第38讲 空间向量的概念与运算 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第38讲 空间向量的概念与运算 第38讲 空间向量的概念与运算 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解空间向量的概念与线性运算，会用基底与坐标表示空间向量并完成向量的线性运算； 2．掌握空间向量基本定理，会判断三个向量是否共面、能否作为空间的一组基底； 3．熟练掌握空间向量数量积的坐标运算，会求向量的模与夹角，并处理与模有关的二次函数最值； 4．掌握平行、垂直的坐标条件，能处理含参求值与夹角符号的判定问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 空间向量的概念与线性运算 选择题、填空题 第3~6题 中 线性运算逐分量进行，注意方向与符号 空间向量基本定理与坐标表示 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中 会用基底表示向量，共面看能否线性表示 数量积、模与夹角 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第17~18题 中 先算数量积，再代入模与夹角公式 平行、垂直的坐标条件 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 平行逐分量成比例，垂直数量积为零 含参求值与模的最值 选择题、解答题 第7题、第18题 中偏难 先平方化二次函数，再配方或分离参数 命题规律分析 空间向量是立体几何的"代数语言"，也是新高考把几何问题转化为计算问题的关键工具。本专题常落在选择第 3~7 题、多选第 9~10 题、填空第 12~13 题，并作为解答题第 15~18 题的工具出现；坐标运算、数量积与模属"必得分"，而含参平行垂直、共面判定与"模的最小值"是拉开差距的地方。培优层的策略是三句话：坐标运算逐分量做，一个分量都不能漏；求模先平方再开方，把 化成关于 的二次函数；判平行用"系数对应成比例"、判垂直用"数量积为零"，两者绝不混用。把这三件事变成条件反射，本讲的题就几乎不会失分。 考点1 空间向量的概念与线性运算 知识点1 空间向量与线性运算 空间向量既有大小又有方向，与起点无关，可以自由平移； 表示向量的模，长度为零的向量记作 ，模为 的向量叫做单位向量。 线性运算与平面向量一致： 满足三角形法则与平行四边形法则， 的长度为 、方向由 的正负决定；（终点减起点）。 【易错清单】 1． 与任意向量共线，但零向量不能作为基向量，也不能作为直线的方向向量； 2． 与 互为相反向量，代值时方向写反会整体符号出错； 3．共线定理要求 才有"存在唯一实数 使 "，直接写 时不要漏掉这一前提。 知识点2 空间向量基本定理与共面判定 不共面的三个向量 构成空间的一个基底，任一向量 可唯一表示为 。 共面判定：若 不共线，则 与 共面当且仅当存在实数 使 ；三向量共面时它们不能作为空间的一个基底。 【易错清单】 1．判断三个向量能否作为基底，等价于判断它们是否共面，只需看其中一个能否用另外两个线性表示； 2．基底不共面时表示系数唯一，可据此列方程求参数；若三向量共面则系数不唯一，不能这样求解。 考点2 空间向量的坐标表示与数量积 知识点3 坐标表示与坐标运算 在单位正交基底 下， 记作 ；若 ，，则 。 坐标线性运算逐分量进行：，。 【易错清单】 1．把"点的坐标"当成"向量的坐标"直接代入，求 必须用终点减起点； 2．逐分量计算时符号出错或漏掉某个分量，是本题型最常见的低级失分。 知识点4 数量积、模与夹角 坐标式数量积 ；模 ；夹角 。 常用恒等式 ；其中 时夹角为锐角， 时夹角为钝角。 【易错清单】 1．数量积是实数而非向量，最后不要保留向量记号；求模最后一步是开方，别把 当作 ； 2．夹角公式的分母是两个模的乘积，漏写分母或忘记开方都会使结果出错； 3．已知模或夹角反求参数时，平方会产生"增根"，解出后需回代检验符号与范围。 考点3 空间向量的平行与垂直 知识点5 平行与垂直的坐标条件 （）当且仅当 ，即各分量对应成比例； 当且仅当 ，即 。 【易错清单】 1．某个分量为零时不能直接写比例式，应回到 逐分量讨论； 2．把垂直条件误记成"分量成比例"、把平行条件误用数量积，是两种条件混淆造成的典型错误； 3．由 推不出 或 ，两非零向量垂直时数量积同样为零。 【题型1 空间向量的坐标运算与求点坐标】 【例1】已知 ，，点 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把向量关系化为关于位置向量的等式，解出 的坐标再求模。 【解答过程】设 为原点，由 得 ，整理得 。 代入坐标：，故 ，。故选A。 【多解·巧解】定比分点可一步到位： 在线段 上且 ，由 直接写出坐标，省去设未知数。 【易错提醒】把 直接写成 会漏掉系数 的分配；分点公式里"权重"对应"距离比"时要看准方向。 【变式1-1】已知 ，， 为线段 的中点，则 ____________。 【答案】 【解题思路】中点坐标取两端点的平均数，再求模。 【解答过程】 的坐标为 ，所以 。 【变式1-2】已知 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先算数乘与减法得到 的坐标，再求模。 【解答过程】，所以 ，。故选B。 【变式1-3】已知 ，，点 满足 ，则点 的坐标为____________。 【答案】 【解题思路】先求 ，再按比例求出 ，最后用"起点加向量"得到 。 【解答过程】，所以 ，于是 。 【题型2 数量积的坐标运算与恒等式】 【例2】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先算两个组合向量的坐标再相乘求和；也可用分配律展开为 的组合。 【解答过程】，，所以原式 。故选A。 【多解·巧解】用分配律更省力：由 ，，，展开得 ，不必逐一写出组合向量。 【易错提醒】展开时交叉项系数容易算错： 中 的净系数是 ；另外数量积是实数，算完不要写成坐标形式。 【变式2-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】见到 立刻用平方差 。 【解答过程】。故选A。 【变式2-2】已知 ，，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把垂直条件化为 ，解关于 的方程。 【解答过程】由 得 。而 ，，故 ，，。故选A。 【变式2-3】已知 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用分配律把数量积展开成 的组合。 【解答过程】。故选A。 【题型3 求模与模的最值】 【例3】已知 ，， 与 的夹角为 ，则 （）的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先平方化为关于 的二次函数，配方求最小值后再开方。 【解答过程】，所以 。当 时取到最小值 ，故 的最小值为 。故选A。 【多解·巧解】也可用几何观点： 的最小值就是 的端点到直线 所在直线的距离，即 ，一步到位。 【易错提醒】题目求的是 而非它的平方，配出最小值 后必须开方得 ；另外 取负值时 方向反转，不要误认为 只能取正。 【变式3-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求向量和，再求模。 【解答过程】，所以 。故选A。 【变式3-2】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先算 的坐标，再逐分量平方求和开方。 【解答过程】，所以 。故选A。 【变式3-3】已知 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求模先平方，用 。 【解答过程】，所以 。故选A。 【题型4 求夹角（含参数与夹角符号）】 【例4】已知 ，，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】夹角为钝角等价于 ，并检验是否有可能共线反向。 【解答过程】。夹角为钝角需 ，即 ，解得 。再看是否反向共线：由 与 得 有两个不同取值，矛盾，故 不可能反向。所以 。故选A。 【多解·巧解】夹角公式的分母 恒为正，符号完全由分子 决定，所以判"锐角、直角、钝角"只需看 的正负，再补上"是否共线"这一步即可。 【易错提醒】钝角对应 （严格不等号），不要写成 ；若题目问"夹角为钝角或平角"才需额外允许反向共线，本题需排除反向，但经检验并不成立。 【变式4-1】已知 ，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先算数量积与两个模，再代入夹角公式。 【解答过程】，，，所以 。故选A。 【变式4-2】已知 ，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直接代入坐标式夹角公式。 【解答过程】，，，所以 。故选A。 【变式4-3】已知 ，，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先把模的条件平方求出 ，再代入夹角公式。 【解答过程】由 ，解得 。所以 。故选A。 【题型5 平行与垂直的坐标条件】 【例5】已知 ，。 (1) 若 ，求 的值； (2) 若 ，求 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】垂直用数量积为零求解；平行用 逐分量比较。 【解答过程】(1) 由 得 ，所以 。 (2) 由 设 。比较竖坐标得 ，即 ；再比较纵坐标得 成立；' 最后由横坐标得 。 【多解·巧解】平行问题一律回到 比较稳妥，遇到含零分量的情形比直接写比例式更安全；本题 说明两向量方向相反，这也是"平行"允许的。 【易错提醒】(2) 若直接列比例式 ，容易漏掉第三个分量的校验；(1) 计算数量积时 与 两项都要算进去。 【变式5-1】已知 ，，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】含零分量时用 逐分量比较，由非零分量定 。 【解答过程】设 ，由竖坐标得 ，即 ；再由横坐标得 。 【变式5-2】已知 ，，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】由垂直得数量积为零，列一元方程求解。 【解答过程】，由 得 ，所以 。 【变式5-3】已知 ，。 (1) 若 ，求 ； (2) 若 ，求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】平行用系数对应成比例，垂直用数量积为零，分别求解。 【解答过程】(1) 设 ，由横坐标得 ，由竖坐标得 也成立，故 ，。 (2) ，由 得 ，所以 。 【题型6 空间向量基本定理的应用】 【例6】已知 是空间的一组基底，，，，点 满足 。 (1) 用 表示 ； (2) 判断点 是否在平面 内，并说明理由。 【答案】(1) ； (2) 在平面 内。 【解题思路】把 化为 与 的线性组合，若能表示则 与 共面。 【解答过程】(1) 。 又 ，，于是 （两式 的系数之和恰为 ）。 (2) 因为 能写成 与 的线性组合，所以 与 共面，即 与 四点共面，故 在平面 内。 【多解·巧解】判断点是否在平面内，用"系数和为 "最快： 时， 在平面 内当且仅当 ，本题 ，立得结论。 【易错提醒】把 写成 会整体变号；判断共面必须把 表示成 的组合，而不是直接与 的系数比较。 【变式6-1】在平行六面体 中，，，，用 表示 ，结果为____________。 【答案】 【解题思路】沿 的折线路径表示，方向相反的分段取负号。 【解答过程】。 【变式6-2】已知 是两个不共线的向量，，判断 是否共面，并说明理由。 【答案】共面。因为 可以用 线性表示。 【解题思路】只要能写成 ，三向量就共面。 【解答过程】因为 不共线，而 可以写成 的线性组合，由共面判定知 三向量共面。 【变式6-3】已知 是空间的一组基底，，，，判断 是否共面。 【答案】共面，因为 。 【解题思路】尝试用 线性表示 ，能与不能即为共面与不共面。 【解答过程】设 。比较 的系数得 ，比较 的系数得 ，两式相加得 ，代回得 ；再验证 的系数 ，与 相符。所以 ，三向量共面。 一、单选题 1．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】向量加法逐分量对应相加。 【解答过程】。故选A。 2．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先求 ，再用 。 【解答过程】，所以 。故选B。 3．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】坐标式数量积对应相乘再相加。 【解答过程】。故选B。 4．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】向量坐标等于终点减起点。 【解答过程】。故选A。 5．（★★）已知 ，，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】垂直即数量积为零，据此列方程。 【解答过程】，由 得 ，所以 。故选A。 6．（★★★）已知 ，则与 同方向的单位向量为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】与 同方向的单位向量为 。 【解答过程】，所以同方向的单位向量为 。故选A。 7．（★★★）在棱长为 的正方体 中，点 在线段 上运动，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】建系并设参数，把 化为关于参数的二次函数，配方求最小值后再开方。 【解答过程】以 为原点，，， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向建系，则 ，，。设 （），则 ，。所以 。当 （即 为 的中点）时， 取最小值 ，故 的最小值为 。故选A。 8．（★★★）已知 ，，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是（　　） A．　B． 且 　C．　D． 且 【答案】B 【解题思路】钝角等价于数量积小于 ，还必须检验并剔除两向量反向共线（夹角为平角）的情形。 【解答过程】。夹角为钝角，首先需 ，即 。再检验反向共线的可能：设 ，由横坐标得 ，由纵坐标得 ，即 ；验证竖坐标 成立，故当 时 ，两向量反向共线，夹角为平角而非钝角，必须剔除。所以 且 。故选B。 二、多选题 9．（★★）已知 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项按坐标运算法则验算。 【解答过程】A中，，正确；B中，，正确；C中，，正确；D中，，错误。故选ABC。 10．（★★）下列关于空间向量的说法正确的是（　　） A．零向量与任意向量平行　B．若 ，则 或 　C．若 且 ，则 　D． 【答案】ACD 【解题思路】逐项对照共线定义、数量积性质判断。 【解答过程】A中，零向量与任意向量共线（平行），正确；B中，两个非零向量垂直时数量积也为 ，错误；C中，符合共线向量定理，正确；D中，数量积满足分配律，正确。故选ACD。 11．（★★★）已知 ，，则（　　） A．　B．　C． 与 的夹角为 　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项求模、数量积与夹角。 【解答过程】A中，，正确；B中，，正确；C中，，故夹角为 ，正确；D中，，两向量不垂直，错误。故选ABC。 12．（★★★）已知 ，，，则（　　） A．当 时， 共面　B．若 ，则 ，且此时 　C．当 时， 与 的夹角为钝角　D． 的最小值为 【答案】ABD 【解题思路】A 项设线性组合解方程组；B 项由数量积为零解参数并二次验证；C 项算数量积定符号；D 项把模的平方化为二次函数求最小值。 【解答过程】A中，设 ，则 ，解得 ，，，故当 时 ，三向量共面，正确；B中，，由 得 ，此时 ，，故 也成立，正确；C中， 时 ，，，数量积为正，夹角只能是锐角，不可能是钝角，错误；D中，，当且仅当 时取等号，故 的最小值为 ，正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）已知 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】各分量平方和再开方。 【解答过程】。 14．（★★）已知 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】坐标式数量积对应相乘再相加。 【解答过程】。 15．（★★★）已知 ，，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】垂直即数量积为零。 【解答过程】，由 得 ，所以 。 16．（★★★）已知 ，，（），且 ，则 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】把 写成坐标，将 化为 的约束，再把 视为整体 ，用判别式法求范围。 【解答过程】，由 得 ，即 。设 ，则 ，代入得 ，即 。该关于 的方程有实数解，故判别式 ，即 ，所以 ，即 的取值范围为 。 四、解答题 17．（★★）已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 与 。 【答案】(1) ； (2) ，。 【解题思路】(1) 先算数乘再逐分量相减；(2) 用坐标式数量积与模长公式。 【解答过程】(1) ，所以 。 (2) ，。 【多解·巧解】线性运算先算数乘再合并，能减少符号错误；求模时把 与 分开写，便于后续复用到夹角计算中。 【易错提醒】(1) 中 容易写成 ，注意是 被减去；(2) 求模最后一步要开方， 不要写成 。 18．（★★）已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】用"终点减起点"求向量坐标，再用模长公式求长度。 【解答过程】(1) 。 (2) 。 【多解·巧解】把点坐标写成向量时，记住 就是两点间的距离，结果一定非负；这类题用"终点减起点"一步到位，比逐坐标画图更稳。 【易错提醒】(1) 若写成"起点减终点"会得到 （方向相反），后续所有计算符号都会错；(2) 别漏掉中间的 。 19．（★★）已知 ，。 (1) 求 与 ； (2) 求 及 与 夹角的余弦值。 【答案】(1) ，； (2) ，夹角的余弦值为 。 【解题思路】先分别求模与数量积，再代入夹角公式。 【解答过程】(1) ，。 (2) ，所以 。 【多解·巧解】夹角公式的三要素是"分子数量积、分母两个模"，缺一不可；本题 为负，夹角为钝角，余弦值为负属正常现象。 【易错提醒】(2) 中忘记开方会把模写成 ；另外不要因为余弦值为负就改号，夹角取值范围为 ，钝角的余弦本就为负。 20．（★★★）已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 与 夹角的余弦值。 【答案】(1) ； (2) 夹角的余弦值为 。 【解题思路】(1) 先求向量和再求模；(2) 先算数量积与两个模，再代入夹角公式。 【解答过程】(1) ，所以 。 (2) ，，，所以 。 【多解·巧解】求 也可以先平方展开：，与先求和再求模结果一致，可互为验算。 【易错提醒】(2) 中夹角公式分母是两个模的乘积 ，别漏写或只写一个模；数量积 的符号容易算错，逐项核对。 21．（★★★）已知 ，。 (1) 若 ，求 ； (2) 若 ，求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】垂直用数量积为零；平行用 逐分量比较。 【解答过程】(1) ，由 得 ，所以 。 (2) 设 ，比较竖坐标得 ，即 ；再比较横坐标得 成立；由纵坐标得 。 【多解·巧解】平行与垂直的条件要严格区分：垂直看数量积是否为零，平行看各分量是否对应成比例；两条结论可互相检验——本题 与 分别对应两种关系，数值不同属正常。 【易错提醒】(2) 用 时要三个分量都对上，只比较一组分量可能蒙对也可能出错；(1) 中 与 两项都要计入数量积。 22．（★★★）已知 ，，。 (1) 求 ； (2) 求 （）的最小值。 【答案】(1) ； (2) 最小值为 。 【解题思路】(1) 求模先平方；(2) 把 化为关于 的二次函数再配方。 【解答过程】(1) ，所以 。 (2) ，当 时取最小值 ，故 的最小值为 。 【多解·巧解】凡是求 形式的模的最值，统一"先平方、再配方"：平方后是关于 的二次函数，最小值在对称轴处取得，最后开方即可。 【易错提醒】(2) 求的是模而非模的平方，二次函数最小值为 时答案应是 ；另外不要漏掉 中 项的系数 。 23．（★★★）在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 平面 ，， 为棱 的中点。 (1) 求证：； (2) 求直线 与平面 所成角的正弦值； (3) 点 在棱 上，求 的最小值。 【答案】(1) 见解析； (2) 所成角的正弦值为 （所成角为 ）； (3) 最小值为 。 【解题思路】(1) 建系后算数量积为零；(2) 求平面 的法向量，用 ；(3) 设 ，把 化为二次函数求最小值。 【解答过程】(1) 以 为原点，，， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向建系， 则 ，，，，，。 于是 ，，， 故 。 (2) 设平面 的法向量为 。由 ，， 得 且 ，即 ，，取 。 又 不在平面 内（平面 即 ，而 的坐标不满足），所以 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值为 （所成角为 ）。 (3) 点 在棱 上，设 （），则 ，。 。 当 时， 取最小值 ，故 的最小值为 。 【多解·巧解】(3) 的最小值对应 ，即 是分 为 的定点；这类"棱上动点到定点距离"问题统一走"设参数、平方、配方"三步，比几何法找垂足更快；(2) 也可以先求 在法向量方向上投影的长度，与公式法等价，可互为验算。 【易错提醒】(2) 求出 与 夹角的余弦值为 后必须取绝对值作为 ，若误把 当作 会答成 ；(3) 中 、 与 三块合并时二次项系数是 而不是 ；最后一步要把 开方，答案不是 。 24．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，点 在线段 上运动（含端点），且 （）。 (1) 求证：； (2) 用 表示 ，并求 的最小值； (3) 探究：是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值，并说明此时 与 (2) 中最小值的关系。 【答案】(1) 见解析； (2) ，最小值为 （此时 ）； (3) 存在，，此时 恰取 (2) 中的最小值。 【解题思路】(1) 用基底展开算数量积；(2) 建系设参数，把模的平方化为二次函数；(3) 垂直即数量积为零，解出参数并回代联系 (2) 的结论。 【解答过程】(1) 取 ，， 为基底，则 ，。 由 ，且二者都垂直于 ，得 ， 故 。 (2) 以 为原点，，， 的方向分别为 轴、 轴、 轴正方向建系， 则 ，，，。由 得 ， 故 。 ， 当 时取最小值 ，故 的最小值为 。 (3) 。若 ，则 ，解得 ，且 ， 故存在 使得 。 此时 ，恰为 (2) 中的最小值：这说明当 时 是 在直线 上的射影（垂足）， 的最小值就是点 到直线 的距离。 【多解·巧解】(2) 与 (3) 解出的 都是 并非巧合：定点到直线上动点连线长度的最小值恰在垂足处取得，所以"求 的最小值"与"求 "是同一几何事实的两种代数化；若先做 (3)，解出 后直接代入 也能得最小值，省去配方可作验算。 【易错提醒】(1) 用基底展开时 的方向不能写反，写反会得到相反数；(2) 中 的竖坐标是 而不是 ，写错会使二次函数整体出错；(3) 解出 后必须说明它落在 内并明确回答"存在"，只给数值不作结论会扣分。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第38讲 空间向量的概念与运算 第38讲 空间向量的概念与运算 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解空间向量的概念与线性运算，会用基底与坐标表示空间向量并完成向量的线性运算； 2．掌握空间向量基本定理，会判断三个向量是否共面、能否作为空间的一组基底； 3．熟练掌握空间向量数量积的坐标运算，会求向量的模与夹角，并处理与模有关的二次函数最值； 4．掌握平行、垂直的坐标条件，能处理含参求值与夹角符号的判定问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 空间向量的概念与线性运算 选择题、填空题 第3~6题 中 线性运算逐分量进行，注意方向与符号 空间向量基本定理与坐标表示 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中 会用基底表示向量，共面看能否线性表示 数量积、模与夹角 选择题、填空题、解答题 第6~7题、第13题、第17~18题 中 先算数量积，再代入模与夹角公式 平行、垂直的坐标条件 选择题、填空题 第6~7题、第13题 中偏难 平行逐分量成比例，垂直数量积为零 含参求值与模的最值 选择题、解答题 第7题、第18题 中偏难 先平方化二次函数，再配方或分离参数 命题规律分析 空间向量是立体几何的"代数语言"，也是新高考把几何问题转化为计算问题的关键工具。本专题常落在选择第 3~7 题、多选第 9~10 题、填空第 12~13 题，并作为解答题第 15~18 题的工具出现；坐标运算、数量积与模属"必得分"，而含参平行垂直、共面判定与"模的最小值"是拉开差距的地方。培优层的策略是三句话：坐标运算逐分量做，一个分量都不能漏；求模先平方再开方，把 化成关于 的二次函数；判平行用"系数对应成比例"、判垂直用"数量积为零"，两者绝不混用。把这三件事变成条件反射，本讲的题就几乎不会失分。 考点1 空间向量的概念与线性运算 知识点1 空间向量与线性运算 空间向量既有大小又有方向，与起点无关，可以自由平移； 表示向量的模，长度为零的向量记作 ，模为 的向量叫做单位向量。 线性运算与平面向量一致： 满足三角形法则与平行四边形法则， 的长度为 、方向由 的正负决定；（终点减起点）。 【易错清单】 1． 与任意向量共线，但零向量不能作为基向量，也不能作为直线的方向向量； 2． 与 互为相反向量，代值时方向写反会整体符号出错； 3．共线定理要求 才有"存在唯一实数 使 "，直接写 时不要漏掉这一前提。 知识点2 空间向量基本定理与共面判定 不共面的三个向量 构成空间的一个基底，任一向量 可唯一表示为 。 共面判定：若 不共线，则 与 共面当且仅当存在实数 使 ；三向量共面时它们不能作为空间的一个基底。 【易错清单】 1．判断三个向量能否作为基底，等价于判断它们是否共面，只需看其中一个能否用另外两个线性表示； 2．基底不共面时表示系数唯一，可据此列方程求参数；若三向量共面则系数不唯一，不能这样求解。 考点2 空间向量的坐标表示与数量积 知识点3 坐标表示与坐标运算 在单位正交基底 下， 记作 ；若 ，，则 。 坐标线性运算逐分量进行：，。 【易错清单】 1．把"点的坐标"当成"向量的坐标"直接代入，求 必须用终点减起点； 2．逐分量计算时符号出错或漏掉某个分量，是本题型最常见的低级失分。 知识点4 数量积、模与夹角 坐标式数量积 ；模 ；夹角 。 常用恒等式 ；其中 时夹角为锐角， 时夹角为钝角。 【易错清单】 1．数量积是实数而非向量，最后不要保留向量记号；求模最后一步是开方，别把 当作 ； 2．夹角公式的分母是两个模的乘积，漏写分母或忘记开方都会使结果出错； 3．已知模或夹角反求参数时，平方会产生"增根"，解出后需回代检验符号与范围。 考点3 空间向量的平行与垂直 知识点5 平行与垂直的坐标条件 （）当且仅当 ，即各分量对应成比例； 当且仅当 ，即 。 【易错清单】 1．某个分量为零时不能直接写比例式，应回到 逐分量讨论； 2．把垂直条件误记成"分量成比例"、把平行条件误用数量积，是两种条件混淆造成的典型错误； 3．由 推不出 或 ，两非零向量垂直时数量积同样为零。 【题型1 空间向量的坐标运算与求点坐标】 【例1】已知 ，，点 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】已知 ，， 为线段 的中点，则 ____________。 【变式1-2】已知 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】已知 ，，点 满足 ，则点 的坐标为____________。 【题型2 数量积的坐标运算与恒等式】 【例2】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知 ，，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 求模与模的最值】 【例3】已知 ，， 与 的夹角为 ，则 （）的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 求夹角（含参数与夹角符号）】 【例4】已知 ，，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】已知 ，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知 ，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知 ，，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 平行与垂直的坐标条件】 【例5】已知 ，。 (1) 若 ，求 的值； (2) 若 ，求 的值。 【变式5-1】已知 ，，且 ，则 ____________。 【变式5-2】已知 ，，且 ，则 ____________。 【变式5-3】已知 ，。 (1) 若 ，求 ； (2) 若 ，求 。 【题型6 空间向量基本定理的应用】 【例6】已知 是空间的一组基底，，，，点 满足 。 (1) 用 表示 ； (2) 判断点 是否在平面 内，并说明理由。 【变式6-1】在平行六面体 中，，，，用 表示 ，结果为____________。 【变式6-2】已知 是两个不共线的向量，，判断 是否共面，并说明理由。 【变式6-3】已知 是空间的一组基底，，，，判断 是否共面。 一、单选题 1．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知 ，，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知 ，则与 同方向的单位向量为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）在棱长为 的正方体 中，点 在线段 上运动，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知 ，，且 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是（　　） A．　B． 且 　C．　D． 且 二、多选题 9．（★★）已知 ，，则（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★★）下列关于空间向量的说法正确的是（　　） A．零向量与任意向量平行　B．若 ，则 或 　C．若 且 ，则 　D． 11．（★★★）已知 ，，则（　　） A．　B．　C． 与 的夹角为 　D． 12．（★★★）已知 ，，，则（　　） A．当 时， 共面　B．若 ，则 ，且此时 　C．当 时， 与 的夹角为钝角　D． 的最小值为 三、填空题 13．（★★）已知 ，则 ____________。 14．（★★）已知 ，，则 ____________。 15．（★★★）已知 ，，且 ，则 ____________。 16．（★★★）已知 ，，（），且 ，则 的取值范围是____________。 四、解答题 17．（★★）已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 与 。 18．（★★）已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 。 19．（★★）已知 ，。 (1) 求 与 ； (2) 求 及 与 夹角的余弦值。 20．（★★★）已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 与 夹角的余弦值。 21．（★★★）已知 ，。 (1) 若 ，求 ； (2) 若 ，求 。 22．（★★★）已知 ，，。 (1) 求 ； (2) 求 （）的最小值。 23．（★★★）在四棱锥 中，底面 是边长为 的正方形， 平面 ，， 为棱 的中点。 (1) 求证：； (2) 求直线 与平面 所成角的正弦值； (3) 点 在棱 上，求 的最小值。 24．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，点 在线段 上运动（含端点），且 （）。 (1) 求证：； (2) 用 表示 ，并求 的最小值； (3) 探究：是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值，并说明此时 与 (2) 中最小值的关系。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $