第42讲 两条直线的位置关系 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第42讲 两条直线的位置关系 第42讲 两条直线的位置关系 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握两条直线平行与垂直的判定条件，能在一般式下用系数直接判定并区别平行与重合； 2．会求两条直线的交点，掌握两点间距离、点到直线距离与两平行线间距离三个公式； 3．掌握点关于点、点关于直线的对称，会用中点条件与垂直条件求对称点与对称直线； 4．会用对称思想解决折线段之和的最值问题，体会坐标法与数形结合。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 平行与垂直的判定 选择题、填空题 第4~8题／第13题 中档 用 与 ，并排除重合 两直线的交点 选择题、填空题 第6~8题／第14题 中档 联立方程组，或用直线系方程避开求交点 点到直线的距离 选择题、填空题 第6~8题／第13~14题 中档 先化一般式，分子带绝对值，注意两解 两平行线间的距离 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 先把 、 的系数统一，再套公式 对称与距离最值 选择题、解答题 第8题／第11题／第17~19题 中偏难 同侧作对称、异侧直接连，最小值即两点间距离 命题规律分析 位置关系与距离是整个解析几何的计算底盘：平行垂直的判定常作为第6~8题的载体，点到直线的距离几乎每年都以参数形式出现在第13~14题，而对称与最值则是解答题第17~19题里的常客。本讲在基础之上抬一档：一是要求用一般式系数判定位置关系，绕开斜率是否存在的讨论，并强制自己排除重合；二是把三个距离公式用熟，特别是两平行线间距离必须先统一系数；三是掌握同侧作对称、异侧直接连的最值套路。这三条串起来，本专题就是稳定的得分点。 考点1 位置关系的判定与三个距离公式 知识点1 平行与垂直的判定 斜率都存在时： 且两直线不重合；。 一般式判定（不必讨论斜率是否存在）：； 且 。 【易错清单】 1．只由 或 就下结论，会把重合也算成平行，求出的参数必须代回检验； 2．一条直线斜率不存在时不能比斜率，应改看是否同为 常数的形式； 3． 只对两条斜率都存在的直线成立，竖直与水平两直线相乘无意义，但用 依然正确。 知识点2 交点与三个距离公式 两点间距离 ；点到直线距离 。 两平行线 与 的距离 ；过两直线交点的直线可设为 。 【易错清单】 1．用点到直线的距离公式前必须把方程化为一般式，且 、 要对齐，写成 直接代 是错的； 2．求平行线间距离前必须先把两式的 、 系数化成完全相同； 3．距离公式分子有绝对值，解方程时漏掉绝对值会整整少掉一个解。 考点2 对称问题与最值应用 知识点3 点关于点与点关于直线的对称 点 关于点 的对称点为 。 点关于直线 的对称点满足两个条件：连线与 垂直、中点在 上；特别地，关于 对称有 ，关于 对称有 。 【易错清单】 1．两个条件缺一不可，只写中点在直线上会得一条直线上的无数个点； 2． 的变换是 ，而 的变换是 ，两者极易记混，建议用中点与垂直两个条件现推； 3．求完对称点后养成回代检验的习惯：中点代入直线、斜率乘积为 。 知识点4 对称的应用与折线和的最值 折线和最小：两点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，连对称点与另一点，交点即为所求，最小值等于对称点到另一点的距离；两点异侧时直接连线即可。 直线关于点对称的直线与原直线平行，可用点到两直线距离相等求常数项；直线关于直线对称的直线，可在原直线上取两点分别作对称点后连线。 【易错清单】 1．不判断同侧异侧就盲目作对称，白算一大段；判断方法是把两点坐标代入 ，看两个值的符号； 2．对称轴斜率不存在或为 时不能套 的结论，回到两个基本条件； 3．求直线关于直线的对称直线时，若两直线相交，对称直线必过交点，可先取交点再取一个对称点，比取两个对称点快。 【题型1 平行与垂直的判定（含参、排重合）】 【例1】已知直线 ： 与直线 ： 平行，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式1-1】若直线 ： 与直线 ： 平行，则 的值为 ____________。 【变式1-2】已知直线 ： 与直线 ： 垂直，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】直线 ： 与直线 ： 的位置关系是 ____________。 【题型2 两直线的交点与直线系】 【例2】已知直线 ：，：。 (1) 求 与 的交点坐标； (2) 求过交点且与直线 ： 垂直的直线方程。 【变式2-1】求过直线 与 的交点，且与 轴平行的直线方程。 【变式2-2】已知直线 过两直线 与 的交点，且过点 ，则 的方程为 ____________。 【变式2-3】若三条直线 ，， 交于一点，则 的值为 ____________。 【题型3 点到直线的距离】 【例3】已知 的三个顶点分别为 ，，。 (1) 求点 到直线 的距离； (2) 求 的面积。 【变式3-1】点 到直线 的距离为 ____________。 【变式3-2】若点 到直线 的距离为 ，则 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【变式3-3】已知点 到直线 ： 的距离为 ，则 的值为 ____________。 【题型4 两平行线间的距离】 【例4】直线 与直线 之间的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】若直线 与直线 之间的距离为 ，则 的值为 ____________。 【变式4-2】已知直线 ：，：。 (1) 求 与 之间的距离； (2) 求与 平行且与 、 距离相等的直线方程。 【变式4-3】与直线 平行且距离为 的直线方程为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【题型5 对称问题（点与直线）】 【例5】已知点 ，直线 ：。 (1) 求点 关于直线 的对称点 的坐标； (2) 求直线 关于点 对称的直线 的方程。 【变式5-1】点 关于直线 的对称点坐标为 ____________。 【变式5-2】点 关于点 的对称点坐标为 ____________。 【变式5-3】点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 距离与对称的综合（折线和最值）】 【例6】已知点 ，，点 在 轴上。 (1) 求 的最小值； (2) 求此时点 的坐标。 【变式6-1】已知点 ，，点 在 轴上，则 的最小值为 ____________。 【变式6-2】已知点 ，，点 在 轴上。 (1) 求 的最小值； (2) 求此时点 的坐标。 【变式6-3】已知直线 ： 与点 、。 (1) 判断点 、 是否在直线 的同侧，并说明理由； (2) 在直线 上求一点 ，使 最小，并求最小值。 一、单选题 1．（★★）直线 与直线 的位置关系是（　　） A．平行　B．垂直　C．重合　D．相交但不垂直 2．（★★）直线 与直线 的位置关系是（　　） A．平行　B．垂直　C．重合　D．相交但不垂直 3．（★★）点 到直线 的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知直线 ： 与直线 ： 平行，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）点 与点 之间的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知直线 ： 与直线 ： 垂直，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知动直线 ：（ 为实数）恒过定点 ，点 关于直线 的对称点为 ，则 到原点的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）一束光线从点 出发，射到直线 上，经反射后经过点 ，则光线从 到 经过的最短路程为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于直线 ： 与 ：，下列说法正确的是（　　） A． 与 垂直　B． 的斜率为 　C． 在 轴上的截距为 　D．两直线的交点为 10．（★★）已知点 ，直线 ：，下列说法正确的是（　　） A．点 到直线 的距离为 　B．点 关于直线 的对称点为 　C．过点 且与 垂直的直线方程为 　D．过点 且与 平行的直线方程为 11．（★★★）已知直线 ：，：，下列说法正确的是（　　） A． 与 平行　B．两直线间的距离为 　C．与两直线距离相等的直线方程为 　D．过点 且与 垂直的直线方程为 12．（★★★）已知直线 ： 与直线 ：（ 为实数），下列说法正确的是（　　） A．当 时， 与 平行　B．若 与 平行，则 　C． 与 垂直的充要条件是 　D．当 时，两直线的交点为 三、填空题 13．（★★）点 到直线 的距离为 ____________。 14．（★★）直线 与直线 之间的距离为 ____________。 15．（★★★）点 关于直线 的对称点坐标为 ____________。 16．（★★★）已知点 ，直线 ：（ 为实数），若直线 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围是 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知直线 ：，：。 (1) 求 与 的交点坐标； (2) 求过交点且与直线 平行的直线方程。 18．（★★）已知 的三个顶点分别为 ，，。 (1) 求直线 的方程； (2) 求点 到直线 的距离及 的面积。 19．（★★）已知直线 ：，：。 (1) 求 与 之间的距离； (2) 求与 、 都平行，且到 的距离为 的直线方程。 20．（★★★）已知点 ，直线 ：。 (1) 求点 关于直线 的对称点 的坐标； (2) 求直线 关于点 对称的直线 的方程。 21．（★★★）已知点 ，，点 在 轴上。 (1) 求 的最小值； (2) 求此时点 的坐标。 22．（★★★）已知两条平行直线 ：，：。 (1) 求 与 之间的距离； (2) 求与 平行，且到 的距离是到 距离的 倍的直线方程。 23．（★★★）已知直线 ：，直线 ：，点 ，。 (1) 求点 关于 的对称点 及点 关于 的对称点 的坐标； (2) 设点 在 上，点 在 上， 求 的最小值；(3) 当 (2) 中的和取得最小值时，求直线 的方程。 24．（★★★）已知点 ，直线 ：，直线 ：。 (1) 求点 到直线 的距离，并写出过点 且与 平行的直线方程； (2) 过点 的直线 与 交于点 ，与 交于点 ， 若 为线段 的中点，求直线 的方程； (3) 是否存在过点 的直线 ，使 与 交于点 ， 与 交于点 ，且 ？ 若存在，求出所有符合条件的直线 的方程；若不存在，请说明理由。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第42讲 两条直线的位置关系 第42讲 两条直线的位置关系 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握两条直线平行与垂直的判定条件，能在一般式下用系数直接判定并区别平行与重合； 2．会求两条直线的交点，掌握两点间距离、点到直线距离与两平行线间距离三个公式； 3．掌握点关于点、点关于直线的对称，会用中点条件与垂直条件求对称点与对称直线； 4．会用对称思想解决折线段之和的最值问题，体会坐标法与数形结合。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 平行与垂直的判定 选择题、填空题 第4~8题／第13题 中档 用 与 ，并排除重合 两直线的交点 选择题、填空题 第6~8题／第14题 中档 联立方程组，或用直线系方程避开求交点 点到直线的距离 选择题、填空题 第6~8题／第13~14题 中档 先化一般式，分子带绝对值，注意两解 两平行线间的距离 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 先把 、 的系数统一，再套公式 对称与距离最值 选择题、解答题 第8题／第11题／第17~19题 中偏难 同侧作对称、异侧直接连，最小值即两点间距离 命题规律分析 位置关系与距离是整个解析几何的计算底盘：平行垂直的判定常作为第6~8题的载体，点到直线的距离几乎每年都以参数形式出现在第13~14题，而对称与最值则是解答题第17~19题里的常客。本讲在基础之上抬一档：一是要求用一般式系数判定位置关系，绕开斜率是否存在的讨论，并强制自己排除重合；二是把三个距离公式用熟，特别是两平行线间距离必须先统一系数；三是掌握同侧作对称、异侧直接连的最值套路。这三条串起来，本专题就是稳定的得分点。 考点1 位置关系的判定与三个距离公式 知识点1 平行与垂直的判定 斜率都存在时： 且两直线不重合；。 一般式判定（不必讨论斜率是否存在）：； 且 。 【易错清单】 1．只由 或 就下结论，会把重合也算成平行，求出的参数必须代回检验； 2．一条直线斜率不存在时不能比斜率，应改看是否同为 常数的形式； 3． 只对两条斜率都存在的直线成立，竖直与水平两直线相乘无意义，但用 依然正确。 知识点2 交点与三个距离公式 两点间距离 ；点到直线距离 。 两平行线 与 的距离 ；过两直线交点的直线可设为 。 【易错清单】 1．用点到直线的距离公式前必须把方程化为一般式，且 、 要对齐，写成 直接代 是错的； 2．求平行线间距离前必须先把两式的 、 系数化成完全相同； 3．距离公式分子有绝对值，解方程时漏掉绝对值会整整少掉一个解。 考点2 对称问题与最值应用 知识点3 点关于点与点关于直线的对称 点 关于点 的对称点为 。 点关于直线 的对称点满足两个条件：连线与 垂直、中点在 上；特别地，关于 对称有 ，关于 对称有 。 【易错清单】 1．两个条件缺一不可，只写中点在直线上会得一条直线上的无数个点； 2． 的变换是 ，而 的变换是 ，两者极易记混，建议用中点与垂直两个条件现推； 3．求完对称点后养成回代检验的习惯：中点代入直线、斜率乘积为 。 知识点4 对称的应用与折线和的最值 折线和最小：两点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，连对称点与另一点，交点即为所求，最小值等于对称点到另一点的距离；两点异侧时直接连线即可。 直线关于点对称的直线与原直线平行，可用点到两直线距离相等求常数项；直线关于直线对称的直线，可在原直线上取两点分别作对称点后连线。 【易错清单】 1．不判断同侧异侧就盲目作对称，白算一大段；判断方法是把两点坐标代入 ，看两个值的符号； 2．对称轴斜率不存在或为 时不能套 的结论，回到两个基本条件； 3．求直线关于直线的对称直线时，若两直线相交，对称直线必过交点，可先取交点再取一个对称点，比取两个对称点快。 【题型1 平行与垂直的判定（含参、排重合）】 【例1】已知直线 ： 与直线 ： 平行，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】B 【解题思路】先用 求出候选值，再逐一代回排除重合。 【解答过程】由两直线平行得 ，即 ， 整理得 ，解得 或 。 ① 当 时，： 即 ， ：，两直线重合，不合题意； ② 当 时，： 即 ， ：，两直线平行且不重合，符合题意。 故 。故选B。 【多解·巧解】也可以用斜率： 的斜率为 ， 的斜率为 ，令二者相等得 ，同样解出 或 ，最后仍需代回排除重合。一般式的判定式 不需要讨论斜率是否存在，遇到含参题更保险，建议作为首选。 【易错提醒】只做系数判定就选C，是本题的命门。凡是题目说平行，求出参数后一定要代回原方程看两条直线是否真的一致，常数项成比例就是重合，必须舍去。 【变式1-1】若直线 ： 与直线 ： 平行，则 的值为 ____________。 【答案】 【解题思路】由 求候选值，再排除重合。 【解答过程】由 得 ，解得 或 。 当 时，：，：，重合，舍去； 当 时，：，：，即 ，平行且不重合，符合。 故 。 【变式1-2】已知直线 ： 与直线 ： 垂直，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直接用 ，不必讨论斜率。 【解答过程】由垂直条件得 ， 即 ，解得 。故选A。 【变式1-3】直线 ： 与直线 ： 的位置关系是 ____________。 【答案】垂直 【解题思路】比较斜率之积，或用 判定。 【解答过程】方法一：，，，故两直线垂直。 方法二：，故两直线垂直。 【题型2 两直线的交点与直线系】 【例2】已知直线 ：，：。 (1) 求 与 的交点坐标； (2) 求过交点且与直线 ： 垂直的直线方程。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 联立解二元一次方程组；(2) 由 的斜率定垂线斜率，再用点斜式。 【解答过程】(1) 联立 ， 由第一式得 ，代入第二式得 ， 即 ，解得 ，代回得 ，故交点为 。 (2) 直线 的斜率为 ，故所求直线的斜率为 。 由点斜式得 ，整理得 。 【多解·巧解】第 (2) 问可以完全不求交点：设所求直线为 ， 即 ，它必过两直线交点。 由它与 垂直得 ，解得 ， 代回得 ，即 。凡是与交点有关的直线，优先考虑直线系，可省掉一次解方程组。 【易错提醒】第 (2) 问中垂直直线的斜率是 而不是 ，负号写丢最可惜；另外点斜式里用的是交点 ，若把 、 写反，得到的方程会把交点位置搞错。 【变式2-1】求过直线 与 的交点，且与 轴平行的直线方程。 【答案】 【解题思路】先求交点，再写水平线。 【解答过程】联立 ，两式相加得 ，即 ，代回得 ，交点为 。 与 轴平行的直线斜率为 ，故所求直线为 。 【变式2-2】已知直线 过两直线 与 的交点，且过点 ，则 的方程为 ____________。 【答案】 【解题思路】先求交点，再用两点式。 【解答过程】联立 ，两式相加得 ，即 ，代回得 ，交点为 。 直线过 与 ，斜率 ， 故 的方程为 ，即 。 【变式2-3】若三条直线 ，， 交于一点，则 的值为 ____________。 【答案】 【解题思路】先求前两条直线的交点，再代入第三条。 【解答过程】联立 ，两式相加得 ，即 ，代回得 ，交点为 。 把 代入 得 ，解得 。 【题型3 点到直线的距离】 【例3】已知 的三个顶点分别为 ，，。 (1) 求点 到直线 的距离； (2) 求 的面积。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 先写出直线 的一般式，再套距离公式；(2) 用底乘高。 【解答过程】(1) ，直线 的方程为 ， 整理得 。 点 到直线 的距离 。 (2) ， 故 。 【多解·巧解】求面积不一定要先求高，坐标面积公式更快： ， 代入得 ，一行出结果。 题目只问面积时优先用公式，问高时才老老实实算距离。 【易错提醒】把直线 写成 时，常数项 最容易算错；若写成 就去代公式，会把 当成 而得到分子为 。距离公式只对一般式 成立，右侧必须为 。 【变式3-1】点 到直线 的距离为 ____________。 【答案】 【解题思路】直接套点到直线的距离公式。 【解答过程】。 【变式3-2】若点 到直线 的距离为 ，则 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 【解题思路】代入距离公式解绝对值方程，注意两个解。 【解答过程】由 得 ， 解得 或 。故选C。 【变式3-3】已知点 到直线 ： 的距离为 ，则 的值为 ____________。 【答案】 【解题思路】代入距离公式后两边平方，解关于 的方程。 【解答过程】由 得 ， 两边平方得 ，即 ，解得 。 【题型4 两平行线间的距离】 【例4】直线 与直线 之间的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先把两式的 、 系数统一，再用平行线间距离公式。 【解答过程】把 两边乘 得 ，此时两直线系数已统一。 。故选A。 【多解·巧解】还有一条更常用的路：在其中一条直线上任取一点，求它到另一条直线的距离。例如在 上取点 不太好看；改取 得 ，即点 ，它到 的距离为 。 取点法只需记住一个公式，不必先统一系数，在心算时更快。 【易错提醒】直接用 就会错选C——分母用了第一条的系数、分子却用了未统一的常数项。口诀是先统一系数，再套公式。 【变式4-1】若直线 与直线 之间的距离为 ，则 的值为 ____________。 【答案】 或 【解题思路】统一系数后列绝对值方程。 【解答过程】把 乘 得 。 由 得 ， 即 ，解得 或 。 【变式4-2】已知直线 ：，：。 (1) 求 与 之间的距离； (2) 求与 平行且与 、 距离相等的直线方程。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 直接套公式；(2) 设 ，令它到两直线的距离相等。 【解答过程】(1) 。 (2) 设所求直线为 ， 它到 的距离为 ，到 的距离为 。 令二者相等得 ，解得 。 故所求直线为 。 【变式4-3】与直线 平行且距离为 的直线方程为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 【解题思路】设 ，用距离公式解绝对值方程。 【解答过程】设所求直线为 ，由 得 ， 解得 或 。 故所求直线为 或 。故选C。 【题型5 对称问题（点与直线）】 【例5】已知点 ，直线 ：。 (1) 求点 关于直线 的对称点 的坐标； (2) 求直线 关于点 对称的直线 的方程。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用中点在直线上、连线与直线垂直两个条件；(2) 对称直线与原直线平行，用距离相等定常数项。 【解答过程】(1) 设 。 由 得 ，即 ； 由 的中点 在 上得 ，即 。 联立解得 ，，故 。 (2) 与 平行，设 ：。 点 到 的距离为 ，点 到 的距离也应为 ， 即 ，得 。 解得 （即原直线，舍去）或 ，故 ：。 【多解·巧解】第 (1) 问当对称轴形如 时可以直接代换，更快：关于 对称的变换是 。 本题 即 ，故 ，一步到位。同理关于 对称的变换是 ，这两个结论值得背下来。 【易错提醒】第 (2) 问求出的 正好是原直线，必须舍去；只写 说明没有理解对称直线在点的另一侧。另外第 (1) 问若只列中点在直线上这一个条件，会解出无穷多组 ，垂直条件与中点条件必须同时使用。 【变式5-1】点 关于直线 的对称点坐标为 ____________。 【答案】 【解题思路】直线即 ，用 直接代换。 【解答过程】直线为 ，关于它的对称变换为 。 故 的对称点为 。 检验：中点 满足 ，连线斜率为 ，与对称轴斜率 垂直。 【变式5-2】点 关于点 的对称点坐标为 ____________。 【答案】 【解题思路】关于点对称用中点公式反求。 【解答过程】设对称点为 ，则 ，， 解得 ，，故对称点为 。 【变式5-3】点 关于直线 的对称点坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】关于 对称即交换横纵坐标。 【解答过程】关于 对称的变换为 ，故 的对称点为 。故选A。 【题型6 距离与对称的综合（折线和最值）】 【例6】已知点 ，，点 在 轴上。 (1) 求 的最小值； (2) 求此时点 的坐标。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】两点在 轴同侧，作 关于 轴的对称点 ，连 与 轴相交即为所求。 【解答过程】、 的纵坐标都为正，在 轴同侧。 作 关于 轴的对称点 。 (1) 由对称性 ，故 ， 当 、、 三点共线时取等号， 最小值为 。 (2) 直线 的斜率 ， 方程为 ，即 。 令 得 ，故 。 【多解·巧解】这类题的口诀是同侧作对称、异侧直接连。判断同侧还是异侧，把两点坐标代入直线一般式 看符号即可，同号即同侧。 若坚持用代数法，设 后要对 求最小值，计算量极大，考场上得不偿失。 【易错提醒】不作对称就直接连 ，会得到 为直线 与 轴的交点，但那个点根本不在线段 上（、 同在 轴上方），最小值也就不可能取到。取到最小值的点必须落在相应的线段上，这一点要回看一眼。 【变式6-1】已知点 ，，点 在 轴上，则 的最小值为 ____________。 【答案】 【解题思路】作 关于 轴的对称点，最小值即对称点到 的距离。 【解答过程】 关于 轴的对称点为 。 最小值为 。 【变式6-2】已知点 ，，点 在 轴上。 (1) 求 的最小值； (2) 求此时点 的坐标。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】两点都在 轴右侧，作 关于 轴的对称点 ，连 。 【解答过程】作 关于 轴的对称点 。 (1) 最小值为 。 (2) 直线 的斜率 ， 方程为 ，即 。 令 得 ，故 。 【变式6-3】已知直线 ： 与点 、。 (1) 判断点 、 是否在直线 的同侧，并说明理由； (2) 在直线 上求一点 ，使 最小，并求最小值。 【答案】(1) 异侧； (2) ，最小值为 。 【解题思路】把两点代入 看符号；异侧时直接连 ，交点即所求。 【解答过程】(1) 把 代入 得 ，把 代入得 ， 两值异号，故 、 在直线 的异侧。 (2) 异侧时不需要作对称，直接连 ，它与 的交点即为所求。 直线 过 、，方程为 。 联立 得 ，故 。 最小值为 。 一、单选题 1．（★★）直线 与直线 的位置关系是（　　） A．平行　B．垂直　C．重合　D．相交但不垂直 【答案】A 【解题思路】比较斜率与常数项。 【解答过程】两直线斜率都为 ；把第二条化为 ，与第一条 常数项不同，故平行不重合。故选A。 2．（★★）直线 与直线 的位置关系是（　　） A．平行　B．垂直　C．重合　D．相交但不垂直 【答案】B 【解题思路】用 判定垂直。 【解答过程】，故两直线垂直。故选B。 3．（★★）点 到直线 的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直接套点到直线的距离公式。 【解答过程】。故选A。 4．（★★）已知直线 ： 与直线 ： 平行，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由 求参数，再排除重合。 【解答过程】由 得 。 检验： 时 ：， 化为 ，平行且不重合。故选B。 5．（★★）点 与点 之间的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】套两点间距离公式。 【解答过程】。故选B。 6．（★★★）已知直线 ： 与直线 ： 垂直，则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用 列方程。 【解答过程】由 得 ，解得 。故选A。 7．（★★★）已知动直线 ：（ 为实数）恒过定点 ，点 关于直线 的对称点为 ，则 到原点的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】把方程按 整理成 得定点，再用垂直与中点两个条件求对称点，最后套两点间距离公式。 【解答过程】把 的方程按 整理：。 由 恒过定点 ，知 的坐标与 无关， 即 ， 两式相减得 ，故 ，代回得 ，即 。 设 。对称轴 的斜率为 ， 故 的斜率为 ，即 ，得 ； 的中点 在对称轴上， 即 ，得 。 联立解得 ，故 。 所以 到原点的距离为 。故选C。 8．（★★★）一束光线从点 出发，射到直线 上，经反射后经过点 ，则光线从 到 经过的最短路程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两点在反射面同侧，作 关于 的对称点 ，最短路程即 。 【解答过程】把 、 分别代入 ，值都是 ，两点在反射面同侧。 设 。由 与对称轴垂直，对称轴斜率为 ， 故 ，得 ； 由中点 在 上， 得 ，即 。 联立解得 ，，故 。 由入射角等于反射角，光路 中 ， 故 ， 当 为 与 的交点时取等号。 最短路程为 。故选A。 二、多选题 9．（★★）关于直线 ： 与 ：，下列说法正确的是（　　） A． 与 垂直　B． 的斜率为 　C． 在 轴上的截距为 　D．两直线的交点为 【答案】ABC 【解题思路】逐项核对垂直判定、斜率、截距与交点。 【解答过程】A 中 ，两直线垂直，正确； B 中 化为 ，斜率为 ，正确； C 中 化为 ，在 轴上的截距为 ，正确； D 中联立两式解得 ，，交点为 ，错误。故选ABC。 10．（★★）已知点 ，直线 ：，下列说法正确的是（　　） A．点 到直线 的距离为 　B．点 关于直线 的对称点为 　C．过点 且与 垂直的直线方程为 　D．过点 且与 平行的直线方程为 【答案】ABC 【解题思路】逐项算距离、对称点与平行垂直直线。 【解答过程】A 中 ，正确； B 中直线为 ，对称变换为 ，得对称点 ，正确； C 中 的斜率为 ，垂线斜率为 ，过 得 ，正确； D 中与 平行且过 的直线为 ，即 ，错误。故选ABC。 11．（★★★）已知直线 ：，：，下列说法正确的是（　　） A． 与 平行　B．两直线间的距离为 　C．与两直线距离相等的直线方程为 　D．过点 且与 垂直的直线方程为 【答案】ABD 【解题思路】逐项判定平行、算距离、求中位直线与垂线。 【解答过程】A 中两直线 、 系数成比例且常数项不同，平行，正确； B 中 ，正确； C 中设 ，令 得 ，应为 ，错误； D 中 斜率为 ，垂线斜率为 ，过 得 ，即 ，正确。故选ABD。 12．（★★★）已知直线 ： 与直线 ：（ 为实数），下列说法正确的是（　　） A．当 时， 与 平行　B．若 与 平行，则 　C． 与 垂直的充要条件是 　D．当 时，两直线的交点为 【答案】BCD 【解题思路】平行先由系数关系求出 或 ，再逐一代回排除重合；垂直用 ；交点直接联立。 【解答过程】A 中把 代入： 为 ，即 ； 为 ，两直线重合而非平行，错误； B 中由 得 ， 即 ，解得 或 ； 时重合（见 A），舍去； 时 ：，：， 平行且不重合，正确； C 中由 得 ， 即 ，解得 ，解唯一，故为充要条件，正确； D 中 时 ： 即 ，：， 代入得 ，交点为 ，正确。 故选BCD。 三、填空题 13．（★★）点 到直线 的距离为 ____________。 【答案】 【解题思路】直接套点到直线的距离公式。 【解答过程】。 14．（★★）直线 与直线 之间的距离为 ____________。 【答案】 【解题思路】先统一系数，再套平行线间距离公式。 【解答过程】把 化为 。 。 15．（★★★）点 关于直线 的对称点坐标为 ____________。 【答案】 【解题思路】直线即 ，用 代换。 【解答过程】直线为 ，关于它的对称变换为 。 故 的对称点为 。 检验：中点为 ，满足 ；连线斜率为 ，与对称轴垂直。 16．（★★★）已知点 ，直线 ：（ 为实数），若直线 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围是 ____________。 【答案】 或 【解题思路】把存在性条件等价转化为“点 到直线 的距离小于 ”，列出含参不等式后平方求解。 【解答过程】先作等价转化：若点 到 的距离 ，取垂足附近的点即满足 ；反之若 ， 则 上任一点到 的距离都不小于 。故条件等价于 。 。由 ，两边均非负，平方得 ， 展开得 ， 整理得 ，即 ， 解得 或 。 四、解答题 17．（★★）已知直线 ：，：。 (1) 求 与 的交点坐标； (2) 求过交点且与直线 平行的直线方程。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 联立解方程组；(2) 设 ，代入交点定 。 【解答过程】(1) 联立 ，两式相加得 ，即 ，代回得 ，交点为 。 (2) 设所求直线为 ，代入 得 ，即 。 故所求直线为 。 【多解·巧解】(2) 也可以直接用直线系：设所求直线为 ， 即 ，由它与 平行得 ，解得 ，代回整理得 。不过本题交点很简单，直接求交点反而更快，方法要按题目灵活选。 【易错提醒】(2) 中设 后，代入交点时是 ，容易漏掉 项的 而写成 ，得到 的错误答案。代入点坐标时横坐标、纵坐标都要代。 18．（★★）已知 的三个顶点分别为 ，，。 (1) 求直线 的方程； (2) 求点 到直线 的距离及 的面积。 【答案】(1) ； (2) 距离为 ，面积为 。 【解题思路】(1) 两点式；(2) 先求距离再求 ，用底乘高算面积。 【解答过程】(1) ，又直线过原点，故方程为 ，即 。 (2) 点 到直线 的距离 。 ， 故 。 【多解·巧解】面积还可以用坐标面积公式直接算： ， 不必开根号，也不必求高。当题目涉及两条线段长度时，先算面积、再用 反求高，往往比直接代距离公式更不容易出错。 【易错提醒】直线 过原点，写成 时常数项为 ，若误写成 之类，距离就全错了。另外分母是 ，不要写成 或漏掉平方。 19．（★★）已知直线 ：，：。 (1) 求 与 之间的距离； (2) 求与 、 都平行，且到 的距离为 的直线方程。 【答案】(1) ； (2) 或 。 【解题思路】(1) 直接套公式；(2) 设 ，解绝对值方程，注意两解。 【解答过程】(1) 。 (2) 设所求直线为 ，它到 ： 的距离为 。 由 得 ，解得 或 。 故所求直线为 或 。 【多解·巧解】画出三条直线的位置关系会更清楚： 的那条在 与 正中间， 的那条在 的另一侧。 遇到平行线束的问题，把各直线按常数项从小到大排成一列，距离关系就一目了然，比反复列方程可靠。 【易错提醒】只解出 就收笔，漏掉 ，是绝对值方程最典型的失分。检验方法：把求得的直线代回，看它到 的距离是否真的等于 ，两条都应满足。 20．（★★★）已知点 ，直线 ：。 (1) 求点 关于直线 的对称点 的坐标； (2) 求直线 关于点 对称的直线 的方程。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用中点在直线上、连线与直线垂直两条件；(2) 对称直线平行于原直线，用距离相等定常数项。 【解答过程】(1) 设 。 直线 的斜率为 ，故 的斜率为 ，即 ，得 ； 中点 在 上，即 ，得 。 联立解得 ，，故 。 (2) 设 ：。点 到 的距离为 ， 由对称性，点 到 的距离也为 ，即 ， 得 ，解得 （原直线，舍去）或 。 故 ：。 【多解·巧解】(1) 中直线是 ，可直接用变换 ，得 ，一步出结果。 (2) 还有更快的写法：设 为 ，因为点 是两条平行线的中位点，所以 到两直线的有向距离互为相反数，即 ，解得 ，不必解绝对值方程。 【易错提醒】(2) 中解出 时必须舍去——它就是原直线 ，说明另一侧的那条才是答案。另外第 (1) 问求对称点时，若把垂直条件写成斜率为 （与原直线同斜率），两条直线就平行了，联立会无解，发现无解应及时回头检查斜率。 21．（★★★）已知点 ，，点 在 轴上。 (1) 求 的最小值； (2) 求此时点 的坐标。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】两点在 轴同侧，作 的对称点 ，连 交 轴于 。 【解答过程】(1) 、 纵坐标都为正，在 轴同侧。作 关于 轴的对称点 。 ， 最小值为 。 (2) 直线 的斜率 ， 方程为 ，即 。 令 得 ，故 。 【多解·巧解】这个模型的本质是把折线拉直： 是折线 的长度，把 翻到另一侧后，折线就变成了直线段 。 凡是看到轴上（或直线上）一点到两个定点的距离和最小，第一反应就应是翻折，而不是设坐标求导。 【易错提醒】求得 后要确认它确实在 轴上（），并且位于线段 上——本题 介于 与 之间，满足条件。若交点落在线段外，说明最小值另有取法，需要重新判断。 22．（★★★）已知两条平行直线 ：，：。 (1) 求 与 之间的距离； (2) 求与 平行，且到 的距离是到 距离的 倍的直线方程。 【答案】(1) ； (2) 或 。 【解题思路】(1) 套平行线间距离公式；(2) 设 ，按绝对值分两种情况。 【解答过程】(1) 。 (2) 设所求直线为 ， 它到 的距离为 ，到 的距离为 。 由 分两种情况： ① ，解得 ，直线为 ； ② ，解得 ，直线为 。 【多解·巧解】先在数轴上标出三条直线的常数项：（）、（）。所求直线的 要么在两者之间（距 是距 的 倍，即把区间三等分中靠近 的分点），要么在 的外侧。 用分点公式做：内分点 … 注意这里比例要按距离反比分配，最稳妥的还是老老实实解绝对值方程。 【易错提醒】解 时只写一种情况，会漏掉一条直线。绝对值方程 等价于 或 ，两种情况都要算；算出后还要代回检验距离之比是否真的为 。 23．（★★★）已知直线 ：，直线 ：，点 ，。 (1) 求点 关于 的对称点 及点 关于 的对称点 的坐标； (2) 设点 在 上，点 在 上， 求 的最小值；(3) 当 (2) 中的和取得最小值时，求直线 的方程。 【答案】(1) ，； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 用中点加垂直两个条件求对称点；(2) 两次对称把三段折线拉直成 ；(3) 取等号时 、、、 共线， 即直线 。 【解答过程】(1) 设 。 的斜率为 ，故 的斜率为 ， 即 ，得 ； 的中点 在 上， 即 ，得 。 联立解得 ，，故 。 同理设 。 的斜率为 ，故 的斜率为 ， 即 ，得 ； 的中点在 上， 即 ，得 。 联立解得 ，，故 。 (2) 由对称性 ， ，代入得 ，当且仅当 、、、 依次共线时取等号。 最小值为 。(3) 直线 的斜率 ， 方程为 ，即 。 与 ： 联立，两式相减得 ， 故 ，，即 ； 与 ： 联立，两式相减得 ， 故 ，，即 。 两交点的横坐标满足 ， 即 、 都落在线段 上，等号可以取到。 故直线 的方程为 。 【多解·巧解】本题是“两次对称拉直折线”模型：动点分别在两条定直线上时，把两个定点分别关于各自所在的直线作对称，三段和的最小值就是两对称点间的距离。第 (1) 问也可用代换公式提速：关于 对称有 ，关于 对称有 ，一步得到 与 。 【易错提醒】第 (2) 问使用三角不等式取等前，必须确认直线 与 、 的交点都落在线段 上，否则等号取不到，最小值就不是 ；本题已验证成立。第 (3) 问不要先分别求 、 再用两点式求直线——由共线关系直接得 与 重合，联立即得，计算量小得多。另外注意 与 相交于 ，并非平行。 24．（★★★）已知点 ，直线 ：，直线 ：。 (1) 求点 到直线 的距离，并写出过点 且与 平行的直线方程； (2) 过点 的直线 与 交于点 ，与 交于点 ， 若 为线段 的中点，求直线 的方程； (3) 是否存在过点 的直线 ，使 与 交于点 ， 与 交于点 ，且 ？ 若存在，求出所有符合条件的直线 的方程；若不存在，请说明理由。 【答案】(1) 距离为 ，平行直线为 ； (2) ； (3) 存在，： 或 。 【解题思路】(2) 设 在 上用参数表示，由中点公式写出 ，再令 满足 ；(3) 由三点共线与长度之比得 或 ，按同侧、异侧分两类求解。 【解答过程】(1) 点 到 的距离 。设与 平行的直线为 ， 代入 得 ，即 ， 故所求平行直线为 。 (2) 设 （ 在 上）。 由 为 的中点得 。把 代入 ：， 两边乘 得 ，即 ，解得 。 故 ， 直线 的斜率 ， 方程为 ，即 。 (3) 设 （ 在 上）。 由 、、 共线且 ，分两类： 情形一： 与 在 同侧， 则 。 代入 ：，即 ，解得 。 此时 ， 直线 的斜率 ， 方程为 ，即 ； 情形二： 与 在 异侧， 则 。 代入 ：，即 ，解得 。 此时 ， 直线 的斜率 ， 方程为 ，即 。 检验：情形一中 满足 ， 情形二中 满足 ， 且两条直线的斜率都不是 或 ，与 、 都相交，均可取到。 故存在，： 或 。 【多解·巧解】第 (3) 问的本质是以 为中心的伸缩变换：把 代入 上的参数点，令其在 上即可，同侧、异侧各得一条直线。求出两条直线后可代入 快速自检：，。另外第 (2) 问也可设 的斜率 ，分别与 、 联立求横坐标后用中点横坐标为 列方程，但设点法只引入一个未知数，计算量更小——谁在已知直线上就设谁。 【易错提醒】第 (3) 问最容易漏掉异侧情形：由共线与 应得 或 ，只写前一种会丢掉直线 ，两解都要保留。第 (2) 问中点公式的方向不能反：由 是 的中点应得 ，若误写成 会把两个坐标同时弄反。求出 后，务必把 、 分别代回 、 检验一遍再写直线方程。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $