第40讲 立体几何与空间向量综合 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第40讲 立体几何与空间向量综合（培优加餐） 第40讲 立体几何与空间向量综合（培优加餐） 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．能在棱柱、棱锥与折叠图形中准确找到两两垂直的三条直线，独立完成建系与坐标翻译； 2．熟练用"设—列—取"三步法求平面的法向量，并据此计算异面直线所成的角、线面角与二面角； 3．掌握含参数（动点、动高度）的存在性问题的处理流程，能把几何条件翻译成关于参数的方程； 4．能用坐标把距离、体积、数量积的最值问题化为二次（或一次）函数的最值，并注意参数的取值限制。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 复杂几何体的建系与坐标翻译 选择题、填空题 第3~5题、第13题 中 先找两两垂直的三线，再"终点减起点"写向量 线面角与二面角的综合计算 选择题、解答题 第18题 中偏难 法向量三步法，线面角用正弦、二面角判锐钝 含参数的动点与存在性探究 选择题、解答题 第18题 中偏难 动点写成"起点加参数乘方向向量"再解方程 距离、体积与数量积的最值 选择题、填空题 第8题、第16题 中偏难 化为二次函数，务必核对参数范围 等体积法与点面距的互化 选择题、解答题 第18题 中偏难 同一点出发的两种体积写法联立求距离 命题规律分析 本讲是空间向量板块的综合加餐。基础班已经把"建系、法向量、三类角、点面距"分别讲清，培优加餐要做的是把这些工具放进更复杂的图形与更开放的问题里：底面不再是正方形而是矩形、直角梯形，几何体需要"作高"才能建系；所求不再是一个角，而是"是否存在动点使某角为定值"；条件不再给出确定的棱长，而是含参数并要求反解。此时真正拉开差距的，是三条能力——一是建系的嗅觉（一眼看出哪三条线两两垂直），二是参数化的手感（把动点写成起点加参数乘方向向量），三是翻译的自如（把"垂直""平行""角度最大"准确变成含参数的方程或函数）。命题上，这部分内容多落在新高考一卷解答题第 17~18 题，第一问证平行或垂直、第二问求角或探究参数，是 90 分以上学生必须拿满的位置。本讲六类题型按"建系—求角—探究—最值—距离—交汇"的顺序层层递进，每类题都给出一把可复用的钥匙。 考点1 建系与坐标翻译的通法 知识点1 三种常用建系模型 模型一（棱柱）：直棱柱的侧棱与底面垂直，只要底面存在直角，就可以以直角顶点为原点、沿三条两两垂直的棱建系； 模型二（棱锥）：若有一条侧棱垂直于底面，则以此垂足为原点，底面上两条互相垂直的直线与这条侧棱构成三轴； 模型三（无现成垂直）：作底面的一条高，把垂足作为原点，先补出直角再建系。 【易错清单】 1．"底面是正方形"不等于"任意两条相邻边都竖直可用"，必须先确认它们与侧棱两两垂直； 2．折叠问题中，折痕两侧的垂直关系可能被破坏，需按折叠后的真实位置重新判断； 3．原点选在哪一点会改变所有坐标，选定后必须一以贯之，中途换原点是最常见的手滑。 知识点2 点的坐标与向量的翻译 中点坐标取两端坐标的平均：； 分点坐标用三点式：若 ，则 ； 向量一律用"终点减起点"：，坐标即"终点坐标减起点坐标"。 【易错清单】 1．分点公式里 是"从 出发的比例"，写成 会整体偏移； 2．把点的坐标与向量的坐标混为一谈：点 对应的是 的坐标； 3．坐标符号依赖坐标系的方向约定，写坐标前先把三条轴的正方向在图上标清楚。 考点2 角与距离的向量求法 知识点3 三类角的统一公式 异面直线所成的角 ：，注意取绝对值把角压到锐角； 直线与平面所成的角 ：，其中 是平面的法向量； 二面角：先求两个法向量的夹角余弦 ，再结合图形判断所求解是锐角还是钝角。 【易错清单】 1．线面角用正弦、二面角用余弦，公式用错是最普遍丢分点； 2．异面直线所成角与二面角都容易忽略"取绝对值"或"判锐钝"这一步； 3．两个平面所成的角有锐钝之分，但两个法向量的夹角始终在 ，不可直接当作答案。 知识点4 点面距与等体积法 点 到平面 （法向量 ， 为平面内一点）的距离 ； 等体积法：同一个三棱锥换一个底面，体积不变，即 ，由此反解所求距离。 【易错清单】 1．用坐标公式求距离时，点 必须取在平面内， 取错则整体平移； 2．等体积法要选一个"面积好算、距离已知"的底面，底面选得不好会越算越繁； 3．距离是长度恒非负，最后要取绝对值，不要保留符号。 考点3 动态与探究问题的策略 知识点5 动点参数化与最值 动点在棱（或对角线） 上时，设 ，由 的范围（通常 ）得到动点坐标； 把所求的距离平方、数量积等写成 的函数，往往化为二次函数，再用配方法在限定区间上求最值。 【易错清单】 1．求出二次函数的顶点后必须回代检验该点是否在 的允许范围内； 2．"距离之和"与"距离平方之和"的最值点一般不同，不要混用； 3．端点情形（ 或 ）常被漏掉，而不少题的最值恰好取在端点。 知识点6 存在性探究的"设—译—解—验" 存在性问题的四步：设动点（含参数）→ 把几何条件翻译成向量等式或方程 → 解出参数 → 检验参数是否落在允许范围内； 垂直条件用数量积为零，平行条件用向量共线（或与法向量垂直），定角条件用角公式建立等式。 【易错清单】 1．解出参数后不回代检验，容易把区间外的解当成答案； 2．"垂直于平面"要用"垂直于平面内两条不共线直线"两个条件，只用一个不充分； 3．方程可能有多个解，需结合动点所在线段逐一筛选。 【题型1 复杂几何体的建系与坐标运算】 【例1】在直三棱柱 - 中，，。以 为原点，、、 的方向分别为 、、 轴的正方向建立空间直角坐标系， 为 的中点， 为 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先写出顶点坐标，再用中点坐标公式求 、，最后"终点减起点"得向量。 【解答过程】由 及 底面 知，、、 两两垂直，可以建系。 各点坐标为 ，，，。 为 的中点，得 ； 为 的中点，得 。 所以 。故选A。 【多解·巧解】建系的核心是"找三条两两垂直的直线"：直棱柱的侧棱已经与底面垂直，若底面本身带直角，三条轴就齐了——所以直三棱柱加"底面直角三角形"是最常考的建系模型。巧解：用 的拆法，先写两点坐标再相减，比直接想"从 到 各坐标怎么变"更不容易出错。 【易错提醒】① 中点坐标忘记除以 ，把 写成 ；② 把 与 的方向弄反，三个分量符号全错；③ 看到"直三棱柱"就默认底面是正三角形，忽略本题底面是以 为直角顶点的直角三角形。 【变式1-1】条件同例1。若 为 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 的坐标，再用 的坐标相减。 【解答过程】，，故 。 又 ，所以 。故选A。 【变式1-2】条件同例1。若 为 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】写出 、 的坐标，转化为向量求模。 【解答过程】，，故 ， 。故选A。 【变式1-3】条件同例1。则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把数量积转化为坐标的对应分量乘积之和。 【解答过程】，， 故 。故选A。 【题型2 线面角与二面角的综合计算】 【例2】在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，，则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】建系后求平面 的法向量 ，再用线面角公式 。 【解答过程】以 为原点，、、 分别为 、、 轴正方向建系，则 ，，，，。 ，。 设平面 的法向量 ，由 、 得 ，取 得 。 又 ，所以 。故选B。 【多解·巧解】线面角公式记忆的诀窍：斜线与法向量的夹角 满足 ，于是 ，"正弦"自然代替了"余弦"。巧解：观察 与候选方向 的点积为零，再验 ，立刻确认 ，省去解方程组。养成长向量时"先试整数、后解方程"的习惯，能明显提速。 【易错提醒】① 线面角误用余弦公式，直接把 斜线与法向量夹角的余弦 当作答案；② 求法向量时只用一个垂直条件，得到的不是法向量；③ 建系时把 的方向误当成 轴却按 轴写坐标，导致所有点错位。 【变式2-1】条件同例2。则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】求平面 的法向量，再套线面角公式。 【解答过程】，。 设平面 的法向量 ，由 、 得 ，取 。 又 ，所以 。故选C。 【变式2-2】条件同例2。则二面角 -- 的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】二面角由两个半平面的法向量夹角确定，本题其中一个面恰是底面，另一个面的法向量已求出。 【解答过程】平面 的法向量为 ，底面 （即平面 ）的法向量为 。 于是 。 由图形知二面角 -- 为锐角，故其余弦值为 。故选A。 【变式2-3】条件同例2。则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】底面法向量为 ，直接代入线面角公式。 【解答过程】底面 的法向量为 ，， 所以 。故选D。 【题型3 含参数的动点与存在性探究】 【例3】在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。点 在棱 上，（）。若 平面 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】把 用 表示，条件" 平面 "翻译成 与法向量平行。 【解答过程】以 为原点，、、 分别为 、、 轴正方向建系，则 ，，，，。 由 得 ， 故 。 又 ，。 设平面 的法向量 ，由 、 得 、，取 。 由 平面 知 ，即 ， 解得 。故选C。 【多解·巧解】动点参数化是解这类题的通用钥匙：动点 在 上就写 ，于是 。巧解：" 平面 "等价于" 与平面 的法向量平行"，比用两个数量积为零更直接：本题取 ，与 比较第一、三分量即得 。 【易错提醒】① 只用 一个条件就下结论：与平面垂直应垂直于平面内两条不共线直线；② 混淆参数含义： 中" 是中点"对应 ，不要与" 占 的比例"混同；③ 建系时把 的方向误当作 轴，导致 的坐标错误。 【变式3-1】在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。若直线 与平面 所成角为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】建系后写出平面 的法向量与 ，由线面角公式建立关于 的方程。 【解答过程】以 为原点建系，则 ，，，。 ，，。 设平面 的法向量 ，由 、 取 。 于是 。 令 ，得 ，即 ，解得 。故选B。 【变式3-2】在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。若直线 与平面 所成角为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】平面 的法向量与 的点积只与 有关，代入公式即得方程。 【解答过程】仍以 为原点建系，，， 取平面 的法向量 。又 ， 所以 。 由 得 ，即 ，结合 得 。故选B。 【变式3-3】在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。点 在棱 上，（），则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 用 表示，写出两个向量坐标，数量积化为 的二次函数后在 上求范围。 【解答过程】以 为原点建系，，，，。 由 得 ， 故 ，。 。 因为 ，当 时取最小值 ，当 或 时取最大值 。故选A。 【题型4 距离、体积与数量积的最值】 【例4】在棱长为 的正方体 - 中，点 在棱 上，（），则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 用 表示，写出两个向量的模的平方，相加得到 的二次函数，用配方法在 上求最值。 【解答过程】以 为原点，、、 分别为 、、 轴正方向建系，则 ，，，。 由 得 。 ，； ，。 两式相加得 。 因为 ，当 时取最小值 。故选A。 【多解·巧解】距离的最值在向量语言里可以完全代数化：写出向量坐标、平方、相加，合并后就是关于 的二次函数，再用配方法。巧解：本题两个模的平方相加时 与 的系数分别相同，表达式关于 对称，且二次项系数为正，故最小值点必为 ，直接代入即得 ，不必展开配方。 【易错提醒】① 求出顶点后忘记核对 的允许范围：本题顶点 恰在 内，若落在区间外必须改取端点值；② 把 与 混同，后者（距离之和）的最小值一般取不到顶点；③ 展开时把 漏写成 ，导致常数项出错。 【变式4-1】条件同例4。则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把数量积写成 的二次函数后配方。 【解答过程】，， 故 。 当 时取最小值 。故选A。 【变式4-2】条件同例4。则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两个模的平方都化成同一个含 的式子，最值取在端点。 【解答过程】，，故 。 于是 ， 它在 上当 （即 与 重合）时取最小值 。故选A。 【变式4-3】在棱长为 的正方体 - 中，点 在棱 上，（）， 为 的中点，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】把两个模的平方都写成 的二次式，相加后配方，注意顶点是否在 内。 【解答过程】，，； ，。 两式相加得 。 因为 ，故最小值为 。故选D。 【题型5 等体积法与点面距的互化】 【例5】在三棱锥 - 中， 平面 ，，，则点 到平面 的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用等体积法：把三棱锥分别以 与 为底面写出两种体积。 【解答过程】以 为原点，、、 分别为 、、 轴正方向建系，则 ，，，。 ，，取平面 的法向量 （平面方程为 ）。 点 不在平面内，由点面距公式得 。 等体积法验证：， 又 是边长为 的正三角形，， 故 ，两种方法一致。故选A。 【多解·巧解】点面距有两条通道：坐标法（求法向量后套公式）与等体积法（同一个三棱锥换底求距离）。巧解：当三棱锥有一个面是"面积好算、高已知"的直角三角形时，等体积法往往比求法向量更快——本题把底面换成 ，高就是 ，一步得到体积，再除以 的面积即可。实战建议：图形规整时用等体积法，图形复杂、角度要求高时用坐标法。 【易错提醒】① 等体积法换底后忘记""，把体积当成 ；② 求 的面积时算错边长（，是正三角形）；③ 用坐标法时把 当作"平面内的向量"，实际公式要用"平面内一点到 的向量"。 【变式5-1】在棱长为 的正方体 - 中，则点 到平面 的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求平面 的方程，再代点到平面的距离公式。 【解答过程】以 为原点建系，，，。 ，，取法向量 ， 平面 的方程为 。 ，故 。故选A。 【变式5-2】在棱长为 的正方体 - 中，则三棱锥 - 的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用等体积法：以 为底、 到该平面的距离为高。 【解答过程】由变式5-1， 是边长为 的正三角形，， 且 到平面 的距离为 。 故 。故选A。 【变式5-3】在三棱锥 - 中， 平面 ，，，，则点 到平面 的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】仍用等体积法，只是这次三棱锥的高 换成了 。 【解答过程】。 中 ，，取 中点 ， 则 ， 。 故 。故选A。 【题型6 空间向量与函数、不等式的交汇】 【例6】在棱长为 的正方体 - 中，点 在对角线 上，（），则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把数量积化为 的二次函数，再在 上求值域。 【解答过程】以 为原点建系，，，，。 由 得 。 ，。 。 当 （属于 ）时取最小值 ； 当 时取最大值 。故取值范围是 。故选A。 【多解·巧解】空间向量与函数的交汇题，本质是"几何量 → 坐标式 → 一元函数"。写坐标、做点积只是翻译，真正的考点是用二次函数在限定区间上求值域。巧解：先判断顶点 是否落在 内——落在区间内则最小值在顶点取、最大值在离顶点较远的端点取；落在区间外则两端点即最值。这一步判断比背公式重要得多。 【易错提醒】① 只算顶点值而漏掉端点值，值域写错（本题最大值在 处取得）；② 点积展开时符号出错，把 算成 ；③ 把"取值范围"当成"最小值"作答，漏写区间形式。 【变式6-1】在棱长为 的正方体 - 中，点 在对角线 上，（），则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把数量积化为 的二次函数后求区间值域。 【解答过程】，，。 。 因为 ，最小值 ；端点 、 时均为 。故取值范围是 。故选A。 【变式6-2】在棱长为 的正方体 - 中，点 在棱 上，（）。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把两个距离平方后令其相等，解出 。 【解答过程】，，； ，。 令 ，得 ，即 ，解得 。故选A。 【变式6-3】在棱长为 的正方体 - 中，点 在棱 上，（），则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】写出两个向量坐标，数量积化为 的二次函数后求区间值域。 【解答过程】，，。 。 因为 ，故取值范围是 。故选A。 一、单选题 1．（★★）在棱长为 的正方体 - 中，以 为原点，、、 为 、、 轴正方向建系，则 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】写出 与 的坐标，相减即得。 【解答过程】，，故 。故选A。 2．（★★）在棱长为 的正方体 - 中，以 为原点建系，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】写出 与 的坐标，先求向量再求模。 【解答过程】，，， 。故选A。 3．（★★）在棱长为 的正方体 - 中， 为 的中点，以 为原点建系，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】写出两个向量的坐标，按分量相乘求和。 【解答过程】，，； ，。 故 。故选A。 4．（★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，，则直线 与平面 所成角的正切值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】底面法向量为 ，先求角的正弦与余弦，再求正切。 【解答过程】以 为原点建系，，，， 底面法向量 。 ， 故 ，。故选A。 5．（★★）在棱长为 的正方体 - 中，异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用两向量夹角的余弦再加绝对值。 【解答过程】以 为原点建系，，。 。故选A。 6．（★★★）在棱长为 的正方体 - 中，二面角 -- 的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求两个半平面的法向量，用夹角公式并判锐钝。 【解答过程】以 为原点建系，，，，。 平面 的方程为 ，法向量 ； 底面 的法向量 。 ，且二面角为锐角，故余弦值为 。故选A。 7．（★★★）已知正三棱锥 - 的底面边长为 ，侧棱与底面所成的角为 ，则其外接球的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】底面正三角形先求外接圆半径 ，由侧棱与底面所成角求高 ，再用 解出 。 【解答过程】底面是边长 的正三角形，设底面中心为 ，则外接圆半径 。 侧棱 与底面所成的角即 ，故 ，得高 。 设外接球半径为 ，球心在 所在直线上，则 ，解得 。 所以外接球的表面积 。故选A。 【多解·巧解】锥体顶点在底面外接圆圆心正上方时，记住通式 （等价于 ），代入 、 可直接出球半径，避免列方程。 【易错提醒】易把"侧棱与底面所成的角"误当成"侧面与底面所成的二面角"：前者在过侧棱与底面中心的直角三角形中用外接圆半径 ，后者用过顶点的斜高与边心距，两者完全不同。 8．（★★★）在棱长为 的正方体 - 中，点 在正方形 （含边界）内运动，且 ，则点 的轨迹长度为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】建系后把 化为面内坐标方程，得一段圆弧，再由圆心位置确定弧的圆心角。 【解答过程】以 为原点，、、 所在直线为 、、 轴建系，则 ，面 内的点 （，）。 由 ，得 ，即轨迹是以 （即点 ）为圆心、 为半径的圆。 该圆的圆心恰在正方形 的顶点 处，落在正方形内部的是四分之一圆弧，两个端点分别在 （，）与 （，）上。 故轨迹长度为 。故选A。 【多解·巧解】不用坐标也行： 到平面 的距离为定值 （即 ），故面内轨迹是以垂足 为圆心、 为半径的圆弧，再由"圆心在顶点"看出只有四分之一弧。 【易错提醒】误把轨迹当成完整的圆；圆心 恰在正方形的顶点上，圆的大部分落在正方形外，必须结合"点 在正方形内（含边界）"限制圆心角为 。 二、多选题 9．（★★）在棱长为 的正方体 - 中，以 为原点，、、 为 、、 轴正方向建系，则下列说法正确的是（　　） A．点 的坐标为 　B．　C．　D． 与 的夹角为锐角 【答案】ABC 【解题思路】逐项写出坐标或用数量积判断垂直与夹角锐钝。 【解答过程】A：，正确； B：，，，正确； C：，，点积 ，故垂直，正确； D：，，点积 ，夹角为钝角，错误。 故选ABC。 10．（★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，，则下列说法正确的是（　　） A．平面 的一个法向量为 　B．直线 与平面 所成角的正弦值为 　C．直线 与平面 所成角为 　D．二面角 -- 的大小为 【答案】ABD 【解题思路】建系后逐项用法向量与角公式验证。 【解答过程】以 为原点建系，，，，，。 A：，， 与两者点积均为 ，正确； B：，，正确； C：平面 即平面 ，法向量 ，，即所成角为 ，错误； D：平面 为 ，底面为 ，两者夹角为 ，正确。 故选ABD。 11．（★★★）在棱长为 的正方体 - 中，点 在棱 上，（），则下列说法正确的是（　　） A． 的最小值为 　B． 的最小值为 　C．若 ，则 　D．当 时， 取得最小值 【答案】ABC 【解题思路】把各量写成 的表达式后逐项验证。 【解答过程】以 为原点建系，，，。 A：两者模的平方和为 ，最小值在 处为 ，正确； B：，最小值在 处为 ，正确； C：由 得 ，正确； D： 在 处取最小值 ， 而 时为 ，错误。 故选ABC。 12．（★★★）在棱长为 的正方体 - 中， 为棱 的中点，则下列说法正确的是（　　） A．异面直线 与 垂直　B．点 到平面 的距离为 　C．二面角 -- 的余弦值为 　D．三棱锥 - 的体积为 【答案】ABD 【解题思路】建系后逐项独立计算：线线垂直看数量积，点面距离用平面法向量，二面角需判断锐钝，体积用 。 【解答过程】以 为原点建系，则 ，，，，。 A 项：，，数量积为 ，故垂直，A 正确。 B 项：平面 过 ，法向量 （由 、 求得），平面方程 。点 到该平面的距离为 ，B 正确。 C 项：在棱 上取中点 ，则 与 都垂直于 ，即二面角的平面角为 。，为钝角，C 中漏了负号，C 错误。 D 项：，高为 B 项中的 ，故 ，D 正确。 故选ABD。 【多解·巧解】A 项有免建系的做法： 平面 ，而 平面 ，立得 ；D 项也可换底 ，用底面正方形面积的一半配高 计算。 【易错提醒】二面角必须判断锐钝： 与 分居棱 两侧对应的半平面张开超过 ，余弦为负；直接取两个法向量夹角的余弦绝对值就会漏掉负号而误选 C。 三、填空题 13．（★★）在棱长为 的正方体 - 中， 为 的中点，以 为原点建系，则 ____________。 【答案】 【解题思路】写出两点坐标，先求向量再求模。 【解答过程】，，， 。 14．（★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ____________。 【答案】 【解题思路】底面法向量为 ，直接代入线面角公式。 【解答过程】以 为原点建系，，，，底面法向量 。 。 15．（★★★）在三棱锥 - 中， 平面 ，，，，则点 到平面 的距离为 ____________。 【答案】 【解题思路】用等体积法：以 为底求体积，再以 为底求距离。 【解答过程】。 中 ，，取 中点 ，， 。 故 。 16．（★★★）在矩形 中，，，将 沿对角线 折起，使点 到达点 ，且平面 平面 ，则三棱锥 - 的体积为 ____________。 【答案】 【解题思路】抓住折叠不变量： 到 的距离折叠前后不变；面面垂直且交线为 ，该距离恰为三棱锥的高。 【解答过程】折叠前 ， 到 的距离 。 折叠后 到 的距离不变，仍为 ；又平面 平面 ，交线为 ，且 在面 内到交线的垂线段长为 ，故 到平面 的距离即为 。 。 所以 。 【多解·巧解】折叠前后 ， 保持不变；也可用等体积法 ，求 到平面 的距离交叉验证。 【易错提醒】误以为折叠后 到平面 的距离要乘某个角度因子；当面面垂直、交线为折痕时，面上点到交线的垂线段就是到另一个面的垂线段，距离直接照搬。 四、解答题 17．（★★）在棱长为 的正方体 - 中，以 为原点，、、 分别为 、、 轴正方向建系。 (1) 写出 、、 三点的坐标； (2) 求异面直线 与 所成角的余弦值。 【答案】(1) ，，； (2) 。 【解题思路】先建系写坐标，(2) 用两向量夹角的余弦取绝对值。 【解答过程】(1) 由棱长为 得 ，，。 (2) ，故 ，。 设两直线所成角为 ，则 。 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 。 【多解·巧解】异面直线所成的角与向量夹角的差别只差"一个绝对值"：空间两直线的夹角永远取锐角或直角，所以只要 算出负值，就加绝对值把它翻正。巧解：本题 ，若忘记加绝对值会得到 ，与"所成角必为锐角"矛盾，能立刻察觉。 【易错提醒】① 忘记取绝对值，答案写成 ；② 把直线方向向量取成 、 之类的反向向量，虽不影响结论但要与所写的向量一致；③ 写坐标时把 误写成 （与 混淆）。 18．（★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求直线 与平面 所成角的大小。 【答案】(1) 证明见解析；(2) 。 【解题思路】(1) 证 与平面 内两条相交直线都垂直；(2) 求平面 的法向量与 的夹角。 【解答过程】(1) 以 为原点建系，，，，，。 ，， 方向为 。 由 知 ； 由 知 （即 ）。 因 与 是平面 内两条相交直线，故 平面 。 (2) 由 (1) 知 与平面 垂直，可取为法向量 。 ，故 ， 所以直线 与平面 所成角为 。 【多解·巧解】第 (1) 问的线面垂直证明可以走"几何 + 向量"的混合路线：正方形对角线互相垂直（）与" 底面"（故 ）两条理由，比纯坐标更快；第 (2) 问一旦发现 平面 ， 就直接当了法向量，省去解方程组。巧解：先证垂直的结论往往就是后一问的现成法向量，做题时要善于"顺手牵羊"。 【易错提醒】① 第 (1) 问只说""就下结论，漏掉""，线面垂直需要两条相交直线；② 第 (2) 问误用余弦公式；③ 建系时把 的坐标写成 与 混淆。 19．（★★）在棱长为 的正方体 - 中， 为 的中点，以 为原点建系。 (1) 求点 到平面 的距离； (2) 求三棱锥 - 的体积。 【答案】(1) ；(2) 。 【解题思路】(1) 求平面 的方程后代入距离公式；(2) 以 (1) 的距离为高、 的面积为底。 【解答过程】(1) ，，，取平面 的法向量 ， 平面方程为 。又 ，故 。 (2) 的边长 ，是正三角形， 。 故 。 【多解·巧解】第 (2) 问的关键是选对底面：以 为底时，高恰好是第 (1) 问已经算出的距离，两问一条线串起来。巧解： 的三条边都是面对角线，长度相等，是正三角形，面积公式可以直接用——先判断三角形形状，再套面积公式，比用向量叉积快。 【易错提醒】(1) 把平面 的方程写成 （常数项由过点坐标决定，不是 ）；(2) 计算 的面积时误按直角三角形处理；③ 体积公式漏掉 。 20．（★★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。 (1) 求直线 与平面 所成角的正弦值； (2) 求点 到平面 的距离。 【答案】(1) ；(2) 。 【解题思路】建系求平面 的法向量，第 (1) 问套线面角公式，第 (2) 问套点面距公式，法向量共用。 【解答过程】以 为原点建系，，，，，。 ，，取平面 的法向量 。 (1) ，。 (2) ，起点 在平面外，故 。 【多解·巧解】同一道题里"求线面角"和"求点面距"经常共用同一个法向量，所以法向量只需求一次——这是解答题里最划算的省时点。巧解：第 (2) 问也可用等体积法验证：，两式联立同样得到 。坐标法与等体积法互相印证，是检查答案的好习惯。 【易错提醒】(1) 线面角误用余弦公式；(2) 用点面距公式时把 写成 （结果取绝对值后一致，但推导要规范）；③ 计算 时漏开方，把 写成 。 21．（★★★）在棱长为 的正方体 - 中， 为 的中点，点 在棱 上，（），以 为原点建系。 (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值。 【答案】(1) ；(2) 。 【解题思路】把 用 表示，两个量都化为 的函数后在 上求最值。 【解答过程】(1) 由题意 ，，故 ， ，当 时取最小值 。 (2) ，， 当 时取最小值 。 【多解·巧解】两个最值点不同（ 与 ），提醒我们"距离型"与"数量积型"最值不能套同一个顶点。巧解： 只与竖直方向的分量 有关，当 的竖直坐标与 相同时（即 ）水平距离最小；而数量积 中 固定朝下，越往上（ 越大）点积越小。抓住"哪个分量在变"，最值点一眼可见。 【易错提醒】(1) 忘记 的范围为 ，把最小值点写成 却不说明它在该区间内；(2) 计算 时方向反了，得到 ，点积变成 ，最小值点随之从 变成 ；③ 把 的坐标写成 （那是 不是中点）。 22．（★★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求二面角 -- 的余弦值。 【答案】(1) 证明见解析；(2) 。 【解题思路】(1) 证 与平面 内两条相交直线垂直；(2) 求两个半平面法向量的夹角并判锐钝。 【解答过程】(1) 以 为原点建系，，，，，。 ，，。 由 知 ； 由 知 。 与 是平面 内两条相交直线，故 平面 。 (2) ，，取平面 的法向量 ； 底面 的法向量 。 ，且二面角 -- 为锐角， 故其余弦值为 。 【多解·巧解】证线面垂直时，"底面对角线互相垂直"与"侧棱垂直于底面"是两条最常用的现成理由，把它们翻译成向量点积为零，两行就够了。巧解：第 (2) 问中平面 与底面共用一条棱 ，在垂直于 的截面里看， 方向为 轴，两个半平面分别是直线 与 ，夹角即为 ，可作快速验算。 【易错提醒】(1) 证垂直时只验一个点积，漏掉另一条相交直线；(2) 二面角不判锐钝，直接把法向量夹角的余弦当答案（本题恰好是锐角，但另一图形可能得到补角）；③ 把平面 的法向量写成 ，符号不影响余弦但应统一约定。 23．（★★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形， 为线段 上的动点（含端点），（）。 (1) 证明： 平面 ； (2) 当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值； (3) 求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值。 【答案】(1) 证明见解析；(2) ；(3) 最大值为 ，此时 （）。 【解题思路】建系后 (1) 用 与平面 内两相交直线垂直；(3) 中 在平面 法向量上的投影为定值，角的最值转化为 的最小值。 【解答过程】(1) 因为底面 是正方形，所以 ；又 平面 ， 平面 ，所以 。，、 平面 ，故 平面 。 (2) 以 为原点，、、 所在直线为 、、 轴建系，则 ，，，。平面 的法向量为 （平面方程 ）。 时 ，，，，故 。 (3) 设 ，则 ，（定值），故 。 ，在 处取最小值 。 所以 ，最大值为 ，此时 ，即 满足 。 【多解·巧解】(3) 的关键洞察是 与 无关：正弦值的分子固定，只需让 到"过 且与平面 平行的平面"尽量近，即把求角的最值化为求距离的最值，避免对 直接求导。 【易错提醒】线面角用"数量积除以模长"得到的是正弦而不是余弦，与线线角、二面角易混；另外 是二次函数在区间内部的顶点，不能只在端点 、 取值。 24．（★★★）在直三棱柱 - 中，，，， 为 的中点， 为线段 上的动点（含端点），（）。 (1) 证明： 平面 ； (2) 当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值； (3) 求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围。 【答案】(1) 证明见解析；(2) ；(3) 取值范围为 ，最大值在 处取得。 【解题思路】(1) 算两组垂直；(3) 中 在侧面法向量上的投影为定值 ，正弦值只随 变化，求 在 上的最小值即可得范围。 【解答过程】(1) 以 为原点，、、 所在直线为 、、 轴建系，则 ，，，，，，。，，，则 ，，故 ，，，所以 平面 。 (2) 平面 过 ，法向量 （平面方程 ）。 时 ，，，，故 。 (3) ，，（定值），故 。 ，该二次函数在 上于 处取最小值 ，在 处取最大值 。 所以 的最小值为 ，最大值为 ，取值范围为 。 【多解·巧解】与求"角的最值"相比，"求 的最值"只是二次函数问题： 为定值这一步把空间问题降维成代数问题，是此类动点线面角问题的通法。 【易错提醒】区间端点必须代入：（）给出最小值 ，（）时 并非最小；只看顶点会漏掉端点，把范围误写成开区间或漏掉 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第40讲 立体几何与空间向量综合（培优加餐） 第40讲 立体几何与空间向量综合（培优加餐） 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．能在棱柱、棱锥与折叠图形中准确找到两两垂直的三条直线，独立完成建系与坐标翻译； 2．熟练用"设—列—取"三步法求平面的法向量，并据此计算异面直线所成的角、线面角与二面角； 3．掌握含参数（动点、动高度）的存在性问题的处理流程，能把几何条件翻译成关于参数的方程； 4．能用坐标把距离、体积、数量积的最值问题化为二次（或一次）函数的最值，并注意参数的取值限制。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 复杂几何体的建系与坐标翻译 选择题、填空题 第3~5题、第13题 中 先找两两垂直的三线，再"终点减起点"写向量 线面角与二面角的综合计算 选择题、解答题 第18题 中偏难 法向量三步法，线面角用正弦、二面角判锐钝 含参数的动点与存在性探究 选择题、解答题 第18题 中偏难 动点写成"起点加参数乘方向向量"再解方程 距离、体积与数量积的最值 选择题、填空题 第8题、第16题 中偏难 化为二次函数，务必核对参数范围 等体积法与点面距的互化 选择题、解答题 第18题 中偏难 同一点出发的两种体积写法联立求距离 命题规律分析 本讲是空间向量板块的综合加餐。基础班已经把"建系、法向量、三类角、点面距"分别讲清，培优加餐要做的是把这些工具放进更复杂的图形与更开放的问题里：底面不再是正方形而是矩形、直角梯形，几何体需要"作高"才能建系；所求不再是一个角，而是"是否存在动点使某角为定值"；条件不再给出确定的棱长，而是含参数并要求反解。此时真正拉开差距的，是三条能力——一是建系的嗅觉（一眼看出哪三条线两两垂直），二是参数化的手感（把动点写成起点加参数乘方向向量），三是翻译的自如（把"垂直""平行""角度最大"准确变成含参数的方程或函数）。命题上，这部分内容多落在新高考一卷解答题第 17~18 题，第一问证平行或垂直、第二问求角或探究参数，是 90 分以上学生必须拿满的位置。本讲六类题型按"建系—求角—探究—最值—距离—交汇"的顺序层层递进，每类题都给出一把可复用的钥匙。 考点1 建系与坐标翻译的通法 知识点1 三种常用建系模型 模型一（棱柱）：直棱柱的侧棱与底面垂直，只要底面存在直角，就可以以直角顶点为原点、沿三条两两垂直的棱建系； 模型二（棱锥）：若有一条侧棱垂直于底面，则以此垂足为原点，底面上两条互相垂直的直线与这条侧棱构成三轴； 模型三（无现成垂直）：作底面的一条高，把垂足作为原点，先补出直角再建系。 【易错清单】 1．"底面是正方形"不等于"任意两条相邻边都竖直可用"，必须先确认它们与侧棱两两垂直； 2．折叠问题中，折痕两侧的垂直关系可能被破坏，需按折叠后的真实位置重新判断； 3．原点选在哪一点会改变所有坐标，选定后必须一以贯之，中途换原点是最常见的手滑。 知识点2 点的坐标与向量的翻译 中点坐标取两端坐标的平均：； 分点坐标用三点式：若 ，则 ； 向量一律用"终点减起点"：，坐标即"终点坐标减起点坐标"。 【易错清单】 1．分点公式里 是"从 出发的比例"，写成 会整体偏移； 2．把点的坐标与向量的坐标混为一谈：点 对应的是 的坐标； 3．坐标符号依赖坐标系的方向约定，写坐标前先把三条轴的正方向在图上标清楚。 考点2 角与距离的向量求法 知识点3 三类角的统一公式 异面直线所成的角 ：，注意取绝对值把角压到锐角； 直线与平面所成的角 ：，其中 是平面的法向量； 二面角：先求两个法向量的夹角余弦 ，再结合图形判断所求解是锐角还是钝角。 【易错清单】 1．线面角用正弦、二面角用余弦，公式用错是最普遍丢分点； 2．异面直线所成角与二面角都容易忽略"取绝对值"或"判锐钝"这一步； 3．两个平面所成的角有锐钝之分，但两个法向量的夹角始终在 ，不可直接当作答案。 知识点4 点面距与等体积法 点 到平面 （法向量 ， 为平面内一点）的距离 ； 等体积法：同一个三棱锥换一个底面，体积不变，即 ，由此反解所求距离。 【易错清单】 1．用坐标公式求距离时，点 必须取在平面内， 取错则整体平移； 2．等体积法要选一个"面积好算、距离已知"的底面，底面选得不好会越算越繁； 3．距离是长度恒非负，最后要取绝对值，不要保留符号。 考点3 动态与探究问题的策略 知识点5 动点参数化与最值 动点在棱（或对角线） 上时，设 ，由 的范围（通常 ）得到动点坐标； 把所求的距离平方、数量积等写成 的函数，往往化为二次函数，再用配方法在限定区间上求最值。 【易错清单】 1．求出二次函数的顶点后必须回代检验该点是否在 的允许范围内； 2．"距离之和"与"距离平方之和"的最值点一般不同，不要混用； 3．端点情形（ 或 ）常被漏掉，而不少题的最值恰好取在端点。 知识点6 存在性探究的"设—译—解—验" 存在性问题的四步：设动点（含参数）→ 把几何条件翻译成向量等式或方程 → 解出参数 → 检验参数是否落在允许范围内； 垂直条件用数量积为零，平行条件用向量共线（或与法向量垂直），定角条件用角公式建立等式。 【易错清单】 1．解出参数后不回代检验，容易把区间外的解当成答案； 2．"垂直于平面"要用"垂直于平面内两条不共线直线"两个条件，只用一个不充分； 3．方程可能有多个解，需结合动点所在线段逐一筛选。 【题型1 复杂几何体的建系与坐标运算】 【例1】在直三棱柱 - 中，，。以 为原点，、、 的方向分别为 、、 轴的正方向建立空间直角坐标系， 为 的中点， 为 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】条件同例1。若 为 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】条件同例1。若 为 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】条件同例1。则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 线面角与二面角的综合计算】 【例2】在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，，则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】条件同例2。则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】条件同例2。则二面角 -- 的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】条件同例2。则直线 与平面 所成角的正弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 含参数的动点与存在性探究】 【例3】在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。点 在棱 上，（）。若 平面 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。若直线 与平面 所成角为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。若直线 与平面 所成角为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。点 在棱 上，（），则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 距离、体积与数量积的最值】 【例4】在棱长为 的正方体 - 中，点 在棱 上，（），则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】条件同例4。则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】条件同例4。则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】在棱长为 的正方体 - 中，点 在棱 上，（）， 为 的中点，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 等体积法与点面距的互化】 【例5】在三棱锥 - 中， 平面 ，，，则点 到平面 的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】在棱长为 的正方体 - 中，则点 到平面 的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】在棱长为 的正方体 - 中，则三棱锥 - 的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】在三棱锥 - 中， 平面 ，，，，则点 到平面 的距离为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 空间向量与函数、不等式的交汇】 【例6】在棱长为 的正方体 - 中，点 在对角线 上，（），则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】在棱长为 的正方体 - 中，点 在对角线 上，（），则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】在棱长为 的正方体 - 中，点 在棱 上，（）。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】在棱长为 的正方体 - 中，点 在棱 上，（），则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）在棱长为 的正方体 - 中，以 为原点，、、 为 、、 轴正方向建系，则 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）在棱长为 的正方体 - 中，以 为原点建系，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）在棱长为 的正方体 - 中， 为 的中点，以 为原点建系，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，，则直线 与平面 所成角的正切值为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）在棱长为 的正方体 - 中，异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）在棱长为 的正方体 - 中，二面角 -- 的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知正三棱锥 - 的底面边长为 ，侧棱与底面所成的角为 ，则其外接球的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）在棱长为 的正方体 - 中，点 在正方形 （含边界）内运动，且 ，则点 的轨迹长度为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）在棱长为 的正方体 - 中，以 为原点，、、 为 、、 轴正方向建系，则下列说法正确的是（　　） A．点 的坐标为 　B．　C．　D． 与 的夹角为锐角 10．（★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，，则下列说法正确的是（　　） A．平面 的一个法向量为 　B．直线 与平面 所成角的正弦值为 　C．直线 与平面 所成角为 　D．二面角 -- 的大小为 11．（★★★）在棱长为 的正方体 - 中，点 在棱 上，（），则下列说法正确的是（　　） A． 的最小值为 　B． 的最小值为 　C．若 ，则 　D．当 时， 取得最小值 12．（★★★）在棱长为 的正方体 - 中， 为棱 的中点，则下列说法正确的是（　　） A．异面直线 与 垂直　B．点 到平面 的距离为 　C．二面角 -- 的余弦值为 　D．三棱锥 - 的体积为 三、填空题 13．（★★）在棱长为 的正方体 - 中， 为 的中点，以 为原点建系，则 ____________。 14．（★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，，则直线 与平面 所成角的正弦值为 ____________。 15．（★★★）在三棱锥 - 中， 平面 ，，，，则点 到平面 的距离为 ____________。 16．（★★★）在矩形 中，，，将 沿对角线 折起，使点 到达点 ，且平面 平面 ，则三棱锥 - 的体积为 ____________。 四、解答题 17．（★★）在棱长为 的正方体 - 中，以 为原点，、、 分别为 、、 轴正方向建系。 (1) 写出 、、 三点的坐标； (2) 求异面直线 与 所成角的余弦值。 18．（★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求直线 与平面 所成角的大小。 19．（★★）在棱长为 的正方体 - 中， 为 的中点，以 为原点建系。 (1) 求点 到平面 的距离； (2) 求三棱锥 - 的体积。 20．（★★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。 (1) 求直线 与平面 所成角的正弦值； (2) 求点 到平面 的距离。 21．（★★★）在棱长为 的正方体 - 中， 为 的中点，点 在棱 上，（），以 为原点建系。 (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值。 22．（★★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形，。 (1) 求证： 平面 ； (2) 求二面角 -- 的余弦值。 23．（★★★）在四棱锥 - 中， 平面 ，底面 是边长为 的正方形， 为线段 上的动点（含端点），（）。 (1) 证明： 平面 ； (2) 当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值； (3) 求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值。 24．（★★★）在直三棱柱 - 中，，，， 为 的中点， 为线段 上的动点（含端点），（）。 (1) 证明： 平面 ； (2) 当 时，求直线 与平面 所成角的正弦值； (3) 求直线 与平面 所成角的正弦值的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $