第35讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第35讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 第35讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．准确掌握柱、锥、台、球的结构特征，能识别旋转体并由平面图形旋转还原出几何体； 2．能由三视图还原几何体并完成表面积、体积的计算，能处理"三视图 + 组合体"的综合问题； 3．熟练运用柱、锥、台、球的表面积与体积公式，会用割补法、等体积法求组合体与不规则体的度量； 4．掌握球的内切、外接问题的"补形法"，会求正方体、长方体、正四面体、圆锥与球的切接半径； 5．会处理截面面积的最值与动点问题，体会"展开"与"投影"两条化归路径。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 结构特征与旋转体 选择题 第3~5题 易 抓住"旋转轴是谁"，先画轴截面再判断 三视图的还原与计算 选择题、填空题 第5~8题、第13题 中 长宽高三个方向逐一核对，还原后画草图 表面积的计算 选择题、填空题 第4~7题、第13题 中 侧面展开，用"弧长等于底面周长"搭桥 体积的计算与割补 选择题、填空题、解答题 第7~8题、第14题、第17题 中偏难 先割补成一个规则体，再用等体积法换顶点 球的内切与外接 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 补成正方体或长方体，压到体对角线上 截面面积的最值 选择题、多选题 第8题、第11题 中偏难 先看截面的形状类别，再用对称性定最值 命题规律分析 本专题在新高考中通常落在选择题第4~8题、填空题第13~14题，也常作为解答题第17题的第一问出现。基础档只考公式代入，培优档则有三处明显加码：一是"三视图还原 + 组合体"——由三视图反推几何体形状时，必须同时核对长、宽、高三个方向的尺寸，漏看一个方向就全盘皆错；二是"侧面展开"——圆锥、圆台的侧面展开图中，"扇形弧长等于底面周长"是唯一的等量桥梁，抓住它就能把母线、底面半径、圆心角三者串成一条链；三是"球的切接"——把正方体、正四面体补成一个球，或者把球补成一个长方体，本质都是把空间关系压到一条体对角线上。本讲的策略是：先定型、再定量，形状定准之后再套公式，力争把这类中档题做成"必得分题"。 考点1 空间几何体的结构特征与三视图 知识点1 柱、锥、台、球的结构特征 旋转体三件套：矩形绕一边旋转得圆柱，直角三角形绕一条直角边旋转得圆锥，直角梯形绕垂直于底边的腰旋转得圆台，半圆绕直径旋转得球。 轴截面是解题钥匙：圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是圆。凡遇旋转体，先画轴截面，母线 、高 、底面半径 满足 （圆锥、圆台用半径差）。 【易错清单】 1．"直角三角形绕斜边旋转"得的是两个共底的圆锥，不是圆锥，切勿套单一公式； 2．圆台的母线 、高 与两底面半径 、 满足 ，是"半径之差"而不是"半径之和"； 3．球的截面圆半径 与球半径 、球心到截面距离 满足 ，不要把 当成弦长。 知识点2 三视图与斜二测直观图 三视图对应关系：正视图反映"长与高"，侧视图反映"宽与高"，俯视图反映"长与宽"；即"长对正、高平齐、宽相等"。 斜二测画法： 轴与 轴夹角为 （或 ）， 方向与 方向长度不变， 方向长度减半；平行性不变，但角度与长度比会改变。 斜二测图中，原图形面积 与直观图面积 满足 。 【易错清单】 1．还原三视图时最容易漏掉"宽"这一维，必须三个视图一起看，不能只看正视图； 2．三视图中"看不见的轮廓线画虚线"，还原时虚线对应的棱容易被漏掉； 3．直观图中"看起来垂直"的两条线在原图中未必垂直，不能在直观图上直接使用垂直关系。 考点2 表面积、体积与球的切接 知识点3 表面积与体积公式 侧面积：，，，。 体积：，，，。 侧面展开的等量关系：圆锥侧面展开图是扇形，扇形半径是母线 ，扇形弧长等于底面周长 ，故圆心角 （弧度制）。 【易错清单】 1．圆柱的"母线"就是高，而圆锥的母线 不等于高 ，套公式前先分清求的是 还是 ； 2．求"表面积"要记得加底面积，求"侧面积"才不加——题干里"表"与"侧"一字之差； 3．圆台体积公式中间项是 而不是 的简单平均。 知识点4 球的内切与外接（补形法） 正方体（棱长 ）：外接球半径 ，内切球半径 ，与棱相切的球半径 。三者都压在同一条体对角线上。 长方体（长宽高 ）：外接球直径等于体对角线，即 。 正四面体（棱长 ）：外接球半径 ，内切球半径 ，两者之比为 。 通用做法：把几何体补成一个长方体或正方体，让球心落在体对角线中点，空间关系就退化为一条线段上的加减。 【易错清单】 1．"棱长为 的正方体的外接球"与"半径为 的球的内接正方体"是互逆的，列式时 与 的角色别搞反； 2．球心到各顶点距离相等（外接）、球心到各面距离相等（内切），两个条件的几何意义不同，不能混用； 3．正四面体的外接球半径公式中的分母是 ，内切球是 ，容易记混——记住两者之比恒为 即可回推。 知识点5 割补法、等体积法与截面 割补法：把不规则几何体切成几个规则体求和，或补成一个大规则体再减去多余部分。 等体积法：同一个三棱锥换顶点、换底面，体积不变，即 ，常用于"已知体积求点面距"。 正方体的截面：截面边数可以是 ，不可能是七边形；截面是三角形时面积最大值为 （正三角形，边长 ）。 【易错清单】 1．用等体积法时，所选底面必须是同一几何体的面（或能算出面积的面），换底面后高要跟着换，不能沿用旧高； 2．正方体被平面截得的六边形截面一定是对边平行的六边形，画图时不要把相邻边画成平行； 3．求体积最值时常忽略定义域（如内接圆柱的高必须在 到圆锥高之间），极值点必须落回区间内。 【题型1 空间几何体的结构特征与旋转体】 【例1】用一个平面去截棱长为 的正方体，则所得截面的形状不可能是（　　） A．正三角形　B．正方形　C．正五边形　D．正六边形 【答案】C 【解题思路】截面与正方体六个面相交，最多交出六条边；正多边形的情形逐一构造或排除。 【解答过程】正方体只有 个面，一个平面与每个面至多交出一条线段，故截面边数不超过 。 ① 过同一顶点的三条棱的另一端点作截面，得边长 的正三角形，A 可能； ② 平行于某个面的截面得正方形，B 可能； ③ 过六条棱的中点（与体对角线垂直的平面）得正六边形，D 可能； ④ 截面若是五边形，必与 个面相交，此时有两组对面中恰有一组两面都相交，由对面平行知这两条交线平行，故五边形必有平行边，不可能是正五边形，C 不可能。 故选C。 【多解·巧解】更快的判断法：正方体的截面若有两组对边，则每组对边分别平行（因为它们分别来自一对平行面）。正五边形没有任何一组平行边，所以只要截面是五边形，就不可能是正五边形。这个"平行面给出平行边"的观察，比逐条构造截面快得多，也是判断"截面能否是正 边形"的通用钥匙：只有边数为 、、 时才可能为正多边形。 【易错提醒】误以为"边数不超过 ，所以三、四、五、六边形都可能"而选不出答案。关键是正五边形要求五条边都相等且五内角相等，而五边形截面必有两条边平行，正多边形中只有正四边形（正方形）允许对边平行，所以这里必须把"边数"与"是否为正多边形"分开判断。 【变式1-1】用一个平面去截正方体，所得截面的边数最多是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】正方体只有六个面，截面与每个面至多交出一条边。 【解答过程】平面与正方体的每个面至多交出一条线段，正方体共 个面，故截面边数不超过 。取过六条棱中点的平面可得正六边形，达到上界。故选C。 【变式1-2】将一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，所得几何体是（　　） A．一个圆锥　B．一个圆柱　C．两个底面重合的圆锥　D．一个圆台 【答案】C 【解题思路】向斜边作垂线，把原三角形分成两个直角三角形，各自绕斜边旋转。 【解答过程】设直角三角形 中 ，作 于 。 绕 旋转时， 与 各旋转出一个圆锥，两者的底面都是以 为半径的圆，且底面重合、顶点分别为 、。 故所得几何体是两个底面重合的圆锥。故选C。 【变式1-3】已知圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，则该圆锥的轴截面面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】轴截面是底为 、腰为 的等腰三角形，先由勾股求高。 【解答过程】轴截面是底边长为 、腰长为 的等腰三角形。 等腰三角形的高即圆锥的高 。 故轴截面面积 。故选A。 【题型2 三视图的还原与计算】 【例2】某几何体的正视图与侧视图均为边长为 的正方形，俯视图是直径为 的圆，则该几何体的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】正视图与侧视图都是矩形，俯视图是圆，可判定为圆柱；再由尺寸定底面半径与高。 【解答过程】俯视图是直径为 的圆，说明该几何体是旋转体且底面半径为 ； 正视图与侧视图均为边长 的正方形，说明高 ，且与圆的直径 吻合。 故该几何体是底面半径为 、高为 的圆柱，体积 。故选B。 【多解·巧解】还原三视图有一条固定的三字诀——先看俯视图定"底面形状"：俯视图是圆 旋转体（柱、锥、台）；俯视图是多边形 多面体。再看正视图定"轮廓"：矩形 柱，三角形 锥，梯形 台。最后用"长对正、高平齐、宽相等"核对三个方向的尺寸。三步走完，几何体的形状和尺寸同时确定，不必在脑中反复试错。 【易错提醒】①只看到"正视图是正方形"就认定是正方体，忽略俯视图是圆，会误选 一类的答案；②把俯视图的直径 当成半径 ，体积算成 ；③三视图还原后必须复核一遍：圆柱的高（）与底面直径（）是否恰好让正视图成正方形。 【变式2-1】某几何体的正视图与侧视图均为底边长为 、高为 的三角形，俯视图是边长为 的正方形，则该几何体的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】俯视图是正方形、正视图是三角形，可判定为四棱锥。 【解答过程】俯视图是边长为 的正方形，说明底面是 的正方形，底面积 ； 正视图与侧视图均为高为 的三角形，说明棱锥的高 。 故该几何体是底面边长 、高 的四棱锥，体积 。故选B。 【变式2-2】某几何体的三个视图均为半径为 的圆，则该几何体的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】三个视图都是圆，可判定为球。 【解答过程】三个视图均为半径为 的圆，该几何体是半径 的球。 表面积 。故选C。 【变式2-3】某几何体的正视图与侧视图均为底边长为 、高为 的等腰直角三角形，俯视图是半径为 的圆，则该几何体的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】俯视图是圆、正视图是三角形，可判定为圆锥；再由尺寸定半径与高。 【解答过程】俯视图是半径为 的圆，故底面半径 ； 正视图是底边长 （等于底面直径）、高 的等腰三角形，故圆锥的高 。 体积 。故选B。 【题型3 表面积的计算与侧面展开】 【例3】已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 的半圆，则该圆锥的底面半径为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】展开图的扇形半径是母线，扇形弧长等于底面周长，用这条等量关系求半径。 【解答过程】侧面展开图是半径为 的半圆，故母线 ，半圆弧长为 。 设底面半径为 ，由"扇形弧长 = 底面周长"得 ，解得 。故选B。 【多解·巧解】侧面展开题只要抓住一条链： 圆心角 （弧度） 弧长 底面周长 半径 。 半圆的圆心角是 ，代入即得 ，全程不用画侧面展开图。反过来，已知 与 求圆心角时也是同一个式子：。一个公式管两个方向，记住它就够用。 【易错提醒】①把"半圆的半径 "当成圆锥的底面半径，直接选D；②记错弧长公式，把半圆弧长算成 之外的数值；③注意"半圆"给的是圆心角为 的扇形，其半径是母线而不是底面半径。 【变式3-1】已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥的侧面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】直接用圆锥侧面积公式 。 【解答过程】。故选C。 【变式3-2】把一个半径为 的实心球熔化后铸成一个底面半径为 的圆柱，则该圆柱的高为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】熔化前后体积不变，列等式求高。 【解答过程】球的体积 。 设圆柱高为 ，则 ，解得 。故选C。 【变式3-3】已知圆台的上、下底面半径分别为 与 ，母线长为 ，则该圆台的侧面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】直接用圆台侧面积公式 。 【解答过程】。故选B。 【题型4 体积的计算与割补、等体积法】 【例4】在棱长为 的正方体 中，三棱锥 的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 作为底面、 作为高，直接套锥体体积公式。 【解答过程】 是直角边长为 的等腰直角三角形，面积 。 因为 平面 ，故三棱锥的高 。 体积 。故选B。 【多解·巧解】求棱锥体积的通法是"换底面 + 找垂线"：底面要选"面积好算"的（如直角三角形、能直接读出的正方形），高要选"已经知道垂直"的棱（正方体中的棱天然垂直于底面）。本题若死盯 作顶点，就得去找 到平面 的距离，绕一大圈；把顶点换成 之外、底面换成 ，高就是现成的棱 。同一个三棱锥有四个"顶点—底面"搭配，挑最好算的那个。 【易错提醒】①把底面积算成 （把对角线当直角边）；②用错公式写成 （柱体或棱台的形式）；③忘记高是 到底面的垂线段长度，而误用 这类斜线段。 【变式4-1】在棱长为 的正方体 中，三棱锥 的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】换底面为 、高为正方体的棱。 【解答过程】，高 。 。故选A。 【变式4-2】若一个圆柱的底面半径与高相等，且侧面积为 ，则该圆柱的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】设半径为 ，由侧面积求出 ，再算体积。 【解答过程】设底面半径为 ，则高 ，侧面积 ，得 ，。 体积 。故选B。 【变式4-3】已知正四棱锥的底面边长为 ，体积为 ，则该棱锥的高为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】底面积易求，由体积公式反解高。 【解答过程】底面积 。设高为 ，则 ，解得 。故选A。 【题型5 球的内切与外接】 【例5】已知正方体的棱长为 ，则其外接球的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】外接球的直径等于正方体的体对角线，先求体对角线长。 【解答过程】正方体的体对角线长为 ，故外接球半径 。 表面积 。故选C。 【多解·巧解】切接问题一律走"补形 + 压到体对角线"这条路： · 正方体棱长 ：外接球 ，内切球 ，棱切球 ； · 长方体 ：； · 正四面体棱长 ：，。 四类结论背下来，考场上直接代入，不必重新推导。判断用哪个，只需看"球与顶点相切"还是"球与面相切"。 【易错提醒】①把体对角线当成半径（少除以 ），得到 ，表面积算成 ；②把"外接球"与"内切球"混淆，内切球半径应为 ，表面积 ；③表面积公式记成 （那是圆面积），球的表面是 。 【变式5-1】若一个球的表面积为 ，则该球的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先由表面积求半径，再算体积。 【解答过程】由 得 ，。 体积 。故选B。 【变式5-2】已知一个长方体的长、宽、高分别为 、、，则其外接球的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】体对角线是外接球的直径。 【解答过程】体对角线长为 ，故 。 体积 。故选A。 【变式5-3】已知棱长为 的正四面体，则其外接球与内切球的半径之比为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】代入正四面体的两个半径公式再作比。 【解答过程】棱长为 的正四面体：外接球半径 ，内切球半径 。 故 。故选C。 【题型6 组合体与截面面积的最值】 【例6】用一个平面去截棱长为 的正方体，若截面是三角形，则该截面面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】截面三角形的三个顶点在正方体的三条棱上，用"截去的角"越小面积越大的直觉配合计算。 【解答过程】若截面是三角形，平面只与正方体的三个面相交。这三个面不能有一对平行（否则两条交线平行，截面至少有四条边），故它们恰是从共顶点 出发的三个面。 设截面与从 出发的三条棱分别交于点 ，且 、、（）。 以 为原点建系，则 、、，由向量叉乘可得 。 该式关于 均单调递增，故 时 最大，此时 。故选C。 【多解·巧解】求截面面积最值时，先判形状、再用对称：截面是三角形的情形只有一种"模型"——切掉正方体的一个角，此时三个切点到公共顶点的距离 越大，截面越往对角方向推、面积越大，于是极值必在 处取得，再由对称性知此时是正三角形。这套"先找单调方向、再用对称性定形状"的思路，同样适用于"圆锥内接圆柱体积最大"这类经典最值题。 【易错提醒】①误以为截面的三个顶点必须在棱上而不能是正方体的顶点，从而错过 这一最大情形；②把边长算成 （错把正方体的棱当截面边），得 ；③截面是三角形时不可能出现"钝角三角形"，若算出钝角，说明边长取错了。 【变式6-1】在棱长为 的正方体中，过其体对角线中点的截面是正六边形，则该正六边形的边长为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】正六边形的顶点是六条棱的中点，边长等于面对角线的一半。 【解答过程】过正方体中心且垂直于体对角线的截面经过六条棱的中点，相邻两个中点同在一个面上，连线是该面正方形（边长 ）的中位线对应的面对角线的一半。 面对角线长为 ，故正六边形边长为 。故选B。 【变式6-2】已知圆锥的底面半径为 、高为 ，则其内接圆柱（圆柱下底面在圆锥底面上）的体积最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】设圆柱半径为 ，用相似三角形把圆柱高表示为 的函数，再求体积最大值。 【解答过程】设内接圆柱底面半径为 （）。 由轴截面中的相似关系，圆柱的高 。 体积 。 令 ，则 。 当 时 取最大值 。 故 。故选C。 【变式6-3】把长为 、宽为 的矩形绕其长边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】矩形绕一边旋转得圆柱，半径等于矩形的另一边长。 【解答过程】绕长边旋转，所得圆柱的底面半径 、高 。 体积 。故选C。 一、单选题 1．（★★）已知圆锥的底面半径为 ，高为 ，则该圆锥的母线长为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】母线、高、底面半径构成直角三角形，用勾股定理。 【解答过程】。故选B。 2．（★★）某几何体的俯视图是边长为 的正方形，正视图与侧视图均为边长 的正方形，则该几何体的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】三个视图都是正方形，还原为正方体。 【解答过程】三视图均为边长 的正方形，该几何体是棱长 的正方体，体积 。故选B。 3．（★★）若球的半径扩大为原来的 倍，则其体积扩大为原来的（　　） A． 倍　B． 倍　C． 倍　D． 倍 【答案】D 【解题思路】体积与半径的三次方成正比。 【解答过程】，半径变为 时体积变为 ，即 倍。故选D。 4．（★★）已知圆柱的底面半径为 ，高为 ，则该圆柱的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】表面积等于侧面积加两个底面积。 【解答过程】，两底面积 ，故 。故选C。 5．（★★）在棱长为 的正方体中，其内切球的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】内切球的直径等于正方体的棱长。 【解答过程】内切球半径 ，表面积 。故选C。 6．（★★★）已知一个球内切于圆柱（球与圆柱的上、下底面及侧面都相切）。若该圆柱的全面积为 ，则该球的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】由球内切于圆柱得球半径等于底面半径、圆柱高等于直径，再用全面积定出半径。 【解答过程】设圆柱的底面半径为 ，则内切球的半径也为 ；球与上、下底面都相切，故圆柱的高 。圆柱的全面积 ，解得 ，。所以球的表面积 。故选C。 7．（★★★）已知圆锥的底面半径为 、高为 ，则该圆锥的内切球（球与底面及侧面都相切）的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】化归到轴截面：内切球半径等于轴截面三角形的内切圆半径，用等面积法求。 【解答过程】圆锥的母线 。作轴截面，得底边为 、两腰为 的等腰三角形（实为边长 的等边三角形），内切球半径等于该三角形的内切圆半径 。由等面积法：，即 ，解得 。故球的表面积 。故选B。 8．（★★★）已知圆锥的底面半径为 、高为 ，则该圆锥的外接球（球面过圆锥的顶点与底面圆）的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】化归到轴截面：外接球半径等于轴截面三角形的外接圆半径，用球心到顶点、到底面圆上点的距离列方程。 【解答过程】设外接球球心在圆锥的对称轴上、距底面圆心为 ，球半径为 。由球心到顶点距离为 得 ；由球心到底面圆上任一点距离为 得 。于是 ，即 ，解得 ，。故外接球的表面积 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列关于柱、锥、台、球的结论正确的是（　　） A．圆柱的轴截面是矩形　B．圆锥的轴截面是等腰三角形　C．圆台的轴截面是等腰梯形　D．用平行于底面的平面截圆锥，截面是圆 【答案】ABCD 【解题思路】逐项按旋转体的轴截面定义判断。 【解答过程】A 中圆柱的轴截面是矩形，正确； B 中圆锥的轴截面是腰为母线的等腰三角形，正确； C 中圆台的轴截面是腰为母线的等腰梯形，正确； D 中用平行于底面的平面截圆锥，由相似性知截面是圆，正确。 故选ABCD。 10．（★★）已知正方体的棱长为 ，则下列结论正确的是（　　） A．其外接球的半径为 　B．其内切球的半径为 　C．其外接球与内切球的表面积之比为 　D．其外接球的体积为 【答案】ABCD 【解题思路】逐项代入切接半径公式，注意表面积比等于半径平方比。 【解答过程】A 中体对角线 ，外接球半径 ，正确； B 中内切球直径等于棱长 ，半径为 ，正确； C 中半径比为 ，表面积比为 ，正确； D 中 ，正确。 故四项全对，选ABCD。 11．（★★★）已知棱长为 的正方体，则下列说法正确的是（　　） A．其体积为 　B．其表面积为 　C．其内切球的体积为 　D．其外接球的表面积为 【答案】ABD 【解题思路】逐项独立计算：体积、表面积直接套公式；内切球直径等于棱长、外接球直径等于体对角线。 【解答过程】正方体棱长 。A：体积 ，正确。B：表面积 ，正确。C：内切球直径等于棱长，半径 ，体积 ，与 不符，错误。D：外接球直径等于体对角线 ，半径 ，表面积 ，正确。故选ABD。 12．（★★★）已知圆台的上底面半径为 、下底面半径为 、高为 ，则下列说法正确的是（　　） A．该圆台的母线长为 　B．该圆台的侧面积为 　C．该圆台的体积为 　D．该圆台的轴截面面积为 【答案】ABD 【解题思路】逐项独立计算：母线用轴截面直角梯形求，侧面积、体积、轴截面面积各套公式。 【解答过程】A：轴截面是上底 、下底 、高 的等腰梯形，母线 ，正确。B：侧面积 ，正确。C：，，，体积 ，与 不符，错误。D：轴截面面积 ，正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）已知球的体积为 ，则该球的表面积为 ____________。 【答案】 【解题思路】先由体积求半径，再算表面积。 【解答过程】由 得 ，。 表面积 。 14．（★★）已知圆台的上、下底面半径分别为 与 ，高为 ，则该圆台的体积为 ____________。 【答案】 【解题思路】代入圆台体积公式，注意中项是两底面积的几何平均。 【解答过程】，，。 。 15．（★★★）已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 。若该圆锥的体积不超过 ，则 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】先用体积条件限制高 ，再由 转化为 的范围，注意母线恒大于底面半径。 【解答过程】设圆锥的高为 。体积 ，解得 。又母线 。因为 ，所以 。故 的取值范围是 。 16．（★★★）已知球的表面积为 ，则该球的内接正方体的体积为 ____________。 【答案】 【解题思路】先由球的表面积求半径，再由体对角线等于直径求正方体棱长，最后求体积。 【解答过程】设球的半径为 ，由 得 ，。设内接正方体的棱长为 ，其体对角线等于球的直径，即 ，故 。所以正方体的体积 。 四、解答题 17．（★★）已知一个圆锥的底面半径为 ，母线长为 。 (1) 求该圆锥的高； (2) 求该圆锥的侧面积与体积。 【答案】(1) ； (2) 侧面积 ，体积 。 【解题思路】先用勾股定理求高，再分别套侧面积与体积公式。 【解答过程】(1) 。 (2) ； 。 【多解·巧解】凡是"已知 与 求 "，都是同一个直角三角形：。把圆锥的轴截面画出来，三条量（）的关系就一目了然，不必死记公式。另外， 与 只差一个因子 ，记住"侧面展开是扇形，半径是母线"，就不会把 写成 。 【易错提醒】(1) 中把 与 的位置弄反，写成 会出现负数开方；(2) 中求"表面积"时忘记加底面积 ，若题目问表面积答案应为 。读题时"侧"与"表"要圈出来。 18．（★★）某几何体的俯视图是边长为 的正方形，正视图与侧视图均为底边长 、高为 的矩形。 (1) 判断该几何体的形状； (2) 求该几何体的表面积与体积。 【答案】(1) 底面边长 、高 的正四棱柱； (2) 表面积 ，体积 。 【解题思路】俯视图定底面形状，正视图定高，再套柱体公式。 【解答过程】(1) 俯视图是边长 的正方形，正视图与侧视图均为矩形，故该几何体是底面边长为 、高为 的正四棱柱。 (2) 底面积 ，侧面积 ， 表面积 ； 体积 。 【多解·巧解】三视图还原后立刻画一张草图并标上三个方向的尺寸，这是避免"底面搞错"最有效的习惯。判断口诀：俯视图是正方形 底面是正方形；正视图（和侧视图）的高就是几何体的高。若正视图变成三角形，几何体立刻从"柱"变成"锥"，体积公式也跟着除以 。 【易错提醒】①把正视图的"高 "当成底面边长，得到 的正方体；②表面积漏算两个底面，只写侧面积 ；③正四棱柱的侧面由 个全等矩形组成，侧面积 底面周长 高 ，不要只算两个面。 19．（★★）在棱长为 的正方体 中，设 为棱 的中点。 (1) 求三棱锥 的体积； (2) 求三棱锥 的体积。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 建系后用混合积求体积；(2) 先比对顶点集合，判断是否为同一个三棱锥。 【解答过程】(1) 以 为原点，、、 分别为 、、 轴建系，则 、、，又 、，故 。 ，，。 混合积 ， 故 。 (2) 三棱锥 的四个顶点是 ，与三棱锥 的顶点集合完全相同，故是同一个三棱锥，体积同为 。 【多解·巧解】判断两个三棱锥"是不是同一个"，只需比对四个顶点的集合——若顶点集合相同，体积必然相同，第二问几乎是白送的。另外，用坐标法（混合积）求棱锥体积是通用保险手段：，当底面与高的几何关系不好找时，建系算混合积比找垂线更快更稳。 【易错提醒】①(2) 中误以为换了顶点就要重算，其实只需检查顶点集合是否相同；②用混合积时忘记除以 （三棱锥是平行六面体的六分之一）；③忘记取绝对值，体积出现负值。 20．（★★★）已知正四棱锥 的底面边长为 ，高为 。 (1) 求该正四棱锥的体积； (2) 求该正四棱锥外接球的表面积。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 直接套棱锥体积公式；(2) 设球心在对称轴上，用球心到顶点、到底面顶点的距离相等列方程求半径。 【解答过程】(1) 底面是边长为 的正方形，面积 ，体积 。 (2) 设底面中心为 ，则 。外接球球心在直线 上，设它到 的距离为 （），球半径为 。 由球心到顶点 的距离为 得 ；由球心到底面顶点 的距离为 得 ，而 。 于是 ，即 ，解得 ，。 故外接球的表面积 。 【多解·巧解】(2) 的关键是球心必在对称轴上：正四棱锥的对称轴就是高 所在直线。把球心位置用一个参数 表示，再对顶点与底面顶点分别写出到球心的距离等于 ，两式联立即可。凡是求正棱锥的外接球，都可以用这一套“轴上设球心、两处距离列方程”的方法。 【易错提醒】① (2) 中误以为球心就是底面中心 （此时 而 ，两者不等，矛盾）；② 把底面顶点到中心的距离算成边长 （应为半对角线 ）；③ (1) 中体积公式漏掉 。检验： 时，球心到 的距离为 ，到顶点 的距离为 ，一致。 21．（★★★）已知圆柱的底面半径为 、高为 。 (1) 求该圆柱的表面积与体积； (2) 若该圆柱内接于一个球（圆柱的上、下底面圆都在球面上），求该球的表面积。 【答案】(1) 表面积为 ，体积为 ； (2) 。 【解题思路】(1) 表面积等于侧面积加两底面；(2) 球心在圆柱的对称中心，用 求半径。 【解答过程】(1) 侧面积 ，两底面积 ， 故表面积 ；体积 。 (2) 设外接球半径为 。球心在圆柱的对称中心，球心到上底面圆周上任一点的距离为 ， 由勾股关系 ，故 。 所以球的表面积 。 【多解·巧解】(2) 的记忆抓手是直角三角形：底面半径、半高、球半径构成直角三角形的三边，即 。不论是球包圆柱还是圆柱包球，先分清哪个量是斜边，再列式就不会错。(1) 中要分清侧面积与表面积，表面积要加上两个底面。 【易错提醒】① (1) 中把表面积只算成侧面积（漏掉两底面）；② (2) 中把半高写成整个高 ，得到 ，结果错误；③ (2) 中把 直接代入 （漏平方）。检验： 时，，球心到上底面圆周的距离恰为 。 22．（★★★）已知一个半球的半径为 ，一个圆柱的下底面圆与该半球的大圆重合，圆柱的上底面圆落在半球的球面上。 (1) 设圆柱的底面半径为 ，把圆柱的高表示为 的函数； (2) 求圆柱体积的最大值，并指出取得最大值时 的值。 【答案】(1) （）； (2) 当 时体积最大，最大值为 。 【解题思路】(1) 由圆柱上底面圆在球面上得 ；(2) 写出 后换元，把根式最值化为多项式求最值。 【解答过程】(1) 圆柱上底面圆落在半球的球面上，设圆柱的高为 ，则上底面圆上任一点到球心（大圆圆心）的距离为 ， 由此得 ，故 （）。 (2) 。令 （），则 。 记 ，。 当 时 ，当 时 ，故 时 最大。 此时 ，，， 。 【多解·巧解】(2) 含根式的目标函数 直接求导较繁，换元 并对 求最值更干净：因为 ， 与 同时取到最大值。这类“两正数因子相乘”的最值，换元后化为三次多项式，求导即得，是通用套路。 【易错提醒】① (1) 中把条件写成 （把半径当直径用），得到错误的高；② (2) 中忘记 与 同增同减，直接对 求导时代数式繁杂易错；③ 求导后忘了检验驻点是否为最大值点（本题先增后减，确为最大）。检验： 时 ，故 ，在定义域内；，合理。 23．（★★★）已知圆锥的底面半径为 、高为 。用一个平行于底面的平面去截该圆锥，得到一个截面圆半径为 （）的圆台（截面下方的部分）。 (1) 用 表示该圆台的高； (2) 求该圆台的体积 ； (3) 若该圆台的体积等于原圆锥体积的 ，求 的值。 【答案】(1) 高为 ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1)(2) 用圆台体积 = 大圆锥体积 - 上方小圆锥体积，小圆锥与大圆锥相似；(3) 列出体积方程解 。 【解答过程】(1) 截面圆半径为 ，上方小圆锥与整个圆锥相似，相似比为 ， 故小圆锥的高为 ，圆台的高为 。 (2) 原圆锥体积 ， 上方小圆锥体积 ， 故 。 (3) 由 得 ， 即 ，解得 ，。 【多解·巧解】圆台体积的“减法观点”比直接套公式更好算：圆台 = 大圆锥 - 上方小圆锥，两个圆锥相似，高之比等于半径之比，一步写出小圆锥的高。(3) 中把比例翻译成关于 的方程后，注意先把常数项合并再开方， 是唯一解（）。 【易错提醒】① (1) 中相似比写反，把小圆锥的高算错；② (2) 中直接套圆台体积公式却把中项 写成算术平均 ；③ (3) 中把 乘到小圆锥体积 上（应乘到大圆锥体积 上）。检验： 时 ，而 ，一致。 24．（★★★）已知球的半径为 ，球内有一个内接圆柱（圆柱的上、下底面圆都在球面上）。 (1) 设圆柱的底面半径为 ，把圆柱的高表示为 的函数； (2) 求圆柱侧面积的最大值及取得最大值时的 ； (3) 求圆柱体积的最大值及取得最大值时的 。 【答案】(1) （）； (2) 侧面积最大值为 ，此时 ； (3) 体积最大值为 ，此时 。 【解题思路】(1) 由 求高；(2)(3) 分别写出侧面积、体积的目标函数，换元后求最值。 【解答过程】(1) 球心在圆柱的对称中心，由底面圆周上的点到球心距离为 得 ， 故 （）。 (2) 侧面积 。令 ，则 ， 当 时 最大，此时 ，。 (3) 体积 。令 ，则 。 记 ，， 故 时 最大，此时 ，，。 【多解·巧解】(2)(3) 都靠“换元 再对平方求最值”这一条主线：(2) 中 正比于 （两因子之和为常数，配二次函数顶点）；(3) 中 正比于 （三次多项式求导）。看到 或 的目标函数，先平方再换元，可免去繁难的直接求导。 【易错提醒】① (1) 中把 误写成 （高与半高混淆）；② (2) 中误用 的最值点 去求体积（体积的最值点在 ）；③ (2)(3) 中求最值后忘记与定义域 比对，确认驻点在区间内。检验： 时 ，，且 ，满足条件。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第35讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 第35讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．准确掌握柱、锥、台、球的结构特征，能识别旋转体并由平面图形旋转还原出几何体； 2．能由三视图还原几何体并完成表面积、体积的计算，能处理"三视图 + 组合体"的综合问题； 3．熟练运用柱、锥、台、球的表面积与体积公式，会用割补法、等体积法求组合体与不规则体的度量； 4．掌握球的内切、外接问题的"补形法"，会求正方体、长方体、正四面体、圆锥与球的切接半径； 5．会处理截面面积的最值与动点问题，体会"展开"与"投影"两条化归路径。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 结构特征与旋转体 选择题 第3~5题 易 抓住"旋转轴是谁"，先画轴截面再判断 三视图的还原与计算 选择题、填空题 第5~8题、第13题 中 长宽高三个方向逐一核对，还原后画草图 表面积的计算 选择题、填空题 第4~7题、第13题 中 侧面展开，用"弧长等于底面周长"搭桥 体积的计算与割补 选择题、填空题、解答题 第7~8题、第14题、第17题 中偏难 先割补成一个规则体，再用等体积法换顶点 球的内切与外接 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 补成正方体或长方体，压到体对角线上 截面面积的最值 选择题、多选题 第8题、第11题 中偏难 先看截面的形状类别，再用对称性定最值 命题规律分析 本专题在新高考中通常落在选择题第4~8题、填空题第13~14题，也常作为解答题第17题的第一问出现。基础档只考公式代入，培优档则有三处明显加码：一是"三视图还原 + 组合体"——由三视图反推几何体形状时，必须同时核对长、宽、高三个方向的尺寸，漏看一个方向就全盘皆错；二是"侧面展开"——圆锥、圆台的侧面展开图中，"扇形弧长等于底面周长"是唯一的等量桥梁，抓住它就能把母线、底面半径、圆心角三者串成一条链；三是"球的切接"——把正方体、正四面体补成一个球，或者把球补成一个长方体，本质都是把空间关系压到一条体对角线上。本讲的策略是：先定型、再定量，形状定准之后再套公式，力争把这类中档题做成"必得分题"。 考点1 空间几何体的结构特征与三视图 知识点1 柱、锥、台、球的结构特征 旋转体三件套：矩形绕一边旋转得圆柱，直角三角形绕一条直角边旋转得圆锥，直角梯形绕垂直于底边的腰旋转得圆台，半圆绕直径旋转得球。 轴截面是解题钥匙：圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形，球的轴截面是圆。凡遇旋转体，先画轴截面，母线 、高 、底面半径 满足 （圆锥、圆台用半径差）。 【易错清单】 1．"直角三角形绕斜边旋转"得的是两个共底的圆锥，不是圆锥，切勿套单一公式； 2．圆台的母线 、高 与两底面半径 、 满足 ，是"半径之差"而不是"半径之和"； 3．球的截面圆半径 与球半径 、球心到截面距离 满足 ，不要把 当成弦长。 知识点2 三视图与斜二测直观图 三视图对应关系：正视图反映"长与高"，侧视图反映"宽与高"，俯视图反映"长与宽"；即"长对正、高平齐、宽相等"。 斜二测画法： 轴与 轴夹角为 （或 ）， 方向与 方向长度不变， 方向长度减半；平行性不变，但角度与长度比会改变。 斜二测图中，原图形面积 与直观图面积 满足 。 【易错清单】 1．还原三视图时最容易漏掉"宽"这一维，必须三个视图一起看，不能只看正视图； 2．三视图中"看不见的轮廓线画虚线"，还原时虚线对应的棱容易被漏掉； 3．直观图中"看起来垂直"的两条线在原图中未必垂直，不能在直观图上直接使用垂直关系。 考点2 表面积、体积与球的切接 知识点3 表面积与体积公式 侧面积：，，，。 体积：，，，。 侧面展开的等量关系：圆锥侧面展开图是扇形，扇形半径是母线 ，扇形弧长等于底面周长 ，故圆心角 （弧度制）。 【易错清单】 1．圆柱的"母线"就是高，而圆锥的母线 不等于高 ，套公式前先分清求的是 还是 ； 2．求"表面积"要记得加底面积，求"侧面积"才不加——题干里"表"与"侧"一字之差； 3．圆台体积公式中间项是 而不是 的简单平均。 知识点4 球的内切与外接（补形法） 正方体（棱长 ）：外接球半径 ，内切球半径 ，与棱相切的球半径 。三者都压在同一条体对角线上。 长方体（长宽高 ）：外接球直径等于体对角线，即 。 正四面体（棱长 ）：外接球半径 ，内切球半径 ，两者之比为 。 通用做法：把几何体补成一个长方体或正方体，让球心落在体对角线中点，空间关系就退化为一条线段上的加减。 【易错清单】 1．"棱长为 的正方体的外接球"与"半径为 的球的内接正方体"是互逆的，列式时 与 的角色别搞反； 2．球心到各顶点距离相等（外接）、球心到各面距离相等（内切），两个条件的几何意义不同，不能混用； 3．正四面体的外接球半径公式中的分母是 ，内切球是 ，容易记混——记住两者之比恒为 即可回推。 知识点5 割补法、等体积法与截面 割补法：把不规则几何体切成几个规则体求和，或补成一个大规则体再减去多余部分。 等体积法：同一个三棱锥换顶点、换底面，体积不变，即 ，常用于"已知体积求点面距"。 正方体的截面：截面边数可以是 ，不可能是七边形；截面是三角形时面积最大值为 （正三角形，边长 ）。 【易错清单】 1．用等体积法时，所选底面必须是同一几何体的面（或能算出面积的面），换底面后高要跟着换，不能沿用旧高； 2．正方体被平面截得的六边形截面一定是对边平行的六边形，画图时不要把相邻边画成平行； 3．求体积最值时常忽略定义域（如内接圆柱的高必须在 到圆锥高之间），极值点必须落回区间内。 【题型1 空间几何体的结构特征与旋转体】 【例1】用一个平面去截棱长为 的正方体，则所得截面的形状不可能是（　　） A．正三角形　B．正方形　C．正五边形　D．正六边形 【变式1-1】用一个平面去截正方体，所得截面的边数最多是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】将一个直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，所得几何体是（　　） A．一个圆锥　B．一个圆柱　C．两个底面重合的圆锥　D．一个圆台 【变式1-3】已知圆锥的母线长为 ，底面半径为 ，则该圆锥的轴截面面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 三视图的还原与计算】 【例2】某几何体的正视图与侧视图均为边长为 的正方形，俯视图是直径为 的圆，则该几何体的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】某几何体的正视图与侧视图均为底边长为 、高为 的三角形，俯视图是边长为 的正方形，则该几何体的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】某几何体的三个视图均为半径为 的圆，则该几何体的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】某几何体的正视图与侧视图均为底边长为 、高为 的等腰直角三角形，俯视图是半径为 的圆，则该几何体的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 表面积的计算与侧面展开】 【例3】已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为 的半圆，则该圆锥的底面半径为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥的侧面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】把一个半径为 的实心球熔化后铸成一个底面半径为 的圆柱，则该圆柱的高为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知圆台的上、下底面半径分别为 与 ，母线长为 ，则该圆台的侧面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 体积的计算与割补、等体积法】 【例4】在棱长为 的正方体 中，三棱锥 的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】在棱长为 的正方体 中，三棱锥 的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】若一个圆柱的底面半径与高相等，且侧面积为 ，则该圆柱的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知正四棱锥的底面边长为 ，体积为 ，则该棱锥的高为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 球的内切与外接】 【例5】已知正方体的棱长为 ，则其外接球的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】若一个球的表面积为 ，则该球的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知一个长方体的长、宽、高分别为 、、，则其外接球的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知棱长为 的正四面体，则其外接球与内切球的半径之比为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 组合体与截面面积的最值】 【例6】用一个平面去截棱长为 的正方体，若截面是三角形，则该截面面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】在棱长为 的正方体中，过其体对角线中点的截面是正六边形，则该正六边形的边长为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】已知圆锥的底面半径为 、高为 ，则其内接圆柱（圆柱下底面在圆锥底面上）的体积最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】把长为 、宽为 的矩形绕其长边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）已知圆锥的底面半径为 ，高为 ，则该圆锥的母线长为（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）某几何体的俯视图是边长为 的正方形，正视图与侧视图均为边长 的正方形，则该几何体的体积为（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）若球的半径扩大为原来的 倍，则其体积扩大为原来的（　　） A． 倍　B． 倍　C． 倍　D． 倍 4．（★★）已知圆柱的底面半径为 ，高为 ，则该圆柱的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）在棱长为 的正方体中，其内切球的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知一个球内切于圆柱（球与圆柱的上、下底面及侧面都相切）。若该圆柱的全面积为 ，则该球的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知圆锥的底面半径为 、高为 ，则该圆锥的内切球（球与底面及侧面都相切）的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知圆锥的底面半径为 、高为 ，则该圆锥的外接球（球面过圆锥的顶点与底面圆）的表面积为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于柱、锥、台、球的结论正确的是（　　） A．圆柱的轴截面是矩形　B．圆锥的轴截面是等腰三角形　C．圆台的轴截面是等腰梯形　D．用平行于底面的平面截圆锥，截面是圆 10．（★★）已知正方体的棱长为 ，则下列结论正确的是（　　） A．其外接球的半径为 　B．其内切球的半径为 　C．其外接球与内切球的表面积之比为 　D．其外接球的体积为 11．（★★★）已知棱长为 的正方体，则下列说法正确的是（　　） A．其体积为 　B．其表面积为 　C．其内切球的体积为 　D．其外接球的表面积为 12．（★★★）已知圆台的上底面半径为 、下底面半径为 、高为 ，则下列说法正确的是（　　） A．该圆台的母线长为 　B．该圆台的侧面积为 　C．该圆台的体积为 　D．该圆台的轴截面面积为 三、填空题 13．（★★）已知球的体积为 ，则该球的表面积为 ____________。 14．（★★）已知圆台的上、下底面半径分别为 与 ，高为 ，则该圆台的体积为 ____________。 15．（★★★）已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 。若该圆锥的体积不超过 ，则 的取值范围是 ____________。 16．（★★★）已知球的表面积为 ，则该球的内接正方体的体积为 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知一个圆锥的底面半径为 ，母线长为 。 (1) 求该圆锥的高； (2) 求该圆锥的侧面积与体积。 18．（★★）某几何体的俯视图是边长为 的正方形，正视图与侧视图均为底边长 、高为 的矩形。 (1) 判断该几何体的形状； (2) 求该几何体的表面积与体积。 19．（★★）在棱长为 的正方体 中，设 为棱 的中点。 (1) 求三棱锥 的体积； (2) 求三棱锥 的体积。 20．（★★★）已知正四棱锥 的底面边长为 ，高为 。 (1) 求该正四棱锥的体积； (2) 求该正四棱锥外接球的表面积。 21．（★★★）已知圆柱的底面半径为 、高为 。 (1) 求该圆柱的表面积与体积； (2) 若该圆柱内接于一个球（圆柱的上、下底面圆都在球面上），求该球的表面积。 22．（★★★）已知一个半球的半径为 ，一个圆柱的下底面圆与该半球的大圆重合，圆柱的上底面圆落在半球的球面上。 (1) 设圆柱的底面半径为 ，把圆柱的高表示为 的函数； (2) 求圆柱体积的最大值，并指出取得最大值时 的值。 23．（★★★）已知圆锥的底面半径为 、高为 。用一个平行于底面的平面去截该圆锥，得到一个截面圆半径为 （）的圆台（截面下方的部分）。 (1) 用 表示该圆台的高； (2) 求该圆台的体积 ； (3) 若该圆台的体积等于原圆锥体积的 ，求 的值。 24．（★★★）已知球的半径为 ，球内有一个内接圆柱（圆柱的上、下底面圆都在球面上）。 (1) 设圆柱的底面半径为 ，把圆柱的高表示为 的函数； (2) 求圆柱侧面积的最大值及取得最大值时的 ； (3) 求圆柱体积的最大值及取得最大值时的 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $