第24讲 平面向量的概念及线性运算 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第24讲 平面向量的概念及线性运算 第24讲 平面向量的概念及线性运算 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．准确理解向量的概念与模、零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量的含义，能识别概念陷阱； 2．熟练掌握向量的加、减、数乘运算及运算律，能快速化简线性组合式； 3．掌握共线向量定理，会用"系数成比例"求参数、判定三点共线； 4．会用一组基底表示平面内任一向量，掌握中点公式、重心向量式与等和线判据。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 向量的概念辨析 选择题 第1~3题 易 举反例逐个排除，零向量与单位向量是头号陷阱 向量的线性运算与化简 选择题、填空题 第2~4题、第13题 中 先合并同类向量系数，再用三角形法则收尾 共线向量定理与基底表示 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 设 比较系数，注意 等和线与三点共线 多选题、填空题 第11题、第14题 难 判共线，与 比大小定位置 几何图形中的向量分解 解答题 第17~19题 中偏难 取特殊坐标或设参数 ，用两直线交点联立求系数 命题规律分析 平面向量的概念与线性运算是向量章节的地基，培优层不能只停留在"会加减"。新高考中本专题的落点通常在单选第3~8题、多选第11题、填空第13~14题：概念辨析属必得分；共线定理求参数、用基底表示向量、三点共线的系数判据常压在第8题与第14题档。真正的分水岭是等和线判据——由 中 与 的大小关系直接定位点 相对直线 的位置，它能把"交点类"选择题从三分钟压到三十秒。本讲同时给出"取特殊坐标"这一通用武器：凡是只涉及比例、不涉及具体度量的向量题，都可以把三角形放成直角等腰三角形来算，既快又不易错。 考点1 向量的概念与线性运算 知识点1 向量的概念与特殊向量 向量是既有大小又有方向的量；大小叫模，记作 。模为 的向量叫单位向量，模为 的向量叫零向量，记作 。 方向相同或相反的非零向量叫平行（共线）向量，记作 ；大小相等且方向相同的向量叫相等向量；非零向量 同向的单位向量是 。 【易错清单】 1．零向量的方向是任意的，且 与任意向量平行，"平行"的传递性在 时失效； 2．单位向量只是模等于 ，方向可以各不相同，"单位向量都相等"是错的； 3． 不能推出 ，还要方向相同。 知识点2 向量的线性运算 加减法用三角形法则（首尾相接求和、共起点求差）或平行四边形法则；数乘 的模为 ， 同向、 反向、 得 。 运算律：，，；常用化简式 ，。 【易错清单】 1．去括号时 ，负号要分配给每一项； 2．， 为负时绝对值不能丢； 3． 而不是数 ，两者书写不能混。 考点2 共线向量定理与基底表示 知识点3 共线向量定理 与非零向量 共线 存在唯一实数 使 ； 同向， 反向。 若 、 且 、 不共线，则 （系数成比例）。 【易错清单】 1．定理的前提是 ；若 ， 不唯一； 2．"共线"包含同向与反向两种情形，列比例时别默认 ； 3．判定 、、 三点共线，只需证 ，且两向量有公共点。 知识点4 平面向量基本定理与等和线 若 、 不共线，则平面内任一向量 都可唯一表示为 ， 叫一组基底。 常用结论： 为 中点 ； 为 的重心 ；等和线： 时， 在直线 上 。 【易错清单】 1．基底必须不共线，共线的两个向量不能作基底； 2．表示唯一是列方程的依据：已知两种表示，直接比较系数即可； 3． 只说明 在直线 上，要落在线段 上还需 且 。 【题型1 向量概念的辨析与陷阱】 【例1】下列关于向量的命题中，正确的是（　　） A．若 ，则 　B．若 ，，则 　C．单位向量都相等　D．对任意非零向量 ， 是与 同向的单位向量 【变式1-1】下列关于零向量的说法中，错误的是（　　） A．零向量的模为 　B．零向量与任意向量共线　C．零向量的方向是任意的　D．零向量没有方向 【变式1-2】已知 、 是两个单位向量，则下列结论一定正确的是（　　） A．　B． 是单位向量　C．　D． 【变式1-3】设 、 是两个非零向量，则""是" 且 "的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【题型2 向量的线性运算与化简】 【例2】化简 的结果是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】化简 的结果是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】化简 的结果是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知 ，，，则下列三点共线的是（　　） A．、、　B．、、　C．、、　D．、、 【题型3 用基底表示向量】 【例3】在 中， 为 边上一点且 ， 为 的中点。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】在平行四边形 中， 为 的中点。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】在 中， 为 的中点， 为 上一点且 。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知 、 是不共线的向量，，，。若 且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 共线向量定理与三点共线】 【例4】已知 、 不共线，，。若 与 共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】已知 、 不共线，，，。若 、、 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知 、 不共线，，。若 、、 三点共线，则（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】设 、 不共线，，，则（　　） A． 与 共线且同向　B． 与 共线且反向　C． 与 不共线　D．无法判断 【题型5 向量线性运算中的求值与定值】 【例5】已知 为 所在平面内一点，且 。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】在 中， 为 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知点 在 的边 所在的直线上，且 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知 为 的重心，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 几何图形中的向量分解与交点问题】 【例6】在平行四边形 中，、 分别是 、 的中点， 与 交于点 。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】在 中， 在 上且 ， 在 上且 ， 与 交于点 。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】在 中， 为重心，过 的直线分别交 、 于 、。若 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】在平行四边形 中， 为 的中点，设 ，，试用 、 表示 。 一、单选题 1．（★★）化简 的结果是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）设 、、 分别是 的边 、、 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知 、 不共线，，。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）在 中，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知 、 不共线，，，。若 、、 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知 、 是不共线的向量，，，（）。若 、、 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知 是 内部一点，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）在 中， 为边 的中点，点 满足 ，直线 与边 交于点 。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列命题中正确的有（　　） A． 是 的必要不充分条件　B．若非零向量 与 共线，则 与 方向相同或相反　C．若 ，则 、、、 四点构成平行四边形　D．对任意向量 、，都有 10．（★★）在 中， 为 的中点，则下列等式一定成立的有（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★★）已知 、 是不共线的向量，，，则下列说法正确的有（　　） A． 与 不共线　B． 可以用 、 表示为 　C．　D．若 与 共线，则 12．（★★★）设 是 所在平面内一点，且 （、），则下列说法正确的有（　　） A．若 ，则点 在直线 上　B．若点 为 的重心，则 　C．若 、，则 　D．若 ，则点 在直线 上 三、填空题 13．（★★）化简： ______。 14．（★★）已知 、 不共线，，，，则图中共线的三点是 ______（填如"、、"）。 15．（★★★）已知 、 是不共线的向量，，，。若 、、 三点共线，则实数 ____________。 16．（★★★）已知 为 的重心，过 的直线与直线 、 分别交于点 、（均不与 重合）。若 ，（，），且 ，则 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知向量 、 不共线。 (1) 若 ，，，判断 、、 三点是否共线，并说明理由； (2) 若 ，，判断 、、 三点是否共线。 18．（★★）在 中， 为 边的中点， 为 上一点且 。 (1) 用 、 表示 ； (2) 若 ，求 、 以及 的值。 19．（★★）设 、 是两个不共线的非零向量，，，。 (1) 若 、、 三点共线，求实数 的值； (2) 在 (1) 的条件下，求 与 的关系。 20．（★★★）在 中， 为边 的中点，点 在边 上且 ， 与 交于点 。 (1) 用 、 表示 与 ； (2) 若 ，求 的值。 21．（★★★）在平行四边形 中，点 满足 ，对角线 与 交于点 。 (1) 用 、 表示 与 ； (2) 若 ，求 、 的值。 22．（★★★）已知 、 是不共线的向量，，。 (1) 若 ，将 用 、 表示； (2) 若 与 共线，求实数 的值。 23．（★★★）已知 、 是不共线的向量，，，（）。 (1) 若 、、 三点共线，求 的值； (2) 若 、、 三点不共线（即能构成三角形），求 的取值范围； (3) 若 为 的重心，求 的值。 24．（★★★）设 是 所在平面内一点，记 （、）。 (1) 若 ，证明 、、 三点共线； (2) 若 在 内部（含边界），求 的取值范围； (3) 若 、，求 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第24讲 平面向量的概念及线性运算 第24讲 平面向量的概念及线性运算 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．准确理解向量的概念与模、零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量的含义，能识别概念陷阱； 2．熟练掌握向量的加、减、数乘运算及运算律，能快速化简线性组合式； 3．掌握共线向量定理，会用"系数成比例"求参数、判定三点共线； 4．会用一组基底表示平面内任一向量，掌握中点公式、重心向量式与等和线判据。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 向量的概念辨析 选择题 第1~3题 易 举反例逐个排除，零向量与单位向量是头号陷阱 向量的线性运算与化简 选择题、填空题 第2~4题、第13题 中 先合并同类向量系数，再用三角形法则收尾 共线向量定理与基底表示 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 设 比较系数，注意 等和线与三点共线 多选题、填空题 第11题、第14题 难 判共线，与 比大小定位置 几何图形中的向量分解 解答题 第17~19题 中偏难 取特殊坐标或设参数 ，用两直线交点联立求系数 命题规律分析 平面向量的概念与线性运算是向量章节的地基，培优层不能只停留在"会加减"。新高考中本专题的落点通常在单选第3~8题、多选第11题、填空第13~14题：概念辨析属必得分；共线定理求参数、用基底表示向量、三点共线的系数判据常压在第8题与第14题档。真正的分水岭是等和线判据——由 中 与 的大小关系直接定位点 相对直线 的位置，它能把"交点类"选择题从三分钟压到三十秒。本讲同时给出"取特殊坐标"这一通用武器：凡是只涉及比例、不涉及具体度量的向量题，都可以把三角形放成直角等腰三角形来算，既快又不易错。 考点1 向量的概念与线性运算 知识点1 向量的概念与特殊向量 向量是既有大小又有方向的量；大小叫模，记作 。模为 的向量叫单位向量，模为 的向量叫零向量，记作 。 方向相同或相反的非零向量叫平行（共线）向量，记作 ；大小相等且方向相同的向量叫相等向量；非零向量 同向的单位向量是 。 【易错清单】 1．零向量的方向是任意的，且 与任意向量平行，"平行"的传递性在 时失效； 2．单位向量只是模等于 ，方向可以各不相同，"单位向量都相等"是错的； 3． 不能推出 ，还要方向相同。 知识点2 向量的线性运算 加减法用三角形法则（首尾相接求和、共起点求差）或平行四边形法则；数乘 的模为 ， 同向、 反向、 得 。 运算律：，，；常用化简式 ，。 【易错清单】 1．去括号时 ，负号要分配给每一项； 2．， 为负时绝对值不能丢； 3． 而不是数 ，两者书写不能混。 考点2 共线向量定理与基底表示 知识点3 共线向量定理 与非零向量 共线 存在唯一实数 使 ； 同向， 反向。 若 、 且 、 不共线，则 （系数成比例）。 【易错清单】 1．定理的前提是 ；若 ， 不唯一； 2．"共线"包含同向与反向两种情形，列比例时别默认 ； 3．判定 、、 三点共线，只需证 ，且两向量有公共点。 知识点4 平面向量基本定理与等和线 若 、 不共线，则平面内任一向量 都可唯一表示为 ， 叫一组基底。 常用结论： 为 中点 ； 为 的重心 ；等和线： 时， 在直线 上 。 【易错清单】 1．基底必须不共线，共线的两个向量不能作基底； 2．表示唯一是列方程的依据：已知两种表示，直接比较系数即可； 3． 只说明 在直线 上，要落在线段 上还需 且 。 【题型1 向量概念的辨析与陷阱】 【例1】下列关于向量的命题中，正确的是（　　） A．若 ，则 　B．若 ，，则 　C．单位向量都相等　D．对任意非零向量 ， 是与 同向的单位向量 【答案】D 【解题思路】逐个举反例：A 举相反向量，B 取 ，C 举两个不同方向的单位向量。 【解答过程】A：取 （），模相等但方向相反，，故A错； B：取 ，则 、 恒成立，但 与 未必平行，故B错； C：单位向量只要求模为 ，方向可以任意，例如 与 都是单位向量但不相等，故C错； D：，系数 ，故与原向量同向，且模为 ，是单位向量，D对。 故选D。 【多解·巧解】概念辨析题最快的做法不是逐项论证，而是优先构造反例：B 只需取 一击即破，C 只需想到"方向不同"就排除，剩下 D 再验证一次即可。反过来，遇到"，"这类传递性表述，第一反应就应当是检查中间向量 是否可能为零向量——这是命题人最爱埋的雷。 【易错提醒】B 项在 时其实成立，题干没有给出这个条件就不能默认。凡涉及向量平行传递性、向量除法 ，都要先确认分母向量不是零向量。 【变式1-1】下列关于零向量的说法中，错误的是（　　） A．零向量的模为 　B．零向量与任意向量共线　C．零向量的方向是任意的　D．零向量没有方向 【答案】D 【解题思路】零向量模为 ，方向规定为任意的，与任意向量平行。 【解答过程】A：，正确；B：规定 与任意向量平行（共线），正确； C：零向量的方向是任意的，这是教材的规定，正确； D：规定零向量方向任意，而不是"没有方向"，说法错误。 故选D。 【变式1-2】已知 、 是两个单位向量，则下列结论一定正确的是（　　） A．　B． 是单位向量　C．　D． 【答案】C 【解题思路】单位向量的定义只约束模，不约束方向。 【解答过程】单位向量的模都等于 ，故 ，C一定正确； A：两个单位向量方向可以不同，不一定相等； B：若 与 同向，则 ，不是单位向量； D：两个单位向量可以垂直，不一定平行。 故选C。 【变式1-3】设 、 是两个非零向量，则""是" 且 "的（　　） A．充分不必要条件　B．必要不充分条件　C．充要条件　D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】相等 模等且平行；反过来模等且平行还得不出同向。 【解答过程】充分性：若 ，则 显然成立；相等向量方向相同，故 ，充分性成立。 必要性：若 且 ，则 或 ，取 即得反例，必要性不成立。 故为充分不必要条件。选A。 【题型2 向量的线性运算与化简】 【例2】化简 的结果是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】不必逐层展开，直接分别合并 、 的系数即可。 【解答过程】逐层展开： ； ； 。 故选B。 【多解·巧解】更快的做法是只算系数： 的系数为 ， 的系数为 ，答案直接是 。凡是"若干个向量的线性组合再乘系数"的化简题，分离系数法都比逐层去括号快，且不容易在负号上翻车。 【易错提醒】最容易错的一步是 ，负号要分配到括号内每一项，写成 就全盘皆输。建议先把减号看成"加上一个负系数向量"，再一次性合并系数。 【变式2-1】化简 的结果是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先把能首尾相接的凑在一起：，再与 抵消。 【解答过程】原式 。 故选C。 【变式2-2】化简 的结果是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分离系数： 的系数为 ， 的系数为 。 【解答过程】原式 。 故选A。 【变式2-3】已知 ，，，则下列三点共线的是（　　） A．、、　B．、、　C．、、　D．、、 【答案】C 【解题思路】算 ，若与 成比例即得共线。 【解答过程】。 于是 ，即 与 共线，又两向量有公共点 ，故 、、 三点共线。 故选C。 【题型3 用基底表示向量】 【例3】在 中， 为 边上一点且 ， 为 的中点。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】以 为起点，用 与中点关系逐步代入。 【解答过程】记 ，。 由 得 ，故 。 为 的中点，故 ， 。 所以 ，，。故选B。 【多解·巧解】这类"比例恒定"的题最稳的巧解是取特殊坐标：令 、、，则 、，于是 ；又 、，由 得 、，即 、。只要题目只涉及线段比例、不涉及角度和长度度量，把图形放成直角等腰形都不会改变答案。 【易错提醒】 意味着 ， 靠近 ，所以 而不是 。凡是"分点比例"，务必先确认谁是较近的端点，再决定系数是 。 【变式3-1】在平行四边形 中， 为 的中点。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】沿 走：，而 。 【解答过程】在平行四边形中 ， 为 的中点，故 。 。 所以 ，，。故选C。 【变式3-2】在 中， 为 的中点， 为 上一点且 。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 说明 ，再沿 累加。 【解答过程】记 ，，则 ，。 。 故 ，。故选A。 【变式3-3】已知 、 是不共线的向量，，，。若 且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 右端合并，利用表示唯一性比较 、 的系数。 【解答过程】。 由表示唯一性得 ，。 把 代入第一式得 ，再代入第二式得 。 故选B。 【题型4 共线向量定理与三点共线】 【例4】已知 、 不共线，，。若 与 共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】设 ，比较 、 的系数；或直接用交叉相乘 。 【解答过程】法一：设 ，即 。 由 、 不共线得 ，。 法二：两向量关于基 、 的系数分别为 与 ，共线的充要条件是 ，即 。 故选C。 【多解·巧解】把"共线"翻译成"两个系数组成的二元组成比例"，本质是把向量问题变成实数问题： 与 成比例，交叉相乘相减为零，一步出结果。这个判据与后面坐标表示中的 是完全同一件事，提前在基底层面掌握，到坐标运算时会发现根本不用重新记公式。 【易错提醒】共线包含同向与反向，本题恰好得到 （同向），若交叉相乘算出的比例系数为负数，同样算共线，不能因为"方向相反"就把答案舍掉。 【变式4-1】已知 、 不共线，，，。若 、、 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再令它与 系数成比例。 【解答过程】。 由 、、 共线，设 ，即 。 比较系数： 得 ；。 故选A。 【变式4-2】已知 、 不共线，，。若 、、 三点共线，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】三点共线且含公共点 ，故 ，系数成比例。 【解答过程】由 、、 共线，设 ，即 。 比较系数得 ，，消去 得 。 故选C。 【变式4-3】设 、 不共线，，，则（　　） A． 与 共线且同向　B． 与 共线且反向　C． 与 不共线　D．无法判断 【答案】B 【解题思路】观察是否存在常数 使 ，注意 的符号决定同向还是反向。 【解答过程】因为 ，所以 。 又 ，故 与 共线且方向相反。 故选B。 【题型5 向量线性运算中的求值与定值】 【例5】已知 为 所在平面内一点，且 。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】把 、 都拆成以 为起点的向量，再用条件合并。 【解答过程】，， 故 。 由条件 ，代入得 。 所以 。故选C。 【多解·巧解】条件 等价于" 是 的重心"，由此可直接取特例：令 、、，则重心 。 ，，由 得 。 凡是"结论与三角形形状无关"的题，特殊值法永远是最快的第二条路。 【易错提醒】（减起点），不要写成 ，否则会得到 这类符号错误。拆向量时记住口诀：终点向量减起点向量。 【变式5-1】在 中， 为 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】中线向量公式：。 【解答过程】因为 为 的中点，， ，且 。 两式相加得 。 故选A。 【变式5-2】已知点 在 的边 所在的直线上，且 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】等和线判据：点在直线 上，等价于两系数之和为 。 【解答过程】由 、、 三点共线，存在实数 使 。 。 故 ，，。 故选A。 【变式5-3】已知 为 的重心，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】重心在中线上且 ，再用中线公式。 【解答过程】设 为 的中点，则 。 重心 满足 。 故 ，。故选B。 【题型6 几何图形中的向量分解与交点问题】 【例6】在平行四边形 中，、 分别是 、 的中点， 与 交于点 。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用 为基点表示两条直线上的点，联立比较 、 的系数。 【解答过程】记 ，，则 、、 的位置向量分别为 、、。 为 中点，； 为 中点，。 设 在 上：； 设 在 上：。 比较系数：，，得 ，代入第一式 ，解得 ，。 故 ，，。故选B。 【多解·巧解】这类"两直线交点"题用坐标法最省力：取 、、，则 、、。 直线 ：；直线 ：过 、，斜率 ，方程 。 联立 得 ，，即 。 于是 、，得 、。 把平行四边形放成正方形、把三角形放成直角等腰三角形，是处理一切"纯比例"向量题的通用技巧。 【易错提醒】 是 的中点， 的方向与 相反，因此 ，；把 前的符号写反是最常见的失误。 【变式6-1】在 中， 在 上且 ， 在 上且 ， 与 交于点 。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】分别在直线 、 上参数化点 ，联立求系数。 【解答过程】记 ，，则 ，。 在 上：； 在 上：。 比较系数：，。 由第一式 ，代入第二式：，即 ，解得 。 故 ，，。故选C。 【变式6-2】在 中， 为重心，过 的直线分别交 、 于 、。若 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】把重心 写成 、 的凸组合，用重心的固定表示 比较系数。 【解答过程】以 为基点，。 因为 、、 共线，存在实数 使 。 代入 、 得 。 比较系数：，，即 ，。 两式相加得 ，故 。故选C。 【变式6-3】在平行四边形 中， 为 的中点，设 ，，试用 、 表示 。 【答案】 【解题思路】把 、 都化成 、 的线性组合，再解二元一次方程组。 【解答过程】记 ，，则 。 为 的中点，故 ； 。 两式相加：，得 ； 故 。 所以 。 一、单选题 1．（★★）化简 的结果是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】首尾相接求和，再共起点求差。 【解答过程】，故原式 。故选B。 2．（★★）设 、、 分别是 的边 、、 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把每个向量拆成"终点位置减起点位置"，三个中点位置之和恰等于三个顶点位置之和。 【解答过程】。 又 。 故原式 。故选A。 3．（★★）已知 、 不共线，，。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】系数成比例：。 【解答过程】由 得系数行列式为零：，即 ，故 。 此时 ，确实共线。故选A。 4．（★★）在 中，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】沿 走，。 【解答过程】 。 故选A。 5．（★★）已知 、 不共线，，，。若 、、 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先算 ，再令系数成比例。 【解答过程】。 由 、、 共线，设 ，比较系数得 ，。 故选A。 6．（★★★）已知 、 是不共线的向量，，，（）。若 、、 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】三点共线等价于 与 的系数成比例（交叉相乘为零）。 【解答过程】，。由 、、 三点共线得 ，即 ，解得 ，即 。故选B。 7．（★★★）已知 是 内部一点，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 写成 、、 的凸组合后，顶点 的系数就等于 。 【解答过程】令 为平面上任一点，由条件得。对平面内一点 ，若 且 ，则 与 以 为公共底，面积之比等于 、 到直线 的距离之比，恰为 ，即 。此处 ，故 。故选A。 8．（★★★）在 中， 为边 的中点，点 满足 ，直线 与边 交于点 。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把点 在直线 上参数化，令 的系数为零，即可定位 落在 上。 【解答过程】记 ，。由 为 中点得 ，故 。设 在直线 上，，则 。因 在边 上， 的系数为 ，故 ，解得 。于是 ，所以 。故选B。 二、多选题 9．（★★）下列命题中正确的有（　　） A． 是 的必要不充分条件　B．若非零向量 与 共线，则 与 方向相同或相反　C．若 ，则 、、、 四点构成平行四边形　D．对任意向量 、，都有 【答案】ABD 【解题思路】A 看充分必要性，B 用共线定义，C 注意平行四边形应满足 ，D 是三角不等式。 【解答过程】A：，反之不成立，故为必要不充分条件，A对； B：非零向量共线即方向相同或相反，B对； C：构成平行四边形需 ，由 得不出该结论，C错； D：由向量加法的三角形法则，两边之和不小于第三边，D对。 故选ABD。 10．（★★）在 中， 为 的中点，则下列等式一定成立的有（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABCD 【解题思路】A 与 C 是同一公式的两种写法，B 由中点定义，D 是共起点求差。 【解答过程】A、C：由中线公式 ，两者都对； B： 是 的中点， 与 方向相同、长度相等，故相等，B对； D：（共起点求差，指向被减向量的终点），D对。 故选ABCD。 11．（★★★）已知 、 是不共线的向量，，，则下列说法正确的有（　　） A． 与 不共线　B． 可以用 、 表示为 　C．　D．若 与 共线，则 【答案】ABD 【解题思路】以 、 为基底，把各向量坐标化后逐一判断；共线用交叉相乘为零。 【解答过程】A中 、 的系数行列式 ，两者不共线，正确； B中设 ，比较系数得 、，解得 、，正确； C中设 ，比较系数得 、，解得 、，即 ，选项中两个系数正好写反，错误； D中 ，，由共线得 ，即 ，解得 ，正确。 故选ABD。 12．（★★★）设 是 所在平面内一点，且 （、），则下列说法正确的有（　　） A．若 ，则点 在直线 上　B．若点 为 的重心，则 　C．若 、，则 　D．若 ，则点 在直线 上 【答案】ABC 【解题思路】A、D 用等和线判据判断点所在直线；B 用重心的位置向量；C 用顶点 的系数与面积比的关系。 【解答过程】A中由 且 得 ，故 在直线 上，正确； B中重心满足 ，故 ，正确； C中顶点 的系数为 ，由面积比关系得 ，正确； D中 对应的是与 平行、位于 与 之间的那条等和线，并非直线 本身，错误。 故选ABC。 三、填空题 13．（★★）化简： ______。 【答案】 【解题思路】分离系数后合并同类向量。 【解答过程】原式 。 14．（★★）已知 、 不共线，，，，则图中共线的三点是 ______（填如"、、"）。 【答案】、、 【解题思路】算出 ，再看它与 是否成比例。 【解答过程】。 又 ， 故 与 共线，两向量有公共点 ，所以 、、 三点共线。 15．（★★★）已知 、 是不共线的向量，，，。若 、、 三点共线，则实数 ____________。 【答案】 【解题思路】把 、 都写成 、 的组合，再用系数成比例（交叉相乘为零）列方程。 【解答过程】，。由 、、 三点共线得 ，即 ，解得 ，即 。 16．（★★★）已知 为 的重心，过 的直线与直线 、 分别交于点 、（均不与 重合）。若 ，（，），且 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】由重心与 、、 共线得 ，再与 联立求 。 【解答过程】由 为重心得 。因 、、 共线，存在实数 使 。比较系数得 ，，两式分别取倒数后相加得 。又 ，故 。 四、解答题 17．（★★）已知向量 、 不共线。 (1) 若 ，，，判断 、、 三点是否共线，并说明理由； (2) 若 ，，判断 、、 三点是否共线。 【答案】(1) 不共线； (2) 共线。 【解题思路】把待判的两个向量都化成 、 的线性组合，再看系数是否成比例。 【解答过程】(1) 。 与 的系数分别为 与 ，，故不共线，、、 三点不共线。 (2) ， 故 ，又两向量有公共点 ，所以 、、 三点共线。 【多解·巧解】判定三点共线可以先看能否凑出倍数关系：(2) 中 的系数恰是 的 倍，一眼可判；(1) 中凑不出倍数，再用交叉相乘 严格判断。养成"先观察倍数、再算行列式"的习惯，能省掉一半的计算量。 【易错提醒】三点共线必须强调"两个向量有公共点"：仅由 不能推出四点共线，必须像本题一样让两个共线向量共用一个端点。 18．（★★）在 中， 为 边的中点， 为 上一点且 。 (1) 用 、 表示 ； (2) 若 ，求 、 以及 的值。 【答案】(1) ； (2) ，，。 【解题思路】先用中线公式表示 ，再由 得 。 【解答过程】(1) 为 中点，。 由 得 。 。 (2) 。 故 ，，。 【多解·巧解】(2) 还可以直接用等和线结论秒算：点 在线段 上， 在直线 上，由 且 的两系数之和为 ，可知 的两系数之和为 ；而 ，把 写作 本身，系数之和同样是 与 的结构，故 直接等于 。 【易错提醒】（减起点），写成 会得到相反向量。另外 时 ，分子是靠近 的那一段，别写成 。 19．（★★）设 、 是两个不共线的非零向量，，，。 (1) 若 、、 三点共线，求实数 的值； (2) 在 (1) 的条件下，求 与 的关系。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用系数和： 关于 、 的系数之和为 ，故 在直线 上；再设凸组合求 。 【解答过程】(1) 由 、、 共线，存在实数 使 ， 即 。 由 、 不共线，比较系数得 ，。 故 ，。 (2) ； 。 于是 ，即 。 【多解·巧解】(1) 中 的系数之和为 ，而 、 的系数分别为 与 ，所以问题等价于"把 表示成 与 的凸组合"，即要求组合系数之和为 ，直接得 ，无需解方程组。 【易错提醒】由 比较系数时， 中的 必须跟着 一起乘，写成 而不是 ，这是本题最容易算错的地方。 20．（★★★）在 中， 为边 的中点，点 在边 上且 ， 与 交于点 。 (1) 用 、 表示 与 ； (2) 若 ，求 的值。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】(1) 用中线公式加三等分点表示两向量；(2) 把交点 分别在直线 与直线 上参数化，比较系数。 【解答过程】(1) 为 中点，。 由 得 ，故 。(2) 记 ，。 因 在 上，设 ；又 在 上，设 ，则 。比较系数得 ，。由 得 ，即 ，于是 ，故 。 【多解·巧解】(2) 的核心手法是"同一向量在两组基底表达式下系数相等"：把 既用 （含 ）表示，又用 （含 ）表示，令两组系数对应相等即得方程组。求两线交点在线性运算框架下的通法：交点分别在两条线上各参数化一次，系数相等定位置。 【易错提醒】（减起点），不要写成 ；另外 对应 ，分子是靠近 的那一段，别写成 。 21．（★★★）在平行四边形 中，点 满足 ，对角线 与 交于点 。 (1) 用 、 表示 与 ； (2) 若 ，求 、 的值。 【答案】(1) ，； (2) ，。 【解题思路】(1) 用平行四边形对边相等把 换成 ；(2) 分别在直线 、 上参数化交点 ，比较系数。 【解答过程】(1) 由 得 ， 故 ；。(2) 记 ，。 因 在 上，设 ；又 在 上，设 ，则 。比较系数得 ，，代入得 ，解得 ，故 ，。 【多解·巧解】可用正方形坐标法检验：取 、、、，则 。直线 的方程为 ，直线 的方程为 。联立解得 、，即 ，与向量法完全一致。坐标法把每一步化为数值，便于自查。 【易错提醒】（从 到 是"终点 减起点 "），不要写成 ；另外 得 ， 前的系数是 而不是 。 22．（★★★）已知 、 是不共线的向量，，。 (1) 若 ，将 用 、 表示； (2) 若 与 共线，求实数 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 设 比较系数；(2) 由平面向量基本定理把 、 当基底，用交叉相乘为零。 【解答过程】(1) 设 。 比较系数得 ，，解得 ，，故 。 (2) ，。由两向量共线得 ，即 ，解得 。 【多解·巧解】(2) 中先化简 ，把"共线"问题化归为 与 的关系：二者共线要求 的 分量为零。先观察特殊向量的化简，常能大幅缩短计算。 【易错提醒】(1) 中比较系数时须对 、 各列一个方程，不能漏；(2) 中用 、 作基底的前提是它们不共线（），这一前提不可省略。 23．（★★★）已知 、 是不共线的向量，，，（）。 (1) 若 、、 三点共线，求 的值； (2) 若 、、 三点不共线（即能构成三角形），求 的取值范围； (3) 若 为 的重心，求 的值。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1)(2) 用 、 的系数行列式讨论三点共线与否；(3) 用重心条件 。 【解答过程】(1) ，。 由三点共线得 ，即 ，解得 ，故 。(2) 、、 能构成三角形等价于三点不共线，即 。 (3) 为重心时 ，即 。因 ，故 ，即 。 【多解·巧解】(3) 中把"重心"翻译为 ：由于 、 线性无关，该向量等于零要求两个分量分别为零，本题 的分量恰好为 ，只需再令 的分量为零。把"重心"化为"三个位置向量之和为零"，是向量与三角形五心结合题的关键翻译。 【易错提醒】(1)(2) 中"共线"与"不共线"互为补集，第 (2) 问的答案应是第 (1) 问取值的补集，写成 ；(3) 中必须指出 、 不共线，才能由"零向量的两个分量都为零"列出方程。 24．（★★★）设 是 所在平面内一点，记 （、）。 (1) 若 ，证明 、、 三点共线； (2) 若 在 内部（含边界），求 的取值范围； (3) 若 、，求 。 【答案】(1) 证明见解答； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 把 用 表示；(2) 把 写成 、、 的凸组合，由等和线判据定范围；(3) 用顶点系数与面积比的关系。 【解答过程】(1) 由 得 。故 ，两向量有公共点 ，所以 、、 三点共线。(2) 在 内部（含边界）等价于 是 、、 的凸组合，即 、 且 。当 与 重合时 ，；当 在边 上时 ；故 。(3) 由 、 得顶点 的系数为 ，即 。对 内一点 ，有 ，故 。 【多解·巧解】(2) 的结论就是等和线判据的定量版本： 的值标记了点 所在的、与 平行的等和线。 对应点 ， 对应直线 ，介于 、 之间则落在这两条平行线之间的带状区域。掌握这一点，判断"点在三角形内外的位置"可以不动笔。 【易错提醒】(3) 中三个面积比与系数的对应关系容易记反： 对应的是顶点 的系数（底边是 ，要看去掉 后剩下的权重）。写答案时还要注意题中比的顺序是 ，不要照抄系数顺序。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $