第36讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第36讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 第36讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．准确表述平面的三个基本事实及其推论，会用符号语言与图形语言双向翻译点、线、面的位置关系； 2．会用基本事实证明"多点共面""多线共面""三线共点""三点共线"四类经典问题； 3．掌握异面直线的判定方法（定义法、判定定理、反证法），能准确数出与已知直线异面的直线条数； 4．会用平移法、补形法与向量法求异面直线所成的角，牢记其取值范围是 ； 5．会作简单几何体的截面，能判断截面形状并研究截面与棱、面的交线关系。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 平面的基本性质与推论 选择题、多选题 第4~6题、第10题 易 背熟"三事实三推论"，先翻译符号再判断 共面与共线问题 选择题、解答题 第6~8题、第17题 中 先找两条相交直线定平面，再逐个往里装 异面直线的判定 选择题、多选题 第5~7题、第10题 中 数异面直线时"含端点的一律不算" 异面直线所成的角 选择题、填空题 第7~8题、第13~14题 中偏难 优先建系算余弦，其次补形，最后平移 截面与交线 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 先定截面顶点，再由平行面得平行交线 位置关系的综合辨析 多选题 第11题 中偏难 逐项构造反例，正方体是最好用的反例库 命题规律分析 本专题是新高考立体几何的"语言关"，常以选择题第4~8题、多选题第10~11题出现，也是解答题第17~19题证明环节的第一句话。基础档只考"认图"与"判断"，培优档则有三处升级：一是符号语言与图形语言的双向翻译——题干给出一串符号，必须先翻译成图形才能下手，翻译错一步后面全错；二是共面与共线证明——核心是"由两条相交直线确定一个平面，再把其余元素往这个平面里装"，这类题在多选题中常以"下列结论正确的是"的形式出现；三是异面直线所成的角——平移法需要构造平行线，补形法把几何体补成长方体，而向量法只需建系算余弦，三者择一即可。本讲的策略是：能建系就不找角、能补形就不平移，把几何直觉转化为可验算的代数过程。 考点1 平面的基本性质与位置关系 知识点1 三个基本事实与三个推论 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 三个推论：两条相交直线确定一个平面；两条平行直线确定一个平面；一条直线和这条直线外一点确定一个平面。 【易错清单】 1．"三点确定一个平面"必须强调不共线的三点，共线三点可确定无数个平面； 2．"两条直线确定一个平面"对异面直线不成立，必须相交或平行； 3．三个平面两两相交得到三条交线，这三条交线可能共点也可能平行，不能默认共点（三棱柱的三个侧面交线就是平行的）。 知识点2 点、线、面的位置关系 点与直线： 或 ；点与平面： 或 。 直线与直线：相交（一个公共点）、平行（无公共点且共面）、异面（不共面，无公共点）。 直线与平面：（在平面内）、（平行，无公共点）、（相交于一点）。 平面与平面：（无公共点）、（相交于一条直线）。 【易错清单】 1．"无公共点"不等于"平行"——空间中无公共点的两条直线还可能是异面直线； 2．直线与平面平行要求直线不在平面内且无公共点，只说"无公共点"时也要排除 之外的可能，实际上"无公共点"就等价于平行（在平面内是有无数公共点），表述要严谨； 3．"直线与平面所成的角"的范围是 ，而"异面直线所成的角"的范围是 ，右端都能取到 。 考点2 异面直线与截面 知识点3 异面直线的判定 判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。 反证法套路：假设两条直线共面 推出它们平行或相交 与已知条件矛盾 故异面。 快速判据：若两条直线既不平行也不相交，则必异面；在几何体中"含公共端点的两条棱一定相交或平行，绝不异面"。 【易错清单】 1．数"与已知直线异面的棱"时，凡与已知直线有公共端点的棱都要先排除，它们必然相交；剩下再排除平行的； 2．异面直线没有公共点，但"没有公共点"的两条直线不一定是异面直线； 3．分别在两个相交平面内的两条直线未必异面——若两直线的交点在两平面的交线上，就相交。 知识点4 异面直线所成的角 定义：过空间任一点分别作两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。 取值范围：，所以余弦值取绝对值：。 三条路径：平移法（构造平行四边形）、补形法（补成长方体或正方体）、向量法（建系求方向向量）。若两直线所成角为 ，则称它们互相垂直。 【易错清单】 1．余弦值必须加绝对值，否则会得到钝角；若算出余弦为负，取绝对值后再求角； 2．平移时"过一点作平行线"的那个点可以任取，通常取在其中一条直线上，这样只需作一条平行线； 3．异面直线所成的角不能是 （否则两条直线平行，就不是异面了）。 知识点5 截面与交线 作截面的方法：先找出截面与几何体各面的公共点，若两点在同一面内则连成线段；若两点所在面平行，则过这两点的两条交线平行。 延长线法：截面与某面的交线若只找到一个交点，就延长该面内的已知交线，与棱所在直线相交，得到第二个交点。 截面多边形的边是截面与各面的交线，边数 = 相交的面数。 【易错清单】 1．截面多边形的顶点必须在几何体的棱上，不能凭空取在面的内部； 2．截面与两个平行面相交得到的两条交线一定平行，这是判断截面形状的关键依据； 3．作图时"延长"得到的交点若落在棱的延长线上（不在棱上），则该交点无效，需另找。 【题型1 平面的基本性质与符号语言】 【例1】下列命题中正确的是（　　） A．空间任意三点确定一个平面　B．空间任意两条直线确定一个平面　C．两两相交的三条直线确定一个平面　D．两条平行直线确定一个平面 【答案】D 【解题思路】逐项构造反例：共线三点、异面直线、三线共点的三条直线。 【解答过程】A 中当三点共线时，过这三点的平面有无数个，不能唯一确定，错误； B 中两条异面直线不共面，不能确定平面，错误； C 中三条直线两两相交但交于同一点时（如正方体同一顶点出发的三条棱），它们不共面，错误； D 中由推论"两条平行直线确定一个平面"，正确。 故选D。 【多解·巧解】这类"判定命题真假"的题，正方体就是最好的反例库： · 共线三点 一条棱上的两个端点加中点； · 两条不共面的直线 一对异面棱（如 与 ）； · 三条两两相交却不共面的直线 同一顶点出发的三条棱。 脑子里存一个正方体，遇到"下列命题正确的是"就逐个往上套，比抽象推理快得多，而且不会漏情况。 【易错提醒】C 项是最容易误判的：很多人只想到"三条直线两两相交且不共点"的情形（此时确实共面），却忽略了"三线共点"这一支。只要能对 C 举出一个反例，它就错了——举反例比正面证明更快。 【变式1-1】下列推理正确的是（　　） A．，，， 　B．， 　C．， 　D．， 【答案】A 【解题思路】逐项对照基本事实2、基本事实3与线面平行的定义。 【解答过程】A 中由基本事实2"直线上两点在平面内则直线在平面内"，正确； B 中 只说明直线不完全在平面内，但 可能与 相交，交点 就在平面内，错误； C 中两个平面的公共点若只有一个，则两平面只能重合（由基本事实3），不重合时交集是一条直线，错误； D 中缺少 这一条件，若 则结论不成立，错误。 故选A。 【变式1-2】两个不重合的平面可以有公共点的个数是（　　） A． 个　B． 个　C．无数个　D． 个或无数个 【答案】D 【解题思路】由基本事实3，两个不重合平面有公共点则必交于一条直线。 【解答过程】两个不重合的平面若平行则没有公共点；若不平行（相交），由基本事实3它们有且只有一条公共直线，直线由无数个点组成。 故公共点个数为 个或无数个，不可能是 个。故选D。 【变式1-3】已知空间不共面的四个点，则以其中的三个点为顶点构成的平面共有（　　） A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 【答案】C 【解题思路】四点不共面且任意三点不共线，每三个点确定一个平面。 【解答过程】四个不共面的点中，任意三个点都不共线（若某三点共线，则第四点与该直线确定一个平面，四点就共面了）。 故每三个点确定唯一一个平面，共有 个。故选C。 【题型2 共面与共线问题】 【例2】已知空间三条直线 、、 两两相交，且三个交点互不重合。求证：这三条直线共面。 【答案】证明见解析，三线共面。 【解题思路】先用两条相交直线确定一个平面，再说明第三条直线上有两点在该平面内。 【解答过程】设 ，，，由题设 互不重合。 ① 因为 与 相交于 ，由推论"两条相交直线确定一个平面"，设它们确定平面 ，则 ，。 ② 由 且 得 ；同理 ，得 。 ③ 又 、，由基本事实2"直线上两点在平面内则直线在平面内"得 。 综上， 都在平面 内，即三线共面。 【多解·巧解】所有"共面、共线、共点"证明题，套路只有一句话——先找出一个平面，再把其余元素往这个平面里装。具体分三步：①用"两条相交直线"或"两条平行直线"或"一直线及线外一点"确定平面 ；②证明目标元素上有两个点属于 ；③用基本事实2把整条直线（或整个图形）装进 。反过来证"三点共线"时，常用技巧是证明该点同时在两个平面的交线上——因为两平面的交集只有一条直线，落进去就共线了。 【易错提醒】①忘记说明 与 是两个不同的点——若 ，则三点重合、三线共点，此时三线未必共面（如正方体一顶点出发的三条棱）；这正是"两两相交"与"两两相交且交点不重合"的差别，题干条件必须逐字读；②第③步必须用基本事实2，不能凭"看起来在里面"下结论。 【变式2-1】已知空间四点 、、、 不共面，且直线 与 相交，判断该条件是否可能成立，并说明理由。 【答案】不可能成立。 【解题思路】两条相交直线确定一个平面，从而四点共面，与已知矛盾。 【解答过程】假设 与 相交于点 。 由"两条相交直线确定一个平面"， 与 确定平面 。 于是 ，，即 四点共面，与已知"四点不共面"矛盾。 故该条件不可能成立，即不共面四点连线 与 必为异面直线。 【变式2-2】在正方体 中，、 分别是棱 、 的中点，、 分别是棱 、 的中点。判断 、、、 四点是否共面。 【答案】共面。 【解题思路】建系后写出四点坐标，验证四点是否落在同一个平面上。 【解答过程】以 为原点，、、 为 、、 轴，设棱长为 ，则 、、、。 ，，。 设 ，则 ，由 得 ，代入得 ，且 、 均成立。 故 可由 与 线性表示，即 四点共面。 【变式2-3】求证：三条两两相交且不共点的直线，其三个交点不共线。 【答案】证明见解析。 【解题思路】反证：若三交点共线，则三条直线都过该直线上两点，从而三线重合。 【解答过程】设 ，，，且 互不重合。 假设 三点共线于直线 。 则 同时过 与 ，而 ，故 与 有两个公共点，由基本事实知 ； 同理 过 得 ，。 于是三线重合，与"三条直线两两相交且不共点"矛盾。 故三个交点不共线。 【题型3 异面直线的判定】 【例3】在正方体 中，与棱 异面的棱共有（　　） A． 条　B． 条　C． 条　D． 条 【答案】C 【解题思路】正方体共 条棱，先去掉与 相交的（含端点 或 ），再去掉与 平行的。 【解答过程】正方体共 条棱。 ① 与 相交的棱：含端点 的有 、；含端点 的有 、，共 条； ② 与 平行的棱：、、，共 条； ③ 其余棱为 、、、，共 条，它们既不与 相交也不与 平行，故均与 异面。 （校验：，再加上 本身共 条。）故选C。 【多解·巧解】数异面直线有一个万能筛法：把 条棱分成三类——"含公共端点"（必相交）、"平行"、"其余"（必异面）。用计数校验：（相交）（平行）（异面）（自身）。这个校验式建议在草稿上写一遍，能立刻发现漏数或多数。推广到数"与面对角线异面的棱"时同样有效：先排除含端点的，再看平行的，剩下逐条判断。 【易错提醒】①把 与 当成与 相交——它们所在直线与 既不平行也不相交；②漏掉 与 ：它们与 不平行（方向不同）也不相交；③忘记 自身不在计数范围内，总数算成 。 【变式3-1】在正方体 中，与面对角线 异面的棱共有（　　） A． 条　B． 条　C． 条　D． 条 【答案】C 【解题思路】先排除含端点 或 的四条棱，剩下的逐条判断。 【解答过程】① 含端点 的棱：、、；含端点 的棱：、、，共 条，它们与 相交； ② 与 平行的棱：底面外无与 平行的棱（上底面对角线 不是棱），故没有； ③ 其余棱为 、、、、、，共 条，均与 异面。 （校验：。）故选C。 【变式3-2】已知直线 与平面 相交于点 ，直线 且 ，则直线 与 的位置关系是（　　） A．平行　B．相交　C．异面　D．平行或异面 【答案】C 【解题思路】用异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线异面。 【解答过程】在直线 上取一点 ，因为 与 只交于 ，故 。 由判定定理： 是"过平面 内一点 与平面外一点 的直线"，而 且 ，故 与 异面。 也可用反证：若 与 共面于 ，则 含 与 ，而 与 外一点 确定平面 ，故 ，进而 ，与 与 只交于 矛盾。 故选C。 【变式3-3】已知 、 是异面直线，直线 与 平行，则 与 的位置关系是（　　） A．异面　B．相交　C．平行　D．异面或相交 【答案】D 【解题思路】排除"平行"（否则 与 平行），但异面与相交都有可能。 【解答过程】若 ，又 ，则由平行的传递性得 ，与 、 异面矛盾，故 与 不平行。 当 经过 上某点时二者相交；当 与 无公共点时二者异面，两种情形都可以构造出来。 故 与 异面或相交。故选D。 【题型4 异面直线所成的角】 【例4】在棱长为 的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】建系写出两条直线的方向向量，用夹角余弦公式求解，注意取绝对值。 【解答过程】以 为原点，、、 分别为 、、 轴建系，则 、、、、。 ，。 。 故 。故选C。 【多解·巧解】求异面直线所成的角，建系法是最稳的一条路，因为它把"找平行线"变成"写坐标"。三条路的取舍顺序是：①几何体本身有现成的三条两两垂直的棱（正方体、长方体、直棱柱） 直接建系；②几何体不完整（如四面体、折叠图形） 先补形成长方体再建系；③只有在两直线明显共面、平移一步就能看出角时才用平移法。另外注意：异面直线所成的角取的是锐角或直角，所以余弦算出来必须加绝对值。 【易错提醒】①方向向量取反或写错坐标（如把 写成 ），导致余弦值算成 ；②忘记取绝对值：若不取绝对值， 可能为负，此处恰好为正，但换成别的题就会出错，养成习惯一律加绝对值；③把"异面直线所成的角"与"两条直线的夹角"混为一谈——前者范围 。 【变式4-1】在棱长为 的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】建系求两方向向量，注意"终点减起点"。 【解答过程】同建系：、、、。 ，。 ，故 。故选C。 【变式4-2】在正四面体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】D 【解题思路】把正四面体补成一个正方体，两组对棱恰好对应正方体两个相对面的异面对角线。 【解答过程】把正四面体 补成棱长为 的正方体，使 与 恰为正方体两个相对面上的异面面对角线。 建立空间直角坐标系后可取 、、、（满足六条棱等长）。 ，。 。 故 ，所成角为 。故选D。 【变式4-3】在棱长为 的正方体 中，异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】建系求方向向量，看点乘是否为零。 【解答过程】、、、。 ，。 ， 故两直线垂直，所成角为 ，余弦值为 。故选A。 【题型5 空间位置关系的综合辨析】 【例5】已知 、 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，，则 　B．若 ，，则 　C．若 ，，，则 　D．若 ，，，则 【答案】D 【解题思路】A、B、C 都能用正方体举出反例，D 是线面平行的性质定理，需正面论证。 【解答过程】A 中两条直线可以都平行于 但彼此异面（如正方体中 与 都平行于底面），错误； B 中两个平面可以相交（如正方体中相邻的两个侧面都与某条竖直棱平行），错误； C 中两个平行平面内的直线可以异面，错误； D 中 且 ，由线面平行的性质定理"过直线的平面与原平面的交线平行于该直线"，得 ，正确。 故选D。 【多解·巧解】位置关系辨析题的通用解法是"反例优先"：先把四个选项逐个往正方体上套，能举出反例的直接判错；剩下无法举出反例的那一项，往往就是课本上的判定或性质定理，这时再正面引用定理即可。需要背熟的三条"性质定理"是： · 线面平行 过该线的平面与原平面的交线平行于该线； · 面面平行 一个平面内的任一直线平行于另一平面； · 线面垂直 该线垂直于平面内任一直线。 【易错提醒】A 项是最容易误选的：很多人默认"都平行于同一平面的两条直线互相平行"，忽略了异面的可能。B 项同理——两个平面可以都平行于同一条直线却彼此相交。凡是"平行"的结论，都要先想想异面或相交的反例。 【变式5-1】已知 、 是异面直线，则下列说法正确的是（　　） A．存在平面 使 且 　B．存在平面 使 且 　C．对任意平面 ，若 ，则 　D．不存在平面 使 且 【答案】B 【解题思路】在 上取一点作 的平行线，两条相交直线确定一个平面。 【解答过程】A 中若 、 同在 内则共面，与异面矛盾，错误； B 中在 上任取一点 ，过 作直线 ，则 与 相交于 ，由"两条相交直线确定一个平面"得平面 。 此时 ；又 ，且 不在 内（否则 、 共面），故 ，B 正确； D 与 B 矛盾，错误； C 中"对任意平面"过于绝对，取 为含 且平行于 的平面即不成立，错误。 故选B。 【变式5-2】在正方体 中，下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 平面 【答案】ABD 【解题思路】逐项用向量或几何关系判断，注意线面垂直需垂直于平面内两条相交直线。 【解答过程】A 中 与 是正方形 的两条对角线，互相垂直，正确； B 中 平面 ，故 垂直于 ，即 也成立，正确； C 中由例4知 与 所成角为 ，不垂直，错误； D 中 且 ，而 与 是平面 内两条相交直线，故 平面 ，正确。 故选ABD。 【变式5-3】设 、 为两个平面， 为一条直线。若 ，且 ，则下列结论一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 与 相交但不垂直 【答案】A 【解题思路】由面面平行知两平面法向量共线，垂直于其中一个必垂直于另一个。 【解答过程】因为 ，两个平面的法向量互相平行。 由 知 的方向向量平行于 的法向量，进而平行于 的法向量，故 。 故选A。 【题型6 截面与交线】 【例6】在棱长为 的正方体 中，过 、、 三点的截面是什么形状？（　　） A．直角三角形　B．等腰三角形　C．等边三角形　D．梯形 【答案】C 【解题思路】先判断截面只与三个面相交（三角形），再算三条边的长度。 【解答过程】平面 与正方体的交线：它与底面 的交线为 ，与侧面 的交线为 ，与侧面 的交线为 。 其余各面与该平面无有效交线（交点都在棱的延长线上），故截面为三角形 。 边长：，，。 三边相等，故截面是等边三角形。故选C。 【多解·巧解】确定截面形状有三个固定动作：①数截面与几何体的几个面相交 定边数；②看是否有两个面平行 若有，则这两条交线平行；③算边长（常借助建系） 定是否为正多边形或等腰。本题的关键判断是"截面只与三个面相交"——因为平面 把正方体的八个顶点分成两组，除 、、 在平面上外，其余顶点都在平面同侧或异侧分布，不再产生新的有效交点。 【易错提醒】①只算了两条边就下结论，漏算 ；②误以为截面会与更多面相交而答成四边形或五边形——判断方法是把八个顶点坐标代入平面方程看符号；③把 算成 （误以为它是棱），实际上 与 不相邻。 【变式6-1】在正方体 中，过棱 、、 中点的截面是（　　） A．三角形　B．四边形　C．五边形　D．六边形 【答案】D 【解题思路】由对称性，与体对角线垂直且过中心的截面是正六边形。 【解答过程】设 、、 的中点分别为 、、。 由正方体的中心对称性，这三个中点都在"过中心且垂直于体对角线"的平面上，该平面与正方体六个面都相交。 故截面是六边形（且为正六边形）。故选D。 【变式6-2】在正方体 中，平面 与平面 的位置关系是（　　） A．相交　B．平行　C．重合　D．垂直 【答案】B 【解题思路】分别求两个平面的法向量，看法向量是否共线，再看两平面是否重合。 【解答过程】设棱长为 ，、、、、、、。 平面 ：，，法向量 。 平面 ：，，法向量 。 ，两法向量共线；又 代入平面 的方程不满足，故两平面不重合。 所以两平面平行。故选B。 【变式6-3】在正方体 中，过 、、 三点的截面是（　　） A．直角三角形　B．等腰非等边三角形　C．等边三角形　D．梯形 【答案】C 【解题思路】用平面方程检查八个顶点，确定截面只过三个顶点，再算三边长。 【解答过程】设棱长为 ，、、。 ，，法向量 ，平面方程为 。 把八个顶点代入：只有 、、 满足方程，其余顶点均不满足，故截面就是三角形 。 边长：，，，三边相等。 故截面是等边三角形。故选C。 一、单选题 1．（★★）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个平面　B．一条直线和一个点确定一个平面　C．两条相交直线确定一个平面　D．两条直线确定一个平面 【答案】C 【解题思路】逐项检查是否缺少"不共线""线外一点""相交或平行"等条件。 【解答过程】A 缺少"不共线"；B 缺少"直线外一点"；D 缺少"相交或平行"；C 是基本事实的推论，正确。故选C。 2．（★★）若两个不重合的平面有三个不共线的公共点，则这两个平面的位置关系是（　　） A．平行　B．相交　C．重合　D．不确定 【答案】C 【解题思路】三个不共线的点确定唯一平面。 【解答过程】三个不共线的公共点确定唯一一个平面，故两个平面都必须是这个平面，即重合。故选C。 3．（★★）在正方体 中，与棱 平行的棱共有（　　） A． 条　B． 条　C． 条　D． 条 【答案】B 【解题思路】正方体中四条竖直棱互相平行，除去自身。 【解答过程】与 平行的棱是 、、，共 条。故选B。 4．（★★）已知 、 是异面直线，，则 与平面 的位置关系是（　　） A．　B．　C． 与 相交　D． 或 与 相交 【答案】D 【解题思路】排除"直线在平面内"，另外两种情形都能构造出来。 【解答过程】若 ，则 、 同在 内而共面，与异面矛盾，故 B 不可能； 可以平行于 （如正方体中 ， 为底面，）； 也可以与 相交（如 ， 为底面， 交底面于 ）。 故 或 与 相交。故选D。 5．（★★）在棱长为 的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】建系求两个方向向量，用夹角公式。 【解答过程】、、、。 ，。 ，故 。故选C。 6．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，写出两点坐标求方向向量，再用夹角公式求余弦并取绝对值。 【解答过程】以 为原点，、、 为 、、 轴建系，则 、、、。，。点乘 ，，。所以 。故选B。 7．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为对角线 的中点， 为对角线 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】建系写出 、 的坐标，求方向向量后代入夹角公式，注意异面直线所成角取锐角（余弦取绝对值）。 【解答过程】以 为原点建系，、、、、、。 为 中点，； 为 中点，。，。点乘 ，，。所以 。故选C。 8．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 是棱 上的动点。若异面直线 与 所成的角为 ，则 的长为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 设为参数 ，用夹角余弦等于 列方程，再结合 取舍。 【解答过程】设 （），以 为原点建系，、、，则 。，。由所成角为 得 。因为 ，故 ，于是 。两边平方得 ，整理得 ，解得 。因为 ，故取 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列关于平面的基本事实的说法正确的是（　　） A．不共线的三点确定一个平面　B．一条直线和直线外一点确定一个平面　C．两条平行直线确定一个平面　D．两个平面若有公共点，则公共点有无数个 【答案】ABCD 【解题思路】前三项是基本事实与推论，D 项由基本事实3推得。 【解答过程】A 是基本事实1，正确； B、C 是基本事实1的推论，正确； D 中两个不重合平面若有公共点，则由基本事实3它们交于一条直线，公共点有无数个，正确。 故选ABCD。 10．（★★）在正方体 中，与棱 异面的棱有（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABCD 【解题思路】排除含端点 、 的棱与平行于 的棱，剩下的即为异面。 【解答过程】含端点 或 的棱有 、、、（相交）；平行于 的棱有 、、。 剩下 、、、 均与 异面。 故选ABCD。 11．（★★★）已知 、 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 　B．若 ，，则 　C．若 ，，，则 　D．若 ，，则 【答案】ABD 【解题思路】逐项对照线面、面面平行与垂直的判定与性质；C 用"两个平行平面内的直线未必平行"举反例。 【解答过程】A 中垂直于同一条直线的两个平面相互平行，正确；B 中垂直于同一个平面的两条直线相互平行，正确；C 中当 时， 内的直线 与 内的直线 可能平行也可能异面，不一定平行，错误；D 中两平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面没有公共点，故 ，正确。故选ABD。 12．（★★★）在棱长为 的正方体 中，下列结论正确的是（　　） A．异面直线 与 所成的角为 　B． 平面 　C．异面直线 与 所成的角为 　D．三棱锥 的体积为 【答案】ABD 【解题思路】前三项用方向向量求角或判垂直，D 用混合积（或底乘高）求体积。 【解答过程】以 为原点建系，、、、、、。A：，，点乘 ，，，故所成角为 ，正确；B：平面 内 、，法向量可取 ，而 ，故 平面 ，正确；C：，，点乘为 ，故所成角为 ，错误；D：，正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为 ____________。 【答案】 【解题思路】建系求方向向量的夹角余弦。 【解答过程】，，，故 。 14．（★★）在正方体 中，与棱 异面的棱共有 ____________ 条。 【答案】 【解题思路】排除含端点 、 的四条棱与平行于 的三条棱。 【解答过程】与 相交的棱：、、、（ 条）；与 平行的棱：、、（ 条）；其余 、、、 共 条与 异面。 15．（★★★）在棱长为 的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为 ____________。 【答案】 【解题思路】建系求两个方向向量，用夹角公式求余弦，再反推角。 【解答过程】以 为原点建系，、、、。，。点乘 ，，，故所成角为 。 16．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，则三棱锥 的体积为 ____________。 【答案】 【解题思路】用空间向量的混合积求三棱锥体积，。 【解答过程】以 为原点建系，、、、。，，。混合积 ，故 。 四、解答题 17．（★★）已知空间三条直线 、、 满足： 与 相交于点 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，且 、、 互不重合。 (1) 求证：、、 三线共面； (2) 求证：、、 三点不共线。 【答案】(1) 见解析；(2) 见解析。 【解题思路】(1) 用两条相交直线定平面，再用基本事实2装入第三条；(2) 反证：若共线则三线重合。 【解答过程】(1) 由 与 相交于 ，它们确定平面 ，于是 ，。 由 得 ；由 得 。 又 且 ，由基本事实2得 。故三线共面。 (2) 假设 三点共线于直线 。 则 过 、 两点且 ，故 ；同理 ，，三线重合，与 互不重合矛盾。 故 、、 三点不共线。 【多解·巧解】(1)(2) 两问其实是同一结构的正逆两面：(1) 是"三线两两相交且不共点 共面"，(2) 是"三线两两相交且不共点 三交点不共线"。记住这对孪生结论，遇到"三线共面""三线共点"的判断题就能瞬间定性。更重要的是它们共同的前提——"两两相交且交点互不相同"，少了"交点互不相同"就能举出反例（正方体同一顶点出发的三条棱）。 【易错提醒】(1) 中若不说明 ，则无法用基本事实2把 装进平面；(2) 中反证的落点必须是"三线重合"而不是"三线共面"——共面并不矛盾，重合才矛盾。反证法要推出与题干直接冲突的结论。 18．（★★）在正方体 中， 为棱 的中点。 (1) 判断直线 与 的位置关系，并说明理由； (2) 求异面直线 与 所成角的余弦值。 【答案】(1) 异面； (2) 。 【解题思路】建系后先判断是否有公共点、是否平行，再算方向向量的夹角。 【解答过程】设棱长为 ，以 为原点建系，、、、、，则 。 (1) ，，两向量不共线，故不平行。 若相交，则存在参数使 ，比较 坐标得 ，即 ，代入 坐标得 ，；再比较 坐标：，而 ，矛盾。 故不相交也不平行，两直线异面。 (2) 。 ，，。 故所成角的余弦值为 。 【多解·巧解】判断两条直线是否相交，坐标法有一条固定流程：设 ，得到三个方程两个未知数，先由任意两个方程解出 、，再代回第三个方程检验。三个分量都满足才相交，否则异面。这比"想象图形找交点"可靠得多，尤其在折叠、动点类题目中几乎是唯一可行的方法。 【易错提醒】①(1) 中只说明"不平行"就下结论"异面"，漏掉"不相交"的验证；②(2) 中忘记取绝对值，虽然本例点乘为正，但换题就出错；③中点坐标写错： 是 的中点，坐标为 而不是 。 19．（★★）在棱长为 的正方体 中，求证： 平面 。 【答案】证明见解析。 【解题思路】只需证明 垂直于平面内两条相交直线 与 。 【解答过程】① 因为 是正方形，正方形的两条对角线互相垂直，故 ； ② 因为 平面 ，而 平面 ，故 ； ③ 与 是平面 内的两条相交直线（交于点 ）， 垂直于这两条相交直线，且 不在平面 内。 由线面垂直的判定定理得 平面 。 【多解·巧解】证线面垂直的唯一套路是"找平面内两条相交直线"：一条常取"与已知直线共面的垂线"（如正方形对角线），另一条常取"几何体自带的垂线"（如正方体的竖直棱）。找齐两条之后，务必点明"这两条直线相交"——这是判定定理里最容易被漏写的一句话，也是阅卷的采分点。若实在找不到，就改用向量法：证明直线的方向向量与平面法向量共线。 【易错提醒】①只证了 就下结论，漏掉第二条垂线；②没说明 与 相交于点 ，而"两条相交直线"是判定定理的硬性条件，漏写会丢分；③误以为"直线垂直于平面"还要额外排除"直线在平面内"——垂直于平面的直线必然与平面相交，判定定理只要求垂直于平面内两条相交直线即可。 20．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点。 (1) 判断直线 与 的位置关系，并说明理由； (2) 求异面直线 与 所成角的余弦值。 【答案】(1) 异面； (2) 。 【解题思路】(1) 建系后先排除平行，再设参数方程解两个分量、代回第三个分量检验是否相交；(2) 求方向向量夹角的余弦并取绝对值。 【解答过程】以 为原点建系，、、、，则 、。 ，，两向量不共线，故不平行。 (1) 若两直线相交，则存在实数 、 使 ，即 。 由 分量得 ，即 ；由 分量得 ，即 。 再代入 分量检验：应有 ，即 ，矛盾，故两直线不相交。 既不平行也不相交，所以直线 与 是异面直线。 (2) ，，， 。 【多解·巧解】判断两条直线是否相交，坐标法有固定三步：①设 得三个方程；②任选两个分量解出 、；③代回第三个分量检验。三个分量都满足才相交，否则在排除平行后就一定是异面。这套流程在画不出准确图形时最可靠。 【易错提醒】① (1) 中只证"不平行"就下结论"异面"，漏掉"不相交"的检验；② 解参数方程时只用了两个分量就下结论，必须把第三个分量也代回检验；③ (2) 中 应为 ，不要漏掉因子 。检验：、， 与 不成比例，确不平行。 21．（★★★）已知空间不共面的四点 、、、。 (1) 求证：直线 与 是异面直线； (2) 若 、、、 分别是 、、、 的中点，且 ，判断四边形 的形状并证明。 【答案】(1) 证明见解答； (2) 四边形 是菱形。 【解题思路】(1) 反证：假设 与 共面，则四点共面；(2) 用三角形中位线定理得两组对边分别平行且相等，再由 得出四边相等。 【解答过程】(1) 假设直线 与 共面，则 与 相交或平行，都能确定一个平面 ， 于是 、、、 都在 内，与四点不共面矛盾。故 与 是异面直线。 (2) 在 中，、 分别是 、 的中点，由中位线定理得 且 ； 在 中，、 分别是 、 的中点，得 且 。 所以 且 ，四边形 是平行四边形。 同理 且 ，又 ，而 ，故 。 所以平行四边形 有一组邻边相等，是菱形。 【多解·巧解】(2) 中"中点四边形"的形状完全由两条对角线 、 决定：，。于是 等价于 是矩形， 等价于 是菱形，两者同时成立时 是正方形。把空间四边形的形状问题转化为两条对角线的关系，是这类题的核心。 【易错提醒】① (1) 中只说"不平行也不相交"却没有用反证说明"共面会导致矛盾"，论证不完整；② (2) 中误认为 、、、 四点不共面（由两组对边分别平行知必共面）；③ 只用一组中位线就下结论，必须两组对边分别平行且相等才能断定是平行四边形。检验： 时 ，四边相等，确为菱形。 22．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点。 (1) 求异面直线 与 所成角的余弦值； (2) 判断直线 与 是否垂直，并说明理由。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】建系写出方向向量，用点乘判垂直、用夹角公式求异面直线所成角。 【解答过程】以 为原点建系，、、、、，则 。 (1) ，。 点乘 ，，， 。 (2) ，，故 。 【多解·巧解】求异面直线所成角用 ，分子取绝对值，才能把钝角化成锐角；判垂直只需看点乘是否为 。这两件事在坐标法下都只是"算一个点乘"，是最不易出错的判断方式。 【易错提醒】① (1) 中忘记对点乘取绝对值；② 的坐标写成 （把它当成 而不是中点）；③ (2) 中把 的坐标写成 （方向取反不影响点乘为 的结论，但书写应统一）。检验： 为 中点，、，故 ，与计算一致。 23．（★★★）在棱长为 的正方体 中。 (1) 求证： 平面 ； (2) 判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由； (3) 求三棱锥 的体积。 【答案】(1) 证明见解答； (2) 平面 ； (3) 。 【解题思路】(1) 用线面垂直判定：找平面内两条相交直线；(2) 求平面 的法向量并与 比较；(3) 用混合积求体积。 【解答过程】(1) 因为 是正方形，故 ；又 平面 ，故 。 与 是平面 内的两条相交直线，由线面垂直的判定定理得 平面 。 (2) 以 为原点建系，、、、、。 ，，平面 的法向量 ，可取 。 又 ，故 与法向量共线，所以 平面 。 (3) ，，， 混合积 ，故 。 【多解·巧解】证线面垂直有两条路：几何法找平面内两条相交直线；向量法证直线方向向量与平面法向量共线。(3) 求三棱锥体积时，混合积 通用可靠，不必再去找底面与高。把"体积问题"一律转化为"混合积问题"是空间向量部分的万能做法。 【易错提醒】① (1) 中漏掉" 与 相交"这一条件，判定定理要求两条相交直线；② (2) 中算出法向量后没有验证它与 是否共线就下结论；③ (3) 中忘记除以 （三棱锥是平行六面体的六分之一）。检验： 平面 时， 恰为三棱锥 的高，与体积公式自洽。 24．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点。 (1) 求证：、、、 四点共面； (2) 判断四边形 的形状，并求其面积； (3) 求点 到平面 的距离。 【答案】(1) 证明见解答； (2) 菱形，面积为 ； (3) 。 【解题思路】(1) 用向量共面定理把 表示为 与 的线性组合；(2) 四边相等故为菱形，用两条对角线求面积；(3) 求平面法向量后用点到平面距离公式。 【解答过程】(1) 以 为原点建系，、、、。 ，，。 设 ，比较 分量得 ，比较 分量得 ，即 ； 代回 分量检验：，与 的 分量一致。故 、、、 四点共面。 (2) ，四边相等，四边形 是菱形。 两对角线 ，， 面积 。 (3) 平面 内 、， 法向量 ，平面方程为 。 点 到平面的距离 。 【多解·巧解】证明四点共面用向量共面定理：把其中一个向量写成另外两个的线性组合，代入三个分量解出系数并逐一代回检验（不能只解两个分量就下结论）。求截面面积先判形状：四条边相等即为菱形，用两条对角线乘积的一半求面积，比"底乘高"更不易错。求点到平面距离则统一用 。 【易错提醒】① (1) 中只解出 、 就下结论，未把第三个分量代回检验；② (2) 中直接用"底乘高"求菱形面积，需先定底与高，容易出错；③ (3) 中平面方程化简出错，或求距离时忘记对法向量取模。检验： 在平面内，； 代入 ，故距离为 ，自洽。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第36讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 第36讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．准确表述平面的三个基本事实及其推论，会用符号语言与图形语言双向翻译点、线、面的位置关系； 2．会用基本事实证明"多点共面""多线共面""三线共点""三点共线"四类经典问题； 3．掌握异面直线的判定方法（定义法、判定定理、反证法），能准确数出与已知直线异面的直线条数； 4．会用平移法、补形法与向量法求异面直线所成的角，牢记其取值范围是 ； 5．会作简单几何体的截面，能判断截面形状并研究截面与棱、面的交线关系。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 平面的基本性质与推论 选择题、多选题 第4~6题、第10题 易 背熟"三事实三推论"，先翻译符号再判断 共面与共线问题 选择题、解答题 第6~8题、第17题 中 先找两条相交直线定平面，再逐个往里装 异面直线的判定 选择题、多选题 第5~7题、第10题 中 数异面直线时"含端点的一律不算" 异面直线所成的角 选择题、填空题 第7~8题、第13~14题 中偏难 优先建系算余弦，其次补形，最后平移 截面与交线 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 先定截面顶点，再由平行面得平行交线 位置关系的综合辨析 多选题 第11题 中偏难 逐项构造反例，正方体是最好用的反例库 命题规律分析 本专题是新高考立体几何的"语言关"，常以选择题第4~8题、多选题第10~11题出现，也是解答题第17~19题证明环节的第一句话。基础档只考"认图"与"判断"，培优档则有三处升级：一是符号语言与图形语言的双向翻译——题干给出一串符号，必须先翻译成图形才能下手，翻译错一步后面全错；二是共面与共线证明——核心是"由两条相交直线确定一个平面，再把其余元素往这个平面里装"，这类题在多选题中常以"下列结论正确的是"的形式出现；三是异面直线所成的角——平移法需要构造平行线，补形法把几何体补成长方体，而向量法只需建系算余弦，三者择一即可。本讲的策略是：能建系就不找角、能补形就不平移，把几何直觉转化为可验算的代数过程。 考点1 平面的基本性质与位置关系 知识点1 三个基本事实与三个推论 基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；基本事实2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 三个推论：两条相交直线确定一个平面；两条平行直线确定一个平面；一条直线和这条直线外一点确定一个平面。 【易错清单】 1．"三点确定一个平面"必须强调不共线的三点，共线三点可确定无数个平面； 2．"两条直线确定一个平面"对异面直线不成立，必须相交或平行； 3．三个平面两两相交得到三条交线，这三条交线可能共点也可能平行，不能默认共点（三棱柱的三个侧面交线就是平行的）。 知识点2 点、线、面的位置关系 点与直线： 或 ；点与平面： 或 。 直线与直线：相交（一个公共点）、平行（无公共点且共面）、异面（不共面，无公共点）。 直线与平面：（在平面内）、（平行，无公共点）、（相交于一点）。 平面与平面：（无公共点）、（相交于一条直线）。 【易错清单】 1．"无公共点"不等于"平行"——空间中无公共点的两条直线还可能是异面直线； 2．直线与平面平行要求直线不在平面内且无公共点，只说"无公共点"时也要排除 之外的可能，实际上"无公共点"就等价于平行（在平面内是有无数公共点），表述要严谨； 3．"直线与平面所成的角"的范围是 ，而"异面直线所成的角"的范围是 ，右端都能取到 。 考点2 异面直线与截面 知识点3 异面直线的判定 判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。 反证法套路：假设两条直线共面 推出它们平行或相交 与已知条件矛盾 故异面。 快速判据：若两条直线既不平行也不相交，则必异面；在几何体中"含公共端点的两条棱一定相交或平行，绝不异面"。 【易错清单】 1．数"与已知直线异面的棱"时，凡与已知直线有公共端点的棱都要先排除，它们必然相交；剩下再排除平行的； 2．异面直线没有公共点，但"没有公共点"的两条直线不一定是异面直线； 3．分别在两个相交平面内的两条直线未必异面——若两直线的交点在两平面的交线上，就相交。 知识点4 异面直线所成的角 定义：过空间任一点分别作两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。 取值范围：，所以余弦值取绝对值：。 三条路径：平移法（构造平行四边形）、补形法（补成长方体或正方体）、向量法（建系求方向向量）。若两直线所成角为 ，则称它们互相垂直。 【易错清单】 1．余弦值必须加绝对值，否则会得到钝角；若算出余弦为负，取绝对值后再求角； 2．平移时"过一点作平行线"的那个点可以任取，通常取在其中一条直线上，这样只需作一条平行线； 3．异面直线所成的角不能是 （否则两条直线平行，就不是异面了）。 知识点5 截面与交线 作截面的方法：先找出截面与几何体各面的公共点，若两点在同一面内则连成线段；若两点所在面平行，则过这两点的两条交线平行。 延长线法：截面与某面的交线若只找到一个交点，就延长该面内的已知交线，与棱所在直线相交，得到第二个交点。 截面多边形的边是截面与各面的交线，边数 = 相交的面数。 【易错清单】 1．截面多边形的顶点必须在几何体的棱上，不能凭空取在面的内部； 2．截面与两个平行面相交得到的两条交线一定平行，这是判断截面形状的关键依据； 3．作图时"延长"得到的交点若落在棱的延长线上（不在棱上），则该交点无效，需另找。 【题型1 平面的基本性质与符号语言】 【例1】下列命题中正确的是（　　） A．空间任意三点确定一个平面　B．空间任意两条直线确定一个平面　C．两两相交的三条直线确定一个平面　D．两条平行直线确定一个平面 【变式1-1】下列推理正确的是（　　） A．，，， 　B．， 　C．， 　D．， 【变式1-2】两个不重合的平面可以有公共点的个数是（　　） A． 个　B． 个　C．无数个　D． 个或无数个 【变式1-3】已知空间不共面的四个点，则以其中的三个点为顶点构成的平面共有（　　） A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 【题型2 共面与共线问题】 【例2】已知空间三条直线 、、 两两相交，且三个交点互不重合。求证：这三条直线共面。 【变式2-1】已知空间四点 、、、 不共面，且直线 与 相交，判断该条件是否可能成立，并说明理由。 【变式2-2】在正方体 中，、 分别是棱 、 的中点，、 分别是棱 、 的中点。判断 、、、 四点是否共面。 【变式2-3】求证：三条两两相交且不共点的直线，其三个交点不共线。 【题型3 异面直线的判定】 【例3】在正方体 中，与棱 异面的棱共有（　　） A． 条　B． 条　C． 条　D． 条 【变式3-1】在正方体 中，与面对角线 异面的棱共有（　　） A． 条　B． 条　C． 条　D． 条 【变式3-2】已知直线 与平面 相交于点 ，直线 且 ，则直线 与 的位置关系是（　　） A．平行　B．相交　C．异面　D．平行或异面 【变式3-3】已知 、 是异面直线，直线 与 平行，则 与 的位置关系是（　　） A．异面　B．相交　C．平行　D．异面或相交 【题型4 异面直线所成的角】 【例4】在棱长为 的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】在棱长为 的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】在正四面体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】在棱长为 的正方体 中，异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 空间位置关系的综合辨析】 【例5】已知 、 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，，则 　B．若 ，，则 　C．若 ，，，则 　D．若 ，，，则 【变式5-1】已知 、 是异面直线，则下列说法正确的是（　　） A．存在平面 使 且 　B．存在平面 使 且 　C．对任意平面 ，若 ，则 　D．不存在平面 使 且 【变式5-2】在正方体 中，下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 平面 【变式5-3】设 、 为两个平面， 为一条直线。若 ，且 ，则下列结论一定成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 与 相交但不垂直 【题型6 截面与交线】 【例6】在棱长为 的正方体 中，过 、、 三点的截面是什么形状？（　　） A．直角三角形　B．等腰三角形　C．等边三角形　D．梯形 【变式6-1】在正方体 中，过棱 、、 中点的截面是（　　） A．三角形　B．四边形　C．五边形　D．六边形 【变式6-2】在正方体 中，平面 与平面 的位置关系是（　　） A．相交　B．平行　C．重合　D．垂直 【变式6-3】在正方体 中，过 、、 三点的截面是（　　） A．直角三角形　B．等腰非等边三角形　C．等边三角形　D．梯形 一、单选题 1．（★★）下列说法正确的是（　　） A．三点确定一个平面　B．一条直线和一个点确定一个平面　C．两条相交直线确定一个平面　D．两条直线确定一个平面 2．（★★）若两个不重合的平面有三个不共线的公共点，则这两个平面的位置关系是（　　） A．平行　B．相交　C．重合　D．不确定 3．（★★）在正方体 中，与棱 平行的棱共有（　　） A． 条　B． 条　C． 条　D． 条 4．（★★）已知 、 是异面直线，，则 与平面 的位置关系是（　　） A．　B．　C． 与 相交　D． 或 与 相交 5．（★★）在棱长为 的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为对角线 的中点， 为对角线 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 是棱 上的动点。若异面直线 与 所成的角为 ，则 的长为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于平面的基本事实的说法正确的是（　　） A．不共线的三点确定一个平面　B．一条直线和直线外一点确定一个平面　C．两条平行直线确定一个平面　D．两个平面若有公共点，则公共点有无数个 10．（★★）在正方体 中，与棱 异面的棱有（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★★）已知 、 是两条不同的直线，、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，，则 　B．若 ，，则 　C．若 ，，，则 　D．若 ，，则 12．（★★★）在棱长为 的正方体 中，下列结论正确的是（　　） A．异面直线 与 所成的角为 　B． 平面 　C．异面直线 与 所成的角为 　D．三棱锥 的体积为 三、填空题 13．（★★）在正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为 ____________。 14．（★★）在正方体 中，与棱 异面的棱共有 ____________ 条。 15．（★★★）在棱长为 的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为 ____________。 16．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点，则三棱锥 的体积为 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知空间三条直线 、、 满足： 与 相交于点 ， 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，且 、、 互不重合。 (1) 求证：、、 三线共面； (2) 求证：、、 三点不共线。 18．（★★）在正方体 中， 为棱 的中点。 (1) 判断直线 与 的位置关系，并说明理由； (2) 求异面直线 与 所成角的余弦值。 19．（★★）在棱长为 的正方体 中，求证： 平面 。 20．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点。 (1) 判断直线 与 的位置关系，并说明理由； (2) 求异面直线 与 所成角的余弦值。 21．（★★★）已知空间不共面的四点 、、、。 (1) 求证：直线 与 是异面直线； (2) 若 、、、 分别是 、、、 的中点，且 ，判断四边形 的形状并证明。 22．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点。 (1) 求异面直线 与 所成角的余弦值； (2) 判断直线 与 是否垂直，并说明理由。 23．（★★★）在棱长为 的正方体 中。 (1) 求证： 平面 ； (2) 判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由； (3) 求三棱锥 的体积。 24．（★★★）在棱长为 的正方体 中， 为棱 的中点， 为棱 的中点。 (1) 求证：、、、 四点共面； (2) 判断四边形 的形状，并求其面积； (3) 求点 到平面 的距离。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $