第25讲 平面向量基本定理及坐标表示讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第25讲 平面向量基本定理及坐标表示 第25讲 平面向量基本定理及坐标表示 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解平面向量基本定理，理解基底的含义，会用一组基底表示平面内任一向量并体会表示的唯一性； 2．掌握平面向量的坐标表示与加、减、数乘的坐标运算法则，能熟练进行坐标运算； 3．掌握向量共线（平行）的坐标条件 ，会用它求参数、判断三点共线； 4．掌握中点坐标公式、定比分点公式与重心坐标公式，会用坐标法处理几何问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 向量坐标与坐标运算 选择题、填空题 第3~5题、第13题 中 终点减起点，系数分离后逐项运算 共线的坐标条件求参数 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 用 ，二次方程两根都要保留 三点共线与分点公式 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 内分用加权平均，外分注意系数和为 之外 中点、重心与平行四边形 选择题、填空题 第5~7题、第13题 中 中点取平均，平行四边形用 坐标法处理几何问题 解答题 第17~19题 中偏难 先建系写坐标，再把几何关系翻译成坐标运算 命题规律分析 基本定理与坐标表示是把向量问题"代数化"的两把钥匙，也是培优层必须做到秒算的部分。新高考中本专题常见落点是单选第4~8题、填空第13~14题，也常作为解析几何或三角函数题的第一步。基础档只考坐标运算与共线求参数；培优档则把参数放进坐标里（如 ），解出二次方程后要求两根都保留，或结合"同向 / 反向""内分 / 外分"做二次筛选。本讲刻意强化三个易被忽略的点：一是分点公式中系数要交叉搭配；二是 与"系数成比例"本质是同一判据；三是凡几何图形问题都可"建系坐标化"，把中点取平均、分点取加权平均、向量组合先算坐标再加到起点。 考点1 平面向量基本定理与基底 知识点1 平面向量基本定理 若 、 是同一平面内两个不共线的向量，则对该平面内任一向量 ，存在唯一一对实数 、 使 。 不共线的 、 叫做这一平面内所有向量的一组基底；两个向量能作基底 它们不共线 系数行列式不为 。 【易错清单】 1．基底必须不共线，共线的两个向量不能表示平面内所有向量； 2．表示是唯一的，这是"比较系数列方程"的依据； 3．零向量不能作基底，且与任意向量共线。 知识点2 用基底表示向量 若 ，，则 。 常用反解：、 时，，。 【易错清单】 1．判断能否作基底时，若两向量系数成比例（包括其中一个是零向量），则不能作基底； 2．反解基底时不要把 的符号写反； 3．"系数成比例"与"交叉相乘相减为零"完全等价，不必重复推导。 考点2 向量的坐标表示与坐标运算 知识点3 向量的坐标表示与坐标运算 设 、，则 （终点减起点）；若 ，则 。 设 、，则 ，。 【易错清单】 1．求 是"终点减起点"，写成 就得到相反向量； 2．由 求点 ，还要加上起点 的坐标，向量坐标不等于点坐标； 3．， 时别忘了取绝对值。 知识点4 共线（平行）的坐标条件 、（），则 。 若 ，则 同向、 反向；判断三点 、、 共线，只需算 与 的交叉相乘是否为 。 【易错清单】 1．用""要当心分母为 ，交叉相乘的形式永远安全； 2．参数出现在坐标里时常化为二次方程，两根都要检验并保留； 3．"共线"不区分同向与反向，若题目额外要求"反向"，还要再筛一次。 知识点5 分点公式与重心坐标 中点： 为 的中点 ，即坐标取平均。 定比分点：若 （，内分），则 ；重心 的坐标为三个顶点坐标的算术平均：。 【易错清单】 1．分点公式中的系数是交叉搭配的： 时 ，点 离谁近，谁的权重就大； 2．外分（）时公式形式不变，但两块区域不能混； 3．平行四边形 满足 （对角线中点重合），据此可快速求第四顶点。 【题型1 基底的判定与基底表示】 【例1】已知 、 是一组基底，，，。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】设 、 是不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是（　　） A． 与 　B． 与 　C． 与 　D． 与 【变式1-2】已知 、 是一组基底，，，。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】设 、 不共线，，。若 与 不能作为一组基底，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 向量的坐标表示与坐标运算】 【例2】已知 、、，若 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知点 、、，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知向量 ，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 共线的坐标条件与含参讨论】 【例3】已知 ，，若 与 共线，则 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【变式3-1】已知 ，，若 与 反向共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】已知 、、 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知向量 ，，若 ，则 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【题型4 三点共线与定比分点】 【例4】已知点 、，点 在直线 上且 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】已知 、，点 满足 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知 、，点 在直线 上，且 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知 、、 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 中点、重心与平行四边形的坐标】 【例5】已知 的三个顶点为 、、，则 的重心 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知平行四边形 的三个顶点 、、，则顶点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】在 中，、、，、 分别是 、 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】在 中，、、， 为 的中点， 为重心，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 坐标法处理几何问题】 【例6】已知 、、， 为 的中点。 (1) 求点 的坐标； (2) 求 的坐标与 ； (3) 若点 满足 ，求点 的坐标。 【变式6-1】已知 ，，若 与 共线，求实数 的值。 【变式6-2】已知 、、，若四边形 是平行四边形，求点 的坐标。 【变式6-3】已知 、、，若 与 共线，求实数 的值。 一、单选题 1．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知点 、，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知 ，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知 、、 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）在平行四边形 中，、、，则顶点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）设 、 是一组基底，向量 ，。若 与 共线且方向相同，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 7．（★★★）已知点 、，若点 在直线 上，且 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 8．（★★★）已知点 、、。若 、、 三点共线，则实数 的所有可能取值之积为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）已知 ，，则下列结论正确的有（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★★）已知点 、、，则下列说法正确的有（　　） A．　B．、、 三点共线　C． 是线段 的中点　D． 11．（★★★）已知 、、，点 满足 （），则下列说法正确的有（　　） A．若点 在直线 上，则 　B．若点 在线段 上，则 、 且 　C．若 ，则点 在与直线 平行的直线上　D．若 ，则点 一定与原点 重合 12．（★★★）已知 ，（），则下列说法正确的有（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 　C．若 与 的夹角为钝角，则 　D．若 ，则 三、填空题 13．（★★）已知 ，，则 ______。 14．（★★）已知点 、，则线段 的中点 的坐标为 ______。 15．（★★★）已知 ，。若向量 与 共线，则实数 的取值集合为 ______。 16．（★★★）已知 、，点 在直线 上且 （ 为原点）。若点 在第一象限（含坐标轴），则实数 的取值范围是 ______。 四、解答题 17．（★★）已知 ，。 (1) 求 与 的坐标； (2) 若 且 ，求 的值。 18．（★★）已知点 、、。 (1) 求 、、 的坐标； (2) 判断 、、 三点是否共线，并说明理由。 19．（★★）已知 、。 (1) 求线段 的中点 的坐标； (2) 若点 在直线 上且 ，求点 的坐标； (3) 求 。 20．（★★★）已知 ，，向量 ，。 (1) 判断 、 能否作为一组基底，并说明理由； (2) 若 ，求 、； (3) 若 中 、 满足 ，求 的值。 21．（★★★）在 中，、、。 (1) 求 边中点 的坐标及中线向量 ； (2) 求重心 的坐标，并验证 ； (3) 若点 满足 （），求 取何值时 、、 三点共线。 22．（★★★）已知四边形 的顶点为 、、、。 (1) 用向量证明四边形 是平行四边形； (2) 求对角线 、 的交点 的坐标； (3) 若点 满足 （），判断对任意实数 ，点 是否都在直线 上，并说明理由。 23．（★★★）已知 、。 (1) 求线段 的中点 的坐标及 ； (2) 已知点 在直线 上，且 ，求点 的坐标； (3) 说明 (2) 中满足条件的点 是否唯一；若不唯一，指出它们相对于线段 的位置。 24．（★★★）已知 ，。 (1) 求 、； (2) 求使 与 共线的所有实数 ； (3) 对 (2) 中求出的每一个 ，判断此时 与 是同向、反向还是相等。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第25讲 平面向量基本定理及坐标表示 第25讲 平面向量基本定理及坐标表示 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解平面向量基本定理，理解基底的含义，会用一组基底表示平面内任一向量并体会表示的唯一性； 2．掌握平面向量的坐标表示与加、减、数乘的坐标运算法则，能熟练进行坐标运算； 3．掌握向量共线（平行）的坐标条件 ，会用它求参数、判断三点共线； 4．掌握中点坐标公式、定比分点公式与重心坐标公式，会用坐标法处理几何问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 向量坐标与坐标运算 选择题、填空题 第3~5题、第13题 中 终点减起点，系数分离后逐项运算 共线的坐标条件求参数 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 用 ，二次方程两根都要保留 三点共线与分点公式 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 内分用加权平均，外分注意系数和为 之外 中点、重心与平行四边形 选择题、填空题 第5~7题、第13题 中 中点取平均，平行四边形用 坐标法处理几何问题 解答题 第17~19题 中偏难 先建系写坐标，再把几何关系翻译成坐标运算 命题规律分析 基本定理与坐标表示是把向量问题"代数化"的两把钥匙，也是培优层必须做到秒算的部分。新高考中本专题常见落点是单选第4~8题、填空第13~14题，也常作为解析几何或三角函数题的第一步。基础档只考坐标运算与共线求参数；培优档则把参数放进坐标里（如 ），解出二次方程后要求两根都保留，或结合"同向 / 反向""内分 / 外分"做二次筛选。本讲刻意强化三个易被忽略的点：一是分点公式中系数要交叉搭配；二是 与"系数成比例"本质是同一判据；三是凡几何图形问题都可"建系坐标化"，把中点取平均、分点取加权平均、向量组合先算坐标再加到起点。 考点1 平面向量基本定理与基底 知识点1 平面向量基本定理 若 、 是同一平面内两个不共线的向量，则对该平面内任一向量 ，存在唯一一对实数 、 使 。 不共线的 、 叫做这一平面内所有向量的一组基底；两个向量能作基底 它们不共线 系数行列式不为 。 【易错清单】 1．基底必须不共线，共线的两个向量不能表示平面内所有向量； 2．表示是唯一的，这是"比较系数列方程"的依据； 3．零向量不能作基底，且与任意向量共线。 知识点2 用基底表示向量 若 ，，则 。 常用反解：、 时，，。 【易错清单】 1．判断能否作基底时，若两向量系数成比例（包括其中一个是零向量），则不能作基底； 2．反解基底时不要把 的符号写反； 3．"系数成比例"与"交叉相乘相减为零"完全等价，不必重复推导。 考点2 向量的坐标表示与坐标运算 知识点3 向量的坐标表示与坐标运算 设 、，则 （终点减起点）；若 ，则 。 设 、，则 ，。 【易错清单】 1．求 是"终点减起点"，写成 就得到相反向量； 2．由 求点 ，还要加上起点 的坐标，向量坐标不等于点坐标； 3．， 时别忘了取绝对值。 知识点4 共线（平行）的坐标条件 、（），则 。 若 ，则 同向、 反向；判断三点 、、 共线，只需算 与 的交叉相乘是否为 。 【易错清单】 1．用""要当心分母为 ，交叉相乘的形式永远安全； 2．参数出现在坐标里时常化为二次方程，两根都要检验并保留； 3．"共线"不区分同向与反向，若题目额外要求"反向"，还要再筛一次。 知识点5 分点公式与重心坐标 中点： 为 的中点 ，即坐标取平均。 定比分点：若 （，内分），则 ；重心 的坐标为三个顶点坐标的算术平均：。 【易错清单】 1．分点公式中的系数是交叉搭配的： 时 ，点 离谁近，谁的权重就大； 2．外分（）时公式形式不变，但两块区域不能混； 3．平行四边形 满足 （对角线中点重合），据此可快速求第四顶点。 【题型1 基底的判定与基底表示】 【例1】已知 、 是一组基底，，，。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设 后合并 、 的系数，用唯一性列方程组。 【解答过程】。 由 及表示唯一性得 ，，解得 ，。 故 。故选A。 【多解·巧解】更快的做法是先把基底反解出来：由 、 得 ，。 代入 ， 直接读出 、。遇到"两组基互换"的题目，反解基底几乎总比解方程组快。 【易错提醒】 而不是 ，反解时符号最容易错；另外本题问的是 而不是 ，算出 后直接选 是典型的审题失误。 【变式1-1】设 、 是不共线的向量，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是（　　） A． 与 　B． 与 　C． 与 　D． 与 【答案】B 【解题思路】能作基底当且仅当两个向量不共线，即系数行列式不为 。 【解答过程】A：系数 与 ，，不共线； B： 与 ，，两向量共线，事实上 ，故不能作基底； C： 与 ，； D： 与 ，。 故选B。 【变式1-2】已知 、 是一组基底，，，。若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】合并系数后比较 、 的系数。 【解答过程】。 由 得 ，。 第一式已给出 。故选C。 【变式1-3】设 、 不共线，，。若 与 不能作为一组基底，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】"不能作基底"等价于两向量共线，即系数行列式为 。 【解答过程】、 关于基 、 的系数分别为 与 。 不能作基底 共线 ，即 ，。 此时 ，确实共线。故选A。 【题型2 向量的坐标表示与坐标运算】 【例2】已知 、、，若 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先算 ，再由"终点 起点 向量"求 。 【解答过程】。 设 ，则 。 由 得 ，，即 ，。 故 。故选A。 【多解·巧解】更巧的算法： 等价于 ，即 ，故 。 这个变形把"求向量再求点"两步并成一步，且不用列方程；同样的技巧在平行四边形 中表现为 （对角线中点重合）。 【易错提醒】 是终点减起点，若误写成 会得到 而错选C。求向量坐标时先默念一遍"终点减起点"再落笔。 【变式2-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先数乘再相减，逐分量运算。 【解答过程】，，故 。故选A。 【变式2-2】已知点 、、，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】分别求两个向量的坐标，逐分量相加后令其等于已知向量。 【解答过程】，。 。 由 得 ，。故选C。 【变式2-3】已知向量 ，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先表示 的坐标，再逐分量比较。 【解答过程】。 由 得 ，。故选B。 【题型3 共线的坐标条件与含参讨论】 【例3】已知 ，，若 与 共线，则 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 【解题思路】用交叉相乘 列方程，注意得到的是一元二次方程。 【解答过程】由 得 ，即 。 因式分解得 ，故 或 。 当 时 ，共线； 当 时 ，也共线。 故选C。 【多解·巧解】也可设 ，则 ，，消去 得 ，同样化为 。 两种做法本质相同，但设倍数法在 含零分量时更稳妥——若 ，交叉相乘会退化成 ，此时用 反而更直观。 【易错提醒】方程 有两个实根，只取正数根 是最典型的漏解。只要题目没有限定 ，二次方程的两个根都要保留；此外还要检查 是否会因此变成零向量（本题两个根都不会）。 【变式3-1】已知 ，，若 与 反向共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由共线求 ，再验证倍数 是否为负。 【解答过程】由 得 ，即 。 此时 ，倍数 ，故两向量反向。 故选A。 【变式3-2】已知 、、 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】算 、，令其交叉相乘为零。 【解答过程】，。 由共线得 ，即 ，，。 故选B。 【变式3-3】已知向量 ，，若 ，则 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 【解题思路】交叉相乘得到关于 的一元二次方程，两个根都要保留。 【解答过程】由 得 ，即 。 解得 或 。 时 ； 时 、，均共线。 故选C。 【题型4 三点共线与定比分点】 【例4】已知点 、，点 在直线 上且 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由 用定比分点公式，或由 求 。 【解答过程】法一：由 知 内分 且 ， 。 法二：，由 得 ，故 。 故选A。 【多解·巧解】分点公式的记忆要点是"交叉搭配"： 时 ，即"离谁近，谁的权重大"。本题 离 更近，所以 的系数是 、 的系数是 。 记不住公式时就用万能替代：，这一式与分点公式完全等价，且不容易把系数搞反。 【易错提醒】把"离谁近谁的权重大"记反会算出 （错选B）；另外 是内分，若条件改成 就是外分，点 落在 的延长线上，公式形式相同但结果完全不同。 【变式4-1】已知 、，点 满足 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】，用加权平均。 【解答过程】由 得 ， 。 故选A。 【变式4-2】已知 、，点 在直线 上，且 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】系数为负说明是外分，直接解方程 。 【解答过程】由 得 ， 即 ，整理得 。 。 故选A。 【变式4-3】已知 、、 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】算 、，交叉相乘为零。 【解答过程】，。 由共线得 ，即 ，。 故选C。 【题型5 中点、重心与平行四边形的坐标】 【例5】已知 的三个顶点为 、、，则 的重心 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】重心坐标等于三个顶点坐标的算术平均。 【解答过程】。 故选A。 【多解·巧解】若记不住重心公式，可用中线还原：先求 的中点 ，再由 得 。 这条路线虽然多两步，但它把重心与"系数和为零" 联系起来，在处理"重心 + 向量等式"的综合题时反而更快。 【易错提醒】重心是三个坐标分别求平均，分母是 而不是 ；不要把重心与外心、内心混淆——只有在坐标形式下重心才有这样简洁的公式。 【变式5-1】已知平行四边形 的三个顶点 、、，则顶点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】平行四边形对角线中点重合，即 。 【解答过程】由 得 。 检验：，，相等，成立。 故选A。 【变式5-2】在 中，、、，、 分别是 、 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】中位线定理：。 【解答过程】。 由中位线性质 。 （也可直接算 、，得 。） 故选A。 【变式5-3】在 中，、、， 为 的中点， 为重心，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分别求 、 的坐标，再作差。 【解答过程】； 。 。 故选A。 【题型6 坐标法处理几何问题】 【例6】已知 、、， 为 的中点。 (1) 求点 的坐标； (2) 求 的坐标与 ； (3) 若点 满足 ，求点 的坐标。 【答案】(1) ； (2) ，； (3) 。 【解题思路】中点取平均、向量坐标终点减起点、向量的线性组合先算坐标再加到起点。 【解答过程】(1) 。 (2) ，。 (3) ，。 。 故 。 【多解·巧解】坐标法的价值在于把几何关系全部翻译成四则运算：中点取平均、分点取加权平均、向量线性组合先算坐标、最后加上起点还原成点。本题三问都是这套动作的重复使用，熟练后完全可以心算。反之，若题目给出的点坐标"很脏"（含分数、根式），就要考虑回到向量法，避免陷入繁琐运算。 【易错提醒】(3) 中算出的 是向量 的坐标，不是点 的坐标，必须加上起点 才能得到 ，这是坐标法最高频的失误。 【变式6-1】已知 ，，若 与 共线，求实数 的值。 【答案】 【解题思路】分别算出两个组合向量的坐标，再令交叉相乘为零。 【解答过程】； 。 由共线得 ， 即 ，，。 【变式6-2】已知 、、，若四边形 是平行四边形，求点 的坐标。 【答案】 【解题思路】平行四边形对角线中点重合：。 【解答过程】由 得 。 检验：，，两者相等，四边形 确为平行四边形。 【变式6-3】已知 、、，若 与 共线，求实数 的值。 【答案】 【解题思路】分别求两个向量的坐标，再用交叉相乘为零。 【解答过程】，。 由共线得 ，即 ，，。 此时 ，确与 反向共线。 一、单选题 1．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先数乘后相加，逐分量运算。 【解答过程】，故 。故选A。 2．（★★）已知点 、，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】终点坐标减起点坐标。 【解答过程】。故选A。 3．（★★）已知 ，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】交叉相乘 。 【解答过程】由 得 ，即 ，。故选A。 4．（★★）已知 、、 三点共线，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】 与 交叉相乘为零。 【解答过程】，。 由共线得 ，即 ，。故选C。 5．（★★）在平行四边形 中，、、，则顶点 的坐标为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】对角线中点重合：。 【解答过程】。故选A。 6．（★★★）设 、 是一组基底，向量 ，。若 与 共线且方向相同，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】A 【解题思路】共线用系数交叉相乘为零列二次方程，再由"方向相同"要求倍数 筛选。 【解答过程】、 在基 、 下的系数分别为 、。 由 得 ，即 ， 因式分解得 ，故 或 。 设 ，比较第一个分量得 ： 当 时 ，两向量同向； 当 时 ，两向量反向，不合题意，舍去。故 。故选A。 7．（★★★）已知点 、，若点 在直线 上，且 ，则点 的坐标为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 【解题思路】 时 可在 、 之间，也可在 的外侧，两种情形都要讨论。 【解答过程】。 ① 在 、 之间（内分）：， ，。 ② 在 的外侧（、、 依次排列）：此时 ，由 得 ， 故 ，。 ③ 若 在 的外侧：记 ，则 ，由 得 ，不可能。 综上 的坐标为 或 。故选C。 8．（★★★）已知点 、、。若 、、 三点共线，则实数 的所有可能取值之积为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】三点共线转化为两个向量交叉相乘为零，得到关于 的二次方程，再用根与系数的关系求两根之积。 【解答过程】，。 由 、、 三点共线得 ， 即 ，整理得 。 判别式 ，方程有两个实根； 由根与系数的关系，两根之积为 。故选A。 二、多选题 9．（★★）已知 ，，则下列结论正确的有（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项算坐标与模，D 用交叉相乘判断。 【解答过程】A：，正确； B：，正确； C：，正确； D：，不共线，错误。 故选ABC。 10．（★★）已知点 、、，则下列说法正确的有（　　） A．　B．、、 三点共线　C． 是线段 的中点　D． 【答案】ABCD 【解题思路】算出 、 后逐项判断。 【解答过程】，，。 A：两向量相等，正确；B：共线且有公共点 ，正确； C： 的坐标是 、 坐标的平均，正确；D：，正确。 故选ABCD。 11．（★★★）已知 、、，点 满足 （），则下列说法正确的有（　　） A．若点 在直线 上，则 　B．若点 在线段 上，则 、 且 　C．若 ，则点 在与直线 平行的直线上　D．若 ，则点 一定与原点 重合 【答案】ABC 【解题思路】直线 上的点可写成 ，其系数和恒为 ；固定系数和得到一族平行线。 【解答过程】，，。 A： 在直线 上，则 ， 即 、，故 ，正确； B：线段 是直线 上 的部分，此时 、，正确； C：由 得 ，其方向由 决定，与 平行，正确； D：由 得 ，这是过原点的一条直线，只有当 时 才与 重合，故"一定重合"错误。故选ABC。 12．（★★★）已知 ，（），则下列说法正确的有（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 　C．若 与 的夹角为钝角，则 　D．若 ，则 【答案】ABD 【解题思路】逐项独立推导；钝角的判定除数量积为负外，还要排除反向共线（临界值 ）。 【解答过程】A：由 得 ，正确； B：由 得 ，正确； C： 得 。但若两向量反向共线，设 （）， 由第二个分量 得 ，此时 ，夹角为 不是钝角，须剔除。 故取值范围应为 且 ，说法漏掉临界值，错误； D： 两边平方得 ，即 ，，正确。故选ABD。 三、填空题 13．（★★）已知 ，，则 ______。 【答案】 【解题思路】分别数乘后逐分量相加。 【解答过程】，，故 。 14．（★★）已知点 、，则线段 的中点 的坐标为 ______。 【答案】 【解题思路】中点坐标取两端点坐标的平均。 【解答过程】。 15．（★★★）已知 ，。若向量 与 共线，则实数 的取值集合为 ______。 【答案】 【解题思路】先算两个组合向量的坐标，再用交叉相乘为零得到关于 的方程。 【解答过程】，。 由共线得 ， 即 ，化简得 ，。 故 或 ，取值集合为 。 16．（★★★）已知 、，点 在直线 上且 （ 为原点）。若点 在第一象限（含坐标轴），则实数 的取值范围是 ______。 【答案】 【解题思路】先把 的坐标用 表示，再由"横、纵坐标都非负"取交集。 【解答过程】，， 故 ，即 。 在第一象限（含坐标轴）要求横坐标、纵坐标都非负： 由 得 ；由 得 。 取交集得 。 四、解答题 17．（★★）已知 ，。 (1) 求 与 的坐标； (2) 若 且 ，求 的值。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】(1) 逐分量运算；(2) 用交叉相乘为零。 【解答过程】(1) ，，故 ； 。 (2) 由 得 ， 即 ，。 【多解·巧解】(2) 也可以用"系数成比例"：，直接得 。但当分母可能为 时（例如 ），比例式会失效，这时必须回到交叉相乘 ，它没有任何使用条件。 【易错提醒】(1) 中 ，别把负号只分配给第一个分量；(2) 中两个向量的对应分量顺序不能颠倒，若写成 会得到 的相反数。 18．（★★）已知点 、、。 (1) 求 、、 的坐标； (2) 判断 、、 三点是否共线，并说明理由。 【答案】(1) ，，； (2) 不共线。 【解题思路】用终点减起点求坐标，再用交叉相乘判断是否共线。 【解答过程】(1) ； ； 。 (2) 因为 ，所以 与 不共线，、、 三点不共线。 【多解·巧解】判断三点共线时可以任选一对以同一点为起点的向量，例如用 与 也能得到同样结论：。实际做题时选坐标数字最小的那一对，可以减小运算量。 【易错提醒】判断共线必须用同一起点的两个向量（如 与 ），若拿 与 直接"相等"来判断就错了——这两个向量共起点不同，要共线还需它们平行且有公共点 （本题恰好有公共点 ，交叉相乘 同样说明不共线）。 19．（★★）已知 、。 (1) 求线段 的中点 的坐标； (2) 若点 在直线 上且 ，求点 的坐标； (3) 求 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 取平均；(2) 分点公式或 ；(3) 模的坐标公式。 【解答过程】(1) 。 (2) ，由 知 ， 故 ， 。 (3) 。 【多解·巧解】(2) 也可以用分点公式一步到位：。两条路等价，但分点公式在"只求点 、不求 "时更省事。 【易错提醒】(2) 中 加上 得 ，别写成 ；(3) 中 要化简为 ，填空题里不化简通常算错。 20．（★★★）已知 ，，向量 ，。 (1) 判断 、 能否作为一组基底，并说明理由； (2) 若 ，求 、； (3) 若 中 、 满足 ，求 的值。 【答案】(1) 能（交叉相乘为 ）； (2) ，，即 ； (3) 。 【解题思路】设 ，用表示唯一性列方程组；第 (3) 问再多加一个约束即可。 【解答过程】(1) ，故 、 不共线，能作为一组基底。 (2) 设 。 由 得 ，，解得 ，。 (3) 由 得 ，。 联立 与 ，解得 ，， 故 。 【多解·巧解】由 可反解出 、（ 为普通坐标），(2) 中直接代入得 、，比解方程组更快。第 (3) 问是"两个条件联立"：既有表示关系给出的 ，又有题目附加的 。 【易错提醒】(3) 中 来自第二个分量，不要把 与 对应错位；另外 、 的模都是 而不是 ，不能当作单位向量使用。 21．（★★★）在 中，、、。 (1) 求 边中点 的坐标及中线向量 ； (2) 求重心 的坐标，并验证 ； (3) 若点 满足 （），求 取何值时 、、 三点共线。 【答案】(1) ，； (2) ，验证成立； (3) 。 【解题思路】(3) 中 、、 共线等价于 是 的倍数，而 ，再比较系数。 【解答过程】(1) ，。 (2) 。 ，，， 三者之和为 ，成立。 (3) 由 为 中点知 。 、、 共线 存在 使 。 因 、 满足 ，两者不共线，故系数可逐项比较： ，，两式相减得 ，即 （此时 ， 与 重合）。 【多解·巧解】(3) 也可纯几何判断： 中两个系数之和恒为 ，故 始终在直线 上（等和线）；要使 落在中线 上，只有取 与 的交点即中点 ，对应 。系数和为 说明 在直线 上，是本题的关键观察。 【易错提醒】(3) 中 与 必须不共线才能"比较系数"，本题交叉相乘为 ，确实可比较；另外 的纵坐标是 ，验证时要用分数通分（），若把 近似成小数来算，就会出现"看似不等于零"的假象。 22．（★★★）已知四边形 的顶点为 、、、。 (1) 用向量证明四边形 是平行四边形； (2) 求对角线 、 的交点 的坐标； (3) 若点 满足 （），判断对任意实数 ，点 是否都在直线 上，并说明理由。 【答案】(1) 略（）； (2) ； (3) 是，点 恒在直线 上。 【解题思路】(3) 以 、 为基，直线 上的点第二个系数恒为 。 【解答过程】(1) ，， 故 ，一组对边平行且相等，四边形 是平行四边形。 (2) 是 的中点，也是 的中点： 。(3) 以 为基点， 的位置向量为 ， 的位置向量为 。 直线 上的点可写为 （）。 而 ，取 即与上式完全一致，故对任意实数 ，点 都在直线 上。 【多解·巧解】(3) 的结论正是等和线的几何意义：在以 、 为基的坐标系中，直线 就是"第二坐标恒等于 "的那条直线，而 的第二坐标恰好恒为 。凡是问"参数取何值时点在某某直线上"，先写出该直线的系数特征就能看出答案。 【易错提醒】(1) 中要写 而不是 ：在平行四边形 中 与 同向等长， 则与它们反向，这是平行四边形判定题中最常见的方向性失误。 23．（★★★）已知 、。 (1) 求线段 的中点 的坐标及 ； (2) 已知点 在直线 上，且 ，求点 的坐标； (3) 说明 (2) 中满足条件的点 是否唯一；若不唯一，指出它们相对于线段 的位置。 【答案】(1) ，； (2) 或 ； (3) 不唯一；一个在线段 内部（内分），一个在 的外侧（外分）。 【解题思路】 要分 在 、 之间与 在 外侧两类讨论，分别对应内分与外分。 【解答过程】(1) ；，。 ① 在 、 之间：，， ； ② 在 的外侧：此时 ，由 得 ， ，； ③ 若 在 的外侧：同 ② 的推理会推出 为负值，不可能。 (3) 满足条件的点不唯一，有两个： 内分线段 ， 在 的外侧。 【多解·巧解】见到" 且未说明点的位置"时，先分别考察三种位置： 在 、 之间（内分，）、 在 外侧、 在 外侧。分类的关键是判断"距离关系能否成立"，而不是盲目套公式。 【易错提醒】只求出内分的 就停手，会漏掉外分的 ；外分时 的方向与 相同（而非相反），若把方向记反会得到 左侧的点，属典型错误。 24．（★★★）已知 ，。 (1) 求 、； (2) 求使 与 共线的所有实数 ； (3) 对 (2) 中求出的每一个 ，判断此时 与 是同向、反向还是相等。 【答案】(1) ； (2) 或 ； (3) 时两向量相等（同向）， 时两向量互为相反向量（反向）。 【解题思路】两个组合式关于 、 对称，可先猜 ；严格解法仍是交叉相乘为零，再比较倍数符号。 【解答过程】(1) ，。 (2) ，。 由共线得 。 其中 ，， 故 ，即 ，，。 (3) 时两式都是 ，故两向量相等（同向）； 时 ，，互为相反向量（反向）。 【多解·巧解】先观察结构：，且 与 关于 、 对称，因此 （两式相同）与 （两式互为相反）必然是解，先猜后验能大幅缩短推导时间；这类"对称结构"在高考向量题中很常见。 【易错提醒】(2) 中 的展开要注意交叉项恰好抵消：，漏掉交叉项会得到错误的方程；(3) 中判断同向、反向要看倍数 的正负（相等即 ），不要只看两向量是否共线。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $