第07讲 函数的概念及其表示讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第07讲 函数的概念及其表示 第07讲 函数的概念及其表示 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．准确理解函数的概念与三要素，能规范判断两个函数是否为同一函数； 2．会求各类函数的定义域，能处理含参与抽象函数的定义域问题； 3．理解分段函数，会求值、由函数值求参数并作回代检验； 4．熟练运用换元、配凑、方程组法求解析式，会用配方法与分离常数法求值域。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 函数的概念与同一函数 选择题 第1~4题 中 先比定义域，再比化简后的对应关系 求函数的定义域 选择题、填空题 第2~6题、第13题 中 列全限制条件后取交集，别忘抽象函数 分段函数求值与求参数 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 由内到外逐层判断，解出后回代检验落段 求函数解析式 选择题、填空题 第6题、第13题 中偏难 换元、配凑、方程组三法按条件轮换 函数的图象与值域 选择题、填空题 第6~8题、第14题 中偏难 配方法与分离常数法，先定定义域 命题规律分析 函数的概念与表示是函数一章的"起点分"：定义域、分段函数求值、求解析式在新高考中多落在第 1~6 题，属必得分；而分段函数求参数、抽象函数赋值、含参定义域与值域常压在第 6 题、第 13 题这档"垫脚题"。本讲面向 90~120 分学生，在基础之上把这三处难度整体上抬：定义域叠加"分母、偶次根式、对数"三类限制再取交集；分段函数求参数强调"解出即回代检验落段"；抽象函数用赋值法把隐含条件挖出来。培优得分策略是——定义域列全条件不取并、分段求值由内到外、解析式三法轮换、值域先定定义域，把这部分的分全部拿满。 考点1 函数的概念与定义域 知识点1 函数的概念与三要素 函数三要素：定义域、对应关系、值域；定义域与对应关系一旦确定，值域随之确定。 判断同一函数"两看"：定义域相同、对应关系化简后一致，两者都满足才是同一函数。 【易错清单】 1．化简可能改变定义域，比较时必须按原式求定义域； 2．，与 的对应关系不同； 3．一个自变量只能对应一个函数值，"一对多"不是函数。 知识点2 函数定义域的求法 常见限制四类：分母不为 、偶次根式被开方数不小于 、零（负）指数幂底数不为 、对数真数大于 且底数大于 且不等于 ；几部分用加减连接时取交集。 抽象函数 的定义域，由" 落在 的定义域内"解不等式得到。 【易错清单】 1．多个限制条件必须取交集，取并集是典型错误； 2．根式在分母上时被开方数要"大于 "而非"大于等于 "； 3．解答题忘写定义域是最常见的失分点。 考点2 函数的表示、分段函数与解析式 知识点3 函数的表示法与分段函数 分段函数是一个函数：定义域是各段定义域之并，值域是各段值域之并；求值"由内到外"，每步重新判断落段。 已知 求 ：按段列方程，解出的 必须落在所设那一段内，否则舍去。 【易错清单】 1．由函数值求自变量时忘回代检验，会留下"段外解"； 2．分段函数求值域要把各段值域合并，并核对端点是否取到； 3．不要把分段函数当成几个函数而分开写定义域。 知识点4 求函数解析式与值域 求解析式三法：换元法（令 并写出 的范围）、配凑法（把右边配成关于 的式子）、方程组法（用 或 代换构造方程消元）。 求值域常用：配方法、换元法（含根式）、分离常数法 、单调性法。 【易错清单】 1．换元后忘记写新元 的取值范围，导致定义域出错； 2．分离常数符号常写错，如 ； 3．用配方法求值域只写顶点，忽略定义域限制。 【题型1 函数的概念与同一函数的判定】 【例1】下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【变式1-1】若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】已知集合 ，，则从 到 的函数中，值域恰为 的函数共有（　　） A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 【题型2 求函数的定义域（含参、抽象、复合）】 【例2】函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 分段函数求值与求参数】 【例3】已知函数 ，若 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【变式3-1】已知函数 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【变式3-2】已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知函数 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【题型4 求函数的解析式】 【例4】已知函数 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】已知 ，则 的解析式为（　　） A．（）　B．（）　C．（）　D．（） 【变式4-2】已知 ，则 ____________。 【变式4-3】已知函数 满足 （），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 函数的图象与值域】 【例5】函数 的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】函数 （）的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】函数 的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】函数 （）的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 函数值的整体代换与抽象函数】 【例6】已知函数 对一切实数 ， 都满足 ，且 。 (1) 求 的值； (2) 求 的值。 【变式6-1】已知函数 满足 ，且 ，则 ____________。 【变式6-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知函数 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 3．（★★）已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知 （），则 （　　） A．　B．（）　C．　D．（） 8．（★★★）已知函数 。若 的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于函数的说法中，正确的是（　　） A．函数的三要素是定义域、对应关系、值域　B．定义域与对应关系确定后，值域随之确定　C． 与 是同一函数　D．一个自变量可以同时对应两个函数值 10．（★★）已知函数 ，下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．若 ，则 　D． 的值域为 11．（★★★）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．若 ，则 　C． 的值域为 　D． 12．（★★★）已知 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．　C． 在 上的值域为 　D． 三、填空题 13．（★★）已知函数 ，则 ____________。 14．（★★）函数 的定义域是____________。 15．（★★★）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是____________。 16．（★★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 若 ，求 的值。 18．（★★）求下列函数的定义域： (1) ； (2) 已知 的定义域为 ，求 的定义域。 19．（★★）已知函数 满足 。 (1) 求 ； (2) 求 的解析式。 20．（★★★）已知 是二次函数，且 ，对任意实数 都有 。 (1) 求 的解析式； (2) 求 在 上的值域。 21．（★★★）已知函数 对任意实数 都满足 。 (1) 求 的值； (2) 求 的解析式，并求 在 上的值域。 22．（★★★）求函数 的值域。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； (2) 记 为 在 上的最小值，求 的解析式； (3) 若 在 上的最小值为 ，求实数 的值。 24．（★★★）已知函数 。 (1) 求 在 上的值域； (2) 记 为 在区间 上的最小值，求 的解析式； (3) 若 ，求实数 的值。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第07讲 函数的概念及其表示 第07讲 函数的概念及其表示 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．准确理解函数的概念与三要素，能规范判断两个函数是否为同一函数； 2．会求各类函数的定义域，能处理含参与抽象函数的定义域问题； 3．理解分段函数，会求值、由函数值求参数并作回代检验； 4．熟练运用换元、配凑、方程组法求解析式，会用配方法与分离常数法求值域。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 函数的概念与同一函数 选择题 第1~4题 中 先比定义域，再比化简后的对应关系 求函数的定义域 选择题、填空题 第2~6题、第13题 中 列全限制条件后取交集，别忘抽象函数 分段函数求值与求参数 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 由内到外逐层判断，解出后回代检验落段 求函数解析式 选择题、填空题 第6题、第13题 中偏难 换元、配凑、方程组三法按条件轮换 函数的图象与值域 选择题、填空题 第6~8题、第14题 中偏难 配方法与分离常数法，先定定义域 命题规律分析 函数的概念与表示是函数一章的"起点分"：定义域、分段函数求值、求解析式在新高考中多落在第 1~6 题，属必得分；而分段函数求参数、抽象函数赋值、含参定义域与值域常压在第 6 题、第 13 题这档"垫脚题"。本讲面向 90~120 分学生，在基础之上把这三处难度整体上抬：定义域叠加"分母、偶次根式、对数"三类限制再取交集；分段函数求参数强调"解出即回代检验落段"；抽象函数用赋值法把隐含条件挖出来。培优得分策略是——定义域列全条件不取并、分段求值由内到外、解析式三法轮换、值域先定定义域，把这部分的分全部拿满。 考点1 函数的概念与定义域 知识点1 函数的概念与三要素 函数三要素：定义域、对应关系、值域；定义域与对应关系一旦确定，值域随之确定。 判断同一函数"两看"：定义域相同、对应关系化简后一致，两者都满足才是同一函数。 【易错清单】 1．化简可能改变定义域，比较时必须按原式求定义域； 2．，与 的对应关系不同； 3．一个自变量只能对应一个函数值，"一对多"不是函数。 知识点2 函数定义域的求法 常见限制四类：分母不为 、偶次根式被开方数不小于 、零（负）指数幂底数不为 、对数真数大于 且底数大于 且不等于 ；几部分用加减连接时取交集。 抽象函数 的定义域，由" 落在 的定义域内"解不等式得到。 【易错清单】 1．多个限制条件必须取交集，取并集是典型错误； 2．根式在分母上时被开方数要"大于 "而非"大于等于 "； 3．解答题忘写定义域是最常见的失分点。 考点2 函数的表示、分段函数与解析式 知识点3 函数的表示法与分段函数 分段函数是一个函数：定义域是各段定义域之并，值域是各段值域之并；求值"由内到外"，每步重新判断落段。 已知 求 ：按段列方程，解出的 必须落在所设那一段内，否则舍去。 【易错清单】 1．由函数值求自变量时忘回代检验，会留下"段外解"； 2．分段函数求值域要把各段值域合并，并核对端点是否取到； 3．不要把分段函数当成几个函数而分开写定义域。 知识点4 求函数解析式与值域 求解析式三法：换元法（令 并写出 的范围）、配凑法（把右边配成关于 的式子）、方程组法（用 或 代换构造方程消元）。 求值域常用：配方法、换元法（含根式）、分离常数法 、单调性法。 【易错清单】 1．换元后忘记写新元 的取值范围，导致定义域出错； 2．分离常数符号常写错，如 ； 3．用配方法求值域只写顶点，忽略定义域限制。 【题型1 函数的概念与同一函数的判定】 【例1】下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【答案】B 【解题思路】同一函数"两看"：先比定义域，再比化简后的对应关系，两者都满足才选。 【解答过程】A中 的定义域为 ，与 的 不同； B中两者定义域都为 ，且 ，对应关系一致，是同一函数； C中 的定义域为 ，与 的 不同； D中 要求 ， 要求 ，定义域不同。故选B。 【多解·巧解】也可以用特殊值排除法：取 ，A中 无意义而 有意义，排除A；取 ，C中 无意义，排除C；取 ，D中 无意义，排除D。三个反例各"打掉"一个选项，比逐项算定义域更快。 【易错提醒】D中两侧定义域看似相同，其实 的两个根式要求 ，而 只要求 ，含 一侧的差异最易被忽略——同一函数必须定义域完全相同。 【变式1-1】若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】括号内的整体 必须落在 的定义域内，再与分母不为零取交集。 【解答过程】由 得 ； 又分母 ，即 。 取交集得 ，即定义域为 。故选A。 【变式1-2】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】"括号里装的东西取值范围相同"：先由 的定义域求出 的定义域，再解 的范围。 【解答过程】由 得 ，即 的定义域为 。 令 ，得 ，即 。 故 的定义域为 。故选B。 【变式1-3】已知集合 ，，则从 到 的函数中，值域恰为 的函数共有（　　） A． 个　B． 个　C． 个　D． 个 【答案】C 【解题思路】先数出从 到 的全部函数个数，再减去"值域只有一个元素"的情形。 【解答过程】 中每个元素都有 种取值，故从 到 的函数共 个。 其中值域为 （全部对应 ）与值域为 （全部对应 ）的各 个，不合要求。 所以值域恰为 的函数共 个。故选C。 【题型2 求函数的定义域（含参、抽象、复合）】 【例2】函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】三类限制逐一列出：偶次根式、对数真数、分母（对数式）不为零，再取交集。 【解答过程】由 得 ； 由对数真数 得 ； 由分母 得 ，即 。 取交集得 且 ，即 。故选B。 【多解·巧解】也可以先写范围再挖点：先由真数大于 得区间 ，再由分母不为零"挖去" ，最后套上根式限制 。挖点时只挖一个点，比一开始就把三条件交织在一起更清爽。端点自检： 时根式为 但 ，故 可取。 【易错提醒】 的解除以通分外，最易漏掉：学生常只写真数大于 ，忘记分母（对数式）不能为零，从而把 也收进来而误选 A。 【变式2-1】函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】根式限制给出闭区间，分母不为零挖去一个点。 【解答过程】由 得 ；由 得 。 取交集得定义域为 。故选B。 【变式2-2】若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】"定义域为 "即 恒成立；先单独讨论 ，再按二次式讨论。 【解答过程】① 当 时， 恒成立，符合； ② 当 时，需开口向上且判别式不大于 ，即 且 ，解得 。 综上 ，即 。故选A。 【变式2-3】已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 的两个"括号"都要落在 内，两个不等式取交集。 【解答过程】需同时满足 与 。 第二式解得 ，与第一式取交集得 。 故定义域为 。故选A。 【题型3 分段函数求值与求参数】 【例3】已知函数 ，若 ，则实数 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 【解题思路】按 落在哪一段分别列方程，解出后检验是否落在该段内。 【解答过程】① 当 时，，得 或 ，其中 不满足 ，舍去，得 ； ② 当 时，，得 ，满足 。 综上 或 。故选C。 【多解·巧解】数形结合更快： 的图象由抛物线 （ 部分）与射线 （ 部分）拼成，作水平直线 ，它与图象的两个交点横坐标分别为 与 ，一目了然。凡分段函数求参数，画"折线图 + 水平线"能直接读出解的个数。 【易错提醒】从 这一段解出 时，不要急着连 一起舍去——它不是本段的解，但恰好满足 那一段。分段函数求参数的"舍"是针对本段，不是针对整体。 【变式3-1】已知函数 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 【解题思路】分段列方程，逐段回代检验。 【解答过程】① 当 时，，得 ，满足 ； ② 当 时，，即 ，得 ，满足 。 综上 或 。故选C。 【变式3-2】已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】由内到外：先算内层函数值，再判断它落在哪一段，代入外层。 【解答过程】因为 ，所以 ； 因为 ，所以 。故选C。 【变式3-3】已知函数 ，若 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 【解题思路】按段列方程，两个解分属两段时都要保留。 【解答过程】① 当 时，，即 ，得 ，满足 ； ② 当 时，，得 ，满足 。 综上 或 。故选C。 【题型4 求函数的解析式】 【例4】已知函数 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】方程组法：把 换成 得第二个方程，两式消去 。 【解答过程】已知 …①，把 换成 得 …②。 ① 得 ，减去②得 ，所以 。故选B。 【多解·巧解】本题待定系数法更快：等式两端都是 的一次式，且只含 与 ，可设 ，代入得 ，比较系数立刻得 ，，即 。只要能判断 的"次数"，待定系数往往比解方程组更省事。 【易错提醒】代换时"处处换"：把原式中每一个 都换成 ，漏掉一处方程组就解不出来。另注意 是整体代换，不是把 的系数取反。 【变式4-1】已知 ，则 的解析式为（　　） A．（）　B．（）　C．（）　D．（） 【答案】A 【解题思路】换元法：令 ，反解出 ，代入后写出 的范围。 【解答过程】令 ，由 得 ，且 ，。 代入得 。 所以 （）。故选A。 【变式4-2】已知 ，则 ____________。 【答案】（） 【解题思路】配凑法：把右边配成关于 的式子。 【解答过程】因为 ，令 ，则 。 所以 ，即 （）。 【变式4-3】已知函数 满足 （），则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】方程组法：把 换成 构造第二个方程。 【解答过程】已知 …①，把 换成 得 …②。 ① 得 ，减去②得 ，所以 。故选A。 【题型5 函数的图象与值域】 【例5】函数 的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分离常数法：把函数写成"常数 + 反比例型分式"，由分母不为零定值域。 【解答过程】分离常数：。 因为 ，所以 ，值域为 。故选A。 【多解·巧解】也可以反解 ：由 得 ，整理为 ，即 。要存在实数 使该式成立，只需 ，故值域为 。"反解求值域"对分离常数型函数同样有效。 【易错提醒】分离常数时符号易写错： 的常数部分是 、余项是 ，若写成 会导致值域整体偏移。可用 验算 是否落在所得值域内。 【变式5-1】函数 （）的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】配方定轴，判断对称轴是否落在区间内，再比较顶点值与两端点值。 【解答过程】，对称轴 落在 内，开口向下，所以最大值 ；端点 ，，所以最小值 。 故值域为 。故选A。 【变式5-2】函数 的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】换元法：把根式整体设为 ，化为关于 的二次函数求最值。 【解答过程】令 ，则 ，。 所以 ，当 时最小值在 处取得，为 。 故值域为 。故选A。 【变式5-3】函数 （）的值域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先约分把函数化为 ，再用基本不等式求最小值。 【解答过程】因为 ，。 由基本不等式 ，等号当且仅当 时成立。 所以 ，值域为 。故选A。 【题型6 函数值的整体代换与抽象函数】 【例6】已知函数 对一切实数 ， 都满足 ，且 。 (1) 求 的值； (2) 求 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】赋值法：对 ， 赋特殊值（、 等），把隐含条件挖出来。 【解答过程】(1) 令 ，得 ，即 ，所以 。 (2) 令 ，得 。 【多解·巧解】观察结构猜出通式：多出的 项提示 中应含 ，可设 。代入验证：，恒成立。再由 得 ，于是 。 【易错提醒】赋值求 时不要漏掉移项：由 解得 ，而不是想当然地写" 任意"。另注意本题若误设 （一次函数）会与 项矛盾。 【变式6-1】已知函数 满足 ，且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】赋值法：先求 ，再用 建立联系。 【解答过程】令 ，得 ，所以 。 令 ，得 。 令 ，，得 ，即 ，所以 。 【变式6-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】整体代换：令括号内的式子等于 ，反解出 后直接代入右端，不必先求 。 【解答过程】令 ，得 ，代入右边得 。故选A。 【变式6-3】已知函数 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】分别令 与 ，得到关于 、 的方程组。 【解答过程】令 ，得 …①； 令 ，得 …②。 由①得 ，代入②得 ，即 ，解得 ，即 ，于是 。 所以 。故选B。 一、单选题 1．（★★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】根式限制与分母不为零取交集。 【解答过程】由 得 ；由 得 。 取交集得定义域为 。故选A。 2．（★★）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A．，　B．，　C．，　D．， 【答案】A 【解题思路】比定义域与对应关系。 【解答过程】A中两者定义域都是 ，对应关系都是"平方减 "，是同一函数； B中 的定义域为 ，不同； C中 与 的对应关系不同； D中 的定义域为 ，不同。故选A。 3．（★★）已知函数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由内到外逐层求值。 【解答过程】因为 ，所以 ；因为 ，所以 。故选A。 4．（★★）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】括号内的 要落在 内。 【解答过程】由 得 ，即 。故选A。 5．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】配凑法：把右边配成关于 的式子。 【解答过程】因为 ，所以 ，把 换成 得 。故选A。 6．（★★★）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求每一段的值域，再让两段值域的并集盖住全体实数，取交集得到参数范围。 【解答过程】当 时， 的取值范围为 ； 当 时，，取值范围为 。 要使并集为 ，需 ，即 。故选A。 7．（★★★）已知 （），则 （　　） A．　B．（）　C．　D．（） 【答案】B 【解题思路】先把右端配成关于 的式子，换元求解析式时还要把中间变量的取值范围写清楚。 【解答过程】因为 ， 所以令 （），得 。 又当 时 ，当 时 ，即 。 故 （）。故选B。 8．（★★★）已知函数 。若 的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先算 ，再要求左段在 上恒不小于 ，从而把 的范围定出。 【解答过程】。当 时 ，该段取值都大于 ，最小值由左段决定。 要求左段 对一切 成立，即 。当 时恒成立；当 时需 ，即 对一切 成立，只需 ，即 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列关于函数的说法中，正确的是（　　） A．函数的三要素是定义域、对应关系、值域　B．定义域与对应关系确定后，值域随之确定　C． 与 是同一函数　D．一个自变量可以同时对应两个函数值 【答案】AB 【解题思路】逐项对照函数的概念与三要素判断。 【解答过程】A、B均符合函数三要素与函数定义，正确； C中 的定义域为 ，与 不同，错误； D与"唯一确定"矛盾，一个自变量只能对应一个函数值，错误。故选AB。 10．（★★）已知函数 ，下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．若 ，则 　D． 的值域为 【答案】ABC 【解题思路】逐项按分段函数的求值与值域规则判断。 【解答过程】A中 ，，正确； B中 ，，正确； C中当 时 得 ，不满足 ，舍去；当 时 得 ，符合，故 ，正确； D中当 时 ；当 时 ，两段值域并为 ，而不是 ，错误。故选ABC。 11．（★★★）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．若 ，则 　C． 的值域为 　D． 【答案】ACD 【解题思路】逐项按分段函数的求值、求参与值域规则处理，求参数时要注意分段落段检验。 【解答过程】A：，，正确； B：当 时 得 ；当 时 得 ，故 或 ，B 漏解，错误；C：当 时 ；当 时 ，两段值域并为 ，正确；D：，，正确。故选ACD。 12．（★★★）已知 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．　C． 在 上的值域为 　D． 【答案】ABD 【解题思路】先用换元法求出 ，再逐项代入核对，求值域要配方后比较端点。 【解答过程】令 ，则 ，，故 B 正确； A：，正确；C： 在 上最小值 、端点 、，值域为 而非 ，错误；D：，，故 ，正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）已知函数 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】由内到外逐层判断落段。 【解答过程】因为 ，所以 ；因为 ，所以 。 14．（★★）函数 的定义域是____________。 【答案】 【解题思路】根式限制与分母不为零取交集。 【解答过程】由 得 ；由 得 。 取交集得定义域为 。 15．（★★★）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】"定义域为 "即被开方数 恒成立，先讨论 ，再按开口与判别式。 【解答过程】① 当 时， 恒成立，符合； ② 当 时，需开口向上 且 ，解得 。综上 。 16．（★★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】分段函数在 上递增的"三查"：左段递增、右段递增、衔接处满足不等式。 【解答过程】① 左段 递增，需 ，即 ； ② 右段 在 上递增，恒成立；③ 衔接处要求左段右端值不大于右段起点值，即 ，得 ，即 。取交集得 。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 若 ，求 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 由内到外逐层求值；(2) 分段列方程并检验落段。 【解答过程】(1) 因为 ，所以 ；因为 ，所以 。 (2) ① 当 时，，得 ，不满足 ，舍去； ② 当 时，，得 或 ，其中 不满足 ，舍去，得 。 综上 。 【多解·巧解】先用"各段值域"筛掉无解的一段：左段 在 上取值全部小于 ，不可能等于 ，故左段直接无解，只需解右段 。先看值域、再解方程能少算一半。 【易错提醒】(2) 中左段解得 后必须检验： 不满足 ，应舍去；忘记检验会多留一个解。右段解出 时，也只有 落在 内。 18．（★★）求下列函数的定义域： (1) ； (2) 已知 的定义域为 ，求 的定义域。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 根式与分母限制取交集；(2) 括号内的整体落在 的定义域内。 【解答过程】(1) 由 得 ；由 得 。取交集得定义域为 。 (2) 由 得 ，即 ，故定义域为 。 【多解·巧解】(2) 这类抽象函数定义域题的通用做法是"两步走"：第一步把已知定义域翻译成"括号内整体的取值范围"，第二步令新括号的式子落在这个范围内解不等式。 【易错提醒】(1) 中不要漏掉分母条件——只写 会误把 收进来；(2) 中容易把" 的定义域"与" 的定义域"混淆，误答 。 19．（★★）已知函数 满足 。 (1) 求 ； (2) 求 的解析式。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 令 ；(2) 用 换 构造方程组消元。 【解答过程】(1) 令 ，得 ，即 ，所以 。 (2) 已知 …①，把 换成 得 …②。 ① 得 ，减去②得 ，所以 。 【多解·巧解】(2) 也可用待定系数法：右端是二次式，设 ，则 ，比较系数得 ，，，即 。 【易错提醒】用 代换时必须把原式中的每一个 都换成 （本题右端 要变成 ），漏换成只换 里的 会使方程组失效。 20．（★★★）已知 是二次函数，且 ，对任意实数 都有 。 (1) 求 的解析式； (2) 求 在 上的值域。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 设 ，用恒等式比较系数；(2) 配方后比较顶点值与端点值。 【解答过程】(1) 设 （），由 得 。 又 ， 由 对一切实数 成立，得 ，，解得 ，，故 。 (2) ，对称轴 落在 内， 故最小值 ；端点值 ，，最大值为 。 所以值域为 。 【多解·巧解】(1) 设解析式时可先由条件读出二次项系数为 ，直接设 ，代入更快。先定二次项系数，再设解析式能少一个未知量。 【易错提醒】(1) 中比较系数时要写全 的展开式，漏掉 里的常数项 会得到错误的 ；(2) 中不要因为 就以为最小值是 ，最小值在顶点 处取到。 21．（★★★）已知函数 对任意实数 都满足 。 (1) 求 的值； (2) 求 的解析式，并求 在 上的值域。 【答案】(1) ； (2) ，值域为 。 【解题思路】把 换成 再造一个方程，两式联立消去 ，先求 再求区间值域。 【解答过程】(1) 令 ，得 ，即 ，所以 。 (2) 已知 …①， 把 换成 ，得 …②。 把②式乘 后减去①式，得 ，即 。 又 ， 其对称轴 在区间 的右侧，故 在 上单调递减， 最大值 ，最小值 ，值域为 。 【多解·巧解】'换元造方程、联立消元'是这类对称式的通用套路：把 换成 后与原式组合，就能消去 。本题把②式乘 再减去①式最省事，也可直接解二元一次方程组。 【易错提醒】(2) 把 换成 时，式子中的每一个 都要换成 ，右端 要变成 ；只换 里的 会使方程组失效。求值域时先判单调方向，再按"递减则大值配小自变量"代端点。 22．（★★★）求函数 的值域。 【答案】 【解题思路】换元：令 （），把函数化为关于 的二次函数，再在 上求最值。 【解答过程】由 得定义域为 。令 ，则 且 。 于是 。 因为 落在 内，所以 的最大值为 ； 当 充分大时 可任意小，故值域为 。 【多解·巧解】换元后要把新元的范围写出来，再在 上求二次函数的最值：顶点 落在区间内，最大值在顶点处取到， 增大时函数无下界。 【易错提醒】换元后不要漏写 ；本题最大值恰好在 处取到，若把 当成全体实数，就会误判最值能否取到。值域写成 ，上限可取、无下限。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； (2) 记 为 在 上的最小值，求 的解析式； (3) 若 在 上的最小值为 ，求实数 的值。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】配方得对称轴 ；(2) 按对称轴与区间 的位置关系分 、、 三类讨论最小值。 【解答过程】(1) ，其单调递增区间为 。 要使 在 上递增，需 ，即 。 (2) 按对称轴 与区间 的位置分三类： ① 当 时， 在 上递增，最小值 ； ② 当 时，最小值在顶点处取到，； ③ 当 时， 在 上递减，最小值 。 (3) 若最小值为 ：由①得 ，无解； 由②得 ，解得 或 ，其中只有 满足 ； 由③得 ，解得 ，不满足 。 综上 。 【多解·巧解】含参二次函数在给定区间上的最值，关键是比较对称轴与区间的位置：轴在区间左侧、内部、右侧各对应一种取法。先配方写出对称轴 ，再画示意图分类，可避免漏情况。 【易错提醒】分类时注意端点的取舍：②的 与③的 在 处不能重复，可用 与 在两个区间端点处相等来检验衔接。第(3)问解出参数后必须回到所在区间检验，由③解得的 就因不满足 被舍去。 24．（★★★）已知函数 。 (1) 求 在 上的值域； (2) 记 为 在区间 上的最小值，求 的解析式； (3) 若 ，求实数 的值。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 或 。 【解题思路】配方得对称轴 ；(2) 按区间 与对称轴的位置关系分三类讨论最小值，得到关于 的分段函数。 【解答过程】(1) ，对称轴 落在 内， 故最小值 ；端点值 ，，最大值为 ，值域为 。 (2) 按区间 与对称轴 的位置分三类： ① 当 ，即 时， 在区间上递减，最小值 ； ② 当 时，对称轴落在区间内，最小值 ； ③ 当 时， 在区间上递增，最小值 。 (3) 若 ：由①得 ，解得 或 ，其中只有 满足 ； 由②得 ，无解； 由③得 ，即 ，解得 或 ，其中只有 满足 。 综上 或 。 【多解·巧解】动区间上的最值同样先定对称轴、再看区间位置：区间整体在轴的左侧、区间含轴、区间整体在轴的右侧各是一种取法。把 写成关于 的分段函数后，再分段解方程，最后逐个检验解是否落在对应区间内。 【易错提醒】第(2)问的分段边界容易分错：区间 含对称轴 的条件是 ，而不是 ；第(3)问由各段解出的根也要回代检验，本题 与 就分别被前后两段的条件排除。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $