第44讲 椭圆 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第44讲 椭圆 第44讲 椭圆 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解椭圆的定义与 的轨迹判定，能由定义求距离之和、判断轨迹类型； 2．掌握椭圆的标准方程与 ，会用待定系数法（含 ）求方程； 3．掌握范围、顶点、对称性与离心率 ，会把条件化为关于 、、 的齐次式求离心率； 4．会处理焦点三角形的边长与面积、焦点弦的周长与弦长，体会数形结合与参数换元。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 椭圆定义与轨迹判定 选择题 第3~5题 中 抓 与 的大小，注意退化情形 求椭圆的标准方程 选择题、填空题 第5~7题、第12~13题 中偏难 定位定量定型，焦点不定时设 几何性质与离心率 选择题、填空题 第5~7题、第13题 中偏难 化齐次式求 ，且需 焦点三角形 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 用定义配余弦定理，或直接代 焦点弦与直线和椭圆 选择题、解答题 第15~18题 中偏难 焦点弦周长 ，弦长用韦达定理配弦长公式 命题规律分析 椭圆是圆锥曲线的核心考点，新高考中常与直线、离心率、焦点三角形交汇，多出现在选择第 4~7 题、多选第 9~10 题、填空第 12~13 题，并作为解答题第 15~18 题的主力。培优层不能只会"套 "，还要把定义、标准方程、几何性质串成一条线：见"两焦点加椭圆上一点"立刻写 ；求方程按定位、定量、定型三步走；求离心率把条件整理成 、、 的齐次式；焦点三角形用定义配余弦定理，或直接代 。本讲在夯实基本功的同时，重点突破含参方程、离心率的构造与焦点弦计算，目标是把这档"必拿分"练到又快又准、不丢步骤分。 考点1 椭圆的定义与标准方程 知识点1 椭圆的定义 平面内与两定点 、 的距离之和等于常数 （且 ）的点的轨迹叫做椭圆，即 。 当 时轨迹退化为线段 ；当 时轨迹不存在。 【易错清单】 1．忽略 这一前提，把线段或空集误判为椭圆； 2．把 与 记混，导致 、 对应颠倒。 知识点2 标准方程与基本量 焦点在 轴：；焦点在 轴：（均 ）。 三个基本量满足 （ 最大），焦点位置由两分母的大小决定。 【易错清单】 1．把椭圆的 与双曲线的 记混； 2．焦点在 轴上时， 应写在 的分母下，写反会导致焦点位置错误。 考点2 椭圆的几何性质 知识点3 范围、顶点与对称性 对 ：范围 、，顶点为 、，关于两坐标轴与原点对称。 长轴长 、短轴长 ；椭圆上的点到中心的距离最大为 、最小为 。 【易错清单】 1．把长轴长 当成 、把短轴长 当成 ； 2．椭圆上的点到焦点的距离范围是 ，别写成 。 知识点4 离心率 离心率 ， 越大椭圆越扁，且 。 求离心率的关键：把条件化为关于 、、 的齐次式，再化归为关于 的方程。 【易错清单】 1．把 写成 ，数值直接大于 ； 2．解出的 必须落在 内，超出范围的根要舍去。 考点3 焦点三角形与综合 知识点5 焦点三角形 设 在椭圆上，则 、；已知一个内角可用余弦定理求两边之积。 若 ，则焦点三角形面积 ；当 时 。 【易错清单】 1．忘记使用 ，只靠余弦定理无法求解； 2．把 当成 而不是 ，且面积公式中的 必须是 。 知识点6 焦点弦与最值 过焦点的弦 与另一焦点 围成的 的周长恒为 。 由 得 ，当 为短轴端点时取等号。 【易错清单】 1．把过焦点弦三角形的周长误写成 （漏掉另一半），应为 ； 2．用均值不等式求最值后要检验取等时 能否取到短轴端点。 【题型1 椭圆的定义与轨迹判定】 【例1】已知两定点 、，动点 满足 （ 为常数）。若点 的轨迹是椭圆，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】已知动点 到两定点 、 的距离之和为常数 。若点 的轨迹是线段 ，则 ____________。 【变式1-2】已知 的顶点 、，且 ，则顶点 的轨迹方程为____________。 【变式1-3】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 求椭圆的标准方程】 【例2】已知椭圆经过点 与 ，则椭圆的标准方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，且 ，椭圆过点 ，则椭圆的标准方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ，则椭圆的标准方程为____________。 【变式2-3】已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，且 ，离心率 ，则椭圆的标准方程为____________。 【题型3 焦点三角形】 【例3】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且 ，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 在椭圆上且 ，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 在椭圆上且 ，则 ____， 的面积为 ____。 【变式3-3】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 在椭圆上且 ，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 离心率】 【例4】已知椭圆 （）的左、右焦点为 、，以 为一边作正三角形，第三个顶点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】若椭圆的离心率为 ，则该椭圆的短半轴长与长半轴长之比 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知椭圆 （）上存在一点 ，使得 ，则该椭圆离心率 的取值范围是____________。 【变式4-3】已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且过点 ，则椭圆的标准方程为____________。 【题型5 范围与最值】 【例5】已知椭圆 ， 为椭圆上一点，点 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知椭圆 的右焦点为 ， 为椭圆上一点，则 的最小值为____________。 【变式5-2】已知点 ， 为椭圆 上一点，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 焦点弦与直线和椭圆】 【例6】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，过 的直线 （不与 轴重合）与椭圆交于 、 两点。 (1) 求 的周长； (2) 若直线 的斜率为 ，求 。 【变式6-1】已知椭圆 的右焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线与椭圆交于 、 两点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 在椭圆上且 ，则 ____， ____。 【变式6-3】已知椭圆 的右焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线与椭圆交于 、 两点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）椭圆 的离心率为（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）椭圆 上一点到两焦点的距离之和为（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知椭圆 （）的离心率为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，且 、，则椭圆的标准方程为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知 、 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知 、 是椭圆 的两个焦点， 在椭圆上且 ，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知椭圆 的离心率为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 8．（★★★）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 ， 为椭圆上任意一点，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于椭圆 ，下列说法正确的是（　　） A．长轴长为 　B．短轴长为 　C．焦点为 　D．离心率为 10．（★★）已知 、 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．椭圆的短轴长为 　D．椭圆的离心率为 11．（★★★）已知椭圆 的方程为 ，则下列结论正确的是（　　） A．椭圆 的焦点在 轴上　B．椭圆 的焦距为 　C．椭圆 的离心率为 　D．椭圆 上 的取值范围是 12．（★★★）已知椭圆 与直线 （ 为实数），则下列结论正确的是（　　） A．对任意实数 ，直线 与椭圆 都有两个公共点　B．若直线 与椭圆 相切，则 　C．当 时，直线 与椭圆 相交所得弦长为 　D．存在实数 ，使直线 与椭圆 相交所得弦长为 三、填空题 13．（★★）椭圆 上一点 到一个焦点的距离为 ，则 到另一个焦点的距离为____________。 14．（★★）椭圆 的焦距为____________。 15．（★★★）已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ，长轴长为 ，则该椭圆的标准方程为____________。 16．（★★★）已知直线 与椭圆 交于 、 两点，若以 为直径的圆经过坐标原点 ，则实数 的值为____________。 四、解答题 17．（★★）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，且 ，椭圆 经过点 。 (1) 求椭圆 的标准方程； (2) 求椭圆 的离心率。 18．（★★）已知 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点。 (1) 求 的周长； (2) 若 ，求 的面积。 19．（★★）已知 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点且 。 (1) 求 的值； (2) 求 的面积。 20．（★★★）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，过 的直线 与椭圆交于 、 两点。 (1) 求 的周长； (2) 若直线 的斜率为 ，求 。 21．（★★★）已知椭圆 （）的离心率为 ，短轴长为 。 (1) 求椭圆 的标准方程； (2) 求椭圆 上一点到右焦点距离的最大值与最小值。 22．（★★★）已知椭圆 ， 为椭圆上一点，点 。 (1) 设 ，求 关于 的表达式； (2) 求 的最大值与最小值。 23．（★★★）已知椭圆 （）的离心率为 ，且经过点 。 (1) 求椭圆 的方程； (2) 若直线 与椭圆 交于 、 两点，求 面积的最大值，并求此时直线 的方程； (3) 设直线 （）与椭圆 交于 、 两点，若 ，证明：直线 与定圆 相切。 24．（★★★）已知椭圆 （）的离心率为 ，焦距为 。 (1) 求椭圆 的方程； (2) 过右焦点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，求 的取值范围； (3) 过右焦点 且斜率存在的直线 与椭圆 交于 、 两点，在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标与该定值；若不存在，请说明理由。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第44讲 椭圆 第44讲 椭圆 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解椭圆的定义与 的轨迹判定，能由定义求距离之和、判断轨迹类型； 2．掌握椭圆的标准方程与 ，会用待定系数法（含 ）求方程； 3．掌握范围、顶点、对称性与离心率 ，会把条件化为关于 、、 的齐次式求离心率； 4．会处理焦点三角形的边长与面积、焦点弦的周长与弦长，体会数形结合与参数换元。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 椭圆定义与轨迹判定 选择题 第3~5题 中 抓 与 的大小，注意退化情形 求椭圆的标准方程 选择题、填空题 第5~7题、第12~13题 中偏难 定位定量定型，焦点不定时设 几何性质与离心率 选择题、填空题 第5~7题、第13题 中偏难 化齐次式求 ，且需 焦点三角形 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 用定义配余弦定理，或直接代 焦点弦与直线和椭圆 选择题、解答题 第15~18题 中偏难 焦点弦周长 ，弦长用韦达定理配弦长公式 命题规律分析 椭圆是圆锥曲线的核心考点，新高考中常与直线、离心率、焦点三角形交汇，多出现在选择第 4~7 题、多选第 9~10 题、填空第 12~13 题，并作为解答题第 15~18 题的主力。培优层不能只会"套 "，还要把定义、标准方程、几何性质串成一条线：见"两焦点加椭圆上一点"立刻写 ；求方程按定位、定量、定型三步走；求离心率把条件整理成 、、 的齐次式；焦点三角形用定义配余弦定理，或直接代 。本讲在夯实基本功的同时，重点突破含参方程、离心率的构造与焦点弦计算，目标是把这档"必拿分"练到又快又准、不丢步骤分。 考点1 椭圆的定义与标准方程 知识点1 椭圆的定义 平面内与两定点 、 的距离之和等于常数 （且 ）的点的轨迹叫做椭圆，即 。 当 时轨迹退化为线段 ；当 时轨迹不存在。 【易错清单】 1．忽略 这一前提，把线段或空集误判为椭圆； 2．把 与 记混，导致 、 对应颠倒。 知识点2 标准方程与基本量 焦点在 轴：；焦点在 轴：（均 ）。 三个基本量满足 （ 最大），焦点位置由两分母的大小决定。 【易错清单】 1．把椭圆的 与双曲线的 记混； 2．焦点在 轴上时， 应写在 的分母下，写反会导致焦点位置错误。 考点2 椭圆的几何性质 知识点3 范围、顶点与对称性 对 ：范围 、，顶点为 、，关于两坐标轴与原点对称。 长轴长 、短轴长 ；椭圆上的点到中心的距离最大为 、最小为 。 【易错清单】 1．把长轴长 当成 、把短轴长 当成 ； 2．椭圆上的点到焦点的距离范围是 ，别写成 。 知识点4 离心率 离心率 ， 越大椭圆越扁，且 。 求离心率的关键：把条件化为关于 、、 的齐次式，再化归为关于 的方程。 【易错清单】 1．把 写成 ，数值直接大于 ； 2．解出的 必须落在 内，超出范围的根要舍去。 考点3 焦点三角形与综合 知识点5 焦点三角形 设 在椭圆上，则 、；已知一个内角可用余弦定理求两边之积。 若 ，则焦点三角形面积 ；当 时 。 【易错清单】 1．忘记使用 ，只靠余弦定理无法求解； 2．把 当成 而不是 ，且面积公式中的 必须是 。 知识点6 焦点弦与最值 过焦点的弦 与另一焦点 围成的 的周长恒为 。 由 得 ，当 为短轴端点时取等号。 【易错清单】 1．把过焦点弦三角形的周长误写成 （漏掉另一半），应为 ； 2．用均值不等式求最值后要检验取等时 能否取到短轴端点。 【题型1 椭圆的定义与轨迹判定】 【例1】已知两定点 、，动点 满足 （ 为常数）。若点 的轨迹是椭圆，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由椭圆的定义需"距离之和大于两定点间距离"，即 。 【解答过程】由 ，点 的轨迹为椭圆需满足 ，解得 。故选A。 【多解·巧解】直接把定义翻译成不等式即可：椭圆要求"距离之和大于两定点间的距离"，只需 ，不必再讨论 或 的退化情形。 【易错提醒】若把常数 当成 去与 比较，会误选B或D；注意定义中的常数是 ，必须与 比大小。 【变式1-1】已知动点 到两定点 、 的距离之和为常数 。若点 的轨迹是线段 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】距离之和恰等于两定点间距离时，轨迹退化为线段。 【解答过程】。轨迹为线段需 ，故 。 【变式1-2】已知 的顶点 、，且 ，则顶点 的轨迹方程为____________。 【答案】（） 【解题思路】由周长定出 ，再用定义写成椭圆方程，并扣掉共线情形。 【解答过程】，所以 ， 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆。，；，。故轨迹方程为 ；又 、、 不能共线，需 。 【变式1-3】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用定义 与已知比例联立求解。 【解答过程】由 得 ，所以 。代入 得 ，，。故选A。 【题型2 求椭圆的标准方程】 【例2】已知椭圆经过点 与 ，则椭圆的标准方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】焦点位置未定时，设 （ 且 ）避免分类讨论。 【解答过程】设椭圆的方程为 。代入两点得 ，，解得 ，。 所以椭圆的方程为 。故选A。 【多解·巧解】焦点位置不确定时一律设 ，可一步到位，省去"焦点在 轴还是 轴"的分类讨论；解出后按 与 的大小即可判断焦点位置。 【易错提醒】求出 、 后，注意系数大的一侧分母小： 的分母 大于 的分母 ，焦点在 轴上，别把两者的分母写反而误选B。 【变式2-1】已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，且 ，椭圆过点 ，则椭圆的标准方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 设 ，再把已知点代入求出 。 【解答过程】设 ，则 ，方程为 。代入 得 ，即 ，解得 。所以 ，，方程为 。故选A。 【变式2-2】已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ，则椭圆的标准方程为____________。 【答案】 【解题思路】由焦距得 ，设 、，把已知点代入解 。 【解答过程】由 得 。设 ，则 。代入 ：，去分母得 ，即 ，解得 （ 舍去）。所以 ，，方程为 。 【变式2-3】已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，且 ，离心率 ，则椭圆的标准方程为____________。 【答案】 【解题思路】由离心率与 求 ，再按焦点在 轴写出标准方程。 【解答过程】由 得 ，所以 。因为焦点在 轴上，故方程为 。 【题型3 焦点三角形】 【例3】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点，且 ，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】焦点三角形的面积可用 直接求解，也可用定义配余弦定理。 【解答过程】由 ，， 。故选A。 【多解·巧解】记住 （）可直接得到结果；若一时记不起，改用定义 配余弦定理，再算 同样可解。 【易错提醒】公式里用的是 ，不是长半轴的平方；本题 、，别把 错写成 。另外 必须是 。 【变式3-1】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 在椭圆上且 ，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】 时面积公式化为 。 【解答过程】由 ，，。故选C。 【变式3-2】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 在椭圆上且 ，则 ____， 的面积为 ____。 【答案】，面积 【解题思路】用定义得两边之和，用余弦定理得三边关系，两式相减求两边之积，再求面积。 【解答过程】由 得 ；由 得 。设 ，，由余弦定理 。又 ，两式相减得 。所以 。 【变式3-3】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 在椭圆上且 ，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】直角焦点三角形的面积等于 。 【解答过程】由 ，，。故选B。 【题型4 离心率】 【例4】已知椭圆 （）的左、右焦点为 、，以 为一边作正三角形，第三个顶点恰好在椭圆上，则该椭圆的离心率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】利用正三角形三边相等，把 用焦距表示，再化归求 。 【解答过程】设正三角形的第三个顶点为 ，则 。 由椭圆定义 ，得 ，所以 。故选B。 【多解·巧解】抓住"正三角形三边相等"这一几何特征，直接用定义把 换成 ，比设坐标代入椭圆方程更快，也更能体现定义的威力。 【易错提醒】别把 写成 ；焦距是 ，顶点 到两个焦点的距离各为 ，因而 ，而不是 。 【变式4-1】若椭圆的离心率为 ，则该椭圆的短半轴长与长半轴长之比 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由 反解 。 【解答过程】由 得 ，所以 。故选B。 【变式4-2】已知椭圆 （）上存在一点 ，使得 ，则该椭圆离心率 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】焦点三角形顶角的最大值出现在 为短轴端点时，用"最大顶角不小于 "建立 与 的大小关系。 【解答过程】焦点三角形顶角的最大值在 为短轴端点处取得，此时 。要存在顶角为 的点，需 ，即 。由 得 ，即 ，所以 ，解得 。又 ，故 的取值范围是 。 【变式4-3】已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且过点 ，则椭圆的标准方程为____________。 【答案】 【解题思路】点 是长轴端点，由此得 ，再由离心率求 与 。 【解答过程】点 是长轴端点，故 ，。由 得 ，所以 。故方程为 。 【题型5 范围与最值】 【例5】已知椭圆 ， 为椭圆上一点，点 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用参数方程设 ，把 化为关于 的二次函数求最值。 【解答过程】设 ，则 。 令 ，则 ，其对称轴 ， 最小值在 处取得，为 。 所以 的最小值为 。故选A。 【多解·巧解】求椭圆上一点到定点的距离最值，用参数方程 把问题化为关于 的二次函数，是最稳妥的换元思路；别忘了 的取值范围是 。 【易错提醒】化归二次函数后要判断对称轴是否落在 内：本题对称轴 在区间内，最值取在顶点而非端点；漏判这一点会得到错误答案。 【变式5-1】已知椭圆 的右焦点为 ， 为椭圆上一点，则 的最小值为____________。 【答案】 【解题思路】椭圆上的点到焦点的距离范围是 。 【解答过程】由 ，，，所以 的取值范围是 ，最小值为 （在右顶点处取得）。 【变式5-2】已知点 ， 为椭圆 上一点，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】设参数点 ，把距离平方化为完全平方求最值。 【解答过程】设 ，则 。当 时取最大值 ，所以 的最大值为 。故选C。 【变式5-3】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】两边之和为定值，用均值不等式求乘积的最大值。 【解答过程】由 得 。由均值不等式 ，当 时取等号（此时 为短轴端点）。故选C。 【题型6 焦点弦与直线和椭圆】 【例6】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，过 的直线 （不与 轴重合）与椭圆交于 、 两点。 (1) 求 的周长； (2) 若直线 的斜率为 ，求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用"过焦点的弦与另一焦点围成三角形周长为 "；(2) 设直线与椭圆联立，用韦达定理配弦长公式。 【解答过程】(1) 由 得 。因为 ，，且 ，所以 的周长为 。 (2) 由 得 ，直线 。代入椭圆方程得 ，整理得 。 设 、，则 ，。 由弦长公式 。 【多解·巧解】焦点弦三角形的周长恒为 ，可直接读出；求弦长时"联立、韦达、代弦长公式"三步走，先算判别式确认有交点，再代 。 【易错提醒】弦长公式必须乘以 ，漏掉它会把结果算错；另外 为负，代入 时要保留负号（即变成加）。 【变式6-1】已知椭圆 的右焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线与椭圆交于 、 两点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】过焦点且垂直于长轴的弦是通径，长度为 。 【解答过程】过右焦点且垂直于 轴的弦为通径，。故选B。 【变式6-2】已知 、 是椭圆 的两个焦点， 在椭圆上且 ，则 ____， ____。 【答案】， 【解题思路】用定义与已知比例联立求两条焦半径。 【解答过程】由 得 。代入 得 ，所以 ，。 【变式6-3】已知椭圆 的右焦点为 ，过 且倾斜角为 的直线与椭圆交于 、 两点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】直线过右焦点，联立后用弦长公式求弦长。 【解答过程】由 得 ，直线的斜率为 ，故 。代入椭圆方程得 ，整理得 ，解得 或 。所以 。故选B。 一、单选题 1．（★★）椭圆 的离心率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由 求 ，再算 。 【解答过程】由 、 得 ，，，所以 。故选A。 2．（★★）椭圆 上一点到两焦点的距离之和为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由定义，椭圆上点到两焦点的距离之和等于 。 【解答过程】由 得 ，所以距离之和为 。故选A。 3．（★★）已知椭圆 （）的离心率为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用 建立关于 的方程。 【解答过程】由 ，，得 ，即 ，所以 ，。故选A。 4．（★★）已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，且 、，则椭圆的标准方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由 求 ，再按焦点位置写方程。 【解答过程】由 、 得 。因为焦点在 轴上，所以方程为 。故选A。 5．（★★）已知 、 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用定义 求另一条焦半径。 【解答过程】由 得 ，所以 。由 得 。故选A。 6．（★★★）已知 、 是椭圆 的两个焦点， 在椭圆上且 ，则 的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直接用 。 【解答过程】由 ，，。故选A。 7．（★★★）已知椭圆 的离心率为 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 【解题思路】方程中两个分母的大小关系未定，必须按焦点在 轴、焦点在 轴两类讨论，分别化出 后用 建立方程，解出后还要检验 使方程确为椭圆。 【解答过程】情形一：焦点在 轴，需 ，即 。此时 ，，。由 得 ，解得 ，满足 ，符合。情形二：焦点在 轴，需 ，即 。此时 ，，。由 得 ，解得 ，满足 ，符合。综上， 或 。故选C。 8．（★★★）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 ， 为椭圆上任意一点，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 用定义换成 ，则 ，再用三角形两边之差不超过第三边化为 ，取等时需共线并验证。 【解答过程】由 得 ，所以 。在 中，，而 ，故 。取等需 、、 共线且 在线段 上：直线 与椭圆交于 、，取 ，此时 ，，，取等成立。故最大值为 ，选B。 二、多选题 9．（★★）关于椭圆 ，下列说法正确的是（　　） A．长轴长为 　B．短轴长为 　C．焦点为 　D．离心率为 【答案】ABC 【解题思路】由方程读出 、，求出 ，逐项核对长轴、短轴、焦点、离心率。 【解答过程】由 、 得 ，，，。长轴长 ，A正确；短轴长 ，B正确；焦点为 ，C正确；离心率 ，不是 ，D错误。故选ABC。 10．（★★）已知 、 为椭圆 的两个焦点， 为椭圆上任意一点，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．椭圆的短轴长为 　D．椭圆的离心率为 【答案】ABC 【解题思路】分别用定义、焦距、短轴长、离心率公式逐项计算。 【解答过程】由 、 得 ，，，。，A正确；，B正确；短轴长 ，C正确；离心率 ，D错误。故选ABC。 11．（★★★）已知椭圆 的方程为 ，则下列结论正确的是（　　） A．椭圆 的焦点在 轴上　B．椭圆 的焦距为 　C．椭圆 的离心率为 　D．椭圆 上 的取值范围是 【答案】ABC 【解题思路】由 、 判断焦点位置，再算焦距、离心率与范围。 【解答过程】由 、 得 ，，。 的分母大，焦点在 轴上，A正确；焦距 ，B正确；，C正确； 的取值范围是 ，不是 ，D错误。故选ABC。 12．（★★★）已知椭圆 与直线 （ 为实数），则下列结论正确的是（　　） A．对任意实数 ，直线 与椭圆 都有两个公共点　B．若直线 与椭圆 相切，则 　C．当 时，直线 与椭圆 相交所得弦长为 　D．存在实数 ，使直线 与椭圆 相交所得弦长为 【答案】BC 【解题思路】直线 恒过点 ，该点在椭圆外，须对相交、相切、相离讨论；相切看判别式，弦长用韦达定理配弦长公式，弦长 只能是长轴从而必须过中心。 【解答过程】A： 恒过点 ，而 ，该点在椭圆外。取 ，直线 与椭圆没有公共点，故并非对任意 都有两个公共点，A错误。B：联立 ，整理得 ，相切等价于判别式为零：，即 ，，B正确。C： 时方程为 ，判别式 ，由韦达定理 ，，，弦长为 ，C正确。D：椭圆中长为 的弦只有长轴（ 轴上的直径），该弦所在的直线须过中心 ；而 又过 ，同时过这两点的直线是 轴，斜率不存在且与椭圆所截弦长为短轴长 ，故不存在满足条件的 ，D错误。故选BC。 三、填空题 13．（★★）椭圆 上一点 到一个焦点的距离为 ，则 到另一个焦点的距离为____________。 【答案】 【解题思路】用定义 直接求。 【解答过程】由 得 ，所以 。已知一个距离为 ，则另一个距离为 。 14．（★★）椭圆 的焦距为____________。 【答案】 【解题思路】先由 求 ，焦距为 。 【解答过程】由 、 得 ，，所以焦距 。 15．（★★★）已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ，长轴长为 ，则该椭圆的标准方程为____________。 【答案】 【解题思路】由长轴长与焦距求 、，再用 求 。 【解答过程】由长轴长 得 ，；由焦距 得 ，。所以 。因为焦点在 轴上，故方程为 。 16．（★★★）已知直线 与椭圆 交于 、 两点，若以 为直径的圆经过坐标原点 ，则实数 的值为____________。 【答案】 【解题思路】以 为直径的圆过 等价于 ，即 ，联立后用韦达定理整体代换求 ，最后用判别式检验。 【解答过程】联立 ，整理得 。由直线与椭圆交于两点，判别式 ，即 。设 、，则 ，。又 。以 为直径的圆经过原点，等价于 ，即 ，解得 ，，满足 ，符合题意。 四、解答题 17．（★★）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，且 ，椭圆 经过点 。 (1) 求椭圆 的标准方程； (2) 求椭圆 的离心率。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 由 设 ，把已知点代入求 ；(2) 用 。 【解答过程】(1) 由 得 ，设 ，则 。代入 ：，去分母得 ，即 ，解得 （ 舍去）。所以 ，，方程为 。 (2) ，，所以 。 【多解·巧解】焦点在 轴上时，直接用 把 换成 ，只需设一个未知数 ，代入已知点即得方程，比同时设 、 更省事。 【易错提醒】解二次方程 得 或 ，因为 ，必须舍去 ，否则会得到无意义的解。 18．（★★）已知 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点。 (1) 求 的周长； (2) 若 ，求 的面积。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用周长公式 ；(2) 用直角焦点三角形的面积公式 。 【解答过程】(1) 由 得 ；由 得 ，。所以 的周长为 。 (2) 由 ，，面积 。 【多解·巧解】焦点三角形的周长只与 、 有关，恒为 ，与点 的位置无关；直角情形下面积直接等于 ，不必再用余弦定理求两边。 【易错提醒】第(1)问的周长是 ，容易漏掉 而只写 ；第(2)问面积是 ，别与 混淆（本题 、）。 19．（★★）已知 、 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆上一点且 。 (1) 求 的值； (2) 求 的面积。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】用定义得两边之和，用余弦定理得三边关系，两式相减求两边之积，再求面积。 【解答过程】(1) 由 得 ；由 得 。设 ，，由余弦定理 。又 ，两式相减得 ，所以 。 (2) 。 【多解·巧解】焦点三角形的标准套路："定义给和、余弦定理给平方和"，两式相减即得两边之积 ，再由 求面积；也可以用 直接验证结果。 【易错提醒】余弦定理中的夹角是 ，对应的第三边是 （不是 ）；两式相减时 ，别把 算错。 20．（★★★）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，过 的直线 与椭圆交于 、 两点。 (1) 求 的周长； (2) 若直线 的斜率为 ，求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 过焦点的弦与另一焦点围成三角形，周长为 ；(2) 联立直线与椭圆，用韦达定理配弦长公式。 【解答过程】(1) 由 得 。因为 ，，且 ，所以 的周长为 。 (2) 由 得 ，直线 。代入椭圆方程得 ，整理得 。设 、，则 ，。由弦长公式 。 【多解·巧解】焦点弦三角形周长 是通用结论，直接读出；求弦长用"设直线、联立、韦达、代公式"四步，注意先验证判别式大于零，确保直线与椭圆确有两个交点。 【易错提醒】本题直线过右焦点 ，方程为 而不是 ，符号写错会导致韦达结果全错；弦长公式的系数 不要遗漏。 21．（★★★）已知椭圆 （）的离心率为 ，短轴长为 。 (1) 求椭圆 的标准方程； (2) 求椭圆 上一点到右焦点距离的最大值与最小值。 【答案】(1) ； (2) 最大值为 ，最小值为 。 【解题思路】(1) 由短轴长得 ，由离心率与 求 ；(2) 用点到焦点的距离范围 。 【解答过程】(1) 由短轴长 得 ，。由 得 ，所以 。故方程为 。 (2) 由 ，，。椭圆上的点到右焦点的距离范围为 ，即最大值为 ，最小值为 。 【多解·巧解】求离心率时优先把 当作桥梁：已知 与 可一步求出 ，避免绕道 ；点到焦点的距离范围 直接记忆即可。 【易错提醒】短轴长是 ，对应 ，别误取 ；第(2)问最大最小值分别在左、右顶点处取得，且端点可取而用闭区间。 22．（★★★）已知椭圆 ， 为椭圆上一点，点 。 (1) 设 ，求 关于 的表达式； (2) 求 的最大值与最小值。 【答案】(1) ； (2) 最大值为 ，最小值为 。 【解题思路】用参数方程把 化为关于 的二次函数，再在 上求最值。 【解答过程】(1) 。 (2) 令 ，则 ，对称轴 ，最小值在 处取得，为 ；最大值在端点 处取得，为 。所以 的最大值为 ，最小值为 。 【多解·巧解】椭圆上点到定点的距离最值，统一用参数方程化为"关于 的二次函数"，再比较顶点与两端点，是比设斜率更稳妥的换元方法。 【易错提醒】二次函数在闭区间求最值必须同时看顶点和两个端点：本题最小值在顶点 ，最大值在端点 ，只看一端会漏掉另一个最值。 23．（★★★）已知椭圆 （）的离心率为 ，且经过点 。 (1) 求椭圆 的方程； (2) 若直线 与椭圆 交于 、 两点，求 面积的最大值，并求此时直线 的方程； (3) 设直线 （）与椭圆 交于 、 两点，若 ，证明：直线 与定圆 相切。 【答案】(1) ； (2) 最大值为 ，此时直线 为 或 ； (3) 直线 到原点的距离恒为 ，恰为定圆 的半径，故恒相切。 【解题思路】(1) 由 得 ，代入点定方程；(2) 联立后用韦达定理与弦长公式，把面积化为 ，用均值不等式求最值；(3) 把垂直翻译成 ，得到 与 的关系后，恰好凑出原点到直线的距离为定值，与定圆半径比较。 【解答过程】(1) 由 得 。代入点 ：，即 ，所以 ，。故椭圆 的方程为 。 (2) 联立 ，整理得 。由直线与椭圆交于两点，判别式 ，即 。设 、，则 ，，，所以 。原点 到直线 的距离 ，故 。令 ，则 ，当且仅当 ，即 （满足 ）时取等号。故 面积的最大值为 ，此时直线 为 或 。 (3) 联立 ，整理得 。设 、，则 ，。又 。由 得 ，即 ，。此时判别式 ，确有两个交点。原点 到直线 的距离 ，为定值，而定圆 的半径 ，故直线 恒与定圆 相切。 【多解·巧解】第(2)问把面积整理成 （）后，用 一步到位，避免开方讨论；第(3)问"垂直"统一翻译成 ，解出 后， 恰是距离公式的分子，直接看出距离为定值即得相切，不必求切点。 【易错提醒】第(2)问均值不等式取等要求 ， 有正负两解，直线方程别只写一条，且需回验 保证相交；第(3)问定圆方程 的半径是 ，别把 当半径去比较；垂直条件解出的 自动满足，但判别式为正要交代，否则"交于两点"无依据。 24．（★★★）已知椭圆 （）的离心率为 ，焦距为 。 (1) 求椭圆 的方程； (2) 过右焦点 的直线 与椭圆 交于 、 两点，求 的取值范围； (3) 过右焦点 且斜率存在的直线 与椭圆 交于 、 两点，在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标与该定值；若不存在，请说明理由。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 存在定点 ， 恒为定值 。 【解题思路】(1) 由焦距与离心率定 、、；(2) 按"斜率不存在、、"三类讨论，含 的弦长 与 、 作差比较；(3) 把 整理成"分式 "，令分子与分母成比例（待定系数法）求出 与定值。 【解答过程】(1) 由焦距 得 ；由 得 ，，。故椭圆 的方程为 ，右焦点 。 (2) 当直线 的斜率不存在时，，代入椭圆方程得 ，，此时 。当 时，直线为 轴，所截弦为长轴，。当 时，设 ，联立 ，整理得 ，判别式 。设 、，则 ，，，所以 。由 ，，得 。综上， 的取值范围为 ，其中 由竖直弦取到， 由长轴取到。 (3) 设 、，直线 （ 存在，含 ）。由 (2) 的联立得 ，，且 。于是 。要使其与 无关，需 对一切 恒成立，比较常数项与 的系数得 ，，解得 ，。此时 ，为定值。故存在定点 ，使得 恒为定值 。 【多解·巧解】第(2)问弦长 的范围不必求导或换元，直接与 、 作差看符号即可；第(3)问定值问题的标准手法是把 整理成 ，令分子恰为分母的常数倍，用待定系数法同时解出 与定值 。 【易错提醒】第(2)问只按斜率存在讨论会漏掉竖直弦的 ，且 时 、 都取不到，端点归属必须交代清楚；第(3)问由 先定 ，再由 解出 ，两个方程的顺序别弄混，求出后建议取 （此时 、）回验定值 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $