧解】(2) 的套路是把 统一翻译为 ，其中 用 整体代入，全程不必求出交点；得到 后， 中的 恰好约去，这正是"定值"的来源。第 (3) 问也可用 ： 已是定值，只需求 的最大值，两条路线可互相验算。记住结论：椭圆 中 时， 到弦 的距离恒为 ，本题即 。 【易错提醒】① 展开时漏掉交叉项 ，或 的符号写错；② 由垂直条件解出 与 的关系后，不交代判别式恒正、交点存在；③ 第 (3) 问不对二元式先化简就硬算到底，求出最值后也不回代检验等号处的直线确实与椭圆交于两点。 24．（★★★）已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。 (1) 若 ，求 ； (2) 证明：直线 与 的斜率之积为定值； (3) 是否存在直线 ，使得 的面积为 ？若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由。 【答案】(1) ； (2) 定值为 ； (3) 存在，。 【解题思路】(1) 联立后用弦长公式；(2) 设 覆盖竖直直线，把 用 、 表示后参数恰好抵消；(3) 先把面积表示为 的函数，再解方程并回检判别式。 【解答过程】(1) 把 代入 ，得 ，， 。由 知 ， 故 。 (2) 直线 过 ，设 （ 即竖直直线 ）。 代入 得 ， 恒成立，必交于两点， 且 ，。 ， 故 、 都不是原点，、 都存在，且 ，为定值。 (3) ， 故 。 令 ，得 ，，此时 ，两个交点存在。 直线 为 ，即 。 故存在满足条件的直线： 或 。 【多解·巧解】第 (2) 问的关键动作是用 作主元：设 后， 的两根之和与积都很干净，而 中的 项恰好抵消，定值才得以显现；证明斜率之积为定值之前，先由 说明两个斜率都存在。第 (3) 问把面积写成 后，它是 的增函数，把 换成别的数值也能立刻看出有没有解，这正是"先建函数、再解方程、最后回检"的完整流程。 【易错提醒】① 设 会漏掉竖直直线 ，规范的设法是 ；② 展开 时漏掉交叉项 ；③ 第 (3) 问解出 后不检验判别式、不回代验证面积确实为 ；④ 第 (1) 问弦长漏乘 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第47讲 直线与圆锥曲线的位置关系 第47讲 直线与圆锥曲线的位置关系 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．会用联立方程、消元与判别式判断直线与圆锥曲线的位置关系，注意抛物线、双曲线的退化情形； 2．熟练掌握弦长公式，会用 简化运算； 3．掌握点差法，会由弦的中点求斜率、由斜率求中点轨迹，并记得回代检验； 4．会求直线与圆锥曲线围成的三角形面积，会处理定点、定值与参数的取值范围问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 位置关系的判定 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中 先判断定点在内还是外，再算 弦长 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中 用 求 中点弦（点差法） 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 记公式后必须回代检验 面积与定点定值 解答题 第18~20题 中偏难 原点三角形用行列式公式，定点用设线技巧 参数的取值范围 选择题、解答题 第8题、第19~20题 中偏难 抓住 ，别忘退化情形 命题规律分析 直线与圆锥曲线的位置关系是解析几何的核心，也是新高考解答题的常客，多落在选择题第6~8题、填空题第13~14题与解答题第17~20题。本专题的运算量普遍偏大，培优的关键是把通法练成条件反射：判断位置关系用"联立—消元—判别式"；求弦长先写两根之和与两根之积，再用 一步到位；遇中点弦果断用点差法；求面积优先用 。此外还有三个必须养成的习惯：设过 轴上一点的直线用 （不漏竖直情形）、点差法之后必须回代检验、求范围时 与 要按题设取舍。把这几条变成习惯，解析几何的计算失误会大幅下降。 考点1 位置关系的判定 知识点1 联立与判别式 把直线方程代入曲线方程，消去一个未知数得一元二次方程 ，由 的符号判断公共点个数： 相交、 相切、 相离。 求交点间的距离时，，比先求两根之和与积再平方更省事。 【易错清单】 1．"有两个公共点"用 ，"有公共点"用 ，两者的等号取舍不同； 2．公式 中的 是联立后二次项系数，不是椭圆的 ； 3． 算出来后建议在草稿上核对一次常数项，这是出错率最高的一步。 知识点2 三类曲线的判定要点 椭圆：二次项系数恒正，过椭圆内部一点的任意直线必与椭圆交于两点；过椭圆外部一点的直线只有部分斜率能相交。 抛物线：与对称轴平行的直线联立后方程退化为一次方程，只有一个公共点；双曲线：与渐近线平行的直线同样只有一个公共点。这两类"只有一个公共点"都不是相切。 【易错清单】 1．判断点在椭圆内还是外，把点代入 ，小于 为内、大于 为外； 2．"只有一个公共点"要分相切与平行（退化）两类，漏掉后者是典型失分点。 考点2 弦长与中点弦 知识点3 弦长公式 ，其中 。 斜率不存在时改用 （此时应消 保留 ）；过抛物线焦点的弦还可用 。 【易错清单】 1．别漏掉 因子； 2．，中间的减号别写成加号； 3．焦点弦公式只对过焦点的弦成立，一般弦要用通用公式。 知识点4 中点弦与点差法 把两点坐标代入曲线方程后作差，配合 、 即可求出弦的斜率。 常用结论：椭圆 有 ；双曲线 有 ；抛物线 有 。 【易错清单】 1．椭圆带负号、双曲线不带负号，两个公式别混用； 2．点差法只给出必要条件，必须回代检验 ，否则可能算出一条不相交的直线； 3． 时公式分母为零，此时弦垂直于 轴，斜率不存在，需单独讨论。 考点3 面积、定点与范围 知识点5 三角形面积的求法 以弦为底、以点到直线的距离为高：，。 若三角形的一个顶点是原点，用行列式公式更快：。 【易错清单】 1．行列式公式只适用于一个顶点在原点的情形，一般三点要用底乘高或坐标公式； 2．焦点弦上的三角形可拆成以焦点为顶点的两块，，合并时需要先说明 、 异号。 知识点6 定点、定值与范围 定值：联立后用韦达定理把所求量写成参数的式子，化简后参数被消去即得定值；定点：把含参直线整理成关于参数的形式，令参数的系数为零解出定点。 范围：由"有两个不同公共点"得 ，由"有公共点"得 ，再剔除使二次项系数为零的退化值。 【易错清单】 1．设 会漏掉斜率不存在的直线，过 轴上的点建议设 ； 2．求范围时别忘了排除与渐近线平行（或与对称轴平行）的情形； 3．消参求轨迹时要注明变量的取值范围。 【题型1 位置关系的判定】 【例1】判断直线 与椭圆 的位置关系。 【变式1-1】若直线 与椭圆 相切，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】若直线 与抛物线 只有一个公共点，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【题型2 弦长问题】 【例2】已知椭圆 ，直线 交 于 、 两点，求 。 【变式2-1】直线 与抛物线 交于 、 两点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】过抛物线 焦点的弦 满足 ，则弦 中点的横坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】椭圆 被直线 截得的弦长为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 中点弦问题（点差法）】 【例3】已知椭圆 的一条弦 的中点为 ，求直线 的方程。 【变式3-1】椭圆 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】抛物线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】椭圆 中所有斜率为 的平行弦，它们的中点所在的直线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 与圆锥曲线有关的面积问题】 【例4】已知椭圆 ，直线 交 于 、 两点， 为坐标原点，求 的面积。 【变式4-1】椭圆 与直线 交于 、 两点，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】双曲线 与直线 交于 、 两点，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】过抛物线 焦点的直线交抛物线于 、 两点，若 的面积为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 定值问题与弦的最值】 【例5】已知椭圆 ，过右焦点 的直线 交 于 、 两点。 (1) 证明 为定值，并求出该定值； (2) 求 面积的最大值。 【变式5-1】已知椭圆 ，过右焦点的弦 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知抛物线 ，弦 的长为 ，则弦 中点横坐标的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知椭圆 ，过右焦点 的弦 的长记为 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 参数的取值范围问题】 【例6】已知椭圆 ，直线 与 有公共点，求实数 的取值范围。 【变式6-1】直线 与椭圆 相交于两个不同的点，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】直线 与双曲线 有两个不同的公共点，则 的取值范围是（　　） A．　B． 且 　C．　D． 【变式6-3】已知椭圆 上存在两个不同的点关于直线 对称，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）直线 与椭圆 的位置关系是（　　） A．相离　B．相切　C．相交于两点　D．无法确定 2．（★★）直线 与抛物线 的公共点个数为（　　） A．　B．　C．　D．无数个 3．（★★）椭圆 的一条弦 的中点为 ，则直线 的斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）椭圆 中，过右焦点的弦的最短长度为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）直线 与抛物线 恰有一个公共点，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 6．（★★★）已知椭圆 ，直线 与椭圆有公共点，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 、 两点， 为弦 的中点，则点 的横坐标的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点，则 面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于直线与椭圆的位置关系，下列说法正确的是（　　） A．过椭圆内一点的直线必与椭圆交于两点　B．过椭圆外一点可以作椭圆的两条切线　C．与椭圆只有一个公共点的直线一定是椭圆的切线　D．给定斜率 的直线与椭圆可能相离 10．（★★）关于弦长公式，下列说法正确的是（　　） A．斜率为 的弦满足 　B．斜率不存在时 　C．　D．，其中 为联立后二次项系数 11．（★★★）已知椭圆 与直线 交于 、 两点，下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 的面积为 12．（★★★）已知椭圆 与直线 交于 、 两点， 为弦 的中点， 为坐标原点，下列说法正确的是（　　） A．存在斜率不存在的直线 ，使得 　B．直线 与 有两个不同交点的充要条件是 　C．若 ，则直线 过原点　D．若 ，则 面积的最大值为 三、填空题 13．（★★）椭圆 被直线 截得的弦长为 ____________。 14．（★★）抛物线 的一条弦的中点为 ，则该弦所在直线的斜率为 ____________。 15．（★★★）已知椭圆 ，过右焦点的弦 满足 ，则 ____________。 16．（★★★）已知椭圆 上存在两个不同的点关于直线 对称，则实数 的值为 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知椭圆 。 (1) 判断直线 与 的位置关系； (2) 求直线被 截得的弦长。 18．（★★）已知椭圆 的一条弦 的中点为 ，求直线 的方程。 19．（★★）已知抛物线 与直线 交于 、 两点， 为坐标原点。 (1) 求 ； (2) 求 的面积。 20．（★★★）已知椭圆 ，直线 与 相切。 (1) 求 的值； (2) 求切点坐标。 21．（★★★）已知椭圆 与直线 交于 、 两点。 (1) 求 的取值范围； (2) 若 ，求 的值。 22．（★★★）已知双曲线 ，直线 。 (1) 若 与 有两个不同的公共点，求 的取值范围； (2) 若 与 只有一个公共点，求 的值。 23．（★★★）已知椭圆 ，直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。 (1) 若 ，求 的最小值； (2) 若 ，证明：点 到直线 的距离为定值； (3) 在 (2) 的条件下，求 面积的最大值。 24．（★★★）已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于 、 两点， 为坐标原点。 (1) 若 ，求 ； (2) 证明：直线 与 的斜率之积为定值； (3) 是否存在直线 ，使得 的面积为 ？若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $