第39讲 空间向量的应用 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第39讲 空间向量的应用 第39讲 空间向量的应用 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．会用坐标表示空间向量，掌握建立空间直角坐标系与书写点、向量坐标的规范步骤； 2．会求平面的法向量，能用向量方法证明空间中的平行与垂直关系； 3．掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量求法，能正确取绝对值并判断锐钝； 4．掌握点到平面的距离公式，会用向量法求空间距离并处理简单的综合问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 用向量证明平行与垂直 选择题、解答题 第6~7题、第15~18题 中 证平行看法向量点乘为零，证垂直看方向向量与法向量共线 异面直线所成的角 选择题、填空题 第6题、第13题 中 求两方向向量夹角的余弦并取绝对值 直线与平面所成的角 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第17~18题 中偏难 用方向向量与法向量求正弦值，注意取绝对值 二面角 选择题、解答题 第10题、第18题 中偏难 求两半平面法向量，再用点乘符号判锐钝 点到平面的距离 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第17~18题 中偏难 先求法向量，再用投影公式求距离 命题规律分析 空间向量是立体几何的"万能工具"，它把"找角、作辅助线"的几何推理换成"建系—写坐标—算向量"的代数运算，让中档题的得分变得可预测。本专题常落在选择第 6~7 题、填空第 13 题与解答题第 17~18 题：用向量证明平行垂直属中档，异面直线所成的角、线面角、点到平面的距离常压在第 6~7 题与第 13 题，二面角则是解答题的常客。培优层要盯住三件事：一是坐标写准（几何体的顶点位置一次性写齐）；二是分清"线面角用正弦、异面直线所成的角用余弦"；三是二面角必须判断锐钝。把这三处做到不失误，本讲就基本没有丢分点。 考点1 空间直角坐标系与平面的法向量 知识点1 空间直角坐标系与向量坐标运算 建系三原则：三条坐标轴两两垂直、尽量让更多顶点落在坐标轴或坐标平面上、选便于写坐标的顶点作原点；向量坐标"终点减起点"，。 坐标运算与平面向量一致：，，（）。 【易错清单】 1．求 必须"终点减起点"，方向写反会让后面所有计算符号出错； 2．建系后先把所有关键点的坐标写齐再动笔计算，坐标写错一处后面全废。 知识点2 平面的法向量及其求法 当直线 平面 时， 的方向向量就叫做平面 的法向量；法向量不唯一，但彼此共线。 求法向量"设—列—取"三步：设 ，取平面内两个不共线向量 ，列 与 ，给一个未知数取方便值即得一组非零解。 【易错清单】 1．所选的两个向量必须不共线，否则求不出法向量； 2．方程对某未知数恒无解（如首分量必为 ）时，改取其它未知数为 ； 3．法向量不唯一，取整数组最省事，且不影响角度与距离的结果。 考点2 用空间向量证明平行与垂直 知识点3 平行的向量判定 线线平行：两方向向量共线；线面平行：方向向量与法向量数量积为零，且直线不在平面内；面面平行：两平面的法向量共线且两平面不重合。 【易错清单】 1． 只能说明"平行或在平面内"，证平行必须补写"直线上的点不在平面内"； 2．判断两向量共线要三个分量都对应成比例，漏一个就可能误判。 知识点4 垂直的向量判定 线线垂直：两方向向量数量积为零；线面垂直：方向向量与法向量共线；面面垂直：两法向量数量积为零。 【易错清单】 1．证线面垂直必须与平面内两个不共线向量都垂直，只与一个垂直不成立； 2．"数量积为零"对应垂直、"分量成比例"对应平行，两套条件不能混用。 考点3 空间角与距离的向量求法 知识点5 异面直线所成的角与直线和平面所成的角 异面直线所成的角 ：，。 直线与平面所成的角 ：，；两式都要取绝对值，保证结果为锐角或直角。 【易错清单】 1．线面角用 、异面直线所成的角用 ，两者用反是最大的失分点； 2．忘记取绝对值会算出钝角，而这两类角的取值范围都在 内； 3．若算出的正弦值或余弦值大于 ，说明中间计算有误，必须回头检查坐标。 知识点6 二面角与点到平面的距离 二面角 ：设两半平面所在平面的法向量为 ，则 ，再由图形或"棱上一点出发、垂直于棱的两个方向向量"的数量积符号判断锐钝（正为锐、负为钝）。 点 到平面 的距离 ，其中 是平面 内任一点， 是平面 的法向量。 【易错清单】 1．二面角不一定是锐角， 只给出绝对值，务必判断符号； 2．距离公式中 可在平面内任取（要挑坐标最简单的点），但 必须是平面的法向量； 3．二面角的取值范围是 ，不要与"两平面所成的角"混淆。 【题型1 用向量证明线面平行】 【例1】在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 和 的中点。用向量方法证明：直线 平面 。 【变式1-1】已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 。若 ，则 ____________。 【变式1-2】已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 。若 ，则 ____________。 【变式1-3】在棱长为2的正方体 中， 为 的中点， 为 的中点。用向量方法证明：直线 平面 。 【题型2 用向量证明线面垂直】 【例2】在棱长为2的正方体 中， 是 的中点。用向量方法证明： 平面 。 【变式2-1】已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 。若 ，则 ____________。 【变式2-2】在棱长为2的正方体 中，用向量方法证明： 平面 。 【变式2-3】已知直线 的方向向量 ，平面 内有两个不共线的向量 ，。判断直线 与平面 的位置关系。 【题型3 异面直线所成的角】 【例3】在棱长为2的正方体 中，求异面直线 与 所成角的大小。 【变式3-1】在棱长为2的正方体 中，求异面直线 与 所成角的余弦值。 【变式3-2】在棱长为2的正方体 中，求异面直线 与 所成角的大小。 【变式3-3】在长方体 中，，，，求异面直线 与 所成角的余弦值。 【题型4 直线与平面所成的角】 【例4】在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，，求直线 与平面 所成角的大小。 【变式4-1】在棱长为2的正方体 中，求直线 与平面 所成角的大小。 【变式4-2】在棱长为2的正方体 中，求直线 与平面 所成角的大小。 【变式4-3】在长方体 中，，，，求直线 与平面 所成角的正弦值。 【题型5 二面角】 【例5】在棱长为2的正方体 中，求二面角 的余弦值。 【变式5-1】在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，，求二面角 的余弦值。 【变式5-2】在棱长为2的正方体 中，求二面角 的余弦值。 【变式5-3】在棱长为2的正方体 中，求二面角 的余弦值。 【题型6 点到平面的距离】 【例6】在棱长为2的正方体 中， 是 的中点，求点 到平面 的距离。 【变式6-1】在棱长为2的正方体 中，求点 到平面 的距离。 【变式6-2】在长方体 中，，，，求点 到平面 的距离。 【变式6-3】在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，，求点 到平面 的距离。 一、单选题 1．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知 ，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则直线 与平面 的位置关系是（　　） A．　B． 或 　C．　D． 与 相交但不垂直 4．（★★）在棱长为2的正方体 中，直线 与平面 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）在棱长为2的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）在棱长为2的正方体 中，直线 与平面 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）在棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动（含端点），则直线 与 所成角的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，，则该四棱锥外接球的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）已知 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★★）关于平面的法向量与平行、垂直的判定，下列说法正确的是（　　） A．一个平面的法向量有无穷多个，它们彼此互相平行　B．若直线 的方向向量与平面 的法向量数量积为零，则 　C．若两个平面的法向量数量积为零，则这两个平面垂直　D．若直线 的方向向量与平面 的法向量共线，则 11．（★★★）在棱长为2的正方体 中，下列说法正确的是（　　） A．　B． 平面 　C．直线 与 所成角为 　D．直线 与 所成角为 12．（★★★）在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，（），则下列说法正确的是（　　） A．对任意 ， 平面 　B．直线 与平面 所成角的正切值为 　C．若二面角 的大小为 ，则 　D．点 到平面 的距离为 ，与 的取值无关 三、填空题 13．（★★）在棱长为2的正方体 中，点 到平面 的距离为____________。 14．（★★）已知 ，，则 与 夹角的余弦值为____________。 15．（★★★）在棱长为2的正方体 中，二面角 的余弦值为____________。 16．（★★★）在棱长为2的正方体 中，点 在棱 上运动（含端点），则二面角 的余弦值的取值范围为____________。 四、解答题 17．（★★）在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 ， 的中点。 (1) 用向量方法证明： 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离。 18．（★★）在棱长为2的正方体 中。 (1) 求异面直线 与 所成角的大小； (2) 求直线 与平面 所成角的大小。 19．（★★）在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，。 (1) 用向量方法证明： 平面 ； (2) 求直线 与平面 所成角的大小。 20．（★★★）在棱长为2的正方体 中， 是 的中点。 (1) 求异面直线 与 所成角的余弦值； (2) 求点 到平面 的距离。 21．（★★★）在棱长为2的正方体 中。 (1) 求二面角 的余弦值； (2) 求异面直线 与 所成角的大小。 22．（★★★）在长方体 中，，，。 (1) 求异面直线 与 所成角的余弦值； (2) 求直线 与平面 所成角的正弦值。 23．（★★★）在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，。 (1) 用向量方法证明： 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离； (3) 在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由。 24．（★★★）在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点。 (1) 用向量方法证明： 平面 ； (2) 求二面角 的余弦值； (3) 点 在线段 上运动（含端点），求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值，并指出此时点 的位置。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第39讲 空间向量的应用 第39讲 空间向量的应用 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．会用坐标表示空间向量，掌握建立空间直角坐标系与书写点、向量坐标的规范步骤； 2．会求平面的法向量，能用向量方法证明空间中的平行与垂直关系； 3．掌握异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量求法，能正确取绝对值并判断锐钝； 4．掌握点到平面的距离公式，会用向量法求空间距离并处理简单的综合问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 用向量证明平行与垂直 选择题、解答题 第6~7题、第15~18题 中 证平行看法向量点乘为零，证垂直看方向向量与法向量共线 异面直线所成的角 选择题、填空题 第6题、第13题 中 求两方向向量夹角的余弦并取绝对值 直线与平面所成的角 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第17~18题 中偏难 用方向向量与法向量求正弦值，注意取绝对值 二面角 选择题、解答题 第10题、第18题 中偏难 求两半平面法向量，再用点乘符号判锐钝 点到平面的距离 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第17~18题 中偏难 先求法向量，再用投影公式求距离 命题规律分析 空间向量是立体几何的"万能工具"，它把"找角、作辅助线"的几何推理换成"建系—写坐标—算向量"的代数运算，让中档题的得分变得可预测。本专题常落在选择第 6~7 题、填空第 13 题与解答题第 17~18 题：用向量证明平行垂直属中档，异面直线所成的角、线面角、点到平面的距离常压在第 6~7 题与第 13 题，二面角则是解答题的常客。培优层要盯住三件事：一是坐标写准（几何体的顶点位置一次性写齐）；二是分清"线面角用正弦、异面直线所成的角用余弦"；三是二面角必须判断锐钝。把这三处做到不失误，本讲就基本没有丢分点。 考点1 空间直角坐标系与平面的法向量 知识点1 空间直角坐标系与向量坐标运算 建系三原则：三条坐标轴两两垂直、尽量让更多顶点落在坐标轴或坐标平面上、选便于写坐标的顶点作原点；向量坐标"终点减起点"，。 坐标运算与平面向量一致：，，（）。 【易错清单】 1．求 必须"终点减起点"，方向写反会让后面所有计算符号出错； 2．建系后先把所有关键点的坐标写齐再动笔计算，坐标写错一处后面全废。 知识点2 平面的法向量及其求法 当直线 平面 时， 的方向向量就叫做平面 的法向量；法向量不唯一，但彼此共线。 求法向量"设—列—取"三步：设 ，取平面内两个不共线向量 ，列 与 ，给一个未知数取方便值即得一组非零解。 【易错清单】 1．所选的两个向量必须不共线，否则求不出法向量； 2．方程对某未知数恒无解（如首分量必为 ）时，改取其它未知数为 ； 3．法向量不唯一，取整数组最省事，且不影响角度与距离的结果。 考点2 用空间向量证明平行与垂直 知识点3 平行的向量判定 线线平行：两方向向量共线；线面平行：方向向量与法向量数量积为零，且直线不在平面内；面面平行：两平面的法向量共线且两平面不重合。 【易错清单】 1． 只能说明"平行或在平面内"，证平行必须补写"直线上的点不在平面内"； 2．判断两向量共线要三个分量都对应成比例，漏一个就可能误判。 知识点4 垂直的向量判定 线线垂直：两方向向量数量积为零；线面垂直：方向向量与法向量共线；面面垂直：两法向量数量积为零。 【易错清单】 1．证线面垂直必须与平面内两个不共线向量都垂直，只与一个垂直不成立； 2．"数量积为零"对应垂直、"分量成比例"对应平行，两套条件不能混用。 考点3 空间角与距离的向量求法 知识点5 异面直线所成的角与直线和平面所成的角 异面直线所成的角 ：，。 直线与平面所成的角 ：，；两式都要取绝对值，保证结果为锐角或直角。 【易错清单】 1．线面角用 、异面直线所成的角用 ，两者用反是最大的失分点； 2．忘记取绝对值会算出钝角，而这两类角的取值范围都在 内； 3．若算出的正弦值或余弦值大于 ，说明中间计算有误，必须回头检查坐标。 知识点6 二面角与点到平面的距离 二面角 ：设两半平面所在平面的法向量为 ，则 ，再由图形或"棱上一点出发、垂直于棱的两个方向向量"的数量积符号判断锐钝（正为锐、负为钝）。 点 到平面 的距离 ，其中 是平面 内任一点， 是平面 的法向量。 【易错清单】 1．二面角不一定是锐角， 只给出绝对值，务必判断符号； 2．距离公式中 可在平面内任取（要挑坐标最简单的点），但 必须是平面的法向量； 3．二面角的取值范围是 ，不要与"两平面所成的角"混淆。 【题型1 用向量证明线面平行】 【例1】在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 和 的中点。用向量方法证明：直线 平面 。 【答案】证明见解析： 且 不在平面 内，故 平面 。 【解题思路】证线面平行只需证直线的方向向量与平面的法向量数量积为零，再说明直线上的点不在平面内。 【解答过程】以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，。 由中点得 ，，所以 。 设平面 的法向量 ，由 、 得 ，，取 得 。 因为 ，所以 。 又平面 的方程为 ，而 满足 ，故 不在平面 内，所以 平面 。 【多解·巧解】把"点不在平面内"这一步也交给坐标：求出平面方程后直接代入点的坐标验证最可靠，比目测或画图更不容易出错；若平面恰好过原点，则改用"平面内不共线的两个向量与该点向量不共面"来判断。 【易错提醒】只算到 就下结论，会漏掉"直线可能在平面内"这一情形，证明不完整；另外法向量必须用平面内两个不共线向量求，用同一组数据求出的比例系数不能重复使用。 【变式1-1】已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 。若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】线面平行时方向向量与法向量垂直，由 解方程。 【解答过程】由 得 ，即 ，化简得 ，所以 。 【变式1-2】已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 。若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】同上一类，由 列方程求解。 【解答过程】由 得 ，即 ，化简得 ，所以 。 【变式1-3】在棱长为2的正方体 中， 为 的中点， 为 的中点。用向量方法证明：直线 平面 。 【答案】证明见解析。 【解题思路】求 的方向向量与平面 的法向量，点乘为零后再说明 不在平面内。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。 由中点得 ，，所以 。 设平面 的法向量 ，由 、 得 ，，取 得 。 因为 ，所以 。 又平面 的方程为 ，而 满足 ，故 不在平面 内，所以 平面 。 【题型2 用向量证明线面垂直】 【例2】在棱长为2的正方体 中， 是 的中点。用向量方法证明： 平面 。 【答案】证明见解析： 且 ，故 平面 。 【解题思路】证线面垂直只需证方向向量与平面内两个不共线向量的数量积都为零。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。 ，，。 因为 ，所以 ； 因为 ，所以 。 又 与 是平面 内的两条相交直线，所以 平面 。 【多解·巧解】先用现成结论走一步再说：正方体中 平面 ，而 都在平面 内，于是 垂直于该平面内的一切直线，结论几乎不证自明。 【易错提醒】只证 就下结论会漏掉另一条直线，必须与平面内两条相交直线都垂直；另外要判断所取的两条直线确实相交（或向量不共线），否则不能确定平面。 【变式2-1】已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 。若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】线面垂直时方向向量与法向量共线，用"分量对应成比例"求解并检验。 【解答过程】由 得 ，设 。由 得 ，于是 ，；检验第三个坐标：，成立。所以 。 【变式2-2】在棱长为2的正方体 中，用向量方法证明： 平面 。 【答案】证明见解析。 【解题思路】证 与平面 内两个不共线向量都垂直。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。 ，，。 ，， 所以 ，。 又 与 是平面 内的两条相交直线，故 平面 。 【变式2-3】已知直线 的方向向量 ，平面 内有两个不共线的向量 ，。判断直线 与平面 的位置关系。 【答案】 【解题思路】若方向向量与平面内两个不共线向量都垂直，则它就是平面的一个法向量。 【解答过程】，。又 不共线，它们确定平面 ，所以 是平面 的一个法向量，即 。 【题型3 异面直线所成的角】 【例3】在棱长为2的正方体 中，求异面直线 与 所成角的大小。 【答案】 【解题思路】求两条直线的方向向量，用夹角公式求出余弦的绝对值，再写出角。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，。 ，，且 。 ，。 设两直线所成的角为 ，则 ， 因为 ，所以 。 【多解·巧解】方向向量的起点取哪一端都可以，取反方向只会让数量积变号，取绝对值后结果不变，所以不必纠结方向；若算得余弦值为 ，也可由常见特殊角直接判断为 。 【易错提醒】忘记取绝对值会得到 ，从而误答 ；这两条直线是否异面要先确认——本题 与 不共线且不共点，确为异面直线。 【变式3-1】在棱长为2的正方体 中，求异面直线 与 所成角的余弦值。 【答案】 【解题思路】求两方向向量及其夹角的余弦，取绝对值。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。，，；，。设所成角为 ，则 。 【变式3-2】在棱长为2的正方体 中，求异面直线 与 所成角的大小。 【答案】 【解题思路】求两方向向量夹角的余弦并取绝对值。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。，，；，，则 ，故 。 【变式3-3】在长方体 中，，，，求异面直线 与 所成角的余弦值。 【答案】 【解题思路】长方体的棱长不同，先建系写准坐标，再套夹角公式。 【解答过程】以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，。，，；，，则 。 【题型4 直线与平面所成的角】 【例4】在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，，求直线 与平面 所成角的大小。 【答案】 【解题思路】先求直线的方向向量与平面的法向量，再用 公式。 【解答过程】以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，。 ，。 设平面 的法向量 ，由 、 得 ，，取 得 ，。 设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，所以 。 【多解·巧解】本题底面与侧棱垂直，是最典型的"现成直角"建系情形；也可用几何法作 到平面 的垂线求角，但需要额外找垂足，向量法只需算一个法向量，明显更省事。 【易错提醒】直线与平面所成的角用 而非 ，若直接套用夹角公式会得到 的错误结果；另外结果必须取绝对值，否则会算成钝角。 【变式4-1】在棱长为2的正方体 中，求直线 与平面 所成角的大小。 【答案】 【解题思路】底面的法向量取竖直方向，代入线面角公式。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。平面 的法向量取 ，则 ，故 。 【变式4-2】在棱长为2的正方体 中，求直线 与平面 所成角的大小。 【答案】 【解题思路】先求平面 的法向量，再用线面角公式。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。由 、 得平面 的法向量 ，。则 ，故 。 【变式4-3】在长方体 中，，，，求直线 与平面 所成角的正弦值。 【答案】 【解题思路】平面 就是坐标平面 ，法向量可直接写出。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。平面 即坐标平面 ，取法向量 ，，则 。 【题型5 二面角】 【例5】在棱长为2的正方体 中，求二面角 的余弦值。 【答案】 【解题思路】分别求两个半平面所在平面的法向量，用 求夹角，再判断二面角是锐角还是钝角。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。 平面 的法向量由 、 求得 ，； 平面 即底面，取法向量 。 于是 。 取 的中点 ，则 ，，，说明该二面角为钝角，所以 。 【多解·巧解】还有一个更快的判断法：二面角 与其"补二面角" 互补，而 明显是锐角，故 必为钝角，余弦取负号即可，无需再作向量点乘。 【易错提醒】只用 得到 而漏判锐钝，会把钝角误写成锐角；判断符号时"从棱上一点出发、分别指向两个半平面内且垂直于棱"的两个向量必须在两个半平面内，不能随意取点。 【变式5-1】在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，，求二面角 的余弦值。 【答案】 【解题思路】分别求平面 与底面 的法向量，再用点乘符号判断锐钝。 【解答过程】以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，。由 、 得平面 的法向量 ，；平面 取法向量 。则 。又平面 内垂直于棱 且指向 的方向为 ，底面内垂直于棱 且指向 的方向为 ，二者点乘为 ，故为锐角，。 【变式5-2】在棱长为2的正方体 中，求二面角 的余弦值。 【答案】 【解题思路】求平面 的法向量与底面法向量，再用点乘判断锐钝。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，。由 、 得平面 的法向量 ，；平面 取法向量 。则 。取 的中点 ，，，点乘为 ，故为锐角，。 【变式5-3】在棱长为2的正方体 中，求二面角 的余弦值。 【答案】 【解题思路】两半平面为平面 与底面 ，求法向量后再判断锐钝。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，。平面 的法向量 ，；平面 即底面，取法向量 。则 。取 的中点 ，，，点乘为 ，故为锐角，。 【题型6 点到平面的距离】 【例6】在棱长为2的正方体 中， 是 的中点，求点 到平面 的距离。 【答案】 【解题思路】先求平面的法向量，再取平面内一点与目标点连线，代入投影公式求距离。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。 平面 的法向量取 ，，且平面方程为 。 取平面内一点 ，则 ，所以点 到平面 的距离 。 【多解·巧解】距离公式中的 取平面内任意一点结果都一样，所以要挑坐标最简单的点（本题取 ）；也可直接算点到平面方程 的距离，与代入投影公式完全等价。 【易错提醒】把平面内任意向量当作法向量代入公式会算错——必须先"设—列—取"得到法向量；另外距离公式带绝对值， 为负时不要忘记取正。 【变式6-1】在棱长为2的正方体 中，求点 到平面 的距离。 【答案】 【解题思路】法向量已知，直接代入距离公式。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，。平面 的法向量 ，。，所以 。 【变式6-2】在长方体 中，，，，求点 到平面 的距离。 【答案】 【解题思路】先求平面 的法向量，再代入距离公式。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。由 、 得平面 的法向量 ，。，所以 。 【变式6-3】在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，，求点 到平面 的距离。 【答案】 【解题思路】平面 就是坐标平面 ，法向量可直接写出。 【解答过程】以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 。平面 即坐标平面 ，取法向量 ，；取平面内一点 ，，所以 。 一、单选题 1．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直接代入向量模的坐标公式。 【解答过程】。故选A。 2．（★★）已知 ，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用空间向量的夹角公式。 【解答过程】，，所以 。故选A。 3．（★★）已知直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则直线 与平面 的位置关系是（　　） A．　B． 或 　C．　D． 与 相交但不垂直 【答案】B 【解题思路】方向向量与法向量数量积为零，则直线与平面平行或在平面内。 【解答过程】，所以 ，即直线的方向向量与平面的法向量垂直，故 或 。故选B。 4．（★★）在棱长为2的正方体 中，直线 与平面 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】底面的法向量为竖直方向，代入线面角公式。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。平面 的法向量取 ，则 ，故 。故选B。 5．（★★）在棱长为2的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】求两方向向量夹角的余弦并取绝对值。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。，，，，则 ，故 。故选C。 6．（★★★）在棱长为2的正方体 中，直线 与平面 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求平面 的法向量，再用线面角公式。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。平面 的法向量取 ，，则 ，故 。故选A。 7．（★★★）在棱长为2的正方体 中，点 在线段 上运动（含端点），则直线 与 所成角的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设参数写出 的坐标，发现 为定值，所成角最小等价于 最小，用配方法求二次函数最小值。 【解答过程】以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，。设 （），则 ，，（定值）。，，当 时 最小为 。设所成角为 ，则 ，故 最小为 。故选A。 8．（★★★）在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，，则该四棱锥外接球的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】建系后利用球心到各顶点距离相等列方程组：球心在底面的射影是底面中心，竖坐标由 解出。 【解答过程】以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，。设球心 。由 得 ；由 得 ；由 得 ，解得 ，故球心 。外接球半径 ，表面积 。故选C。 二、多选题 9．（★★）已知 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项按坐标运算法则验算。 【解答过程】A中，，正确；B中，，正确；C中，，正确；D中，各分量不成比例，两向量不平行，错误。故选ABC。 10．（★★）关于平面的法向量与平行、垂直的判定，下列说法正确的是（　　） A．一个平面的法向量有无穷多个，它们彼此互相平行　B．若直线 的方向向量与平面 的法向量数量积为零，则 　C．若两个平面的法向量数量积为零，则这两个平面垂直　D．若直线 的方向向量与平面 的法向量共线，则 【答案】ACD 【解题思路】逐项对照法向量与线面关系的判定结论判断。 【解答过程】A中，垂直于同一平面的向量都互相平行，法向量有无穷多个，正确；B中，数量积为零只能说明 或 ，不能排除 ，错误；C中，法向量数量积为零即两法向量垂直，从而两平面垂直，正确；D中，方向向量与法向量共线即线面垂直，正确。故选ACD。 11．（★★★）在棱长为2的正方体 中，下列说法正确的是（　　） A．　B． 平面 　C．直线 与 所成角为 　D．直线 与 所成角为 【答案】ABC 【解题思路】建系后逐一用数量积判断垂直与夹角。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，，。，，，所以 ，A、C正确；又 ，，且 ，故 平面 ，B正确；，，夹角余弦为 ，所成角为 ，D错误。故选ABC。 12．（★★★）在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，（），则下列说法正确的是（　　） A．对任意 ， 平面 　B．直线 与平面 所成角的正切值为 　C．若二面角 的大小为 ，则 　D．点 到平面 的距离为 ，与 的取值无关 【答案】ABD 【解题思路】逐项建系独立推导：A 用两组数量积且与 无关；B 用线面角的正切；C 求二面角正切得临界值 ；D 求出平面 的法向量后代距离公式。 【解答过程】以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，。A中，，，，，， 与 相交于 ，故对任意 都有 平面 ，正确；B中， 在底面上的射影为 ， 在底面上的射影长为 ， 到底面的距离为 ，设所成角为 ，则 ，正确；C中，取 中点 ，，，二者都垂直于 ，，则 ；若二面角为 ，则 ，解得 ，错误；D中，，，平面 的法向量可取 ，，，所以 ，与 无关，正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）在棱长为2的正方体 中，点 到平面 的距离为____________。 【答案】 【解题思路】先求平面 的法向量，再代入距离公式。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，。由 、 得平面 的法向量 ，。，所以 。 14．（★★）已知 ，，则 与 夹角的余弦值为____________。 【答案】 【解题思路】先算数量积与两个模，再代入夹角公式。 【解答过程】，，所以 。 15．（★★★）在棱长为2的正方体 中，二面角 的余弦值为____________。 【答案】 【解题思路】求平面 的法向量与底面法向量，再判断锐钝。 【解答过程】以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，。由 、 得平面 的法向量 ，；底面法向量 。。取 中点 ，，，点乘为 ，故为锐角，。 16．（★★★）在棱长为2的正方体 中，点 在棱 上运动（含端点），则二面角 的余弦值的取值范围为____________。 【答案】 【解题思路】设 ，从棱 的中点出发，取两个半平面内分别指向 与 且垂直于棱的方向向量，写出余弦关于 的表达式，再由单调性定范围。 【解答过程】以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，设 （）。取 的中点 ，则 ，，验证 ，，即两个向量都垂直于棱 ，且分别指向二面角的两个半平面。设二面角 的大小为 ，则 。当 从 增大到 时， 单调递增，故 从 单调增大到 ，所以 的取值范围是 。 四、解答题 17．（★★）在棱长为2的正方体 中， 分别是棱 ， 的中点。 (1) 用向量方法证明： 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离。 【答案】(1) 证明见解析； (2) 。 【解题思路】(1) 证方向向量与法向量的数量积为零，并说明点不在平面内；(2) 用法向量与距离公式。 【解答过程】(1) 以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，，，。 由 、 得平面 的法向量 。 因为 ，所以 。 又平面 的方程为 ，而 满足 ，故 不在平面 内，所以 平面 。 (2) 取 ，，点 到平面 的距离 。 【多解·巧解】(1) 中判断"点不在平面内"用平面方程代入最省事；求平面方程时把法向量与平面内一点一起用，这一步求得的平面方程在 (2) 中还能继续复用，不必重复计算。 【易错提醒】(1) 只算数量积为零就下结论，漏掉"直线不在平面内"；(2) 中 为负，距离公式要取绝对值。 18．（★★）在棱长为2的正方体 中。 (1) 求异面直线 与 所成角的大小； (2) 求直线 与平面 所成角的大小。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用两方向向量求夹角余弦取绝对值；(2) 用方向向量与底面法向量求线面角的正弦。 【解答过程】(1) 以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。 ，，，， 则 ，故 。 (2) 平面 的法向量取 ，则 ，故 。 【多解·巧解】(1)(2) 用的是同一组 "方向向量"，只是 (1) 要两方向向量、(2) 要一个方向向量配一个法向量；建系一次、坐标算一次，两问都能完成，这是解答题"一问多用"的标准写法。 【易错提醒】两问的三角函数不同：(1) 异面直线所成的角用 ，(2) 线面角用 ，用反了结果全错；另外两问都要取绝对值。 19．（★★）在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，。 (1) 用向量方法证明： 平面 ； (2) 求直线 与平面 所成角的大小。 【答案】(1) 证明见解析； (2) 。 【解题思路】(1) 证 与平面 内两个不共线向量都垂直；(2) 借用 (1) 中得到的法向量求线面角。 【解答过程】(1) 以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，。 ，，。 ，，所以 ，。 又 与 是平面 内的两条相交直线，故 平面 。 (2) 由 (1) 知平面 的法向量可取 ，；，。 则 ，故 。 【多解·巧解】(1) 中证出的 恰好就是平面 的法向量，可以直接搬到 (2) 里用，省去重新"设—列—取"求法向量的过程——解答题中这种"前问为后问服务"很常见，写题时要留意复用。 【易错提醒】(1) 证线面垂直必须与平面内两条相交直线都垂直，只证 不够，还要有 ；(2) 中线面角用 ，不要套异面直线所成角的 公式。 20．（★★★）在棱长为2的正方体 中， 是 的中点。 (1) 求异面直线 与 所成角的余弦值； (2) 求点 到平面 的距离。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 求两方向向量夹角的余弦取绝对值；(2) 法向量已知，代入距离公式。 【解答过程】(1) 以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。 ，，，，， 则 。 (2) 平面 的法向量取 ，；， 所以点 到平面 的距离 。 【多解·巧解】把异面直线所成的角与点面距放在同一题里，好处是建系与坐标只写一次；求距离时注意 的起点要落在平面 内（取 ），这样代入公式才正确。 【易错提醒】(1) 中 ，不要忘记取绝对值；(2) 距离公式里 必须是平面内的点，若误取平面外的点代入会算错。 21．（★★★）在棱长为2的正方体 中。 (1) 求二面角 的余弦值； (2) 求异面直线 与 所成角的大小。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 求平面 与平面 的法向量，再用点乘判断锐钝；(2) 算两方向向量的数量积。 【解答过程】(1) 以 为原点建立空间直角坐标系，则 ，，，。 平面 的法向量 ，；由 、 得平面 的法向量 ，。 则 。取 中点 ，，， 点乘为 ，故为锐角，。 (2) ，，，所以两直线互相垂直，所成角为 。 【多解·巧解】(2) 只需算数量积是否为零即可判定 ，不必再求模与余弦值，"数量积为零 两异面直线垂直"这一结论能显著提速。 【易错提醒】(1) 中两个法向量点乘为 而非 ，比值要仔细；判断锐钝时棱 上的两个方向向量必须在各自的半平面内，取 是 的中点后 与 正好符合要求。 22．（★★★）在长方体 中，，，。 (1) 求异面直线 与 所成角的余弦值； (2) 求直线 与平面 所成角的正弦值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】长方体的棱长不同，先建系写准坐标，再分别套夹角公式与线面角公式。 【解答过程】(1) 以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，。 ，，，，， 则 。 (2) 平面 即坐标平面 ，取法向量 ，， 则 。 【多解·巧解】遇到"平面过原点且与坐标平面平行"的情形，法向量可以秒写（如 的法向量为 ），不必再"设—列—取"，能节省不少时间。 【易错提醒】(1) 中 为负，取绝对值后再除以两个模；(2) 平面 是 而非 ，注意不要取错坐标平面上对应的法向量。 23．（★★★）在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， 平面 ，。 (1) 用向量方法证明： 平面 ； (2) 求点 到平面 的距离； (3) 在线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由。 【答案】(1) 证明见解析； (2) ； (3) 存在，点 为线段 的中点。 【解题思路】(1) 证 与平面 内两条相交直线的数量积都为零；(2)(3) 共用平面 的法向量 ，(3) 设 的参数坐标，把线面角翻译成关于参数的方程。 【解答过程】(1) 以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，。 ，，。 ，， 又 与 是平面 内相交于点 的两条直线，所以 平面 。 (2) 由 ，，设平面 的法向量 ， 则 ，取 得 ，。 取平面内一点 ，，所以点 到平面 的距离 。 (3) 设 （），，则 ，。 ，。 设直线 与平面 所成角为 ，则 （ 时 ）。 令 ，即 ，化简得 ， 两边平方：，即 ，解得 ，满足 且不产生增根。 此时 为线段 的中点，检验：，成立。所以存在这样的点 ，为线段 的中点。 【多解·巧解】(2)(3) 共用一个法向量，先"设—列—取"一次，两问直接复用；(3) 是标准的设参四步：设参数坐标、把角翻译成正弦公式、解方程、回代检验参数范围。平方后方程降为一次方程，解唯一，天然排除了增根讨论的负担。 【易错提醒】(2) 中 的起点 必须取在平面 内，取平面外的点代入公式必错；(3) 中线面角用 而非 ，且 在 时非负，去绝对值前要说明理由；解出 后要写明它属于 ，并把参数值翻译成" 的中点"这一几何结论。 24．（★★★）在棱长为2的正方体 中， 为棱 的中点。 (1) 用向量方法证明： 平面 ； (2) 求二面角 的余弦值； (3) 点 在线段 上运动（含端点），求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值，并指出此时点 的位置。 【答案】(1) 证明见解析； (2) ； (3) 最大值为 ，此时 为线段 的中点。 【解题思路】(1) 证 与平面内两条相交直线的数量积为零；(2) 求两个半平面的法向量并借 中点判断锐钝；(3) 设参数写出 ，发现数量积为定值，正弦最大等价于 最小，配方即得。 【解答过程】(1) 以 为原点， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，。 ，，。 ，， 又 与 相交于点 ，所以 平面 。 (2) 平面 中，，，设法向量 ， 由 取 得 ，； 平面 中，，同理可得法向量 ，。 。 取 的中点 ，则 ，（二者均垂直于棱 且分属两个半平面）， ，故该二面角为锐角，。 (3) 设 （），，则 ，。 由 (2) 知平面 的法向量 ，（定值）， 。 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， 故 即 取最小值 时， 最大为 ， 此时 为线段 的中点。 【多解·巧解】(3) 的关键在于发现 是定值，于是"角最大"转化为"分母 最小"，即 取在线段 上距 最近的位置，一次配方解决问题，比逐点试值或求导都省力。 【易错提醒】(2) 中两个法向量点乘结果是 而非 ，且必须判断锐钝后才能去掉绝对值；(3) 中 整条线段都在平面 内， 取端点时直线 仍与平面相交，正弦值为 ，并不是最大值，最大值在 处取得，忘记配方而直接代端点会得出错误结论。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $