第29讲 数列的概念与简单表示法讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第29讲 数列的概念与简单表示法 第29讲 数列的概念与简单表示法 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解数列的概念与通项公式的含义，能由前几项归纳出数列的一个通项公式； 2．掌握由递推公式求指定项的方法，能识别并处理周期数列； 3．熟练掌握由前 项和 求通项 的方法，养成检验 的习惯； 4．能判断数列的单调性并求最大（小）项，能应对数列的新定义问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 数列的概念与归纳通项 选择题、填空题 第1~3题、第13题 易 符号交替先定 的指数，再逐项回代检验 递推公式与周期数列 选择题、填空题 第5~8题、第14题 中 先算出前 6~8 项找周期，再用余数定位 由 求 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 先算 ，再检验能否与 的式子合并 数列的单调性与最大项 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 能用基本不等式就不逐项比较，注意两项并列取最值 与 的关系式 解答题 第17~19题 中 统一消去 或统一消去 ，不要两边都留 数列的新定义问题 多选题、填空题 第9~11题、第14题 中偏难 先按定义算出前几项，再找规律或周期 命题规律分析 数列是新高考解答题的常驻考点，也频繁出现在选择题与填空题中。本专题对应"数列的概念与简单表示法"，在试卷中主要有三个落点：一是直接考查"归纳通项"的基础题（第1~3题、第13题档）；二是"由 求 ""由递推求项"的中档题（第6~8题、第13~14题档）；三是作为解答题第一问出现的通项求解（第17~19题档）。培优阶段的训练重点有三处：由 求 时对 的单独检验、周期数列的余数定位、用函数观点与基本不等式处理数列的最大项。这三类问题看似基础，却是后续求通项、求和的地基，也是 90~120 分学生最容易在细节上丢分的地方。本讲在精简知识的同时，把这三类问题的操作路径固化为可直接执行的步骤。 考点1 数列的概念与表示 知识点1 数列与通项公式 按一定次序排列的一列数称为数列，简记为 ；第 项 与序号 的对应关系式 称为通项公式。 归纳通项的三把钥匙：符号交替用 或 ；分式数列把分子、分母分别看成两个数列；摆动数列（如 ）用 这类"开关式"处理。 【易错清单】 1．通项公式不唯一，题目问"一个通项公式"时，只需写出符合要求的一个； 2． 与 差一个负号，写完必须把 代回检验； 3．数列的图象是一群孤立的点，不能连成曲线。 知识点2 递推公式与周期数列 由递推公式求项用迭代法：把已知项代入，逐项向后推。 若递推式形如 、、，数列常呈周期性，先算出前若干项直到出现重复项，再用 除以周期 的余数定位。 【易错清单】 1．余数为 时对应周期中的最后一项，不是第一项； 2．必须从 开始计数，算出第几项就是第几项，不要凭感觉下结论。 考点2 前 $n$ 项和与通项的关系 知识点3 由 求 ，用第二式算出的结果必须再检验是否满足 ，满足才能合并，否则必须分段书写。 若已知 与 的混合关系式，则把 （）代入，统一消去 化为只含 的递推式。 【易错清单】 1． 时 无意义，永远先单独算 ； 2．把 代入 的式子得到的值与 不相等时，必须写成分段形式； 3．做差时注意整体加括号： 中的 是整个式子代入 。 知识点4 数列的单调性与最大（小）项 作差法：考察 的符号；作商法（各项同号时）：考察 与 的大小。 函数法：把 看成函数，借用单调性求最值；形如 的数列，可化为 ，用基本不等式确定分母最小的位置。 【易错清单】 1． 只能取正整数，函数的最值点若不是整数，要比较两侧相邻的两个整数项； 2．当 时， 与 两项相等且同为最大项，别只写一个； 3．作商法要求各项同号，含有负项时必须改用作差法。 【题型1 由前几项归纳通项公式】 【例1】数列 ，，，， 的一个通项公式是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】数列 ，，，， 的一个通项公式是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】数列 ，，，， 的一个通项公式是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】数列 ，，，， 的一个通项公式是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 递推公式与周期数列（余数定位）】 【例2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 由 求 （ 的检验）】 【例3】已知数列 的前 项和 ，则 ____________。 【变式3-1】已知数列 的前 项和 ，则 ____________。 【变式3-2】已知数列 的前 项和 ，则 ____________。 【变式3-3】已知数列 的前 项和 ，则 ____________。 【题型4 数列的单调性与最大（小）项】 【例4】已知数列 的通项为 （），则该数列的最大项为（　　） A．第 项，值为 　B．第 项，值为 　C．第 项与第 项，值均为 　D．第 项，值为 【变式4-1】数列 的通项为 ，则其最大项为（　　） A．第 项　B．第 项　C．第 项　D．第 项 【变式4-2】数列 的通项为 （），则其最小项为（　　） A．第 项，值为 　B．第 项，值为 　C．第 项，值为 　D．第 项，值为 【变式4-3】数列 的通项为 ，则该数列（　　） A．是递增数列　B．是递减数列　C．先增后减　D．是摆动数列 【题型5 与 的关系式】 【例5】已知数列 的前 项和为 ，且 （）。 (1) 求 ； (2) 求 。 【变式5-1】已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 ____________。 【变式5-2】已知数列 的前 项和为 ，且 ，，则 ____________。 【变式5-3】已知数列 的前 项和为 ，且 ，（），则 ____________。 【题型6 数列的新定义问题】 【例6】定义：若数列 的每一项都是正整数，且满足 ，则称 为"角谷数列"。已知 是角谷数列且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】在例6的"角谷数列"定义下，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】定义：满足 ， 的数列称为斐波那契数列，则该数列的第 项为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】定义数列 的"差分数列"为 。若 ，则差分数列 的前 项和为 ____________。 一、单选题 1．（★★）数列 ，，，，， 的一个通项公式是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知数列 的前 项和 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）数列 ，，，， 的一个通项公式是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知数列 的通项为 ，则该数列（　　） A．是递增数列　B．是递减数列　C．是常数列　D．是摆动数列 6．（★★★）已知数列 满足 ，（），则其前 项和 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知数列 的通项为 （，），若该数列的最大项恰为第 项，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知数列 满足 ，（）， 为 的前 项和，则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）已知数列 的通项为 （），则下列说法正确的是（　　） A．　B．数列的最小项为第 项与第 项　C．数列从第一项起单调递增　D． 10．（★★）已知数列 的前 项和 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．　C． 是等差数列　D． 11．（★★★）已知数列 的前 项和为 （， 为常数），则下列说法正确的是（　　） A．当 时， 是等差数列　B．当 时， 对一切 成立　C． 对任意常数 都成立　D．若 是等差数列，则 12．（★★★）已知数列 满足 ，（，），则下列说法正确的是（　　） A．当 时，　B．当 时，　C．若 为等比数列，则 　D．若 对一切 恒成立，则 三、填空题 13．（★★）已知数列 的前 项和 ，则 ____________。 14．（★★）已知数列 的通项为 ，则 ____________。 15．（★★★）已知数列 的前 项和为 。设 ，若对一切 都有 成立，则实数 的最小值为 ____________。 16．（★★★）已知数列 满足 ，（）。若 ，则正整数 的最大值为 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知数列 的前 项和 。 (1) 求 ； (2) 判断 是否为等差数列，并说明理由。 18．（★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 求 。 19．（★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 证明 是等比数列； (2) 求 。 20．（★★★）已知数列 的前 项和 （）。 (1) 求 ； (2) 设 ，求数列 的前 项和 。 21．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 证明 是等比数列； (2) 求 ； (3) 求 的前 项和 。 22．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 设 ，求数列 的前 项和 。 23．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求证：数列 是等比数列； (2) 求数列 的通项公式； (3) 记 ，求证：。 24．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求证：数列 是等差数列，并求 ； (2) 求数列 的前 项和 ； (3) 设 ，求证：。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第29讲 数列的概念与简单表示法 第29讲 数列的概念与简单表示法 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解数列的概念与通项公式的含义，能由前几项归纳出数列的一个通项公式； 2．掌握由递推公式求指定项的方法，能识别并处理周期数列； 3．熟练掌握由前 项和 求通项 的方法，养成检验 的习惯； 4．能判断数列的单调性并求最大（小）项，能应对数列的新定义问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 数列的概念与归纳通项 选择题、填空题 第1~3题、第13题 易 符号交替先定 的指数，再逐项回代检验 递推公式与周期数列 选择题、填空题 第5~8题、第14题 中 先算出前 6~8 项找周期，再用余数定位 由 求 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 先算 ，再检验能否与 的式子合并 数列的单调性与最大项 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 能用基本不等式就不逐项比较，注意两项并列取最值 与 的关系式 解答题 第17~19题 中 统一消去 或统一消去 ，不要两边都留 数列的新定义问题 多选题、填空题 第9~11题、第14题 中偏难 先按定义算出前几项，再找规律或周期 命题规律分析 数列是新高考解答题的常驻考点，也频繁出现在选择题与填空题中。本专题对应"数列的概念与简单表示法"，在试卷中主要有三个落点：一是直接考查"归纳通项"的基础题（第1~3题、第13题档）；二是"由 求 ""由递推求项"的中档题（第6~8题、第13~14题档）；三是作为解答题第一问出现的通项求解（第17~19题档）。培优阶段的训练重点有三处：由 求 时对 的单独检验、周期数列的余数定位、用函数观点与基本不等式处理数列的最大项。这三类问题看似基础，却是后续求通项、求和的地基，也是 90~120 分学生最容易在细节上丢分的地方。本讲在精简知识的同时，把这三类问题的操作路径固化为可直接执行的步骤。 考点1 数列的概念与表示 知识点1 数列与通项公式 按一定次序排列的一列数称为数列，简记为 ；第 项 与序号 的对应关系式 称为通项公式。 归纳通项的三把钥匙：符号交替用 或 ；分式数列把分子、分母分别看成两个数列；摆动数列（如 ）用 这类"开关式"处理。 【易错清单】 1．通项公式不唯一，题目问"一个通项公式"时，只需写出符合要求的一个； 2． 与 差一个负号，写完必须把 代回检验； 3．数列的图象是一群孤立的点，不能连成曲线。 知识点2 递推公式与周期数列 由递推公式求项用迭代法：把已知项代入，逐项向后推。 若递推式形如 、、，数列常呈周期性，先算出前若干项直到出现重复项，再用 除以周期 的余数定位。 【易错清单】 1．余数为 时对应周期中的最后一项，不是第一项； 2．必须从 开始计数，算出第几项就是第几项，不要凭感觉下结论。 考点2 前 $n$ 项和与通项的关系 知识点3 由 求 ，用第二式算出的结果必须再检验是否满足 ，满足才能合并，否则必须分段书写。 若已知 与 的混合关系式，则把 （）代入，统一消去 化为只含 的递推式。 【易错清单】 1． 时 无意义，永远先单独算 ； 2．把 代入 的式子得到的值与 不相等时，必须写成分段形式； 3．做差时注意整体加括号： 中的 是整个式子代入 。 知识点4 数列的单调性与最大（小）项 作差法：考察 的符号；作商法（各项同号时）：考察 与 的大小。 函数法：把 看成函数，借用单调性求最值；形如 的数列，可化为 ，用基本不等式确定分母最小的位置。 【易错清单】 1． 只能取正整数，函数的最值点若不是整数，要比较两侧相邻的两个整数项； 2．当 时， 与 两项相等且同为最大项，别只写一个； 3．作商法要求各项同号，含有负项时必须改用作差法。 【题型1 由前几项归纳通项公式】 【例1】数列 ，，，， 的一个通项公式是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分子、分母分别看成两个数列，再组合。 【解答过程】分子依次为 ，是首项为 、公差为 的等差数列，第 项为 ； 分母依次为 ，是首项为 、公比为 的等比数列，第 项为 。 故 。故选A。 【多解·巧解】归纳通项最快的办法是"分项击破"——把分子、分母（或整数部分、分数部分）拆成两条独立的简单数列，各自归纳后再拼装。本题还可直接用代入排除法：把 代入四个选项，只有 A 得到 ，一步锁定答案，比从头归纳快得多。遇到"求一个通项公式"的选择题，代入验证永远优先于推导。 【易错提醒】把分母写成 会整体放大 倍（首项变成 ），误选C。检验方法：把 代回，正确选项必须给出首项 。 【变式1-1】数列 ，，，， 的一个通项公式是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先不管符号归纳出 ，再由首项为负定出 。 【解答过程】去掉符号后为 ，通项为 。 符号为负、正、负、正交替，且第 项为负，故乘上 。 所以 。故选A。 【变式1-2】数列 ，，，， 的一个通项公式是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用 作"开关"，再平移到 与 。 【解答过程】 交替取 ； 把它加 得 ；再除以 得 。 故 。故选A。 【变式1-3】数列 ，，，， 的一个通项公式是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】各项减 后是 ，即平方数列。 【解答过程】各项减 后依次为 ，即 。 故 。故选A。 【题型2 递推公式与周期数列（余数定位）】 【例2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】逐项算出前几项直到出现重复，确定周期，再用余数定位。 【解答过程】； ； ； ； 。 故周期为 。又 ，所以 。故选C。 【多解·巧解】本题有一条几乎不用计算的巧解：注意到 ，递推式与正切的加法公式完全同形，于是 。正切函数周期为 ，连加 次 正好回到原值，所以周期必为 ，心算即可得结论。即使想不到这一层，只要记住"分式型递推必是周期数列"这一经验，也能果断走上先算前几项的路线。 【易错提醒】① 余数算错： 除以 余 ，对应周期中的第 项，不是第 项；② 把"余 "误读成 之外的项。务必记住余数 对应第 项，余数为 时对应第 项；③ 中间项的分数运算出错（如 的分子应为 而不是 ），每一步都要带符号算。 【变式2-1】已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】逐项计算找周期，再用余数定位。 【解答过程】，， ， 。 故周期为 。又 ，所以 。故选A。 【变式2-2】已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把递推式逐次展开，累加得到总和。 【解答过程】。故选B。 【变式2-3】已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】逐项递推；也可两边加 凑成等比数列。 【解答过程】逐项计算：，，，。故选B。 【题型3 由 求 （ 的检验）】 【例3】已知数列 的前 项和 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先算 ，再对 作差，最后检验能否合并。 【解答过程】当 时，。 当 时， 。 把 代入 得 ，故 不满足该式，必须分段书写。 所以 。 【多解·巧解】这里有一条能省一半时间的判断技巧：看 的常数项。把 看成一个关于 的多项式，若常数项为 （如 ），则 一定能合并成一条式子；若常数项不为 （本题为 ），则 必然"掉队"，答案一定是分段形式。做题前先瞄一眼常数项，就能提前知道该写成"一条"还是"两条"，避免答完后才发现写错格式。 【易错提醒】① 直接用 计算 的情形（此时 无意义）；② 算出 后不检验 ，直接写成 ，这是本类题最典型的失分点；③ 作差时只对部分项加括号，导致 被错算成 。 【变式3-1】已知数列 的前 项和 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先算 ，再作差，最后检验 能否合并。 【解答过程】当 时，。 当 时，。 把 代入得 ，符合，故可合并。 所以 （）。 【变式3-2】已知数列 的前 项和 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】常数项为 ，预判可以合并。 【解答过程】当 时，。 当 时， 。 把 代入得 ，符合，故合并为 。 【变式3-3】已知数列 的前 项和 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】分式作差要通分，最后检验 。 【解答过程】当 时，。 当 时， 。 把 代入得 ，符合，故可合并。 所以 。 【题型4 数列的单调性与最大（小）项】 【例4】已知数列 的通项为 （），则该数列的最大项为（　　） A．第 项，值为 　B．第 项，值为 　C．第 项与第 项，值均为 　D．第 项，值为 【答案】C 【解题思路】把通项化为 ，用基本不等式找出分母最小的位置。 【解答过程】。 要使 最大，只需分子固定时分母 最小。 由基本不等式 ，等号在 时取得，但 是正整数，故只需比较 与 。 时分母为 ； 时分母为 ，两者相等。 所以 ，且这就是最大项。故选C。 【多解·巧解】本题的关键不在计算，而在识别"双峰"——因为 ，所以 与 时 恰好取同一个值 。一般地，若 ，则 在 与 处取得相同的最大值 。记住这个结论，看到 、 这类式子，就能立刻判断是"两峰并列"还是"单峰"，比逐项代入快得多。 【易错提醒】① 只比较一个位置就下结论，漏掉另一个并列的最大项而误选A或B；② 用基本不等式直接写"最小值为 "就当作答案—— 只能取正整数，等号取不到，必须改为比较相邻两项；③ 忘记 最大等价于分母最小，把方向弄反。 【变式4-1】数列 的通项为 ，则其最大项为（　　） A．第 项　B．第 项　C．第 项　D．第 项 【答案】B 【解题思路】各项为正，用作商法比较 与 的大小。 【解答过程】。 令 ，得 ，即 ， 解得 ，故 时递增。 所以 ，且从 起递减，最大项为第 项。故选B。 【变式4-2】数列 的通项为 （），则其最小项为（　　） A．第 项，值为 　B．第 项，值为 　C．第 项，值为 　D．第 项，值为 【答案】A 【解题思路】用基本不等式，等号点 恰为正整数。 【解答过程】由基本不等式 ， 等号当且仅当 ，即 时取得，而 。 故最小项为第 项，值为 。故选A。 【变式4-3】数列 的通项为 ，则该数列（　　） A．是递增数列　B．是递减数列　C．先增后减　D．是摆动数列 【答案】A 【解题思路】分离常数，把通项写成"常数 + 一个分式"。 【解答过程】。 因为 随 增大而减小，所以 随 增大而增大。 故 是递增数列。故选A。 【题型5 与 的关系式】 【例5】已知数列 的前 项和为 ，且 （）。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先由 求出首项，再作差把 消去，化为只含 的递推式。 【解答过程】(1) 当 时，，由 得 ，故 。 (2) 当 时，， 由 与 相减得 ， 即 （）。 所以 是首项为 、公比为 的等比数列，。 【多解·巧解】本题还有一条更"顺"的路线：直接对 构造等比数列。把 （）代入 ，得 ，整理得 ，于是 ，即 是公比为 的等比数列。由 得 ，即 ，再作差即得 。当题目给出的是 " 与 混合"的关系式时，先构造 的等比（等差）数列，往往比直接作差更省事。 【易错提醒】① 忘记先由 求 ，直接默认 而不写出过程；② 作差时写成 ，错在把 也写成了含 的式子——下标必须跟着变；③ 得到 后不说明首项，直接写通项。 【变式5-1】已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先求 ，再作差消 。 【解答过程】当 时，，得 。 当 时，， 即 ，。 故 。 【变式5-2】已知数列 的前 项和为 ，且 ，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】作差后得到相邻两项之比，再用累乘法。 【解答过程】当 时，， 整理得 ， 即 ，由 知 ， 故 。 于是 。 把 代入得 ，符合。 所以 。 【变式5-3】已知数列 的前 项和为 ，且 ，（），则 ____________。 【答案】 【解题思路】写出 与 的两式相减，消去 。 【解答过程】由 得，当 时 。 两式相减得 ，即 （）。 又 ，故对 都有 。 所以 是首项为 、公比为 的等比数列，。 【题型6 数列的新定义问题】 【例6】定义：若数列 的每一项都是正整数，且满足 ，则称 为"角谷数列"。已知 是角谷数列且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】严格按定义逐项计算，每一步先看奇偶再选公式。 【解答过程】 为奇数，； 为偶数，； 为偶数，； 为偶数，； 为偶数，。故选A。 【多解·巧解】新定义题的第一步永远是"翻译成自己的话"：把分段规则读成"偶数就减半，奇数就乘 加 "，再一项一项执行即可。这里有一个提速技巧：一旦出现 的幂（本题的 ），后面就会一路减半直到 ，所以从 起可以直接心算出 ，不必再逐项判断奇偶。做新定义题时，先用 至 项确认自己理解了规则，再往后推进，能避免"规则理解错却一路算到底"的低级失误。 【易错提醒】① 把 当成偶数处理（错用 ）；② 把 记成 ；③ 数错项数：题目要求的是 ，从 出发只需执行 次运算，多算一次会得到 而误选C。 【变式6-1】在例6的"角谷数列"定义下，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】逐项按奇偶选用公式。 【解答过程】 为偶数，； 为奇数，； 为偶数，； 为奇数，； 为偶数，； 为偶数，。故选B。 【变式6-2】定义：满足 ， 的数列称为斐波那契数列，则该数列的第 项为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】每一项等于前两项之和，逐项写出即可。 【解答过程】依次为 ，故第 项为 。故选C。 【变式6-3】定义数列 的"差分数列"为 。若 ，则差分数列 的前 项和为 ____________。 【答案】 【解题思路】先求 ，再求和；也可用裂项直接得结果。 【解答过程】。 所以前 项和为 。 一、单选题 1．（★★）数列 ，，，，， 的一个通项公式是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】绝对值部分是奇数列，首项为正故用 。 【解答过程】各项绝对值为 ，第 个为 ； 符号正、负交替且第 项为正，故乘 。 所以 。故选B。 2．（★★）已知数列 的前 项和 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用 直接求。 【解答过程】。故选A。 3．（★★）已知数列 满足 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】逐项递推即可。 【解答过程】，，。故选B。 4．（★★）数列 ，，，， 的一个通项公式是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分子为 ，分母比分子大 。 【解答过程】分子依次为 ，第 个为 ；分母依次为 ，第 个为 。 故 。故选A。 5．（★★）已知数列 的通项为 ，则该数列（　　） A．是递增数列　B．是递减数列　C．是常数列　D．是摆动数列 【答案】A 【解题思路】分离常数后看分式的单调性。 【解答过程】。 因为 随 增大而减小，故 随 增大而增大。故选A。 6．（★★★）已知数列 满足 ，（），则其前 项和 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】两边加 构造等比数列求出通项，再逐项求前 项和。 【解答过程】由 得 ， 又 ，故 ，即 。 逐项写出：，，，，。 所以 。故选C。 7．（★★★）已知数列 的通项为 （，），若该数列的最大项恰为第 项，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】化为 ，令 且 ，再剔除使最大项不唯一的临界值。 【解答过程】，故 最大等价于分母 最小。 最大项恰为第 项，需同时有 与 。 由 得 ，即 ，解得 ； 由 得 ，即 ，解得 。 故有 。 再检验临界值：当 时， 与 使分母同为 ，即 ，最大项为第 、 项，不合题意； 当 时， 与 使分母同为 ，即 ，最大项为第 、 项，不合题意。 所以 。故选B。 8．（★★★）已知数列 满足 ，（）， 为 的前 项和，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】逐项计算找出周期，再用余数求出一个周期内的和。 【解答过程】，，，。 故周期为 ，且 。 又 ，故 。 故选C。 二、多选题 9．（★★）已知数列 的通项为 （），则下列说法正确的是（　　） A．　B．数列的最小项为第 项与第 项　C．数列从第一项起单调递增　D． 【答案】ABD 【解题思路】配方后用函数观点处理，注意 为正整数。 【解答过程】。 A 中 ，正确； B 中顶点横坐标为 ，故比较 与 ：，，两者相等且同为最小项，正确； C 中数列先减后增，并非从第一项起递增，错误； D 中 ，正确。 故选ABD。 10．（★★）已知数列 的前 项和 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．　C． 是等差数列　D． 【答案】ABC 【解题思路】先算 ，再作差并检验能否合并。 【解答过程】。 当 时， 。 把 代入得 ，符合，故 。 A、B 正确； 为常数，C 正确；，D 错误。 故选ABC。 11．（★★★）已知数列 的前 项和为 （， 为常数），则下列说法正确的是（　　） A．当 时， 是等差数列　B．当 时， 对一切 成立　C． 对任意常数 都成立　D．若 是等差数列，则 【答案】ACD 【解题思路】先算 ，再对 作差，重点看 处的首项是否"掉队"。 【解答过程】。 当 时，。 A 中 时 ，可与 的式子合并，故 是公差为 的等差数列，正确； B 中 时 ，故 只在 时成立，错误； C 中 ，无论 取何值都有 ，正确； D 中若 为等差数列，则需 ，即 ，解得 ，正确。 故选ACD。 12．（★★★）已知数列 满足 ，（，），则下列说法正确的是（　　） A．当 时，　B．当 时，　C．若 为等比数列，则 　D．若 对一切 恒成立，则 【答案】ABC 【解题思路】按 与 求通项 ，再逐项判定，判断 D 时要检验 的情形。 【解答过程】当 时，，又 ，故 ，A 正确。 当 时，，又 ，故 ，即 ，B 正确。 当 时，由 可得 。 C 中若 为等比数列，设公比为 ，则 对一切 成立， 即 对一切 成立，故 必为常数，由 得 ， 代入得 ，解得 （此时为各项都是 的常数列），C 正确； D 中取 ，则 对一切 成立， 但 ，故 D 错误。 故选ABC。 三、填空题 13．（★★）已知数列 的前 项和 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先算 ，再作差，最后检验。 【解答过程】。 当 时， 。 把 代入得 ，符合，故 。 14．（★★）已知数列 的通项为 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用裂项相消求和。 【解答过程】， 故 。 15．（★★★）已知数列 的前 项和为 。设 ，若对一切 都有 成立，则实数 的最小值为 ____________。 【答案】 【解题思路】先由 求 ，再用裂项相消求和，最后取上确界确定 的下界。 【解答过程】；当 时，。 时也成立，故 。 ， 故 ， 且当 无限增大时，该和无限接近 。 要使 对一切 成立，只需 ，即 。 所以 的最小值为 。 16．（★★★）已知数列 满足 ，（）。若 ，则正整数 的最大值为 ____________。 【答案】 【解题思路】用累加法求出通项，发现 恰为完全平方数，再解不等式取最大整数。 【解答过程】当 时，。 时 ，符合，故 。 由 得 。 因为 ，而 ， 所以正整数 的最大值为 。 四、解答题 17．（★★）已知数列 的前 项和 。 (1) 求 ； (2) 判断 是否为等差数列，并说明理由。 【答案】(1) ； (2) 是等差数列，公差为 。 【解题思路】先算 ，再作差并检验，最后用定义判断。 【解答过程】(1) 。 当 时， 。 把 代入得 ，符合，故 。 (2) 因为 为常数， 所以 是等差数列，公差为 。 【多解·巧解】判断等差数列有两条路：一是用定义验证 为常数，二是看 是否为"缺常数项的二次式"——本题 常数项为 ，直接就能断定它是等差数列，且公差等于二次项系数的 倍（）。在做选择题、填空题时，用 的形态反推数列类型，比先求通项快得多。 【易错提醒】(1) 中算出 后忘记检验 。本题恰好能合并，但若题目把 改成 ，答案就必须分段书写。养成"先算 、后检验"的固定动作顺序，是避免这类丢分的关键。 18．（★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】用累加法，中间是等比数列求和。 【解答过程】(1) 逐项计算：，，，。 (2) 当 时， 。 时 ，符合，故 。 【多解·巧解】形如 的递推式都可以"累加"，本题的 是等比数列，求和后自然得到 。还可以用待定系数法秒出结果：因为右端是 ，可猜 ，代入递推式得 ，比较系数得 ，再由 得 ，同样得到 。遇到"右端是指数式"的递推，先猜 也是同底数的指数式，往往一步到位。 【易错提醒】(2) 中等比数列求和的项数容易数错：从 到 共 项，不是 项。检验方法：把 代入，，而公式给出 ，一致，说明项数正确。 19．（★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 证明 是等比数列； (2) 求 。 【答案】(1) 证明见解析； (2) 。 【解题思路】两边减 凑成等比形式。 【解答过程】(1) 由 得 。 又 ，故 为常数， 所以 是首项为 、公比为 的等比数列。 (2) 由 (1) 得 ，故 。 【多解·巧解】构造等比数列时可以"倒着定常数"：设 ，展开得 ，与 比较得 ，一步确定要构造的是 。更快的口算办法是先求不动点：解方程 得 ，不动点就是待减去的常数，直接构造 即可。这个"不动点法"对所有形如 的递推都适用。 【易错提醒】① 只写 就下结论，却忘记说明首项 ——等比数列要求各项非零，这一步必须写出来；② 把构造对象错写成 ，符号一错全盘皆输。 20．（★★★）已知数列 的前 项和 （）。 (1) 求 ； (2) 设 ，求数列 的前 项和 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 先算 再作差并检验；(2) 用裂项相消，注意补上系数 。 【解答过程】(1) 。 当 时，。 时 ，符合，故 。 (2) ， 故 。 【多解·巧解】本题有两个提速点。其一，(1) 中 缺常数项，说明 是等差数列且 为一次式，可先由 、 直接写出 ；其二，(2) 中分母两个因式相差 ，裂项后要补系数 。凡分子为 、分母两因式相差 的裂项，统一乘 。 【易错提醒】(2) 中最常见的错误是漏掉系数 ，直接写成 ，恰好是正确答案的 倍。检验方法：取 ，，公式给出 ，一致。裂项后随手代 验一项，是杜绝系数错误的最简办法。 21．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 证明 是等比数列； (2) 求 ； (3) 求 的前 项和 。 【答案】(1) 证明见解析； (2) ； (3) 。 【解题思路】构造等比后求通项，求和时把通项拆成"等比部分"与"常数部分"分别求和。 【解答过程】(1) 由 得 。 又 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列。 (2) 由 (1) 得 ，故 。 (3) ，即 。 【多解·巧解】构造等比时可用不动点法定常数：设 解得 ，故构造函数 。（也可用待定系数法：设 ，展开比较得 。）(3) 用分组求和：把 拆成"等比数列 之和"与" 个常数 之和"，求和题做完代 检验：，公式给出 ，一致。 【易错提醒】① (1) 中只写 就下结论，忘记说明首项 ——等比数列各项须非零，这一步是得分点；② 不动点方程误写成 ，会把构造对象错写为 ；③ (3) 中把 的首项记成 而不是 ，导致结果整体偏大。 22．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 设 ，求数列 的前 项和 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用累加法，中间是等差数列求和；(2) 取倒数后裂项相消。 【解答过程】(1) 当 时，。 时也成立，故 。 (2) ， 故 。 【多解·巧解】(1) 还可以"先算三项再猜通项"：，，，一眼看出是三角形数 ，代回递推式验证即可，比逐项累加更快。(2) 的关键是看清 ——先把 代入再取倒数，不要直接对 取倒数时把系数算错。 【易错提醒】① (1) 中累加时项数算错：从 到 共 项，漏掉末尾的 会得到 ；② (2) 中把 误算成 （漏了分母的 ），应为 ；③ 裂项后把结果写成 。检验：，公式给出 ，一致。 23．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求证：数列 是等比数列； (2) 求数列 的通项公式； (3) 记 ，求证：。 【答案】(1) 证明见解析； (2) ； (3) 证明见解析。 【解题思路】(1) 对递推式取倒数构造等比数列；(3) 用放缩法把不能直接求和的 放大为等比数列再求和。 【解答过程】(1) 由 取倒数，得 ， 于是 。 又 ， 故 是首项为 、公比为 的等比数列。 (2) 由 (1) 得 ， 故 ，即 。 (3) 。 当 时，，故 。 于是 。 当 时， 也成立，故 。 【多解·巧解】(1) 中递推式形如 ，两边取倒数即可把它化成"一次递推"，再用待定系数法构造等比数列——这是处理分式递推的通用套路。(3) 是典型的"放缩后求和"： 无法直接求和，但分母 比 大，故把每项放大成可求和的等比项 。放缩的方向由目标决定：要证"小于常数"，就把每一项放大，且放缩后的和仍要能算出上界。 【易错提醒】① (1) 中把构造对象误写为 ：取倒数后为 ，加 才能提出公比 ，减 则配不成等比；② (2) 中把等比通项写成 （指数多算一次），应为 ；③ (3) 中放缩方向搞反：若误用 ，会得到 ，这是"缩小"，得不到上界。正确放缩是 。检验：，与通项 一致。 24．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求证：数列 是等差数列，并求 ； (2) 求数列 的前 项和 ； (3) 设 ，求证：。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 证明见解析。 【解题思路】(1) 两边同除以 构造等差数列；(2) 用错位相减法；(3) 用放缩法把 放大为等比项再求和。 【解答过程】(1) 将 两边同除以 ， 得 。 故 是首项为 、公差为 的等差数列。 于是 ，即 。 (2) 。 两边乘 得 。 两式相减，得 ， 故 。 (3) 由 (1) 知 。 因为 ，故 。 于是 ， 即 。 【多解·巧解】(1) 中递推式含 这类"与 有关的指数项"，常用手法是两边同除以指数：除以 后， 恰好化为常数，于是 成等差数列。凡递推式中 与 的系数不成比例时，先试试两边除以某个指数。(2) 通项是"等差数列 等比数列"，用错位相减；相减时中间 项成等比，宁可多写两行也别漏项。(3) 的关键仍是放缩要能求和：把 放大为等比项 ，求和后即得常数上界 。 【易错提醒】① (1) 中有同学两边除以 ，得 ，这样写出的数列下标不统一，极易出错——除以 才能使两边下标一致；② (2) 中相减后把等比部分的首项数成 ，漏掉 ，导致结果整体偏移；③ (3) 中误以为 有初等闭式而去做错位相减。事实上 无简单求和公式，必须放缩。检验：，与通项一致；，公式给出 ，一致。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $