第32讲 数列的通项公式 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第32讲 数列的通项公式 第32讲 数列的通项公式 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握公式法，能先判定数列类型再直接用通项公式写出结果； 2．掌握累加法与累乘法，能处理 与 两类递推； 3．掌握构造法（含不动点法），能处理 型递推； 4．能由 与 的关系式求通项，并掌握取倒数、取对数等变形技巧。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 公式法（先判型再套公式） 选择题、填空题 第4~6题、第13题 易 先由条件判定等差或等比，再确定基本量 累加法 选择题、填空题 第6~8题、第14题 中 认准"差等于 的函数"，求和后别忘检验 累乘法 选择题、填空题 第6~8题、第14题 中 认准"比等于 的函数"，连乘时首尾配对相消 构造法（一阶线性递推） 解答题 第17~19题 中偏难 用不动点 定出待配的常数 由 与 的关系式求通项 解答题 第17~19题 中偏难 先算 ，再作差并把下标跟着变 取倒数、取对数等变形 填空题、解答题 第14题、第19~20题 中偏难 看到分子分母都是一次式就取倒数 命题规律分析 求通项是数列解答题的"第一问"，几乎年年出现，也是后面求和、证明的地基。在新高考中，"由递推关系求通项"常落在第17~19题的第一问，偶尔也会以选择题、填空题形式出现在第7~8题、第14题位置。本讲把六类常用方法一条条讲清：公式法、累加法、累乘法、构造法、 与 混合型、取倒数（取对数）型，其中最关键的是构造法——它几乎是所有线性递推的通用钥匙。对 90~120 分的学生而言，求通项的难点不在计算，而在"看到递推式就知道该用哪一招"。本讲为每个方法配了可执行的识别信号，目标是把"读题—选方法"这一步从犹豫变成条件反射。 考点1 累加法与累乘法 知识点1 累加法 若递推式可化为 ，则 （）。 操作口诀："写出 个式子，左右分别相加，中间全部抵消"。求和后务必把 代回检验，成立才能合并。 【易错清单】 1．累加的项数是 而不是 ，从 加到 ； 2．求和时若 是等比数列，要注意首项是 ； 3．忘记检验 ，导致通项在首项处"掉队"。 知识点2 累乘法 若递推式可化为 （），则 （）。 常见结果： 时 ； 时 。 【易错清单】 1．连乘时要把分子、分母分别写成两串，再首尾配对相消，不能凭感觉约分； 2． 必须恒不为 ，否则累乘法失效； 3．同样要检验 。 考点2 构造法与关系式的转化 知识点3 构造法与不动点法 对 （，），先解不动点方程 得 ，则 是公比为 的等比数列。 于是 ，即 。 【易错清单】 1． 时不能用此法（此时是等差数列）； 时直接是等比数列； 2．不动点方程是 而不是 ，符号极易写反； 3．构造出的新数列首项是 ，不要误用成 。 知识点4 由 与 的关系式求通项 通法：把 （）代入已知关系式，统一消去 得到只含 的递推式。 若已知 ，则先对 构造等比数列，求出 后再作差得 。 见到 （分式型，分子分母都是一次式），两边取倒数即可化为 型。 【易错清单】 1．作差时 的下标必须跟着变，否则相减得 ； 2．必须先由 单独算 ； 3．取倒数前要确认 （题中通常给出各项为正，或可由递推式保证）。 【题型1 公式法求通项（先判型）】 【例1】已知递增等差数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】已知等比数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知等差数列 的前 项和 ，则 ____________。 【变式1-3】已知等比数列 的前 项和 ，则 ____________。 【题型2 累加法】 【例2】已知数列 满足 ，（），求 。 【变式2-1】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【变式2-2】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【变式2-3】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【题型3 累乘法】 【例3】已知数列 满足 ，（），求 。 【变式3-1】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【变式3-2】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【变式3-3】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【题型4 构造法（一阶线性递推）】 【例4】已知数列 满足 ，（），求 与前 项和 。 【变式4-1】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【变式4-2】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【变式4-3】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【题型5 由 与 的关系式求通项】 【例5】已知数列 的前 项和为 ，，且 （）。 (1) 证明 是等比数列； (2) 求 ； (3) 求 。 【变式5-1】已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 ____________。 【变式5-2】已知数列 的前 项和为 ，，且 ，则 ____________。 【变式5-3】已知数列 的前 项和为 ，，且 ，则 ____________。 【题型6 取倒数、取对数等变形技巧】 【例6】已知数列 满足 ，（），求 。 【变式6-1】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【变式6-2】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【变式6-3】已知数列 满足 ，，则 ____________。 一、单选题 1．（★★）已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知数列 满足 ，（），则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知数列 满足 ，（），则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知数列 满足 ，（），则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）已知数列 满足 ，，则下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★★）下列关于求通项方法的说法正确的是（　　） A．形如 的递推式可用累加法　B．形如 的递推式可用累乘法　C．形如 （，）的递推式可用构造法　D．由 求 时， 对 也适用 11．（★★★）已知数列 满足 ，（），则下列说法正确的是（　　） A．　B．数列 为单调递减数列　C．　D．存在正整数 ，使 12．（★★★）已知数列 满足 ，（），则下列说法正确的是（　　） A．数列 是公比为 的等比数列　B．　C．　D． 三、填空题 13．（★★）已知数列 满足 ，，则 ____________。 14．（★★）已知数列 满足 ，，则 ____________。 15．（★★★）已知数列 满足 ，（），若 对任意 恒成立，则 的取值范围是 ____________。 16．（★★★）已知数列 满足 ，（），则 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 求 。 18．（★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 求前 项和 。 19．（★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 令 ，求 的前 项和 。 20．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 证明 是等比数列； (2) 求 ； (3) 求前 项和 。 21．（★★★）已知数列 的前 项和为 ，，且 （）。 (1) 求 ，； (2) 证明 是等比数列，并求 。 22．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 证明 是等差数列； (2) 求 ； (3) 令 ，求 的前 项和 。 23．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 令 ，求数列 的前 项和 ； (3) 若不等式 对任意 恒成立，求正整数 的最小值。 24．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 求前 项和 ； (3) 求使 成立的最小正整数 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第32讲 数列的通项公式 第32讲 数列的通项公式 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握公式法，能先判定数列类型再直接用通项公式写出结果； 2．掌握累加法与累乘法，能处理 与 两类递推； 3．掌握构造法（含不动点法），能处理 型递推； 4．能由 与 的关系式求通项，并掌握取倒数、取对数等变形技巧。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 公式法（先判型再套公式） 选择题、填空题 第4~6题、第13题 易 先由条件判定等差或等比，再确定基本量 累加法 选择题、填空题 第6~8题、第14题 中 认准"差等于 的函数"，求和后别忘检验 累乘法 选择题、填空题 第6~8题、第14题 中 认准"比等于 的函数"，连乘时首尾配对相消 构造法（一阶线性递推） 解答题 第17~19题 中偏难 用不动点 定出待配的常数 由 与 的关系式求通项 解答题 第17~19题 中偏难 先算 ，再作差并把下标跟着变 取倒数、取对数等变形 填空题、解答题 第14题、第19~20题 中偏难 看到分子分母都是一次式就取倒数 命题规律分析 求通项是数列解答题的"第一问"，几乎年年出现，也是后面求和、证明的地基。在新高考中，"由递推关系求通项"常落在第17~19题的第一问，偶尔也会以选择题、填空题形式出现在第7~8题、第14题位置。本讲把六类常用方法一条条讲清：公式法、累加法、累乘法、构造法、 与 混合型、取倒数（取对数）型，其中最关键的是构造法——它几乎是所有线性递推的通用钥匙。对 90~120 分的学生而言，求通项的难点不在计算，而在"看到递推式就知道该用哪一招"。本讲为每个方法配了可执行的识别信号，目标是把"读题—选方法"这一步从犹豫变成条件反射。 考点1 累加法与累乘法 知识点1 累加法 若递推式可化为 ，则 （）。 操作口诀："写出 个式子，左右分别相加，中间全部抵消"。求和后务必把 代回检验，成立才能合并。 【易错清单】 1．累加的项数是 而不是 ，从 加到 ； 2．求和时若 是等比数列，要注意首项是 ； 3．忘记检验 ，导致通项在首项处"掉队"。 知识点2 累乘法 若递推式可化为 （），则 （）。 常见结果： 时 ； 时 。 【易错清单】 1．连乘时要把分子、分母分别写成两串，再首尾配对相消，不能凭感觉约分； 2． 必须恒不为 ，否则累乘法失效； 3．同样要检验 。 考点2 构造法与关系式的转化 知识点3 构造法与不动点法 对 （，），先解不动点方程 得 ，则 是公比为 的等比数列。 于是 ，即 。 【易错清单】 1． 时不能用此法（此时是等差数列）； 时直接是等比数列； 2．不动点方程是 而不是 ，符号极易写反； 3．构造出的新数列首项是 ，不要误用成 。 知识点4 由 与 的关系式求通项 通法：把 （）代入已知关系式，统一消去 得到只含 的递推式。 若已知 ，则先对 构造等比数列，求出 后再作差得 。 见到 （分式型，分子分母都是一次式），两边取倒数即可化为 型。 【易错清单】 1．作差时 的下标必须跟着变，否则相减得 ； 2．必须先由 单独算 ； 3．取倒数前要确认 （题中通常给出各项为正，或可由递推式保证）。 【题型1 公式法求通项（先判型）】 【例1】已知递增等差数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用下标和把两个条件集中到 、 上，再用韦达定理逆用求这两项。 【解答过程】由下标和性质 ，又 。 故 、 是方程 的两个根。 解得 或 。 因为数列递增，故 ，，从而 。 。 所以 。故选A。 【多解·巧解】本题的亮点是韦达定理的逆用——已知两数之和与两数之积，这两数就是某个一元二次方程的两根。如果不走这条路，就要设 、 列方程组： 且 ，展开后是二次方程组，计算量大得多。以后只要看到条件里同时出现"两项之和"与"两项之积"，就该想到构造一元二次方程。 【易错提醒】① 忽略"递增"二字，把 、 也当成答案，得到 这样的多余情形；② 求出 后算 时用成 ；③ 因式分解 时写成 ，展开得 正确，但若写成 就错了。 【变式1-1】已知等比数列 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两式相除直接得公比。 【解答过程】由 得 ，故 。 又 ，得 。 所以 。故选A。 【变式1-2】已知等差数列 的前 项和 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】作差求通项并检验 。 【解答过程】。 当 时， 。 时 ，符合，故 。 【变式1-3】已知等比数列 的前 项和 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】作差求通项，或直接看 的结构。 【解答过程】。 当 时，。 时 ，符合，故 。 【题型2 累加法】 【例2】已知数列 满足 ，（），求 。 【答案】 【解题思路】把 个式子累加，中间项全部抵消。 【解答过程】由 ，当 时， 。 当 时，，符合。 故 。 【多解·巧解】累加之外还有一条更快的路：先算三项、再猜通项、最后验证。由 、、，立刻看出 、、，猜 ；再代入递推式验证：，与已知一致，猜想成立。"先猜后证"在处理递推题时往往比硬算快一倍，而且猜出来的形式本身就是很好的自检依据。 【易错提醒】① 求和时把 的项数当成 ，得到 之类的错误结果；② 忘记检验 ；③ 把 算成 是对的，但容易再乘一次 得 。检验： 时 ，公式给出 ，一致。 【变式2-1】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】累加后用等差数列求和公式。 【解答过程】当 时，。 时也成立，故 。 【变式2-2】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】累加后用裂项相消求和。 【解答过程】当 时， 。 时 ，符合，故 。 【变式2-3】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】累加后用等比数列求和公式。 【解答过程】当 时，。 时 ，符合，故 。 【题型3 累乘法】 【例3】已知数列 满足 ，（），求 。 【答案】 【解题思路】把 个式子连乘，分子分母分别相消。 【解答过程】由 ，当 时， 。 分子为 ， 分母为 ， 中间的 全部约去，只剩 。 故 。 当 时 ，符合。 【多解·巧解】累乘法的相消过程有个通用写法：把分子、分母各写成一串，再划掉公共部分。本题分子串是 ，分母串是 ，公共部分 到 同时划掉，剩下的就是 。如果觉得抽象，可以用小数字验证： 时连乘为 ，而公式给出 ，一致。先用 试一遍，再写一般形式，是避免相消出错的好办法。 【易错提醒】① 相消时把该留的首尾弄反，得到 这类倒数结果；② 忘记检验 ；③ 连乘的项数写成 个而不是 个。记忆方法： 用 ， 用 ，所以是 项。 【变式3-1】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】连乘后中间全部相消。 【解答过程】当 时，。 时 ，符合，故 。 【变式3-2】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】连乘后指数部分是等差数列求和。 【解答过程】当 时，。 时 ，符合。 【变式3-3】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】连乘后分子分母错位相消。 【解答过程】当 时，。 时 ，符合，故 。 【题型4 构造法（一阶线性递推）】 【例4】已知数列 满足 ，（），求 与前 项和 。 【答案】，。 【解题思路】用不动点法定出待配常数 ，构造等比数列 。 【解答过程】先解不动点方程 ，得 。 于是 。 又 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列。 所以 ，。 。 【多解·巧解】不动点法把"配什么常数"从试错变成了计算：直接解 得 ，然后构造 。本题 、，得 ，所以配的是 。如果不习惯不动点法，也可以用待定系数：设 ，展开得 ，与已知比较得 。两条路本质相同，不动点法更快，待定系数法更容易讲清道理。 【易错提醒】① 不动点方程写成 ，得 ，于是构造 ，结果完全错误；② 只写 就下结论，没有说明 ；③ 求和时把 算成 （应为 ）。检验：，公式给出 ，一致。 【变式4-1】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】不动点为 ，构造 。 【解答过程】解 得 ，故 。 又 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列。 所以 ，。 【变式4-2】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】不动点为 ，构造 ，注意公比是 。 【解答过程】解 得 ，故 。 又 ，故 。 所以 。 【变式4-3】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】不动点为 ，构造 。 【解答过程】解 得 ，故 。 又 ，故 。 所以 。 【题型5 由 与 的关系式求通项】 【例5】已知数列 的前 项和为 ，，且 （）。 (1) 证明 是等比数列； (2) 求 ； (3) 求 。 【答案】(1) 证明见解析； (2) ； (3) 。 【解题思路】先对 构造等比数列，求出 后再作差得 。 【解答过程】(1) 由 得 。 又 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列。 (2) 由 (1) 得 ，故 。 (3) 当 时，。 时 ，符合，故 。 【多解·巧解】除了"先处理 "，还可以直接对 下手：由 与 （）相减，得 （）；再算 ，说明 对 都成立，于是 。两条路都通，但当递推式是" 关于 的一次式"时，先构造 更顺手；当递推式直接给出 与 时，相减更顺手。选哪条，看已知式子里主角是谁。 【易错提醒】① (1) 中忘记说明 ；② (3) 中直接用 计算 的情形；③ 求出 （）后忘记检验 ——本题恰好能合并，但若 改为其他值就必须分段。先算 ，再检验，是永远不能跳过的两步。 【变式5-1】已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先求 ，再作差消去 。 【解答过程】当 时，，得 。 当 时，， 得 。 故 。 【变式5-2】已知数列 的前 项和为 ，，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】写出 与 的两式相减，消去 。 【解答过程】当 时，由 与 相减得 ，即 （）。 又 ，故对 都有 。 所以 。 【变式5-3】已知数列 的前 项和为 ，，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先求 ，再作差消 。 【解答过程】当 时，，得 ，与已知一致。 当 时，， 即 ，。 故 。 【题型6 取倒数、取对数等变形技巧】 【例6】已知数列 满足 ，（），求 。 【答案】 【解题思路】两边取倒数，把分式型递推化为等差数列。 【解答过程】因为 ，由递推式知各项均为正数，可以取倒数。 由 得 。 故 是首项为 、公差为 的等差数列。 所以 ，即 。 【多解·巧解】识别信号非常明确：递推式右边是分式，且分子只有 的一次项、分母是 的一次式——这时取倒数必有奇效。因为 ，立刻变成"后项 = 前项 + 常数"的等差形式。本讲已经出现了三把"变形钥匙"：取倒数化分式为等差、取对数化等比为等差、换元化陌生为熟悉。做题时先扫一眼递推式的形状，再选钥匙，比盲目变形高效得多。 【易错提醒】① 取倒数后把 算成 （没有把 也除以 ），这是最常见的错误；② 忘记说明各项为正（否则取倒数后虽仍成立，但要保证分母不为 ）；③ 得到 后，把 写成 而忘记再取一次倒数。检验： 时 ，公式给出 ，一致。 【变式6-1】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】取倒数化为等差数列。 【解答过程】取倒数得 。 故 是首项为 、公差为 的等差数列。 ，故 。 【变式6-2】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】两边取对数，把乘方化为乘法。 【解答过程】各项均为正数，两边取以 为底的对数： 。 故 是首项为 、公比为 的等比数列。 ，故 。 【变式6-3】已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用待定系数法，把常数换成关于 的一次式。 【解答过程】设 ， 展开得 。 与 比较得 ，，故 。 于是 。 又 ，故 。 所以 。 一、单选题 1．（★★）已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】认出是等差数列，公差为 。 【解答过程】 是首项为 、公差为 的等差数列， 。故选C。 2．（★★）已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】认出是等比数列，公比为 。 【解答过程】 是首项为 、公比为 的等比数列， 。故选C。 3．（★★）已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用累加法。 【解答过程】。故选C。 4．（★★）已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】认出是等比数列，公比为 。 【解答过程】。故选A。 5．（★★）已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】累加后用等差数列求和。 【解答过程】当 时，。 时也成立，故 。故选A。 6．（★★★）已知数列 满足 ，（），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先算前几项猜出 ，再代入递推式验证。 【解答过程】由 与 得 ，，。 猜想 ：代入得 恒成立， 故 ，。故选B。 7．（★★★）已知数列 满足 ，（），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用累乘法，，指数部分恰为等差数列之和。 【解答过程】由 得 ，故当 时 。 而 ，故 。 检验 ：，也成立。故选B。 8．（★★★）已知数列 满足 ，（），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两边除以 ，把"含指数的递推"化为等差数列。 【解答过程】将 两边同除以 ，得 。 故 是首项为 、公差为 的等差数列， ，故 。 检验 ：，成立。故选A。 二、多选题 9．（★★）已知数列 满足 ，，则下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】认出等差数列后逐项判断。 【解答过程】 是首项为 、公差为 的等差数列，，A 正确； ，B 正确； ，C 正确；，D 错误。 故选ABC。 10．（★★）下列关于求通项方法的说法正确的是（　　） A．形如 的递推式可用累加法　B．形如 的递推式可用累乘法　C．形如 （，）的递推式可用构造法　D．由 求 时， 对 也适用 【答案】ABC 【解题思路】逐项按方法适用条件判断。 【解答过程】A、B、C 分别是累加法、累乘法、构造法的标准识别信号，均正确； D 中 时 无意义，此时必须用 ，错误。 故选ABC。 11．（★★★）已知数列 满足 ，（），则下列说法正确的是（　　） A．　B．数列 为单调递减数列　C．　D．存在正整数 ，使 【答案】ABD 【解题思路】用不动点 构造等比数列求通项，再逐项判断单调性与取值。 【解答过程】解 得 ，故 。 又 ，故 ，即 ，A 正确； 因为 ，所以 单调递减，B 正确； ，C 错误； 由 得 ，而 ，取 即可，D 正确。 故选ABD。 12．（★★★）已知数列 满足 ，（），则下列说法正确的是（　　） A．数列 是公比为 的等比数列　B．　C．　D． 【答案】ACD 【解题思路】用不动点 构造等比数列，求出通项后逐项验证。 【解答过程】解 得 ，故 ，A 正确； 又 ，故 ，即 ，B 错误； ，，C 正确； ，D 正确。 故选ACD。 三、填空题 13．（★★）已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】认出是等差数列。 【解答过程】 是首项为 、公差为 的等差数列， 。 14．（★★）已知数列 满足 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】认出是等比数列。 【解答过程】 是首项为 、公比为 的等比数列，故 。 15．（★★★）已知数列 满足 ，（），若 对任意 恒成立，则 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】先写出通项 ，再由"对任意 恒小于 "取最不利的项。 【解答过程】解 得 ，故 ，即 。 先看 ：需 ，故 是必要条件。 当 时，，而 ，故 ，条件恒成立； 若 ，则 时 ，不满足要求。 所以 的取值范围是 。 16．（★★★）已知数列 满足 ，（），则 ____________。 【答案】 【解题思路】用累乘法，分子分母错位相消。 【解答过程】当 时，。 分子为 ，分母为 ， 中间的 到 全部约去，剩下 。 时 ，符合，故 。 四、解答题 17．（★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】用累加法，求和部分是等差数列。 【解答过程】(1) 当 时，。 当 时，，符合。 故 。 (2) 。 【多解·巧解】形如 的递推式，其通项一定是 的二次式。因此可以用待定系数法直接设 ：代入递推式得 ，比较系数得 、，再由 得 。这条路的优点是完全避开了求和公式，尤其当右端是 的多项式时非常好用。记住规律：右端是 的 次多项式，通项就是 的 次多项式。 【易错提醒】(1) 中把 算成 （应为 ），根子在于搞不清末项是 还是 。检验： 时 ，公式给出 ，一致；若用 会得到 ，立即暴露错误。做完求通项的题，一定要代 两头验证。 18．（★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 求前 项和 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】认出等比数列后直接用公式。 【解答过程】(1) 由 知 是首项为 、公比为 的等比数列， 故 。 (2) 。 【多解·巧解】形如 （ 为非零常数）的递推式，一眼就能认定是等比数列——因为 与 无关。识别清楚之后，剩下的就是套公式，没有任何技巧含量。求和时建议固定使用 ：分母是 而不是 ，这样符号最不容易出错。本题 。 【易错提醒】① 把首项当成 （题目给的是 ），通项漏乘 ；② 求和时把 的分母写成 之后，又误以为还要再除以什么；③ 通项写成 （指数应为 ）。检验：，与已知一致。 19．（★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 令 ，求 的前 项和 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先化为比值形式用累乘法，再取倒数得等差数列。 【解答过程】(1) 由 得 。 当 时，。 时也成立，故 。 (2) ， 故 。 【多解·巧解】(1) 有一个更快的写法：把递推式看成，说明数列 是常数列。于是 ，直接得 ，连乘都不必写。识别这种"乘积守恒"结构的诀窍是：把递推式整理成"关于 的式子 "的形式，若两边结构相同，则这个乘积恒定。遇到形如 、 的式子，都可以这样秒出结果。 【易错提醒】① 由 求比值时，把 写成 （分子分母颠倒），得到 的错误结果；② 累乘时首尾项搞错；③ (2) 中把 当成 之外的东西。检验：、，代入原式：，成立。 20．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 证明 是等比数列； (2) 求 ； (3) 求前 项和 。 【答案】(1) 证明见解析； (2) ； (3) 。 【解题思路】构造等比后求通项，求和时把等比部分与常数部分分开。 【解答过程】(1) 由 得 。 又 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列。 (2) 由 (1) 得 ，故 。 (3) 。 【多解·巧解】构造等比时可用不动点法定常数：设 解得 ，故构造函数 。(3) 用分组求和：把 拆成"等比数列 之和"与" 个常数 之和"。求和后代 检验：，公式给出 ，一致。 【易错提醒】① (1) 中只写 就下结论，忘记说明首项 ；② 不动点方程误写成 ，会把构造对象错写为 ；③ (3) 中把 的首项记成 而不是 ，导致结果整体偏大。 21．（★★★）已知数列 的前 项和为 ，，且 （）。 (1) 求 ，； (2) 证明 是等比数列，并求 。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】由 与 相减消去 ，得到相邻两项的关系。 【解答过程】(1) ；。 (2) 当 时，由 与 相减得 ，即 （）。 又 ，故对 都有 ，且 ， 所以 是首项为 、公比为 的等比数列，。 【多解·巧解】(2) 中"由 得到的递推式还要验证 时是否成立"这一步不能省——相减时用了 ，所以只对 有效；验证 后才能推广到 。规范写法："（），又 ，故对 都成立"。 【易错提醒】① 相减时把 写成 ，下标不跟随，得到 ；② 得到 （）后直接写 ，没有验证 ；③ 把 误解成 （误当等差）。自检：，，，符合 。 22．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 证明 是等差数列； (2) 求 ； (3) 令 ，求 的前 项和 。 【答案】(1) 证明见解析； (2) ； (3) 。 【解题思路】取倒数化为等差数列，再用等差数列求和。 【解答过程】(1) 由 及递推式知各项均为正数，可取倒数： 。 故 是首项为 、公差为 的等差数列。 (2) 由 (1) 得 ，故 。 (3) ，故 。 【多解·巧解】(1) 中递推式形如 ，两边取倒数即可化成等差数列——这是处理"分式递推"的通用套路。(3) 数项数时用"末项 - 首项 + 1"： 共 项，故 。检验：，公式给出 ，一致。 【易错提醒】① 取倒数后把 算成 ，没有把常数 也除以 ；② 忘记说明各项为正数（取倒数的前提）；③ (3) 中把 的项数当作 。 23．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 令 ，求数列 的前 项和 ； (3) 若不等式 对任意 恒成立，求正整数 的最小值。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 用不动点 构造等比；(2) 是等比数列，直接求和；(3) 先求 的上确界，再由恒成立定 。 【解答过程】(1) 解 得 ，故 。 又 ，故 ，即 。 (2) ，故 。 (3) 由 (2)，，且随 增大而增大、当 无限增大时趋近于 ，故 的上确界为 。 要使 对一切 恒成立，需 ，即 ， 故正整数 的最小值为 。 【多解·巧解】(2) 中 是首项为 、公比为 的等比数列，直接套求和公式即可。(3) 是"恒成立求参数"的标准结构：阈值必须不低于左端的上确界。本题 恒小于 而无限接近，故 时仍成立，对应 。检验： 时 ，而 趋近于 ，不成立。 【易错提醒】① (1) 中不动点解错（把 解成 ），构造对象随之出错；② (2) 中漏掉首项系数 ，把 写成 ；③ (3) 中把"恒成立"误当成"存在某个 使成立"，只代 得 ，错误地取 。 24．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 求前 项和 ； (3) 求使 成立的最小正整数 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】用待定系数法把构造对象设为关于 的一次式，再分组求和。 【解答过程】(1) 设 ， 展开得 ，与 比较得 ，，即 。 故 。 又 ，故 ，即 。 (2) 。 (3) 由 得 。 检验：； ，且 随 增大而增大， 故最小正整数 。 【多解·巧解】(1) 当递推式右端多出一个 时，构造的不再是常数 ，而是关于 的一次式 。待定系数法在这里依然好用：把 展开，比较 的系数与常数项即可定出 、。结论：右端是 的几次多项式，就配几次多项式。(3) 中 随 增大而增大，故只需在临界处检验相邻两项。 【易错提醒】① 待定系数时把 展开成 ，漏乘 ；② 比较系数时把 记成 ，得到 ，整个通项随之出错；③ (3) 中只代一个值就下结论：本题 、，必须两侧夹逼才能确定 。自检：，，均一致。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $