第17讲 任意角和弧度制、三角函数的概念讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第17讲 任意角和弧度制、三角函数的概念 第17讲 任意角和弧度制、三角函数的概念 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解任意角的概念，掌握终边相同的角的表示，会判断象限角并处理 、 的象限问题； 2．掌握弧度制与角度制的互化，会用弧长公式、扇形面积公式进行计算； 3．理解任意角三角函数的定义，会由终边上一点（含参数）求三角函数值并正确判断符号； 4．会解决扇形周长与面积的最值问题，体会把几何最值转化为二次函数的化归思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 终边相同的角与象限角 选择题、填空题 第1~5题、第8题 中 写成 再整体运算，保留 角度与弧度的互化 选择题、填空题 第1~4题 易 只用桥梁 ，不混写单位 由含参点求三角函数值 选择题、填空题 第6~8题、第14题 中偏难 先算 ，再按参数正负分类 三角函数值的符号判断 选择题、多选题 第4~6题、第11题 中 口诀"一全正、二正弦、三正切、四余弦" 扇形的弧长与面积最值 选择题、填空题、解答题 第8题、第14题、第17~19题 中偏难 用周长关系消元，化归为二次函数最值 命题规律分析 本专题是整章三角函数的地基，在新高考中多以第1~5题的选择题或第13题的填空题出现，属必得分地带。培优目标不止于"会算"：一是终边相同的角与象限角的组合判断（含 、 的象限讨论），常落在第6~8题；二是由终边上含参数的点求三角函数值，考查对 与分类讨论的把握；三是扇形周长、面积的最值问题，需把"周长定值"转化为二次函数求最值，常出现在第14题档。本讲把这三处难点一次讲透，力争小题全对、中档难题不丢分。 考点1 任意角与弧度制 知识点1 任意角与终边相同的角 与角 终边相同的角的集合为 （弧度制下周期为 ）。 判断 、 的象限：把 写成 的形式后整体做除法或乘法，再按 的奇偶（或逐一取值）讨论。 【易错清单】 1．轴线角（终边在坐标轴上）不属于任何象限； 2．写终边相同的角时 不能省，也不要把 与 混写； 3．求 的象限要按 的奇偶分类，只写一种会漏解。 知识点2 弧度制与角度弧度的互化 换算只用一个桥梁： 弧度 。角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 。 （ 为弧度制的圆心角， 为弧长， 为半径）。 【易错清单】 1．弧度制下不写度符号 ， 与 是同一个角的两种写法，不能混写成 ； 2．负角互化时符号要一起乘，如 。 考点2 三角函数的概念与扇形公式 知识点3 任意角三角函数的定义与符号 设角 的终边上任意一点 ，，则，，（）。 符号规律："一全正、二正弦、三正切、四余弦"。 【易错清单】 1． 恒为正，含参数时 要写成 的形式，不能直接写成 ； 2．终边落在直线（而非射线）上时，取点有正负两种，三角函数值可能有两个； 3． 要求 ，即终边不在 轴上。 知识点4 扇形的弧长与面积 弧度制下：弧长 ，面积 ，周长 。 "周长定值求面积最大"：由 解出 ，代入得 ，再用二次函数求最值，最大值为 。 【易错清单】 1．扇形周长包含两条半径与一段弧，共三部分； 2．公式中的 必须是弧度制； 3．由周长、面积反解圆心角时需检验 ，超过 的解要舍去。 【题型1 终边相同的角与象限角的判定】 【例1】若 是第二象限角，则 是（　　） A．第一象限角　B．第二象限角　C．第一或第三象限角　D．第二或第四象限角 【答案】C 【解题思路】写出 的范围，整体除以 ，再按 的奇偶讨论。 【解答过程】因为 是第二象限角，所以 （）。 两边同除以 得 。 当 为偶数时， 在第一象限；当 为奇数时， 在第三象限。 所以 是第一或第三象限角。故选C。 【多解·巧解】也可用"单位圆均分法"——把每个象限的角平分线画出来，第二象限的两条平分射线分别落在第一、第三象限，一眼即可看出答案，不必列不等式。 【易错提醒】只取 得到"第一象限"而漏掉第三象限，是这类题最常见的失分点。写范围时必须保留 并讨论其奇偶。 【变式1-1】若 是第三象限角，则 是（　　） A．第一或第二象限角　B．第二或第三象限角　C．第三或第四象限角　D．第四象限角 【答案】A 【解题思路】乘以 后减去 的整数倍，化到 内判断。 【解答过程】因为 是第三象限角，所以 。 两边乘 得 。 减去 得 ，即 ，落在第一或第二象限。故选A。 【变式1-2】与 终边相同的角的集合是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直接套用终边相同的角的集合形式， 不能漏。 【解答过程】与 终边相同的角构成集合 。故选A。 【变式1-3】角 是第几象限角（　　） A．第一象限角　B．第二象限角　C．第三象限角　D．第四象限角 【答案】C 【解题思路】不断加上 ，把负角化到 内再判断象限。 【解答过程】， 而 在 与 之间，属于第三象限，所以 是第三象限角。故选C。 【题型2 弧度制与角度弧度的互化】 【例2】已知角 。 (1) 将它化为角度； (2) 判断它是第几象限角； (3) 写出与 终边相同且在 内的角。 【答案】(1) ； (2) 第一象限角； (3) 。 【解题思路】先用 化角度，再化到 内判断象限。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ，所以 的终边与 的终边相同，是第一象限角。 (3) 与 终边相同且在 内的角为 ，即 。 【多解·巧解】度与弧度互化只有一个桥梁 。先化到熟知的 内，象限判断与集合表示就都顺出来了。也可以直接对 反复加 ，得 ，再化为 。 【变式2-1】与 终边相同且在 内的角是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】在所给区间内寻找 的取值。 【解答过程】 落在 内，取 得 。故选A。 【变式2-2】已知角 的终边与 的终边关于 轴对称，则 的集合是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】关于 轴对称的两条终边对应的角互为相反数（可相差 ）。 【解答过程】关于 轴对称时，终边上对应点的纵坐标变号而横坐标不变，故两角互为相反数， 所以 （）。故选B。 【变式2-3】已知 是第二象限角，则 可能是（　　） A．第一、第二或第三象限角　B．第一、第二或第四象限角　C．第二、第三或第四象限角　D．第一、第三或第四象限角 【答案】B 【解题思路】把 的范围除以 后，令 逐一检验。 【解答过程】，同除以 得 。 取 ，分别得 、、，依次落在第一、第二、第四象限。故选B。 【题型3 由终边上一点求三角函数值（含参数）】 【例3】已知角 的终边经过点 （），则 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先算 ，再按 的正负分类讨论。 【解答过程】。 当 时，，； 当 时，，。 所以 。故选C。 【多解·巧解】关键一步是把 写成 而不是 ——因为 。也可以从"终边落在直线 上"入手，画图判断两种情形对应的象限，比直接讨论 的符号更直观。 【易错提醒】把 写成 会漏掉 的情形。凡含参点求三角函数值，先写 ，再按参数正负分类。 【变式3-1】已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再按定义分别算出 与 。 【解答过程】，，， 所以 。故选A。 【变式3-2】已知角 的终边落在直线 上，则 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】直线要取两个方向上的点，分别计算后合并。 【解答过程】① 取 ，，； ② 取 ，，。 所以 。故选C。 【变式3-3】已知角 的终边经过点 （），且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 先求 ，再用 求 。 【解答过程】由 得 。 又 ，所以 ，，。 因为 ，所以 。故选A。 【题型4 三角函数值的符号判断】 【例4】已知 且 ，则 是（　　） A．第一象限角　B．第二象限角　C．第三象限角　D．第四象限角 【答案】B 【解题思路】把 化简为只含 的式子，再取两个条件的交集。 【解答过程】 说明 与 异号， 在第二或第四象限； ，而 ，所以 ， 在第二或第三象限。 两者同时成立只能是第二象限。故选B。 【多解·巧解】第二个条件先化简：，其符号只由 决定。把"积的符号"化成"单个函数的符号"是符号判断类题的通用手法。 【易错提醒】直接把 读成"正弦与正切异号"会漏掉 的化简，导致讨论繁琐甚至选错。 【变式4-1】若 是第三象限角，则点 位于（　　） A．第一象限　B．第二象限　C．第三象限　D．第四象限 【答案】C 【解题思路】先定 、 的符号，再看点的坐标符号。 【解答过程】第三象限内 ，，所以 的横、纵坐标都为负，位于第三象限。故选C。 【变式4-2】若点 在第四象限，则 是（　　） A．第一象限角　B．第二象限角　C．第三象限角　D．第四象限角 【答案】D 【解题思路】由点所在象限列出符号条件，再取交集。 【解答过程】 在第四象限，则 且 。 说明 在第一或第四象限； 说明 在第二或第四象限。 两者同时成立只能是第四象限。故选D。 【变式4-3】若 且 ，则 是（　　） A．第一象限角　B．第二象限角　C．第三象限角　D．第四象限角 【答案】B 【解题思路】分别列出每个条件允许的象限，取公共部分。 【解答过程】 说明 在第一或第二象限； 说明 在第二或第四象限。 取交得 是第二象限角。故选B。 【题型5 三角函数定义的综合应用】 【例5】已知角 的终边经过点 （），且 。 (1) 求 的值； (2) 求 与 。 【答案】(1) ； (2) ，。 【解题思路】由 的符号与横坐标的符号锁定象限，定出 的符号，再解方程。 【解答过程】设 ，则 。 因为 且横坐标 ，所以点 在第三象限，。 由 得 ，代入 得 ，即 ，。 (1) 所以 。 (2) ，。 【多解·巧解】先由" 且 "锁定第三象限，从而确定 ，这一步定号能让后面的开方不必讨论。也可以直接由 与 联立，但先定号更不易出错。 【易错提醒】忘记判断 的正负会保留 这个多余解。由 且 可知 必为负，这也是判断象限的快捷依据。 【变式5-1】已知角 的终边在射线 （）上，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】在射线上取一点，求出 后按定义计算。 【解答过程】在射线上取点 ，则 。 ，， 所以 。故选A。 【变式5-2】已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求 后按定义代入。 【解答过程】，，， 所以 。故选A。 【变式5-3】已知角 的终边经过点 （），且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】设 ，把 转化为关于 的方程。 【解答过程】设 ，由 得 。 代入 得 ，即 ，。 所以 。故选B。 【题型6 扇形的弧长与面积（最值）】 【例6】已知扇形的周长为 。 (1) 若圆心角为 弧度，求扇形的半径与面积； (2) 求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。 【答案】(1) ，； (2) 面积最大值为 ，此时圆心角为 弧度。 【解题思路】用周长关系消去圆心角，把面积写成半径的二次函数。 【解答过程】设半径为 ，圆心角为 ，则弧长 ，周长 。 (1) 当 时，，解得 ； 弧长 ，面积 。 (2) 由 得 ，所以 。 所以当 时 取最大值 ，此时 。 【多解·巧解】一般结论：周长定值 时，扇形面积的最大值为 ，此时圆心角恰为 弧度。记忆方法是把 看成关于 的二次函数并配方。把 整体代入，能一步消去双变量。 【易错提醒】扇形周长是 （含两条半径），写成 会使方程错误、答案全错。另外由 知 ，求最值时要注意 落在范围内。 【变式6-1】已知扇形的周长为 、圆心角为 弧度，则它的面积是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先由周长关系求半径，再求弧长与面积。 【解答过程】设半径为 ，由周长 得 ，弧长 ， 所以面积 。故选B。 【变式6-2】已知扇形的面积为 、圆心角为 弧度，则它的周长为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由面积公式反解半径，再算弧长与周长。 【解答过程】由 得 ，解得 。 弧长 ，周长 。故选B。 【变式6-3】已知扇形的周长为 （ 为定值），则其面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用周长关系消去圆心角，配方求二次函数最值。 【解答过程】设半径为 ，由周长 得 。 。 所以当 时 取最大值 。故选C。 一、单选题 1．（★★） 化为角度是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】乘 换算。 【解答过程】。故选A。 2．（★★）下列各角中，与 终边相同的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】检查与 之差是否为 的整数倍。 【解答过程】，是 的整数倍，所以 与 终边相同。故选A。 3．（★★）已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再按 代入并有理化。 【解答过程】，所以 。故选A。 4．（★★）半径为 、圆心角为 的扇形的弧长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】直接代入弧长公式 。 【解答过程】。故选B。 5．（★★）已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求 后按定义代入相加。 【解答过程】，，，所以 。故选A。 6．（★★★）已知角 的终边经过点 （），则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先写出 ，再按 、 两种情况分别求值。 【解答过程】。 当 时，，，，此时 ； 当 时，，，，此时 。 所以 。故选C。 7．（★★★）已知角 的终边经过点 ，将 的终边绕原点按顺时针方向旋转，直到第一次与 轴正半轴重合，则终边扫过的扇形（圆心在原点、半径为 ）的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用三角函数的定义确定角 ，再看旋转过的角，最后用扇形面积公式 。 【解答过程】点 到原点的距离 ，故 ，，得 （即 ）。 把终边按顺时针旋转到第一次与 轴正半轴重合，转过的角恰为 。扫过的扇形半径为 ，故面积 。故选A。 8．（★★★）已知角 的终边经过点 （），则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．与 的取值有关，无法确定 【答案】D 【解题思路】先写出 ，得到含 的 、，再按 、 分类比较。 【解答过程】。 当 时，，，，此时 ； 当 时，，，，此时 。 两种情形结论相反，故大小关系与 的符号有关，无法确定。故选D。 二、多选题 9．（★★）下列结论正确的是（　　） A．与 终边相同的角可表示为 （）　B．若 是锐角，则 是第一象限角　C．若 是第一象限角，则 一定是锐角　D．终边落在 轴上的角的集合是 【答案】ABD 【解题思路】逐项对照终边相同的角、象限角的概念判断。 【解答过程】A 是终边相同的角的标准表示，正确； B 中锐角一定在 内，是第一象限角，正确； C 错误，如 是第一象限角但不是锐角； D 正确，终边在 轴上的角为 。故选ABD。 10．（★★）已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】先求 ，再逐项按定义验证。 【解答过程】，A 正确； ，B 正确； ，C 正确； ，D 错误。故选ABC。 11．（★★★）已知角 的终边经过点 （），则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．当 时，　D． 【答案】ABC 【解题思路】先写出 ，再逐项按定义计算，含 符号的式子必须分类讨论。 【解答过程】，，A 正确； ，B 正确； 当 时，，，，，C 正确； 当 时 ，故 的取值与 的符号有关，D 错误。故选ABC。 12．（★★★）已知扇形的半径为 ，圆心角为 （），面积为 ，周长为 ，则下列结论正确的是（　　） A．若 且 ，则 ，　B．若 且 ，则 　C．若 ，则 的最大值为 　D．若 ，则 的最小值为 【答案】ABD 【解题思路】用 、 两式联立，逐个选项验证。 【解答过程】由 得 ，故 。 A：当 、 时，，即 ，解得 ，，正确； B：由 得 ，正确； C：当 时，，最大值为 ，不是 ，错误； D：当 时，，故 ，等号在 时成立，最小值 ，正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）与 终边相同且在 内的角为 ____________。 【答案】 【解题思路】在所给区间内寻找 的取值。 【解答过程】，且 。 14．（★★）半径为 的圆中，圆心角为 弧度的圆弧长为 ____________。 【答案】 【解题思路】代入弧长公式 。 【解答过程】。 15．（★★★）已知扇形的周长为定值 （），圆心角为 ，若 ，则该扇形面积的最大值为____________（用 表示）。 【答案】 【解题思路】先用周长把 表示成 的函数，由 挖出 的下界，再在受限区间上求二次函数最值。 【解答过程】设半径为 ，由 得 。 由 得 ，即 ，故 ；又 要求 。 面积 ，其对称轴为 。 因为 ，所以 在 上单调递减，最大值在 处取得，此时 。故最大值为 。 16．（★★★）已知扇形的周长为 ，面积为 ，则圆心角的弧度数为____________。 【答案】 【解题思路】联立周长与面积两个关系式解出 ，再用 筛除不合理解。 【解答过程】设半径为 ，圆心角为 ，则 ，。 由第一式得 ，代入第二式得 ，即 ，解得 或 。 当 时 ，而 ，不合题意，舍去； 当 时 ，符合 。故圆心角为 。 四、解答题 17．（★★）已知角 。 (1) 把 写成 （，）的形式； (2) 写出与 终边相同的角的集合。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】不断加 把负角化到 内，再写集合。 【解答过程】(1) 因为 ， 所以 。 (2) 与 终边相同的角为 （）， 故所求集合为 。 【多解·巧解】负角化正的口诀是"不断加 直到落在 内"。本题加 次得 ，因此 。也可先判断象限： 与 终边相同，属第三象限。 【易错提醒】写 时要核对：，加 得 ，符号不能写反；另外 (2) 中的 必须写出。 18．（★★）已知角 的终边经过点 。 (1) 求 、、； (2) 求 与 。 【答案】(1) ，，； (2) ，。 【解题思路】先求 ，按定义逐个代入，再用 (1) 的结果算组合量。 【解答过程】。 (1) ，，。 (2) ，。 【多解·巧解】点 满足勾股数 ，可直接得 。(2) 不必重算，用 (1) 的结果组合即可。 【易错提醒】 的负号来自横坐标，遗漏会全错；，负号在分母上，结果写成 。 19．（★★）已知扇形的周长为 。 (1) 若圆心角为 弧度，求半径与面积； (2) 求扇形面积的最大值。 【答案】(1) ，； (2) 最大值为 。 【解题思路】用周长关系消去圆心角，把面积写成关于半径的二次函数。 【解答过程】设半径为 ，弧长为 ，周长 。 (1) 当 时 ，，，。 (2) 由 得 ， 配方得 ，所以 的最大值为 。 【多解·巧解】一般结论：周长定值时，扇形面积在"圆心角为 弧度"时取到最大值。把 看成关于 的二次函数，配方一步到位。 【易错提醒】周长是 ，含两条半径。若误写成 ，(1) 的答案会变成 ，与题设不符。 20．（★★★）已知角 的终边经过点 （）。 (1) 若 ，求 与 ； (2) 若 ，求 的所有可能值，并指出此时 所在象限。 【答案】(1) ，； (2) 或 ；当 时 在第二象限，当 时 在第三象限。 【解题思路】把 、 的定义转化为关于 的方程，再结合点所在象限处理多解。 【解答过程】(1) 设 ，由 知 。由 得 ，代入 得 ，即 。因为 ，所以 ，此时 ，。 (2) 由 得 ，于是 ，，。当 时点 在第二象限；当 时点 在第三象限。 【多解·巧解】第 (1) 问先由 且横坐标为负断定 ，可去掉多余的根；第 (2) 问中 只含横坐标 的符号，与 无关，因此两解都要保留。先判断"哪个条件能定号"，是含参定义题的第一动作。 【易错提醒】(2) 中容易只保留 而漏掉 ；(1) 中若忘记由 判号，也会多出 。 21．（★★★）已知角 的终边落在直线 上。 (1) 求 与 的所有可能值； (2) 求 的值。 【答案】(1) 情形一：，；情形二：，； (2) 或 。 【解题思路】直线要取两个方向上的点，分别求值后再讨论组合量。 【解答过程】直线 上可取点 或 。 ① 取 ：，，，； ② 取 ：，，，。 (1) 故 、 的两组取值为 与 ；(2) 故 。 【多解·巧解】直线上两个方向取点所得的两组值恰为相反数，两种情形的 都等于 。凡是"终边落在直线上"，都要把两个方向都算上。 【易错提醒】只取一个方向取点会漏掉一半答案；另外 要按两种情形分别算，不能想当然。 22．（★★★）已知扇形的周长为 ，半径为 ，圆心角为 （）。 (1) 写出 关于 的表达式，并求 的取值范围； (2) 求扇形面积 的最大值，并求此时圆心角的弧度数。 【答案】(1) ，； (2) 最大值为 ，此时 。 【解题思路】先用周长关系把 表示为 的函数，再由 反求 的范围；面积写成 的二次函数求最值。 【解答过程】(1) 由 得 。由 得 ；由 得 ，即 ，故 。所以 。 (2) 。当 时 取最大值 ，此时 。 【多解·巧解】把 用 表示后， 的范围（）就转化为 的范围；本题的最值点 落在 内，说明最大值能取到。 【易错提醒】不要漏掉 的下界 （来自 ），否则取值范围不完整。 23．（★★★）已知扇形的周长为 （），圆心角为 （），面积为 。 (1) 求 的最大值（用 表示），并求取得最大值时 的值； (2) 当 时，求扇形面积 的取值范围。 【答案】(1) 最大值为 ，此时 ； (2) 。 【解题思路】把 写成关于 的二次函数求最值；对给定 ，先定出 的范围，再求 的取值集合。 【解答过程】(1) 由 得 ，故 。当 时 取最大值 ，此时 。 (2) 当 时 ，由 得 ，此时 。因为 落在该区间内，所以 的最大值为 ；当 无限接近 （此时 无限接近 ）时 无限接近 ，故 的取值范围是 。 【多解·巧解】第 (1) 问是"周长定值"的经典结论：面积最大值 ，此时圆心角恰为 。第 (2) 问的关键是辨析端点——上界 能取到（在 处），下界 只能逼近而取不到。 【易错提醒】第 (2) 问易把范围写成 或 ： 能取到故取闭， 取不到故取开。 24．（★★★）已知角 的终边经过点 （）。 (1) 求 与 （按 的符号分类）； (2) 求 的值，并判断该值是否随 的符号改变； (3) 求 的值。 【答案】(1) 当 时 ，；当 时 ，； (2) 原式的值恒为 ，与 的符号无关； (3) 。 【解题思路】(1) 由 分类；(2)(3) 先算与符号无关的整体量 ，再用它表示所求式。 【解答过程】(1) 。当 时 ，，；当 时 ，，。 (2) 当 时，；当 时，。两种情形结果相同，故该值与 的符号无关，恒为 。 (3) ，所以 。 【多解·巧解】(2) 也可分子分母同除以 得 ，而两种情形的 都等于 ，一眼看出结果与符号无关。(3) 用平方关系把两个倒数之和合并成 ，只需求出 。 【易错提醒】(3) 不必分别代入两组 、；另外 ，别把分子分母写反。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第17讲 任意角和弧度制、三角函数的概念 第17讲 任意角和弧度制、三角函数的概念 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解任意角的概念，掌握终边相同的角的表示，会判断象限角并处理 、 的象限问题； 2．掌握弧度制与角度制的互化，会用弧长公式、扇形面积公式进行计算； 3．理解任意角三角函数的定义，会由终边上一点（含参数）求三角函数值并正确判断符号； 4．会解决扇形周长与面积的最值问题，体会把几何最值转化为二次函数的化归思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 终边相同的角与象限角 选择题、填空题 第1~5题、第8题 中 写成 再整体运算，保留 角度与弧度的互化 选择题、填空题 第1~4题 易 只用桥梁 ，不混写单位 由含参点求三角函数值 选择题、填空题 第6~8题、第14题 中偏难 先算 ，再按参数正负分类 三角函数值的符号判断 选择题、多选题 第4~6题、第11题 中 口诀"一全正、二正弦、三正切、四余弦" 扇形的弧长与面积最值 选择题、填空题、解答题 第8题、第14题、第17~19题 中偏难 用周长关系消元，化归为二次函数最值 命题规律分析 本专题是整章三角函数的地基，在新高考中多以第1~5题的选择题或第13题的填空题出现，属必得分地带。培优目标不止于"会算"：一是终边相同的角与象限角的组合判断（含 、 的象限讨论），常落在第6~8题；二是由终边上含参数的点求三角函数值，考查对 与分类讨论的把握；三是扇形周长、面积的最值问题，需把"周长定值"转化为二次函数求最值，常出现在第14题档。本讲把这三处难点一次讲透，力争小题全对、中档难题不丢分。 考点1 任意角与弧度制 知识点1 任意角与终边相同的角 与角 终边相同的角的集合为 （弧度制下周期为 ）。 判断 、 的象限：把 写成 的形式后整体做除法或乘法，再按 的奇偶（或逐一取值）讨论。 【易错清单】 1．轴线角（终边在坐标轴上）不属于任何象限； 2．写终边相同的角时 不能省，也不要把 与 混写； 3．求 的象限要按 的奇偶分类，只写一种会漏解。 知识点2 弧度制与角度弧度的互化 换算只用一个桥梁： 弧度 。角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 。 （ 为弧度制的圆心角， 为弧长， 为半径）。 【易错清单】 1．弧度制下不写度符号 ， 与 是同一个角的两种写法，不能混写成 ； 2．负角互化时符号要一起乘，如 。 考点2 三角函数的概念与扇形公式 知识点3 任意角三角函数的定义与符号 设角 的终边上任意一点 ，，则，，（）。 符号规律："一全正、二正弦、三正切、四余弦"。 【易错清单】 1． 恒为正，含参数时 要写成 的形式，不能直接写成 ； 2．终边落在直线（而非射线）上时，取点有正负两种，三角函数值可能有两个； 3． 要求 ，即终边不在 轴上。 知识点4 扇形的弧长与面积 弧度制下：弧长 ，面积 ，周长 。 "周长定值求面积最大"：由 解出 ，代入得 ，再用二次函数求最值，最大值为 。 【易错清单】 1．扇形周长包含两条半径与一段弧，共三部分； 2．公式中的 必须是弧度制； 3．由周长、面积反解圆心角时需检验 ，超过 的解要舍去。 【题型1 终边相同的角与象限角的判定】 【例1】若 是第二象限角，则 是（　　） A．第一象限角　B．第二象限角　C．第一或第三象限角　D．第二或第四象限角 【变式1-1】若 是第三象限角，则 是（　　） A．第一或第二象限角　B．第二或第三象限角　C．第三或第四象限角　D．第四象限角 【变式1-2】与 终边相同的角的集合是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】角 是第几象限角（　　） A．第一象限角　B．第二象限角　C．第三象限角　D．第四象限角 【题型2 弧度制与角度弧度的互化】 【例2】已知角 。 (1) 将它化为角度； (2) 判断它是第几象限角； (3) 写出与 终边相同且在 内的角。 【变式2-1】与 终边相同且在 内的角是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知角 的终边与 的终边关于 轴对称，则 的集合是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知 是第二象限角，则 可能是（　　） A．第一、第二或第三象限角　B．第一、第二或第四象限角　C．第二、第三或第四象限角　D．第一、第三或第四象限角 【题型3 由终边上一点求三角函数值（含参数）】 【例3】已知角 的终边经过点 （），则 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】已知角 的终边落在直线 上，则 的值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知角 的终边经过点 （），且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 三角函数值的符号判断】 【例4】已知 且 ，则 是（　　） A．第一象限角　B．第二象限角　C．第三象限角　D．第四象限角 【变式4-1】若 是第三象限角，则点 位于（　　） A．第一象限　B．第二象限　C．第三象限　D．第四象限 【变式4-2】若点 在第四象限，则 是（　　） A．第一象限角　B．第二象限角　C．第三象限角　D．第四象限角 【变式4-3】若 且 ，则 是（　　） A．第一象限角　B．第二象限角　C．第三象限角　D．第四象限角 【题型5 三角函数定义的综合应用】 【例5】已知角 的终边经过点 （），且 。 (1) 求 的值； (2) 求 与 。 【变式5-1】已知角 的终边在射线 （）上，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知角 的终边经过点 （），且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 扇形的弧长与面积（最值）】 【例6】已知扇形的周长为 。 (1) 若圆心角为 弧度，求扇形的半径与面积； (2) 求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。 【变式6-1】已知扇形的周长为 、圆心角为 弧度，则它的面积是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】已知扇形的面积为 、圆心角为 弧度，则它的周长为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知扇形的周长为 （ 为定值），则其面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★） 化为角度是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）下列各角中，与 终边相同的是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）半径为 、圆心角为 的扇形的弧长是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知角 的终边经过点 （），则 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知角 的终边经过点 ，将 的终边绕原点按顺时针方向旋转，直到第一次与 轴正半轴重合，则终边扫过的扇形（圆心在原点、半径为 ）的面积为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知角 的终边经过点 （），则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．与 的取值有关，无法确定 二、多选题 9．（★★）下列结论正确的是（　　） A．与 终边相同的角可表示为 （）　B．若 是锐角，则 是第一象限角　C．若 是第一象限角，则 一定是锐角　D．终边落在 轴上的角的集合是 10．（★★）已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★★）已知角 的终边经过点 （），则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．当 时，　D． 12．（★★★）已知扇形的半径为 ，圆心角为 （），面积为 ，周长为 ，则下列结论正确的是（　　） A．若 且 ，则 ，　B．若 且 ，则 　C．若 ，则 的最大值为 　D．若 ，则 的最小值为 三、填空题 13．（★★）与 终边相同且在 内的角为 ____________。 14．（★★）半径为 的圆中，圆心角为 弧度的圆弧长为 ____________。 15．（★★★）已知扇形的周长为定值 （），圆心角为 ，若 ，则该扇形面积的最大值为____________（用 表示）。 16．（★★★）已知扇形的周长为 ，面积为 ，则圆心角的弧度数为____________。 四、解答题 17．（★★）已知角 。 (1) 把 写成 （，）的形式； (2) 写出与 终边相同的角的集合。 18．（★★）已知角 的终边经过点 。 (1) 求 、、； (2) 求 与 。 19．（★★）已知扇形的周长为 。 (1) 若圆心角为 弧度，求半径与面积； (2) 求扇形面积的最大值。 20．（★★★）已知角 的终边经过点 （）。 (1) 若 ，求 与 ； (2) 若 ，求 的所有可能值，并指出此时 所在象限。 21．（★★★）已知角 的终边落在直线 上。 (1) 求 与 的所有可能值； (2) 求 的值。 22．（★★★）已知扇形的周长为 ，半径为 ，圆心角为 （）。 (1) 写出 关于 的表达式，并求 的取值范围； (2) 求扇形面积 的最大值，并求此时圆心角的弧度数。 23．（★★★）已知扇形的周长为 （），圆心角为 （），面积为 。 (1) 求 的最大值（用 表示），并求取得最大值时 的值； (2) 当 时，求扇形面积 的取值范围。 24．（★★★）已知角 的终边经过点 （）。 (1) 求 与 （按 的符号分类）； (2) 求 的值，并判断该值是否随 的符号改变； (3) 求 的值。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $