第46讲 抛物线 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第46讲 抛物线 第46讲 抛物线 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练掌握抛物线的定义与四种标准方程，能由焦点、准线或已知点求方程； 2．会用定义把"到焦点的距离"与"到准线的距离"互化，掌握焦半径公式； 3．掌握焦点弦的性质：、、； 4．会求 型最小值与 型最大值，会用联立韦达定理处理弦长、中点与定点定值问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 定义与标准方程 选择题、填空题 第5~6题、第12题 易 先定开口方向，再用 定位焦点 焦半径 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中 到焦点的距离一律换成横坐标（纵坐标）加 焦点弦 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 用 与 距离和最小、差最大 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 化折为直与三角形不等式两手准备 弦长、中点与定值 解答题 第17~20题 中偏难 设 可含竖直直线，联立后用韦达定理 命题规律分析 抛物线在新高考中多落在选择题第5~8题、填空题第12~14题，也常作为解答题的第一问或第二问出现。基础档考焦点、准线与标准方程，属必得分；培优档集中在三个方向：一是定义转化——把"到焦点的距离"换成"到准线的距离"，从而把距离和最小问题化折为直；二是焦点弦的三条性质（弦长公式、两根之积、倒数和为 ），它们能把繁杂的联立化简为一步代入；三是直线与抛物线联立后的弦长、中点与定点定值问题，考的是韦达定理的熟练度。本讲的目标是：定义转化形成条件反射，焦点弦性质脱口而出，联立运算不出低级错误。 考点1 抛物线的定义与标准方程 知识点1 定义 平面内到一个定点 和一条定直线 （ 不在 上）距离相等的点的轨迹叫抛物线，即 。 这条定义是本专题的总钥匙：凡出现"到焦点的距离"，都可换成"到准线的距离"，从而把距离问题转化为横坐标（或纵坐标）的一次式。 【易错清单】 1． 是焦点到准线的距离，焦点的坐标是 而不是 ； 2．抛物线的离心率恒为 ，与椭圆（）、双曲线（）不同。 知识点2 四种标准方程 （开口向右，焦点 ，准线 ）；（开口向左，焦点 ，准线 ）。 （开口向上，焦点 ，准线 ）；（开口向下，焦点 ，准线 ）。 【易错清单】 1．方程中一次项系数是 而不是 ： 中 ，故 、； 2．对称轴是 轴则方程形如 ，是 轴则形如 ，一次项是哪个字母，对称轴就是哪条轴； 3．开口方向由一次项的符号决定，且必须与已知点的坐标符号相容。 考点2 焦半径与焦点弦 知识点3 焦半径 对 （），点 的焦半径为 ；对 ，为 。 它就是定义式的代数写法：。开口相反时把加号改为减号。 【易错清单】 1．别把 写成 ； 2．开口向左（）时焦半径为 ，符号随开口方向改变。 知识点4 焦点弦 对 （），过焦点的弦 满足 、、。 倒数和结论：；通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为 ，是过焦点的最短弦。 【易错清单】 1．三条性质的 都是标准方程中的 ，不是一次项系数； 2． 只在 在线段 上时成立，焦点弦满足这一点，一般的弦不满足。 考点3 最值问题与常用结论 知识点5 与焦半径有关的最值 的最小值：把 换成 。若 在抛物线内部，最小值为 ；若 在抛物线外部，最小值为 。 的最大值：由三角形不等式 ，等号当 在线段 上时成立。 【易错清单】 1．判断 的内外：把 代入 ，小于 为内、大于 为外（等于 在曲线上）； 2．"和最小"与"差最大"是两类不同的问题，不能互相套用结论； 3．取到最值时的点 必须真的在抛物线上，要说明取等条件。 知识点6 两个常用技巧 设线技巧：过 轴上一点 的直线设为 ，可以包含斜率不存在的竖直直线，避免漏解；过焦点时设为 。 设点技巧：抛物线 上的点可设为 ，把双变量化为单变量，运算量骤减。 【易错清单】 1．设 时，水平直线（）对应 不存在，需单独说明； 2．设点后用 表示条件时，别忘记两点重合或其中一点为原点的退化情形要舍去。 【题型1 定义的应用（到焦点的距离化为到准线的距离）】 【例1】已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，则点 的横坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，则点 的横坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知抛物线 上一点到焦点的距离为 ，则该点的纵坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】抛物线 （）上一点 到准线的距离为 ，到 轴的距离为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 求抛物线的标准方程】 【例2】已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，焦点在直线 上，求该抛物线的标准方程。 【变式2-1】顶点在原点、准线方程为 的抛物线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】顶点在原点、焦点为 的抛物线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】顶点在原点、对称轴为 轴且过点 的抛物线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 焦半径】 【例3】已知抛物线 的焦点为 ，、、 是抛物线上的三点，若 、、 成等差数列，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上且 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】抛物线 （）上三点 、、 的横坐标成等差数列，则它们到焦点的距离（　　） A．成等差数列　B．成等比数列　C．都相等　D．无确定规律 【变式3-3】已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上且 ，则点 的纵坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 焦点弦】 【例4】过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线，交抛物线于 、 两点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】过抛物线 焦点的直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】抛物线 （）的通径长为 ，则其焦点到准线的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 、 两点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 最值问题（和最小、差最大）】 【例5】已知抛物线 的焦点为 ，点 为定点， 为抛物线上的动点，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线外部， 为抛物线上的动点，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】抛物线 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 、 两点，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 直线与抛物线的综合（弦长、中点、定点）】 【例6】已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 、 两点。 (1) 若直线 的倾斜角为 ，求 ； (2) 若 ，求线段 的中点到准线的距离。 【变式6-1】已知抛物线 的一条弦 的中点为 ，则直线 的方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】若直线 与抛物线 相切，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知直线 与抛物线 交于两个不同的点 、，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）抛物线 的焦点坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）抛物线 的准线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）抛物线 上一点到焦点的距离为 ，则该点的横坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）顶点在原点、准线方程为 的抛物线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）抛物线 （）的通径长为（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）过点 的直线与抛物线 交于 、 两点，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知点 ，抛物线 的焦点为 ，点 在 上，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于抛物线 ，下列说法正确的是（　　） A．焦点坐标为 　B．准线方程为 　C．通径长为 　D．离心率为 10．（★★）下列抛物线中，焦点在 轴上的是（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★★）已知抛物线 （）的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点，下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 12．（★★★）已知直线 与抛物线 ，则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 与 只有一个公共点　B．若 与 相切，则 　C．若 与 有两个不同的公共点，则 　D．若 与 只有一个公共点，则 与 相切 三、填空题 13．（★★）抛物线 的准线方程为 ____________。 14．（★★）抛物线 上一点到焦点的距离为 ，则该点到准线的距离为 ____________。 15．（★★★）过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 ____________。 16．（★★★）已知点 ， 为抛物线 上的动点， 为该抛物线的准线，则 的取值范围是 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知抛物线 。 (1) 求 的焦点坐标与准线方程； (2) 若抛物线上一点 到焦点的距离为 ，求点 的坐标。 18．（★★）求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1) 顶点在原点，对称轴为 轴，且过点 ； (2) 顶点在原点，焦点为 。 19．（★★）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，若 ，求 。 20．（★★★）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 、 两点。 (1) 证明：； (2) 若 ，求 的面积（ 为坐标原点）。 21．（★★★）已知抛物线 ，过点 的直线与 交于 、 两点，求 的值，并说明它是否为定值。 22．（★★★）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上的动点。 (1) 求 的最小值； (2) 求 的最大值。 23．（★★★）已知抛物线 （）经过点 ， 为其焦点。 (1) 求 的方程与准线方程； (2) 若直线 与 交于 、 两点， 且 ，求实数 的值； (3) 在 (2) 的条件下，求 与 的面积（ 为坐标原点）。 24．（★★★）已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且经过点 ， 为其焦点。 (1) 求 的标准方程与准线方程； (2) 过 的直线 与 交于 、 两点， 若 的面积为 （ 为坐标原点），求直线 的方程； (3) 过点 的直线 与 交于 、 两点，是否存在直线 使得 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第46讲 抛物线 第46讲 抛物线 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练掌握抛物线的定义与四种标准方程，能由焦点、准线或已知点求方程； 2．会用定义把"到焦点的距离"与"到准线的距离"互化，掌握焦半径公式； 3．掌握焦点弦的性质：、、； 4．会求 型最小值与 型最大值，会用联立韦达定理处理弦长、中点与定点定值问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 定义与标准方程 选择题、填空题 第5~6题、第12题 易 先定开口方向，再用 定位焦点 焦半径 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中 到焦点的距离一律换成横坐标（纵坐标）加 焦点弦 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 用 与 距离和最小、差最大 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 化折为直与三角形不等式两手准备 弦长、中点与定值 解答题 第17~20题 中偏难 设 可含竖直直线，联立后用韦达定理 命题规律分析 抛物线在新高考中多落在选择题第5~8题、填空题第12~14题，也常作为解答题的第一问或第二问出现。基础档考焦点、准线与标准方程，属必得分；培优档集中在三个方向：一是定义转化——把"到焦点的距离"换成"到准线的距离"，从而把距离和最小问题化折为直；二是焦点弦的三条性质（弦长公式、两根之积、倒数和为 ），它们能把繁杂的联立化简为一步代入；三是直线与抛物线联立后的弦长、中点与定点定值问题，考的是韦达定理的熟练度。本讲的目标是：定义转化形成条件反射，焦点弦性质脱口而出，联立运算不出低级错误。 考点1 抛物线的定义与标准方程 知识点1 定义 平面内到一个定点 和一条定直线 （ 不在 上）距离相等的点的轨迹叫抛物线，即 。 这条定义是本专题的总钥匙：凡出现"到焦点的距离"，都可换成"到准线的距离"，从而把距离问题转化为横坐标（或纵坐标）的一次式。 【易错清单】 1． 是焦点到准线的距离，焦点的坐标是 而不是 ； 2．抛物线的离心率恒为 ，与椭圆（）、双曲线（）不同。 知识点2 四种标准方程 （开口向右，焦点 ，准线 ）；（开口向左，焦点 ，准线 ）。 （开口向上，焦点 ，准线 ）；（开口向下，焦点 ，准线 ）。 【易错清单】 1．方程中一次项系数是 而不是 ： 中 ，故 、； 2．对称轴是 轴则方程形如 ，是 轴则形如 ，一次项是哪个字母，对称轴就是哪条轴； 3．开口方向由一次项的符号决定，且必须与已知点的坐标符号相容。 考点2 焦半径与焦点弦 知识点3 焦半径 对 （），点 的焦半径为 ；对 ，为 。 它就是定义式的代数写法：。开口相反时把加号改为减号。 【易错清单】 1．别把 写成 ； 2．开口向左（）时焦半径为 ，符号随开口方向改变。 知识点4 焦点弦 对 （），过焦点的弦 满足 、、。 倒数和结论：；通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）长为 ，是过焦点的最短弦。 【易错清单】 1．三条性质的 都是标准方程中的 ，不是一次项系数； 2． 只在 在线段 上时成立，焦点弦满足这一点，一般的弦不满足。 考点3 最值问题与常用结论 知识点5 与焦半径有关的最值 的最小值：把 换成 。若 在抛物线内部，最小值为 ；若 在抛物线外部，最小值为 。 的最大值：由三角形不等式 ，等号当 在线段 上时成立。 【易错清单】 1．判断 的内外：把 代入 ，小于 为内、大于 为外（等于 在曲线上）； 2．"和最小"与"差最大"是两类不同的问题，不能互相套用结论； 3．取到最值时的点 必须真的在抛物线上，要说明取等条件。 知识点6 两个常用技巧 设线技巧：过 轴上一点 的直线设为 ，可以包含斜率不存在的竖直直线，避免漏解；过焦点时设为 。 设点技巧：抛物线 上的点可设为 ，把双变量化为单变量，运算量骤减。 【易错清单】 1．设 时，水平直线（）对应 不存在，需单独说明； 2．设点后用 表示条件时，别忘记两点重合或其中一点为原点的退化情形要舍去。 【题型1 定义的应用（到焦点的距离化为到准线的距离）】 【例1】已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，则点 的横坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由 得 ，再由焦半径公式 求 。 【解答过程】由 知 ，即 ，，准线为 。 由定义 。 由 得 。故选B。 【多解·巧解】直接用定义比套公式更快也更不易错： 就是点 到准线 的距离，所以横坐标 ，一步出结果，连焦半径公式都不必写。若题目再问纵坐标，代入 得 ，即 。先求横坐标、再求纵坐标是这类题的固定顺序。 【易错提醒】① 把 与 弄混： 中 即 ，，若误取 会得 ；② 忘记点 的横坐标非负（、 时 ），若算出负值应立刻检查。 【变式1-1】已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 ，则点 的横坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】由 得 ，故 。 【解答过程】，故 ，，焦半径为 。 由 得 。故选C。 【变式1-2】已知抛物线 上一点到焦点的距离为 ，则该点的纵坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】开口向上时焦半径为 ，此处 。 【解答过程】，故 ，，焦半径为 。 由 得 。故选B。 【变式1-3】抛物线 （）上一点 到准线的距离为 ，到 轴的距离为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】到 轴的距离为 即横坐标为 ，到准线的距离为 。 【解答过程】由 且到 轴距离为 得 。 到准线 的距离为 ，故 ，。故选B。 【题型2 求抛物线的标准方程】 【例2】已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 轴，焦点在直线 上，求该抛物线的标准方程。 【答案】 【解题思路】焦点在对称轴（ 轴）上，令 求出焦点坐标，再由 定 。 【解答过程】因为对称轴为 轴，焦点在 轴上，设焦点为 。 又焦点在直线 上，令 得 ，即 ，故焦点为 。 由 得 ，开口向右，方程为 。 【多解·巧解】求抛物线标准方程的固定流程只有两步：第一步定形式（看对称轴与开口方向），第二步定 （由焦点、准线或已知点）。本题的"焦点在某直线上"只是求焦点坐标的包装——因为焦点必在对称轴上，只需令另一个坐标为 即可。若算出的焦点横坐标为负，则开口向左，方程改写成 。 【易错提醒】① 忘记判断开口方向：若焦点为 ，方程应为 ；② 把 直接当成 ，从而写成 ；③ 焦点在 轴上时应写成 ，别套 的形式。 【变式2-1】顶点在原点、准线方程为 的抛物线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】准线为 ，得 ，开口向右。 【解答过程】准线为 ，故 ，。 准线在 轴左侧，开口向右，方程为 。故选C。 【变式2-2】顶点在原点、焦点为 的抛物线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】焦点在 轴负半轴，开口向下，。 【解答过程】焦点在 轴负半轴上，故开口向下，设 。 由 得 ，方程为 。故选B。 【变式2-3】顶点在原点、对称轴为 轴且过点 的抛物线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】横坐标为正在 轴右侧，开口向右，代入点求 。 【解答过程】对称轴为 轴且过点 ，横坐标为正，开口向右，设 。 代入 得 ，故 ，方程为 。故选A。 【题型3 焦半径】 【例3】已知抛物线 的焦点为 ，、、 是抛物线上的三点，若 、、 成等差数列，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】焦半径是横坐标加常数，故距离成等差等价于横坐标成等差。 【解答过程】由 得 ，，故 ，，。 三者成等差数列，则 ，即 ，故 。故选C。 【多解·巧解】焦半径公式 的价值在于把"距离"变成"横坐标的一次式"：距离成等差数列等价于横坐标成等差数列（常数 在作差时抵消）。顺着这个思路，若条件改成"成等比数列"，则应设 成等比，此时常数不能抵消，必须老老实实列 。加常数不改变等差性，但会改变等比性，这一点常被忽略。 【易错提醒】① 把 当成 （ 中 、）；② 认为"距离成等差"就是"横坐标成等比"或别的对应，对应关系搞错；③ 忘记三个点都在抛物线上，横坐标必须非负。 【变式3-1】已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上且 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先由焦半径求横坐标，再代入方程求纵坐标，注意正负两个值。 【解答过程】由 得 ，故 ，即 。 代入 得 ，。 故 。故选C。 【变式3-2】抛物线 （）上三点 、、 的横坐标成等差数列，则它们到焦点的距离（　　） A．成等差数列　B．成等比数列　C．都相等　D．无确定规律 【答案】A 【解题思路】焦半径是横坐标加同一个常数，故保持等差性。 【解答过程】焦半径 ，是横坐标加上同一个常数。 横坐标成等差数列，则各加上 后仍成等差数列。故选A。 【变式3-3】已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上且 ，则点 的纵坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】开口向上，焦半径为 。 【解答过程】由 得 ，焦半径为 ，故 。故选C。 【题型4 焦点弦】 【例4】过抛物线 的焦点 作斜率为 的直线，交抛物线于 、 两点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】联立后用焦点弦长公式 。 【解答过程】由 得 ，焦点 ，直线为 。 代入 得 ，即 。 故 ，由焦点弦长公式 。故选B。 【多解·巧解】焦点弦长公式是定义在弦长上的直接推论：、，相加即得 。用了它就不必再算 。验算一下：本题 ，，与公式结果一致——两条路互相验算是发现计算错误最有效的办法。 【易错提醒】① 公式中的 是标准方程 中的 ，本题 而不是 ；② 只有过焦点的弦才能用 ，一般的弦必须回到弦长公式或定义；③ 联立时把 展开成 别算错中间项。 【变式4-1】过抛物线 焦点的直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】直接套 ，其中 。 【解答过程】。故选C。 【变式4-2】抛物线 （）的通径长为 ，则其焦点到准线的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】通径长为 ，而焦点到准线的距离就是 。 【解答过程】通径长为 ，故 。 焦点到准线的距离等于 。故选B。 【变式4-3】过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 、 两点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】焦点弦满足 ，此处 。 【解答过程】由 得 。故选A。 【题型5 最值问题（和最小、差最大）】 【例5】已知抛物线 的焦点为 ，点 为定点， 为抛物线上的动点，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 换成到准线的距离，再判断 在抛物线内部还是外部。 【解答过程】由 在 处的值为 ，知 在抛物线内部（与焦点同侧）。 由定义 ，其中准线 。 于是 ，而 。 当 为过 所作 轴平行线与抛物线的交点，即 时取等号。 故最小值为 。故选B。 【多解·巧解】这类题的第一步永远是判断定点 在抛物线内还是外：把 代入 ，小于 为内（与焦点同侧）、大于 为外。在内时最小值是 （化折为直， 是过 作对称轴平行线与抛物线的交点）；在外时最小值是 （三角形不等式， 是线段 与抛物线的交点）。两种情况分别对应两条完全不同的路径，判断错了整题就错。 【易错提醒】① 直接答 ：只有当 在抛物线外部时才成立，本题 在内部，线段 与抛物线不相交，取不到等号；② 忘记说明取等条件——最值题必须写出"当且仅当 为某点时取到"；③ 判断内外时代入的式子写反（应为 ）。 【变式5-1】已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线外部， 为抛物线上的动点，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 在外部时最小值为 ，由三角形不等式取等。 【解答过程】由 ，且线段 与抛物线相交，等号可取到。 、，故 。故选A。 【变式5-2】抛物线 上的点到直线 的距离的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设点的纵坐标 ，把横坐标写成 ，距离化为关于 的二次函数。 【解答过程】设 ，则到直线的距离为 。 当 时分子取最小值 ，故 。故选A。 【变式5-3】过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 、 两点，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用 消元后求最值。 【解答过程】设 、，由焦点弦性质 。 由此得 （），于是 ，更直接地求导：，得 ，即 ，。 故最小值为 。故选B。 【题型6 直线与抛物线的综合（弦长、中点、定点）】 【例6】已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 、 两点。 (1) 若直线 的倾斜角为 ，求 ； (2) 若 ，求线段 的中点到准线的距离。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 联立后用焦点弦长公式；(2) 用"中点到准线的距离等于两端点距离之和的一半"。 【解答过程】(1) 倾斜角为 时斜率为 ，直线为 。 代入 得 ，故 。 由焦点弦长公式 。 (2) 由定义 、。 设中点为 ，因为到准线的距离是横坐标的一次式，所以 。 又 在线段 上，，故 。 【多解·巧解】(2) 有一条极省力的捷径：中点到准线的距离等于两端点到准线距离的平均值，而两端点到准线的距离就是 与 ，所以 ，完全不必求 。这个结论的依据是"距离是横坐标的一次函数"，在抛物线中非常好用，凡是出现"弦的中点到准线（或到某条竖直直线）的距离"，都可以直接取平均。 【易错提醒】① 焦点弦长公式中的 ，别代成 ；② (2) 问的是到准线的距离，不是到焦点的距离——一般情况下两者并不相等，例如本题 (1) 的中点为 ，它到准线距离为 、到焦点距离为 ；③ 用平均值结论时要说明 在线段 上（焦点弦满足）。 【变式6-1】已知抛物线 的一条弦 的中点为 ，则直线 的方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】点差法：，其中 。 【解答过程】由 、 作差得 。 故 。 直线为 ，即 。故选A。 【变式6-2】若直线 与抛物线 相切，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】联立后令判别式为零。 【解答过程】把 代入 得 ，即 。 相切则 ，故 。故选A。 【变式6-3】已知直线 与抛物线 交于两个不同的点 、，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】联立后用弦长公式 ，并检验 。 【解答过程】把 代入 得 。 ，故 。 。 ，得 ，即 （满足 ）。故选B。 一、单选题 1．（★★）抛物线 的焦点坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 得 ，焦点为 。 【解答过程】，故 ，，焦点为 。故选A。 2．（★★）抛物线 的准线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】开口向下时准线为 。 【解答过程】由 得 ，开口向下，准线为 。故选A。 3．（★★）抛物线 上一点到焦点的距离为 ，则该点的横坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】焦半径为 ，令其等于 。 【解答过程】由 得 ，焦半径为 ，故 。故选C。 4．（★★）顶点在原点、准线方程为 的抛物线方程为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】准线为 ，得 。 【解答过程】准线为 ，故 ，，开口向右。 方程为 。故选A。 5．（★★）抛物线 （）的通径长为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，长为 。 【解答过程】把 代入 得 ，，故通径长为 。故选B。 6．（★★★）过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用焦点弦的倒数和结论 。 【解答过程】由 得 。 代入 得 ，故 。故选A。 7．（★★★）过点 的直线与抛物线 交于 、 两点，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】设 把弦长表示为参数 的函数再求最小值；直线不过焦点，"通径最短"在此不能用，须建立弦长函数严格求最值。 【解答过程】直线 与抛物线只有一个公共点，不合题意，故设直线为 。 代入 得 ，故 ，， 于是 。 。 令 ，则 在 上单调递增，故当 ，即直线为 时取最小值：，。故选C。 8．（★★★）已知点 ，抛物线 的焦点为 ，点 在 上，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由定义把 化为 ，把 化为 ，构造函数后用导数定单调性与最值，从而确定范围。 【解答过程】设 ，由 知 。 由定义 ； ，故 。 设 ，求导得 。 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增。 故最小值为 ，最大值为 ，且 时 ，介于两者之间，不影响范围。 于是 ，取值范围是 。故选A。 二、多选题 9．（★★）关于抛物线 ，下列说法正确的是（　　） A．焦点坐标为 　B．准线方程为 　C．通径长为 　D．离心率为 【答案】ABCD 【解题思路】由 得 ，逐项核对。 【解答过程】，故 ，。 A：焦点为 ，正确； B：准线为 ，正确； C：通径长为 ，正确； D：抛物线的离心率恒为 ，正确。 故选ABCD。 10．（★★）下列抛物线中，焦点在 轴上的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】AC 【解题思路】一次项是 则对称轴为 轴，焦点也在 轴上。 【解答过程】一次项为 的抛物线形如 ，对称轴为 轴，焦点在 轴上。 A、C 符合；B、D 的一次项是 ，焦点在 轴上。故选AC。 11．（★★★）已知抛物线 （）的焦点为 ，过 的直线交 于 、 两点，下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABCD 【解题思路】四条都是焦点弦的标准性质，逐条联想其来历。 【解答过程】A：由 、 相加即得，正确； B、C：联立 后由韦达定理可得，正确； D：由 ，代入 得分子分母同为 ，故等于 ，正确。 故选ABCD。 12．（★★★）已知直线 与抛物线 ，则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 与 只有一个公共点　B．若 与 相切，则 　C．若 与 有两个不同的公共点，则 　D．若 与 只有一个公共点，则 与 相切 【答案】ABC 【解题思路】联立得 ，逐项讨论：二次项系数为零的退化情形、判别式的符号，并区分"恰有一个公共点"与"相切"这两个不同概念。 【解答过程】把 代入 得 。 A： 时方程为 ，解得 ，只有一个公共点 ，正确； B：相切需 且判别式为零：，得 ，正确； C：有两个不同的公共点需 且 ，即 且 ，正确； D： 时直线 与 只有一个公共点，但联立所得是一次方程， 公共点是单根而非二重根，故 与 并不相切（在 处的切线为 ），错误。 故选ABC。 三、填空题 13．（★★）抛物线 的准线方程为 ____________。 【答案】 【解题思路】由 得 ，准线为 。 【解答过程】，故 ，，准线为 。 14．（★★）抛物线 上一点到焦点的距离为 ，则该点到准线的距离为 ____________。 【答案】 【解题思路】由定义，到焦点的距离等于到准线的距离。 【解答过程】由抛物线的定义，抛物线上一点到焦点的距离等于它到准线的距离，故所求为 。 15．（★★★）过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用 。 【解答过程】由 得 。 ，故 。 16．（★★★）已知点 ， 为抛物线 上的动点， 为该抛物线的准线，则 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】由定义把 换成 ，再把距离差表示为横坐标的函数，分子有理化后借助单调性与极限确定范围。 【解答过程】设 为抛物线上一点，则 ，， 且 。 由定义 ，故 。 因为 随 增大而增大，故 单调递减，在 时取最大值 ，且恒大于 （当 时无限接近 但取不到）。 因此 的取值范围是 （最大值在顶点 处取到，此时 恰在线段 上，与三角形不等式一致）。 四、解答题 17．（★★）已知抛物线 。 (1) 求 的焦点坐标与准线方程； (2) 若抛物线上一点 到焦点的距离为 ，求点 的坐标。 【答案】(1) 焦点为 ，准线为 ； (2) 。 【解题思路】先定 ，再用焦半径公式求横坐标，最后代入方程求纵坐标。 【解答过程】(1) ，故 ，。 焦点为 ，准线方程为 。 (2) 由定义， 等于 到准线 的距离，即 。 由 得 ，代入 得 ，。 故 或 。 【多解·巧解】由定义， 就是点 到准线的距离，所以横坐标 一步可得，再去求纵坐标。先横坐标、后纵坐标的顺序能避免设两个未知数解方程组。另外注意：开口向右的抛物线 上，横坐标相同的点恰好有两个（关于 轴对称），求出一个纵坐标后要记得补上它的相反数。 【易错提醒】① 把 与 弄混： 中 即 ，，焦半径为 而不是 ；② 由 只写 ，漏掉 。 18．（★★）求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1) 顶点在原点，对称轴为 轴，且过点 ； (2) 顶点在原点，焦点为 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先由对称轴与开口方向定形式，再由已知点或焦点定 。 【解答过程】(1) 对称轴为 轴，过点 ，横坐标为负，故开口向左，设 。 代入 得 ，故 。 方程为 。 (2) 焦点 在 轴负半轴上，故开口向下，设 。 由 得 ，方程为 。 【多解·巧解】求标准方程只需两步：第一步定形式（看对称轴与开口方向），第二步定 。定开口方向最快的方法是看已知点的坐标符号或焦点的位置：点在 轴左侧（横坐标为负）则开口向左，焦点在 轴负半轴则开口向下。这两步分开做，就不会出现"形式对、符号错"这类低级失误。 【易错提醒】① 认为过点 就一定是 ——因为 而 ，开口必须向左，应设 ；② (2) 中焦点在 轴上，方程应形如 ，别写成 的形式；③ 算出 后写成 （漏乘 ）。 19．（★★）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，若 ，求 。 【答案】 【解题思路】用倒数和结论与倍数关系联立，或用 与焦半径公式联立。 【解答过程】解法一：由 得 。 设 ，则 ，于是 ，即 ，得 。 故 。 解法二：由 且 得 ， 代入得 ，即 ，解得 ，故 ，。 【多解·巧解】两条路都能走通，建议用结论做、用韦达定理验：结论法只需解一个一元一次方程，韦达定理法虽然多两步，但能验证 、 确实满足 ，起到自检的作用。焦点弦的倒数和结论 值得记牢，它在"已知两焦半径的某种关系"的题目中几乎是唯一的快通道。 【易错提醒】① 结论中的 别记成 ；② 成立的理由是 在线段 上，若弦不过焦点就不能这样加；③ 求出 后别把 写成 之外的错误倍数。 20．（★★★）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 、 两点。 (1) 证明：； (2) 若 ，求 的面积（ 为坐标原点）。 【答案】(1) 证明见解析； (2) 。 【解题思路】(1) 用 、 与 ；(2) 把面积拆成 与 两块。 【解答过程】(1) 由 得 ，，且焦点弦满足 。 ，得证。 (2) 由 得 。 因为 在线段 上，且 、 异号（）， 。 。 故 ，。 【多解·巧解】把 拆成以 为公共底的两块，比"弦长乘原点到直线的距离"省一半计算：，再利用 、 异号合并成 。焦点弦上的三角形，优先拆成以焦点为顶点的两块，这是抛物线面积题的通用套路。 【易错提醒】① (1) 中用 需要先确认弦过焦点，一般弦没有这个性质；② (2) 中 只在 、 异号时成立，必须先由 说明；③ 别把 漏掉。 21．（★★★）已知抛物线 ，过点 的直线与 交于 、 两点，求 的值，并说明它是否为定值。 【答案】，是定值；即 。 【解题思路】设 （含竖直直线），联立后用韦达定理算 。 【解答过程】设直线为 （ 时为竖直直线 ）。 代入 得 ，故 ，。 。 所以 ，与 无关，是定值。 几何意义：。 【多解·巧解】设 而不是 ，好处是竖直直线（）也被包含在内，不必单独补讨论。凡是"过 轴上一点的直线"，优先设 ；凡是"过 轴上一点的直线"，优先设 。另外 与 恰好互为相反数，这正是"定值"出现的典型信号——定值题的本质就是让含参数的项全部抵消。 【易错提醒】① 设 会漏掉竖直直线 ，虽然该情形也满足结论，但过程不完整；② 计算 时别漏掉交叉项 ，漏了就得不到抵消；③ 结论是 ，即 ，答题时最好把几何意义一并写出。 22．（★★★）已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上的动点。 (1) 求 的最小值； (2) 求 的最大值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 判断 在抛物线内部，用化折为直；(2) 用三角形不等式。 【解答过程】(1) 由 在 处为 ，知 在抛物线内部。 由定义 ，准线 。 。 当 （过 作 轴的平行线与抛物线的交点）时取到，故最小值为 。 (2) 由三角形不等式 。 直线 的方程为 ，与抛物线交于 两点；取 的那个交点 时， 在线段 上，等号成立。 故最大值为 。 【多解·巧解】一加一减两个最值，用的是两套完全不同的工具： 用定义转化（把 换成到准线的距离，化折为直）； 用三角形不等式（差的绝对值不超过第三边）。记住这两句话，这一类最值题就都可以对号入座。还要注意：两者的取等条件不同，前者要求 平行于对称轴，后者要求 在线段 上。 【易错提醒】① (1) 中误用 ：只有当 在抛物线外部时才成立；② (2) 中等号条件容易被忽略，必须说明 确实落在 、 之间，即要取直线 与抛物线两个交点中靠近 反方向的那个；③ 两个小问的最值都要写出取等时 的位置。 23．（★★★）已知抛物线 （）经过点 ， 为其焦点。 (1) 求 的方程与准线方程； (2) 若直线 与 交于 、 两点， 且 ，求实数 的值； (3) 在 (2) 的条件下，求 与 的面积（ 为坐标原点）。 【答案】(1) ，准线方程为 ； (2) ； (3) ， 的面积为 。 【解题思路】(1) 代入定点定 ；(2) 先讨论 的退化情形，再把 翻译成 ，用韦达定理整体代换并回检判别式；(3) 弦长公式配 ，面积用弦长乘原点到直线的距离。 【解答过程】(1) 把 代入 得 ，故 ， 的方程为 ，准线方程为 。 (2) 把 代入 得 。 当 时方程为 ，直线 与 只有一个公共点，不合题意，舍去；当 时， 与 交于两点需 ，即 。设 、，则 ，。 。 由 得 ，即 ，解得 ，满足 且 ，符合题意。 (3) 当 时，方程为 ，即 ， 故 ，，。 。 直线 即 ，原点 到 的距离 ，。 【多解·巧解】(2) 的第一个动作是讨论 ：此时联立方程退化为一次方程，直线与抛物线只有一个公共点，必须先舍去，漏掉这一步是含参直线题最常见的失分点。另外 统一翻译成 ，其中 用 整体代入，不必求出交点。第 (3) 问的面积也可用 ：由 ，结合 、，同样得 ，两种方法可互相验算。 【易错提醒】① 忘记讨论 ，或解出 后不回检 与 ；② 把 误写成 ，或计算 时漏掉交叉项 ；③ 弦长公式漏掉 ，或面积漏掉系数 。 24．（★★★）已知抛物线 的顶点在原点，焦点在 轴上，且经过点 ， 为其焦点。 (1) 求 的标准方程与准线方程； (2) 过 的直线 与 交于 、 两点， 若 的面积为 （ 为坐标原点），求直线 的方程； (3) 过点 的直线 与 交于 、 两点，是否存在直线 使得 ？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由。 【答案】(1) ，准线方程为 ； (2) ； (3) 存在，直线 的方程为 。 【解题思路】(1) 代入定点定 ；(2) 设 把竖直直线纳入参数，用 建方程求 ；(3) 先舍去只有一个公共点的水平直线，再把 翻译成 ，用韦达定理整体代换。 【解答过程】(1) 设 （），把 代入得 ，故 。 的方程为 ，焦点 ，准线方程为 。 (2) 直线 过 ，设 （ 时为竖直直线，已包含在内）。 代入 得 ，故 ，， 即 、 位于 轴两侧。于是 ， 故 。 又 ，故 ，。 此时判别式 恒成立，两个交点确实存在。直线 为 ，即 。 (3) 过 的水平直线 与 只有一个公共点 ，不合题意，舍去， 故设 。代入 得 。 判别式 恒成立，必交于两点。设 、，则 ，， ， 。 等价于 ，即 ， 故 ，直线 为 ，即 。 验证：联立得 ，交点为 与 ， ，垂直成立。故存在直线 。 【多解·巧解】(2) 中设 而不是 ，竖直直线（，即通径所在直线）也被参数覆盖，否则需单独补讨论； 之所以成立，是因为焦点弦满足 ，两端点在 轴两侧。第 (3) 问的垂直条件统一翻译成 ，用韦达定理整体代入后得到关于 的一次方程；求出直线后务必代回联立验算，如本题交点 与 的数量积恰为 。 【易错提醒】① (3) 中漏掉对水平直线 的讨论：它与 只有一个公共点，必须舍去，而设 恰好把其余直线全部覆盖；② 解出 后不验证判别式（本题 恒正，但不验不算完整），也不代回验算垂直；③ (2) 中 的前提是 ，一般弦不能直接套用；④ 垂直条件展开时漏掉常数项 （即 ）或漏掉 项。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $