第41讲 直线的方程 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第41讲 直线的方程 第41讲 直线的方程 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练掌握斜率与倾斜角的互化，能处理倾斜角为锐角、钝角的两解问题与斜率范围问题； 2．掌握直线方程的五种形式及各自的适用范围，能根据条件选择恰当形式求方程并化为一般式； 3．会处理截距相等、截距成倍数与围成三角形面积最值的问题，能自觉分类过原点与斜率不存在两种情形； 4．会求含参直线恒过的定点，能解决定点直线与坐标轴围成图形的综合问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 斜率与倾斜角的互化 选择题、填空题 第6~8题／第13题 中档 先判锐角还是钝角，再算 ，留意两解 求直线的方程 选择题、填空题 第4~8题／第13题 中档 先判断斜率是否存在，再选点斜式或截距式 截距问题 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 必分过原点与非零两类，截距可正可负可为 含参直线过定点 选择题、填空题 第6~8题／第14题 中档 按参数整理，或取两个特殊值求交点后回代验证 截距与面积最值综合 解答题 第17~19题 中偏难 设 ，代入已知点后用基本不等式 命题规律分析 直线与方程是解析几何的语言基础，新高考中很少单独成大题，却处处埋伏：斜率与倾斜角的互化常出现在第6~8题，含参直线过定点、截距问题是第13~14题的高频素材，而过定点的直线与坐标轴围成三角形面积的最值，更是解答题第17~19题的常见开篇。本讲定位在基础之上抬一档：一要练熟倾斜角定范围、斜率定数值的双向转化，尤其留意锐角与钝角的两解；二要建立设截距式再用基本不等式求最值的固定套路；三要养成斜率是否存在、截距是否为 的自觉分类习惯。抓住这三条，本专题的分数可以全部拿满。 考点1 直线的倾斜角与斜率 知识点1 倾斜角与斜率的对应关系 倾斜角 的取值范围是 ； 时 ， 时斜率不存在。 为锐角时 ，为钝角时 ， 时 ； 越大（在 以内）直线越陡、斜率越大。 【易错清单】 1．已知 求斜率， 可能是锐角也可能是钝角，答案应为 ，只取正值是典型错误； 2．由 反求倾斜角时， 必须落在 内，不能取负角； 3．斜率不存在与斜率为 是两回事：前者倾斜角为 ，后者为 。 知识点2 斜率公式与三点共线 过 、（）的直线斜率 ； 时直线垂直于 轴，斜率不存在。 三点 、、 共线等价于 （斜率均存在时）；更稳妥的做法是先求直线 的方程，再检验点 是否满足。 【易错清单】 1．用斜率公式前先看两点横坐标是否相等，硬套公式会出现分母为 ； 2．判断三点共线时，若有两点横坐标相同，要单独判断是否同在一条竖直线上； 3．直线过点 与线段 相交，斜率夹在 与 之间；与直线 相交则是上述范围的补集，两者切勿混淆。 考点2 直线方程的形式与综合应用 知识点3 五种形式与适用范围 点斜式 与斜截式 都不能表示斜率不存在的直线；截距式 还要求 且 ；一般式 （、 不同时为 ）可表示任意直线。 由一般式读信息： 时 ，在 轴上的截距为 ； 时直线垂直于 轴。 【易错清单】 1．设点斜式、斜截式之前必须确认斜率存在，否则要单独补写 ； 2． 轴上的截距是 而不是 ，这个负号最易漏掉； 3．截距是交点的坐标值，可正可负可为 ，与距离不同，绝不能加绝对值。 知识点4 含参直线过定点与截距问题 含参直线按参数整理成 ，令 且 解出定点；也可取两个特殊参数值得两条直线，求交点后再回代验证。 处理两轴上截距相等或成倍数的问题，必须分过原点（两截距都为 ）与截距非零两类；求围成三角形面积最值时，用 代入已知点得关系，再用基本不等式。 【易错清单】 1．截距问题漏掉过原点的情形，是本专题第一失分点； 2．截距相等与截距的绝对值相等不是一回事，后者还要考虑一正一负； 3．用基本不等式求最值后必须检验等号能否取到，取不到时最值要用配方法另求。 【题型1 斜率与倾斜角（两解与范围）】 【例1】已知直线 的倾斜角为 ，且 ，则直线 的斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两边平方定出 的符号，判断 是钝角，再求 与 。 【解答过程】将 两边平方，得 ，故 。 因为 ，有 ，所以 ，即 为钝角，。 又 ，且 ，故 。 联立 与 ， 解得 ，，所以 。故选A。 【多解·巧解】把 与 看成某个一元二次方程的两根更快：由两根之和 、两根之积 ，得 ，即 ，分解得 ，故两根为 与 ；再由 知 、，一步得出 。 【易错提醒】只想 还不够，必须再由 确认 是钝角，否则 的正负无法判断，就会多出一个错误答案 。 【变式1-1】已知直线 的倾斜角为 ，且 ，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 知 是钝角，故 ，。 【解答过程】因为 且 ，所以 为钝角，，。 故 。故选A。 【变式1-2】已知直线 的倾斜角为 ，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先按普通角解出范围，再与倾斜角的范围 取交集。 【解答过程】由 及 ，得 。 注意端点 也在倾斜角允许范围内，不能改成开区间。故选B。 【变式1-3】已知直线 经过点 ，且与以 、 为端点的线段相交，则 的斜率 的取值范围是 ____________。 【答案】 或 【解题思路】先算 、，线段在 点张开的角之外才是相交的范围。 【解答过程】，。 直线 的方程为 ，；过 的直线为 。 联立得 ，即 （）。 由 解得 或 。 【多解·巧解】几何法更快：画图可见线段 整体位于点 的下方，直线绕 旋转时，只有转到比较平缓（斜率小）或比较陡峭（斜率大）时才扫过线段，因此答案落在 与 的外侧，而不是两者之间。 【题型2 由条件求直线方程（选形式、防漏解）】 【例2】经过点 且倾斜角为直线 的倾斜角的 倍的直线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由已知直线求倾斜角，再取 倍并检验是否超出 ，最后用点斜式。 【解答过程】直线 化为 ，斜率为 ，倾斜角为 。 所求直线的倾斜角为 ，斜率 。 由点斜式得 ，即 ， 整理得 。故选A。 【多解·巧解】若原倾斜角较大（如 ），其 倍会超出 ，此时要先把角对 取余再看，并且斜率可直接用二倍角公式 计算，不必先求角度；本题 ，一步到位。 【易错提醒】点斜式中的减号要看清：，本题 ，左边应写成 ；还有同学把倾斜角的 倍错误地当成斜率的 倍，得到 而错选。 【变式2-1】经过点 且倾斜角为 的直线方程为 ____________。 【答案】 【解题思路】先由倾斜角求斜率，再用点斜式。 【解答过程】，由点斜式得 ， 整理得 ，即 。 【变式2-2】已知直线 的倾斜角为 ，且 ，若 经过点 ，则 的方程为 ____________。 【答案】 【解题思路】由 知 为钝角，先定 再定斜率。 【解答过程】由 且 ，得 ，。 又直线过点 ，即在 轴上的截距为 ，由斜截式得 ，即 。 【变式2-3】已知直线 经过点 ，且与 轴、 轴分别交于点 、，若 为线段 的中点，则 的方程为 ____________。 【答案】 【解题思路】设 、，用中点坐标公式反求 、，再写截距式。 【解答过程】设 、。由 是 的中点得 ，，解得 ，。 所以 的截距式为 ，整理得 。 【题型3 截距问题（分类过原点）】 【例3】经过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】C 【解题思路】截距相等要分两类：都等于 （过原点）与都等于同一个非零常数。 【解答过程】① 当直线过原点时，两截距都为 ，也相等。 此时直线过 与 ，斜率为 ，方程为 ，即 ； ② 当两截距相等且不为 时，设方程为 ， 代入 得 ，解得 ，方程为 。 综上，所求直线方程为 或 。故选C。 【多解·巧解】也可以统一处理：设直线方程为 （ 存在且 ），令 得 轴截距 ，令 得 轴截距 ， 由 整理得 ，解得 或 ，正好对应上面两条直线。这种设斜率的做法能把过原点的情形自动包含进来，不容易漏解。 【易错提醒】只看 而漏掉过原点的情形，就会只选B，这是本类题最经典的丢分点。反过来，若题目改为截距的绝对值相等，则还要再补上 的情形，共三条直线。 【变式3-1】经过点 且在 轴上的截距是在 轴上截距的 倍的直线方程为 ____________。 【答案】 或 【解题思路】设 轴截距为 ，分 与 两类。 【解答过程】① 当 时直线过原点，又过 ，斜率为 ，方程为 ，即 ； ② 当 时，设方程为 ，代入 得 ， 即 ，解得 ，方程为 ，即 。 故所求直线方程为 或 。 【变式3-2】已知直线 经过点 ，与 轴、 轴的正半轴分别交于 、 两点，则当 的面积最小时， 的方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设截距式，代入已知点得关系，再用基本不等式求 的最小值。 【解答过程】设 、，，，则 的方程为 。 代入 得 。 由基本不等式 ，得 ，即 。 所以 ，等号当 ，即 、 时取得。 此时 的方程为 ，即 。故选A。 【多解·巧解】记住一般结论：过点 （，）且与两坐标轴正半轴相交的直线，当 恰为切点线段中点时面积最小，此时 、，最小面积为 。本题 ，直接口算即可。 【变式3-3】已知直线 在 轴、 轴上的截距分别为 、，且 ，，则 的方程为 ____________。 【答案】 或 【解题思路】把 、 看成一元二次方程的两根，解出后注意两种对应关系。 【解答过程】由 、 知 、 是方程 的两根，解得 或 。 ① 当 、 时， 的方程为 ，即 ； ② 当 、 时， 的方程为 ，即 。 【题型4 含参直线过定点】 【例4】已知直线 ：（）。 (1) 证明：无论 取何值，直线 恒过定点，并求出该定点； (2) 若直线 在 轴上的截距为 ，求 的值。 【答案】(1) 定点为 ； (2) 。 【解题思路】(1) 按参数 整理，令两部分同时为 ；(2) 令 求纵截距再列方程。 【解答过程】(1) 将方程展开并按 整理： ，即 。 令 且 ，两式相加得 ，解得 ，代回得 。 当 、 时， 对任意 都成立，故直线 恒过定点 。 (2) 令 ，得 ，即 （）。 由截距为 得 ，即 ，解得 ，满足 。 【多解·巧解】求定点还可以用特殊值法：令 得 ，令 得 即 ，联立解得 ，最后把该点代入原方程验证一次即可。当参数是二次或更高次时，按参数整理成关于参数的恒等式（各项系数都为 ）才是通法。 【易错提醒】(2) 中 时直线为 ，即 ，是竖直线，在 轴上没有截距，因此用 时必须注明 ；解出 后也要回代确认它不是竖直或水平退化情形。 【变式4-1】直线 （）恒过定点 ____________。 【答案】 【解题思路】按 整理，令两部分同时为 。 【解答过程】整理得 。令 且 ，解得 ，，故恒过定点 。 【变式4-2】直线 （）恒过定点（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】按 整理成 。 【解答过程】整理得 ，即 。 令 得 ，代入 得 ，即 。 故恒过定点 。故选A。 【变式4-3】不论 取何实数，直线 恒过定点 ____________。 【答案】 【解题思路】展开后按 合并，令两部分同时为 。 【解答过程】展开得 ，即 。 令 且 ，解得 ，，故恒过定点 。 【题型5 三点共线与三角形中的直线】 【例5】已知 的三个顶点分别为 ，，。 (1) 求 边上的中线所在直线的方程； (2) 求 的面积。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 先求 中点，再与 连线；(2) 可用割补法或底乘高。 【解答过程】(1) 边 的中点为 。 直线 的斜率 ，由点斜式得 ， 整理得 ，即 。 (2) 直线 的斜率 ，方程为 ，即 。 。 点 到直线 的距离 。 故 。 【多解·巧解】求面积最快的办法是割补法：作外接矩形 、，矩形面积为 ；再减去三个直角三角形的面积 、、， 得 ，不必计算根号，也不必求高。 【易错提醒】(1) 中容易把 的中点错算成 （纵坐标只加了 没加 ）；(2) 中用底乘高时， 要开方、点到直线距离的分母是 ，两处根号容易算错。 【变式5-1】已知 ，， 三点共线，则 的值为 ____________。 【答案】 【解题思路】由 列方程。 【解答过程】，。 由三点共线得 ，即 ，解得 。 【变式5-2】已知 ，，，则 的面积为 ____________。 【答案】 【解题思路】用割补法，或把一个顶点平移到原点后用坐标面积公式。 【解答过程】作外接矩形 、，面积为 。 减去三个直角三角形：（右下）、（左侧）、（上方）， 故 。 【变式5-3】已知点 ，，点 在直线 上，且 、、 三点共线，则点 的坐标为 ____________。 【答案】 【解题思路】先求直线 的方程，再与已知直线联立求交点。 【解答过程】，直线 的方程为 ，即 。 联立 与 ，两式相减得 ，代回得 。 故点 的坐标为 。 【题型6 直线方程的综合应用（面积最值与多解）】 【例6】已知直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 、。 (1) 当 的面积最小时，求直线 的方程； (2) 若 的面积为 ，求直线 的方程。 【答案】(1) ； (2) 或 。 【解题思路】设截距式，代入 得 ；(1) 用基本不等式，(2) 联立消元解一元二次方程。 【解答过程】由截距式得 ：（，），代入 得 ，即 。 (1) 由基本不等式 ， 得 ，即 ，故 。 等号当 ，即 、 时取得， 此时 的方程为 ，即 。 (2) 由 得 ，又 ，故 。 代入 得 ，即 ，分解得 。 当 时 ，方程为 ，即 ； 当 时 ，方程为 ，即 。 【多解·巧解】(1) 有更快的结论：过定点 与两坐标轴正半轴相交的直线，面积最小时 恰为线段 的中点，此时 、，最小面积 ，一步写出 。 (2) 也可把 与 看成关于 、 的对称方程组，由韦达定理知 、 是方程 的两根，得 或 ，对应 与 ，比代入消元快。 【易错提醒】(1) 用基本不等式后忘了检验等号能否取到，或把 错写成 ； (2) 只解出一个 就收笔，漏掉第二个解，是这类题最典型的失分方式——二次方程有两根就应有两条直线。 【变式6-1】过点 作直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 、，若 的面积最小，则 的方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】面积最小时 是线段 的中点，直接得 、。 【解答过程】由 及基本不等式 得 ，等号当 ，即 、 时取得。 此时 的方程为 ，即 。故选A。 【变式6-2】过点 的直线与 轴、 轴的正半轴分别交于 、，则 的最小值为 ____________。 【答案】 【解题思路】把 乘上 展开后用基本不等式。 【解答过程】由 ，得 。 等号当 ，即 时取得，故最小值为 。 【变式6-3】已知直线 过点 ，与 轴、 轴的正半轴分别交于 、。 (1) 求 面积的最小值及此时 的方程； (2) 若 的面积为 ，求 的方程。 【答案】(1) 最小值为 ，此时 ：； (2) 。 【解题思路】(1) 用基本不等式求 的最小值；(2) 注意到 正是最小值，故只有一条。 【解答过程】设 、（，），由 得 。 (1) 由 得 ，故 。 等号当 ，即 、 时取得， 此时 的方程为 ，即 。 (2) 由 得 ，又 ，故 。 代入 得 ，即 ，解得 ，。 故 的方程为 。 【多解·巧解】(2) 中方程只有一个解，说明 恰好是面积的最小值，这类现象可以反过来用来检验 (1) 的结果：若把面积改成大于最小值的数，二次方程就应有两个正根、对应两条直线。 一、单选题 1．（★★）直线 经过两点 ，，则直线 的斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】代入两点斜率公式。 【解答过程】。故选B。 2．（★★）直线 的倾斜角为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由 求斜率，再定倾斜角。 【解答过程】这里 ，，故 。 由 且 ，得 。故选A。 3．（★★）直线 的倾斜角为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】化为斜截式读斜率，再由 定角。 【解答过程】由 得 ，故 为钝角，由 得 。故选B。 4．（★★）经过点 且倾斜角为 的直线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由倾斜角得 ，再用点斜式。 【解答过程】，由点斜式得 ， 整理得 ，即 。故选A。 5．（★★）已知直线 的倾斜角为 ，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由倾斜角得 ，再与 比较。 【解答过程】由倾斜角为 得 。又 ，故 ，解得 。 检验： 时直线为 ，即 ，斜率为 ，符合。故选B。 6．（★★★）已知直线 经过点 ，且与以 、 为端点的线段相交，则 的斜率 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】算 、，与线段相交时斜率夹在两者之间。 【解答过程】，。 直线 的方程为 （），过 的直线为 。 联立得 ，由 解得 。 端点 与 分别对应直线 、，恰好经过端点，可以取到。故选A。 7．（★★★）已知直线 与 平行（ 与 不重合），则过点 且与 垂直的直线在 轴上的截距为（　　） A．　B．　C．　D． 或 【答案】A 【解题思路】先由平行条件解出 并逐个检验是否重合，再由垂直得斜率、点斜式求纵截距，两步各藏一个易错点。 【解答过程】由 得 ，即 ，解得 或 。 检验： 时， 为 ，即 ， 为 ，两直线重合，不合题意，舍去； 时， 为 ， 为 ，平行且不重合，符合题意。 故 ，即 ，斜率为 。 与 垂直的直线斜率为 ，又过点 ，由点斜式得 ，即 。故所求直线在 轴上的截距为 。故选A。 8．（★★★）已知点 ，，点 在直线 上，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 关于 对称、 关于 轴对称，三段折线长即化为两对称点间线段长，再检验等号能取到。 【解答过程】将 关于直线 对称，设对称点为 。 由 的斜率为 知 的斜率为 ，即 ，得 ； 的中点 在 上，代入得 ， 解得 ，，即 。 又 关于 轴的对称点为 。 因为 在 上，所以 ；因为 在 轴上，所以 。 于是 。 。 直线 的方程为 ，它与 的交点为 ，与 轴的交点为 ， 且沿 到 依次经过 、，等号可以取到。故最小值为 。故选B。 二、多选题 9．（★★）下列关于直线的倾斜角与斜率的说法中，正确的是（　　） A．任意一条直线都有倾斜角　B．任意一条直线都有斜率　C．若直线的倾斜角为锐角，则它的斜率大于 　D．若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行或重合 【答案】ACD 【解题思路】逐项对照倾斜角的定义与斜率的存在条件。 【解答过程】由定义，任意直线的倾斜角都在 内，A正确； 倾斜角为 的直线斜率不存在，B错误； 倾斜角为锐角时 ，C正确； 倾斜角相等则方向相同，两直线平行或重合，D正确。故选ACD。 10．（★★）关于直线 ：，下列说法正确的是（　　） A． 的斜率为 　B． 的倾斜角为 　C． 在 轴上的截距为 　D． 在 轴上的截距为 【答案】ABC 【解题思路】化为斜截式读出斜率与截距，再定倾斜角。 【解答过程】由 得 ，斜率为 ，A正确； 由 得 ，B正确； 在 轴上的截距为 ，C正确； 令 得 ，在 轴上的截距为 而不是 ，D错误。故选ABC。 11．（★★★）关于直线 ：（），下列说法正确的是（　　） A．直线 恒过定点 　B．当 时，直线 的倾斜角为 　C．当 时，直线 的斜率为 　D．直线 的斜率恒为负数 【答案】ABC 【解题思路】按 整理求定点，再逐一代值核对斜率。 【解答过程】整理得 ，令 、 得定点 ，A正确； 时直线为 ，与 轴平行，倾斜角为 ，B正确； 时直线为 ，斜率为 ，C正确； 直线的斜率为 ，当 时 ，D错误。故选ABC。 12．（★★★）已知直线 与 （），则下列说法正确的是（　　） A．当 时，直线 与 重合　B．直线 与 平行（不重合）的充要条件是 　C．无论 取何值，直线 恒过定点 　D．当 时，直线 的倾斜角为 【答案】ABC 【解题思路】平行条件 解出参数后必须检验重合；定点问题按 整理令系数为零；系数为零对应水平线而非竖直线。 【解答过程】A： 时，，即 ；，两直线重合，A正确。 B：由 得 ，即 ，解得 或 ； 其中 时两直线重合，应舍去，故平行（不重合）的充要条件是 ，B正确。 C：将 按 整理为 ，令 且 ，得 ， 此时方程对任意 都成立，故 恒过定点 ，C正确。 D： 时，，即 ，直线与 轴平行，倾斜角为 ； 只有斜率不存在（如方程中 的系数为 ）才对应 ，D错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）经过点 且倾斜角为 的直线方程为 ____________。 【答案】 【解题思路】由倾斜角求斜率，再用点斜式。 【解答过程】，由点斜式得 ， 整理得 ，即 。 14．（★★）经过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ____________。 【答案】 或 【解题思路】分过原点与截距为非零相等值两类。 【解答过程】① 过原点时斜率为 ，方程为 ，即 ； ② 截距相等且不为 时，设 ，代入 得 ，，方程为 。 15．（★★★）已知直线 的倾斜角为 ，且 ，则 的斜率为 ____________。 【答案】 【解题思路】由 知 为钝角，先求 再相除。 【解答过程】由 知 为钝角，故 。 所以 。 16．（★★★）已知直线 （）与两坐标轴围成的三角形的面积不小于 ，则实数 的取值范围是 ____________。 【答案】 且 【解题思路】先写出两个截距并表示面积，注意 时直线与 轴平行、围不成三角形，须单独剔除。 【解答过程】当 时，直线为 ，与 轴平行，与两坐标轴围不成三角形，不合题意，故 。 当 时，令 得直线在 轴上的截距为 ；令 得 ，即在 轴上的截距为 。 所以 。 由 得 ，即 ，解得 。 结合 ，所求范围为 且 。 四、解答题 17．（★★）已知直线 经过点 。 (1) 若 的倾斜角为 ，求 的方程； (2) 若 在 轴上的截距为 ，求 的方程。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 由倾斜角求斜率后用点斜式；(2) 已知两点（含 轴交点）求斜率。 【解答过程】(1) ，由点斜式得 ，整理得 。 (2) 直线过点 与 ，斜率 ， 由斜截式得 ，即 。 【多解·巧解】(2) 也可以直接设斜截式 ，把 代入得 ，解得 ，比先求两点斜率更快。凡是已知纵截距的题目，优先设 ，只需解一个一次方程。 【易错提醒】(1) 中 的右边是 而不是 ，因为点 的横坐标是 ；(2) 中不要把纵截距 当成 ，负号写丢会得到 的错误答案。 18．（★★）已知直线 ：（）。 (1) 证明：直线 恒过定点，并求出该定点； (2) 若直线 在两坐标轴上的截距相等，求 的值。 【答案】(1) 定点为 ； (2) 或 。 【解题思路】(1) 按 整理求定点；(2) 分别令 、 表示两个截距后令其相等。 【解答过程】(1) 展开按 整理得 。 令 且 ，解得 ，，故恒过定点 。 (2) 令 得 ；令 得 。 由两截距相等得 ， 即 ，也就是 ， 解得 或 。 检验： 时直线为 ，两截距都为 ； 时直线为 ，两截距都为 ，均符合。 【多解·巧解】(2) 还有一条更简洁的路：既然直线恒过定点 ，就把所求直线看成过 的直线。两截距相等分两类——过原点时直线为 ，不过原点时设 ，代入 得 ，即 ，再分别反解 ，比通分快得多。 【易错提醒】解 时，若直接约去 会得到 即 ，漏掉 （，直线过原点）这一解。凡是等式两边有公因式，必须先讨论公因式为 的情形。 19．（★★）已知 的三个顶点分别为 ，，。 (1) 求 边上的中线所在直线的方程； (2) 求 的面积。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 先求 中点再用两点式；(2) 用割补法最省事。 【解答过程】(1) 边 的中点为 。直线 的斜率 ， 由点斜式得 ，整理得 。 (2) 作外接矩形 、，面积为 。 减去三个直角三角形：，，， 故 。 【多解·巧解】(2) 也可用坐标面积公式：， 代入得 ，一行出结果，不必画图。 【易错提醒】(1) 中 中点易错算成 （把 当成了 ）；(2) 用割补法时，矩形的边界要看三个顶点横坐标、纵坐标的最小值与最大值，不能凭感觉画，否则减去的三角形面积会算错。 20．（★★★）已知直线 过点 ，与 轴、 轴的正半轴分别交于 、。 (1) 求 面积的最小值及此时 的方程； (2) 若 的面积为 ，求 的方程。 【答案】(1) 最小值为 ，此时 ：； (2) 或 。 【解题思路】由截距式代入 得 ；(1) 用基本不等式，(2) 联立消元解二次方程。 【解答过程】由 （，）得 。 (1) 由 得 ， 故 ，等号当 ，即 、 时取得。 此时 的方程为 ，即 。 (2) 由 得 ，又 ，故 。 代入 得 ，即 ，分解得 。 当 时 ，方程为 ，即 ； 当 时 ，方程为 ，即 。 【多解·巧解】本题的 与例题中 恰好互换了坐标，于是两条答案直线也互换了 、 的系数，这是检验结果的好办法：把 与 对调后方程应当与例题的结论一致。 更一般地，过定点 的直线与两正半轴围成三角形的最小面积为 ，在 、 时取得，记住它可以直接口算第 (1) 问。 【易错提醒】(2) 中关系式是 而不是 ，出错的原因是代入 时把横纵截距的系数写反。检验方法：把求得的 代入 ，应得 。 21．（★★★）已知直线 ：（）。 (1) 证明：直线 恒过定点 ，并求出 的坐标； (2) 若 与 轴、 轴的正半轴分别交于 、，且 的面积为 ，求 的值。 【答案】(1) 定点为 ； (2) 或 。 【解题思路】(1) 按 整理求定点；(2) 分别求出两个截距（用 表示），再列面积方程。 【解答过程】(1) 整理得 ，令 、 得定点 。 (2) 直线化为 。令 得 轴截距 ，令 得 轴截距 。 由 、 知 。 由 得 ， 即 ，整理得 ， 即 ，分解得 ，解得 或 ，均满足 。 检验： 时截距为 与 ； 时截距为 与 ，面积都为 。 【多解·巧解】第 (2) 问可以完全绕开截距式：既然直线恒过 ，那么它就是上一题中过 且与两正半轴围成面积为 的三角形，直接引用上一题的结论得两条直线 与 ，再化成斜截式读出 与 。先认出定点、再沿用已有结论，是解析几何省时间的关键。 【易错提醒】解方程 时要先确认 才能两边乘 ；另外必须检验 、——若求出的 使截距为负，虽然代数上满足 ，但三角形并不在第一象限，应当舍去。 22．（★★★）已知点 ，线段 的端点为 ，。 (1) 若过 的直线 与线段 相交，求 的斜率 的取值范围； (2) 若过 的直线 与直线 的交点在线段 上点 的一侧（不含端点），求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】写出直线 的方程，令交点横坐标落在相应区间，再解分式不等式。 【解答过程】直线 的斜率 ，方程为 ，线段部分满足 。 过 的直线为 。 (1) 联立得 （），由 解得 。 (2) 交点在点 一侧，即 ，由 解得 。 【多解·巧解】几何法更直观：先算 、，直线绕 从 转到 的过程中始终扫过线段，故斜率落在 ；转过 之后直到与 平行（）之前，交点都跑到了 的外侧，于是得到 。画一张草图，斜率区间立刻可见。 【易错提醒】解分式不等式 时，必须按 的正负分类（变号问题），直接去分母会得出完全相反的区间。另外 时直线与 平行，没有交点，不能写进答案。 23．（★★★）已知直线 ，点 ，。 (1) 求点 关于直线 的对称点 的坐标； (2) 在直线 上求一点 ，使 最小，并求出最小值； (3) 在直线 上求点 ，使 的面积为 。 【答案】(1) ； (2) 最小值为 ，此时 ； (3) 或 。 【解题思路】(1) 用中点在对称轴上、连线与对称轴垂直列方程组；(2) 作对称点把折线拉直，用三点共线求 ；(3) 底边 在 轴上，高即 ，解绝对值方程须两解全求。 【解答过程】(1) 设 。因为 的斜率为 ，所以 ，即 ，得 ； 的中点 在 上，代入得 。 联立解得 ，，故 。 (2) 因为 ，，所以 、 在直线 的同侧， 故需作对称点：由 (1) 知 ，且 。 于是 ， 当且仅当 在线段 上时取等号。 。 直线 的方程为 ，即 ，与 联立， 解得 ，，故 ，最小值为 。 (3) ，且 在 轴上，设 ，则 到直线 的距离为 ， 所以 ，得 ，即 或 。 又 在 上，即 ：当 时 ；当 时 。 故 或 。 【多解·巧解】(2) 也可用光线反射理解：光从 经 反射后到 ，入射点即所求的 ，这一几何直观与对称法殊途同归。另外有一个可检验的快捷结论：当直线为 （即 ）时，点 关于它的对称点为 。本题 ， 的对称点为 ，与 (1) 结果一致；选择题、填空题中可先用该结论，解答题中再补上方程组法的推导过程。 【易错提醒】(2) 必须先判断 、 是否在 同侧：若异侧，最小值直接为 ，无需对称。本题 、 同侧，若误以为最小值是 就错了（ 不可能，可作检验）。(3) 面积方程 有两解，只取正的一支会漏掉 。 24．（★★★）已知直线 （）。 (1) 证明：直线 恒过定点 ，并求出 的坐标； (2) 设直线 在 轴上的截距为 ，求 的取值范围； (3) 是否存在实数 ，使得直线 与两坐标轴围成的三角形的面积等于 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 存在，。 【解题思路】(1) 按 整理令系数为零；(2) 截距是 的分式函数，分离常数后按 的符号分类；(3) 用截距的绝对值表示面积，去绝对值须按 的符号分类。 【解答过程】(1) 将方程按 整理为 。 令 且 ，解得 ，。 此时 对任意 都成立，故直线 恒过定点 。 (2) 当 时，，与 轴平行，没有纵截距，故 。 当 时，令 得 。 当 时， 且随 取遍一切正数，故 ，即 ； 当 时， 且随 取遍一切负数，故 ，即 。 而 ，故 ，所求范围为 。 (3) 若 ， 与 轴平行；若 ， 与 轴平行，均围不成三角形，故 且 。 当 且 时，令 得 ；令 得 。 于是 ， 即 。 情形一：当 或 时，，则 ， 展开得 ，解得 ，满足 ，符合； 情形二：当 时，，则 ， 展开得 ，判别式 ，无实数解。 综上，存在 。 检验：此时 ，， 则 ，成立。 【多解·巧解】(2) 有一条几何捷径：直线系过定点 。若纵截距 ，该直线过 与 ，其方程为 ，而它正是直线系中 的系数部分，恒不属于本直线系，故 ；再结合 可取遍其余一切实数即得结论，与代数法互相印证。(3) 也可先由 直接解出两截距之积的绝对值为 ，思路相同。 【易错提醒】(2) 中 时直线与 轴平行、没有纵截距，必须先剔除；分离常数后误认为 可取一切实数、漏掉 是最常见错误。(3) 中去绝对值必须按 的符号分两类，只解平方展开的那一支而不讨论另一支，或求出 后不检验它落在对应区间内，都会扣分。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第41讲 直线的方程 第41讲 直线的方程 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练掌握斜率与倾斜角的互化，能处理倾斜角为锐角、钝角的两解问题与斜率范围问题； 2．掌握直线方程的五种形式及各自的适用范围，能根据条件选择恰当形式求方程并化为一般式； 3．会处理截距相等、截距成倍数与围成三角形面积最值的问题，能自觉分类过原点与斜率不存在两种情形； 4．会求含参直线恒过的定点，能解决定点直线与坐标轴围成图形的综合问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 斜率与倾斜角的互化 选择题、填空题 第6~8题／第13题 中档 先判锐角还是钝角，再算 ，留意两解 求直线的方程 选择题、填空题 第4~8题／第13题 中档 先判断斜率是否存在，再选点斜式或截距式 截距问题 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 必分过原点与非零两类，截距可正可负可为 含参直线过定点 选择题、填空题 第6~8题／第14题 中档 按参数整理，或取两个特殊值求交点后回代验证 截距与面积最值综合 解答题 第17~19题 中偏难 设 ，代入已知点后用基本不等式 命题规律分析 直线与方程是解析几何的语言基础，新高考中很少单独成大题，却处处埋伏：斜率与倾斜角的互化常出现在第6~8题，含参直线过定点、截距问题是第13~14题的高频素材，而过定点的直线与坐标轴围成三角形面积的最值，更是解答题第17~19题的常见开篇。本讲定位在基础之上抬一档：一要练熟倾斜角定范围、斜率定数值的双向转化，尤其留意锐角与钝角的两解；二要建立设截距式再用基本不等式求最值的固定套路；三要养成斜率是否存在、截距是否为 的自觉分类习惯。抓住这三条，本专题的分数可以全部拿满。 考点1 直线的倾斜角与斜率 知识点1 倾斜角与斜率的对应关系 倾斜角 的取值范围是 ； 时 ， 时斜率不存在。 为锐角时 ，为钝角时 ， 时 ； 越大（在 以内）直线越陡、斜率越大。 【易错清单】 1．已知 求斜率， 可能是锐角也可能是钝角，答案应为 ，只取正值是典型错误； 2．由 反求倾斜角时， 必须落在 内，不能取负角； 3．斜率不存在与斜率为 是两回事：前者倾斜角为 ，后者为 。 知识点2 斜率公式与三点共线 过 、（）的直线斜率 ； 时直线垂直于 轴，斜率不存在。 三点 、、 共线等价于 （斜率均存在时）；更稳妥的做法是先求直线 的方程，再检验点 是否满足。 【易错清单】 1．用斜率公式前先看两点横坐标是否相等，硬套公式会出现分母为 ； 2．判断三点共线时，若有两点横坐标相同，要单独判断是否同在一条竖直线上； 3．直线过点 与线段 相交，斜率夹在 与 之间；与直线 相交则是上述范围的补集，两者切勿混淆。 考点2 直线方程的形式与综合应用 知识点3 五种形式与适用范围 点斜式 与斜截式 都不能表示斜率不存在的直线；截距式 还要求 且 ；一般式 （、 不同时为 ）可表示任意直线。 由一般式读信息： 时 ，在 轴上的截距为 ； 时直线垂直于 轴。 【易错清单】 1．设点斜式、斜截式之前必须确认斜率存在，否则要单独补写 ； 2． 轴上的截距是 而不是 ，这个负号最易漏掉； 3．截距是交点的坐标值，可正可负可为 ，与距离不同，绝不能加绝对值。 知识点4 含参直线过定点与截距问题 含参直线按参数整理成 ，令 且 解出定点；也可取两个特殊参数值得两条直线，求交点后再回代验证。 处理两轴上截距相等或成倍数的问题，必须分过原点（两截距都为 ）与截距非零两类；求围成三角形面积最值时，用 代入已知点得关系，再用基本不等式。 【易错清单】 1．截距问题漏掉过原点的情形，是本专题第一失分点； 2．截距相等与截距的绝对值相等不是一回事，后者还要考虑一正一负； 3．用基本不等式求最值后必须检验等号能否取到，取不到时最值要用配方法另求。 【题型1 斜率与倾斜角（两解与范围）】 【例1】已知直线 的倾斜角为 ，且 ，则直线 的斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】已知直线 的倾斜角为 ，且 ，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知直线 的倾斜角为 ，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】已知直线 经过点 ，且与以 、 为端点的线段相交，则 的斜率 的取值范围是 ____________。 【题型2 由条件求直线方程（选形式、防漏解）】 【例2】经过点 且倾斜角为直线 的倾斜角的 倍的直线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】经过点 且倾斜角为 的直线方程为 ____________。 【变式2-2】已知直线 的倾斜角为 ，且 ，若 经过点 ，则 的方程为 ____________。 【变式2-3】已知直线 经过点 ，且与 轴、 轴分别交于点 、，若 为线段 的中点，则 的方程为 ____________。 【题型3 截距问题（分类过原点）】 【例3】经过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式3-1】经过点 且在 轴上的截距是在 轴上截距的 倍的直线方程为 ____________。 【变式3-2】已知直线 经过点 ，与 轴、 轴的正半轴分别交于 、 两点，则当 的面积最小时， 的方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知直线 在 轴、 轴上的截距分别为 、，且 ，，则 的方程为 ____________。 【题型4 含参直线过定点】 【例4】已知直线 ：（）。 (1) 证明：无论 取何值，直线 恒过定点，并求出该定点； (2) 若直线 在 轴上的截距为 ，求 的值。 【变式4-1】直线 （）恒过定点 ____________。 【变式4-2】直线 （）恒过定点（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】不论 取何实数，直线 恒过定点 ____________。 【题型5 三点共线与三角形中的直线】 【例5】已知 的三个顶点分别为 ，，。 (1) 求 边上的中线所在直线的方程； (2) 求 的面积。 【变式5-1】已知 ，， 三点共线，则 的值为 ____________。 【变式5-2】已知 ，，，则 的面积为 ____________。 【变式5-3】已知点 ，，点 在直线 上，且 、、 三点共线，则点 的坐标为 ____________。 【题型6 直线方程的综合应用（面积最值与多解）】 【例6】已知直线 过点 ，且与 轴、 轴的正半轴分别交于 、。 (1) 当 的面积最小时，求直线 的方程； (2) 若 的面积为 ，求直线 的方程。 【变式6-1】过点 作直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 、，若 的面积最小，则 的方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】过点 的直线与 轴、 轴的正半轴分别交于 、，则 的最小值为 ____________。 【变式6-3】已知直线 过点 ，与 轴、 轴的正半轴分别交于 、。 (1) 求 面积的最小值及此时 的方程； (2) 若 的面积为 ，求 的方程。 一、单选题 1．（★★）直线 经过两点 ，，则直线 的斜率为（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）直线 的倾斜角为（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）直线 的倾斜角为（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）经过点 且倾斜角为 的直线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知直线 的倾斜角为 ，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知直线 经过点 ，且与以 、 为端点的线段相交，则 的斜率 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知直线 与 平行（ 与 不重合），则过点 且与 垂直的直线在 轴上的截距为（　　） A．　B．　C．　D． 或 8．（★★★）已知点 ，，点 在直线 上，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于直线的倾斜角与斜率的说法中，正确的是（　　） A．任意一条直线都有倾斜角　B．任意一条直线都有斜率　C．若直线的倾斜角为锐角，则它的斜率大于 　D．若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行或重合 10．（★★）关于直线 ：，下列说法正确的是（　　） A． 的斜率为 　B． 的倾斜角为 　C． 在 轴上的截距为 　D． 在 轴上的截距为 11．（★★★）关于直线 ：（），下列说法正确的是（　　） A．直线 恒过定点 　B．当 时，直线 的倾斜角为 　C．当 时，直线 的斜率为 　D．直线 的斜率恒为负数 12．（★★★）已知直线 与 （），则下列说法正确的是（　　） A．当 时，直线 与 重合　B．直线 与 平行（不重合）的充要条件是 　C．无论 取何值，直线 恒过定点 　D．当 时，直线 的倾斜角为 三、填空题 13．（★★）经过点 且倾斜角为 的直线方程为 ____________。 14．（★★）经过点 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ____________。 15．（★★★）已知直线 的倾斜角为 ，且 ，则 的斜率为 ____________。 16．（★★★）已知直线 （）与两坐标轴围成的三角形的面积不小于 ，则实数 的取值范围是 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知直线 经过点 。 (1) 若 的倾斜角为 ，求 的方程； (2) 若 在 轴上的截距为 ，求 的方程。 18．（★★）已知直线 ：（）。 (1) 证明：直线 恒过定点，并求出该定点； (2) 若直线 在两坐标轴上的截距相等，求 的值。 19．（★★）已知 的三个顶点分别为 ，，。 (1) 求 边上的中线所在直线的方程； (2) 求 的面积。 20．（★★★）已知直线 过点 ，与 轴、 轴的正半轴分别交于 、。 (1) 求 面积的最小值及此时 的方程； (2) 若 的面积为 ，求 的方程。 21．（★★★）已知直线 ：（）。 (1) 证明：直线 恒过定点 ，并求出 的坐标； (2) 若 与 轴、 轴的正半轴分别交于 、，且 的面积为 ，求 的值。 22．（★★★）已知点 ，线段 的端点为 ，。 (1) 若过 的直线 与线段 相交，求 的斜率 的取值范围； (2) 若过 的直线 与直线 的交点在线段 上点 的一侧（不含端点），求 的取值范围。 23．（★★★）已知直线 ，点 ，。 (1) 求点 关于直线 的对称点 的坐标； (2) 在直线 上求一点 ，使 最小，并求出最小值； (3) 在直线 上求点 ，使 的面积为 。 24．（★★★）已知直线 （）。 (1) 证明：直线 恒过定点 ，并求出 的坐标； (2) 设直线 在 轴上的截距为 ，求 的取值范围； (3) 是否存在实数 ，使得直线 与两坐标轴围成的三角形的面积等于 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $