第33讲 数列求和讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第33讲 数列求和 第33讲 数列求和 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握公式法与分组转化法，能把通项拆成若干可求和的部分； 2．熟练掌握裂项相消法，能处理分子不为 、分母相差 、含根式等变形； 3．熟练掌握错位相减法，能处理"等差 等比"型通项的求和； 4．掌握并项求和与周期数列求和，能应对含 的交错数列。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 公式法与分组转化 选择题、填空题 第4~6题、第13题 易 先拆项，再对各部分分别套公式 裂项相消法 填空题、解答题 第13~14题、第17~19题 中 裂完先验证一项，确认系数是否正确 错位相减法 解答题 第17~19题 中偏难 乘公比、错位减、中间等比求和，最后除以 并项求和（含 ） 填空题、解答题 第14题、第18~19题 中偏难 两项一组先求和，再按 的奇偶收尾 周期数列求和 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 先算出一个周期的和，再看余数 求和的综合应用 解答题 第18~20题 中偏难 先求通项，再选方法，最后两头验证 命题规律分析 数列求和几乎是新高考解答题的"必考题"，通常作为第17~19题的第二问出现，也常以填空题形式落在第14题、第15题位置。四种主流方法中，裂项相消与错位相减是命题的最爱：裂项题变化多（分子不为 、分母相差 、根式型、三项相乘型），错位相减则是"套路固定、计算量大"的典型，最考验书写规范。本讲按"分组—裂项—错位—并项与周期—综合"五步推进，重点突破三处：裂项后 系数的确定、错位相减中 的符号处理、含 的交错数列按奇偶分情况讨论。同时强调一个贯穿始终的习惯：求和题做完必用 两头验证。这一个动作能拦下八成以上的低级错误。 考点1 分组求和与裂项相消 知识点1 公式法与分组转化法 等差数列 ；等比数列 时 。 分组转化法：若 且 、 都可求和，则 。典型情形是"等差 等比"。 【易错清单】 1．分组后每一部分都要单独求和，不能只算一部分就收工； 2．等比部分求和时先看清首项与公比，别把 当成 ； 3．合并结果时不要漏掉常数部分。 知识点2 裂项相消法 基本型：，和为 ；。 通用规律：若分母是两个相差 的因式，则裂项后必须乘 ，即 。 其它常见型：；。 【易错清单】 1．分母两因式相差 时，必须补上 的系数，这是最高频的失分点； 2．相消后剩余的是首尾各若干项，项数取决于"跨度"，如 会剩下首两项与末两项； 3．根式裂项要分子分母同乘共轭因式，别直接把分母拆开。 考点2 错位相减与并项求和 知识点3 错位相减法 适用于通项为"等差 等比"（如 ）的数列。 步骤：写出 两边同乘公比 得 错位相减 中间部分构成等比数列求和 两边同除以 。 常用结论：；。 【易错清单】 1．相减时若 ，通常写成 ，此时左边系数是 （负数），最后除以 时符号极易出错； 2．错位对齐：把同次幂的两项上下对齐后再相减； 3．中间等比部分的项数与首末项要写清楚，别把 的末项搞错。 知识点4 并项求和与周期数列求和 并项求和：含 的交错数列，把相邻两项（或 项）并为一组先求和，再按 为奇数或偶数分别处理。 周期数列求和：先算出一个完整周期内各项之和，再看 含多少个完整周期、余下几项。 【易错清单】 1． 为奇数时最后会剩一个"落单"的项，必须单独加上； 2． 与 只差一个负号，定符号时把 代入检验； 3．周期求和时余数是 就取前 项，余数为 时正好是整数个周期。 【题型1 公式法与分组转化求和】 【例1】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【变式1-1】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【变式1-2】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【变式1-3】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【题型2 裂项相消法】 【例2】求数列 的前 项和 。 【变式2-1】求数列 的前 项和 。 【变式2-2】求数列 的前 项和 。 【变式2-3】求数列 的前 项和 。 【题型3 错位相减法】 【例3】求数列 的前 项和 。 【变式3-1】求数列 的前 项和 。 【变式3-2】求数列 的前 项和 。 【变式3-3】求数列 的前 项和 。 【题型4 并项求和（含 ）】 【例4】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【变式4-1】已知数列 的通项为 ，则其前 项和 ____________。 【变式4-2】已知数列 的通项为 ，则其前 项和 ____________。 【变式4-3】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【题型5 周期数列求和】 【例5】已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 求前 项和 。 【变式5-1】已知数列 满足 ，，，则其前 项和 ____________。 【变式5-2】已知数列 满足 ，，则其前 项和 ____________。 【变式5-3】已知数列 满足 ，，，则其前 项和 ____________。 【题型6 数列求和的综合应用】 【例6】已知等差数列 中 ，公差 ；等比数列 中 ，公比 。令 。 (1) 求 与 ； (2) 求数列 的前 项和 。 【变式6-1】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【变式6-2】已知数列 的前 项和 ，数列 满足 ，求 的前 项和 。 【变式6-3】求数列 的前 项和 。 一、单选题 1．（★★）数列 ，，，， 的前 项和为（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）数列 的前 项和为（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）数列 的前 项和为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）数列 的前 项和为（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知数列 的前 项和 ，则数列 的前 项和为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知数列 的通项为 ，其前 项和为 。若 对一切 恒成立，则整数 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知数列 的通项为 ，其前 项和为 。若 对一切 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于数列求和的说法正确的是（　　） A．等差数列 　B．等比数列 时 　C．　D． 10．（★★）已知数列 的前 项和 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★★）设等比数列 的首项 ，公比为 ，前 项和为 。则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 对一切 成立　B．若 ，则数列 单调递增　C．若 ，则不存在 使 　D．若 ，则 对一切 成立 12．（★★★）已知数列 的通项为 ，其前 项和为 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D．存在 ，使 三、填空题 13．（★★）数列 的前 项和为 ____________。 14．（★★）数列 的前 项和为 ____________。 15．（★★★）已知数列 的通项为 ， 为其前 项和。若 ，则正整数 的最小值为 ____________。 16．（★★★）已知数列 的通项为 ，其前 项和为 。若存在正整数 ，使得 对一切 恒成立，则 的最小值为 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 18．（★★）已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 19．（★★）已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 20．（★★★）已知等差数列 满足 ，。 (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 ，求数列 的前 项和 。 21．（★★★）已知数列 的前 项和为 。 (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 ，求数列 的前 项和 。 22．（★★★）已知数列 的通项为 ，其前 项和为 。 (1) 求 ； (2) 证明：。 23．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求证：数列 是等比数列； (2) 求数列 的通项公式； (3) 设 ，求数列 的前 项和 ，并证明 。 24．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求证：数列 是等差数列，并求 ； (2) 设 ，求数列 的前 项和 ； (3) 证明：。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第33讲 数列求和 第33讲 数列求和 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．掌握公式法与分组转化法，能把通项拆成若干可求和的部分； 2．熟练掌握裂项相消法，能处理分子不为 、分母相差 、含根式等变形； 3．熟练掌握错位相减法，能处理"等差 等比"型通项的求和； 4．掌握并项求和与周期数列求和，能应对含 的交错数列。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 公式法与分组转化 选择题、填空题 第4~6题、第13题 易 先拆项，再对各部分分别套公式 裂项相消法 填空题、解答题 第13~14题、第17~19题 中 裂完先验证一项，确认系数是否正确 错位相减法 解答题 第17~19题 中偏难 乘公比、错位减、中间等比求和，最后除以 并项求和（含 ） 填空题、解答题 第14题、第18~19题 中偏难 两项一组先求和，再按 的奇偶收尾 周期数列求和 选择题、填空题 第7~8题、第14题 中偏难 先算出一个周期的和，再看余数 求和的综合应用 解答题 第18~20题 中偏难 先求通项，再选方法，最后两头验证 命题规律分析 数列求和几乎是新高考解答题的"必考题"，通常作为第17~19题的第二问出现，也常以填空题形式落在第14题、第15题位置。四种主流方法中，裂项相消与错位相减是命题的最爱：裂项题变化多（分子不为 、分母相差 、根式型、三项相乘型），错位相减则是"套路固定、计算量大"的典型，最考验书写规范。本讲按"分组—裂项—错位—并项与周期—综合"五步推进，重点突破三处：裂项后 系数的确定、错位相减中 的符号处理、含 的交错数列按奇偶分情况讨论。同时强调一个贯穿始终的习惯：求和题做完必用 两头验证。这一个动作能拦下八成以上的低级错误。 考点1 分组求和与裂项相消 知识点1 公式法与分组转化法 等差数列 ；等比数列 时 。 分组转化法：若 且 、 都可求和，则 。典型情形是"等差 等比"。 【易错清单】 1．分组后每一部分都要单独求和，不能只算一部分就收工； 2．等比部分求和时先看清首项与公比，别把 当成 ； 3．合并结果时不要漏掉常数部分。 知识点2 裂项相消法 基本型：，和为 ；。 通用规律：若分母是两个相差 的因式，则裂项后必须乘 ，即 。 其它常见型：；。 【易错清单】 1．分母两因式相差 时，必须补上 的系数，这是最高频的失分点； 2．相消后剩余的是首尾各若干项，项数取决于"跨度"，如 会剩下首两项与末两项； 3．根式裂项要分子分母同乘共轭因式，别直接把分母拆开。 考点2 错位相减与并项求和 知识点3 错位相减法 适用于通项为"等差 等比"（如 ）的数列。 步骤：写出 两边同乘公比 得 错位相减 中间部分构成等比数列求和 两边同除以 。 常用结论：；。 【易错清单】 1．相减时若 ，通常写成 ，此时左边系数是 （负数），最后除以 时符号极易出错； 2．错位对齐：把同次幂的两项上下对齐后再相减； 3．中间等比部分的项数与首末项要写清楚，别把 的末项搞错。 知识点4 并项求和与周期数列求和 并项求和：含 的交错数列，把相邻两项（或 项）并为一组先求和，再按 为奇数或偶数分别处理。 周期数列求和：先算出一个完整周期内各项之和，再看 含多少个完整周期、余下几项。 【易错清单】 1． 为奇数时最后会剩一个"落单"的项，必须单独加上； 2． 与 只差一个负号，定符号时把 代入检验； 3．周期求和时余数是 就取前 项，余数为 时正好是整数个周期。 【题型1 公式法与分组转化求和】 【例1】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【答案】 【解题思路】把通项拆成"等差部分"与"等比部分"，分别求和后相加。 【解答过程】。 前一部分是首项为 、公差为 的等差数列的前 项和： ； 后一部分是首项为 、公比为 的等比数列的前 项和： 。 故 。 【多解·巧解】分组求和的要点是"先拆后算、逐块击破"，但真正省时间的是后面的验证习惯：把 代入，公式给出 ，而 ，一致；再把 代入，公式给出 ，而 ，一致。两头都对，基本就错不了。另外，等比部分求和建议固定写成 ，分母用 ，与通项的下标习惯一致，符号最不容易乱。 【易错提醒】① 把等比部分的和算成 得 ——这个结果其实是对的，但若中途把分母的 漏掉就会整体反号；② 等差数列部分把 误算成 之外的 ；③ 两部分相加时漏掉其中一部分。分组求和最容易犯的错不是算错，而是算漏一块。 【变式1-1】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【答案】 【解题思路】拆成"等差部分"与"等比部分"。 【解答过程】等差部分：； 等比部分：。 故 。 【变式1-2】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【答案】 【解题思路】注意等比部分的公比是 。 【解答过程】等差部分：； 等比部分： 。 故 。 【变式1-3】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【答案】 【解题思路】两部分分别套公式。 【解答过程】 。 【题型2 裂项相消法】 【例2】求数列 的前 项和 。 【答案】 【解题思路】分母两因式相差 ，裂项时要补 。 【解答过程】因为 ， 所以 。 于是 。 【多解·巧解】判断裂项系数有句万能口诀：" "。本题 、，，所以系数是 ，一步确定，不必再猜。验算的最快办法是只看 一项：裂项后 ，而原式 ，一致，系数正确。裂项题动笔前先验一项，能立刻发现系数是否写错。 【易错提醒】① 忘记乘 ，直接得 ，正好是正确答案的两倍——这是本类题的头号错误；② 相消后误认为只剩 之外的项；③ 最后一步化简 时把 约错，得到 。 【变式2-1】求数列 的前 项和 。 【答案】 【解题思路】分母相差 ，裂项系数为 ，相消后剩首两项与末两项。 【解答过程】。 。 中间的 全部抵消，剩首尾各两项： 。 【变式2-2】求数列 的前 项和 。 【答案】 【解题思路】分子分母同乘共轭因式 。 【解答过程】。 故 。 【变式2-3】求数列 的前 项和 。 【答案】 【解题思路】把 看成一个整体再裂一次。 【解答过程】因为 ， 所以 。 。 【题型3 错位相减法】 【例3】求数列 的前 项和 。 【答案】 【解题思路】两边同乘公比 后错位相减，中间部分构成等比数列。 【解答过程】，① 两边同乘 得 ，② ① ② 得 。 其中 。 故 ， 。 【多解·巧解】错位相减的四步可以记成口诀："乘公比、错位减、中间等比、除以 "。其中最关键的细节是：相减时把同次幂的项上下对齐——① 式的 减去 ② 式的 ，得到 ；依此类推，中间全部变成单独的 。写完答案后务必用 检验：，而 ，一致；，而 ，一致。错位相减是计算密集型题，两头验证是唯一的保险。 【易错提醒】① ① ② 时左边是 ，最后一步两边同乘 时符号容易搞乱；② 中间等比部分的首项是 、末项是 、共 项，容易写成 后把结果算成 ；③ 忘记最后一项 前面是负号。建议做题时把 ①、② 两式对齐写好，再逐列相减，不要凭记忆跳步。 【变式3-1】求数列 的前 项和 。 【答案】 【解题思路】同乘公比 后错位相减，中间是公比为 的等比数列。 【解答过程】，① ，② ① ② 得 。 其中 。 故 ， 。 【变式3-2】求数列 的前 项和 。 【答案】 【解题思路】直接错位相减，或拆成 分别求和。 【解答过程】方法一：，① ，② ① ② 得 。 其中 。 故 ， 。 【变式3-3】求数列 的前 项和 。 【答案】 【解题思路】通项是"等差 等比"，公比为 ，仍用错位相减。 【解答过程】，① ，② ① ② 得 。 其中 。 故 ， 。 【题型4 并项求和（含 ）】 【例4】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【答案】 【解题思路】把相邻两项并为一组，每组的和是 ，再按 的奇偶收尾。 【解答过程】当 时，把相邻两项并为一组： 。 故 。 当 时，。 把 代入 得 ； 把 代入 得 。 统一写成 。 【多解·巧解】本题的结果非常漂亮，值得记牢：。它其实就是"交错符号的等差数列求和"，因为 的形式与它只差一个符号。更实用的收获是并项的操作套路：先算 （这通常是一次式，很好求和），得到 ，再由 得到奇数项情形，最后把 换回 。永远先求偶数项的和，奇数项用"减一项"得到，这个顺序比直接算奇数项简单得多。 【易错提醒】① 并项时把 算成 ，没有注意到 （偶数次幂为正）；② 求出 后，把 代入时忘记把 也换掉；③ 最后忘记分 的奇偶讨论，只写出一个式子。检验： 时 ，公式给出 ，一致； 时 ，公式给出 ，一致。 【变式4-1】已知数列 的通项为 ，则其前 项和 ____________。 【答案】 【解题思路】并项：每组两项之和恒为 。 【解答过程】当 时，， 故 ，即 为偶数时 。 当 时，， 即 为奇数时 。 故 。 【变式4-2】已知数列 的通项为 ，则其前 项和 ____________。 【答案】 【解题思路】并项：每组两项之和恒为 。 【解答过程】，。 故 。 所以 。 【变式4-3】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【答案】 【解题思路】并项：每组两项之和恒为 。 【解答过程】当 时，，故 ， 即 为偶数时 。 当 时，， 即 为奇数时 。 【题型5 周期数列求和】 【例5】已知数列 满足 ，（）。 (1) 求 ； (2) 求前 项和 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先算出前几项确定周期，再算出一个周期的和，最后按周期数求和。 【解答过程】(1) ，，， ，故周期为 。 所以 。 (2) 一个周期内三项之和为 。 因为 ，故 。 【多解·巧解】周期数列求和的固定动作是"先定周期、再算周期和、最后数周期个数"。其中"定周期"必须看到某一项与 相等才算完成（只看两项相等不足以说明后面循环）。若项数不是周期的整数倍，则先算出完整周期部分，再把余下的前几项单独加上——余数是 就加前 项。本题 正好是 的倍数，可以直接乘，但如果问 ，就要再加一个 。先算 除以周期的商与余数，这一步绝不能省。 【易错提醒】① 只算出 、、 就认为周期为 或算错周期；② 计算 时把 算成 的倒数外的值，正确答案应为 ；③ 忘记周期和是三项之和，误把 当作一个周期的和；④ 项数不是整数倍时忘记处理余数。 【变式5-1】已知数列 满足 ，，，则其前 项和 ____________。 【答案】 【解题思路】先确定周期为 ，再算一个周期的和。 【解答过程】依次为 ，周期为 。 一个周期内六项之和为 。 因为 ，故 。 【变式5-2】已知数列 满足 ，，则其前 项和 ____________。 【答案】 【解题思路】逐项写出前 项再相加。 【解答过程】依次为 ， 故 。 【变式5-3】已知数列 满足 ，，，则其前 项和 ____________。 【答案】 【解题思路】奇数项全为 ，偶数项全为 。 【解答过程】由 知奇数项都是 ，偶数项都是 。 前 项中有 个奇数项、 个偶数项， 故 。 【题型6 数列求和的综合应用】 【例6】已知等差数列 中 ，公差 ；等比数列 中 ，公比 。令 。 (1) 求 与 ； (2) 求数列 的前 项和 。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】(2) 通项为"等差 等比"，用错位相减法。 【解答过程】(1) ，。 (2) 。 ，① ，② ① ② 得 。 其中 。 故 ， 。 【多解·巧解】处理 还有一条更省事的路：先把它拆开——，于是 。利用已知结论 与 ，得 。把常用结论 记牢，遇到 型通项就能绕开一次完整的错位相减。 【易错提醒】① (2) 中把 当成 （应为 ），导致整个通项放大 倍；② 错位相减时中间部分的首项是 （即 ）而不是 ，漏掉最前面的 ；③ 最后一步 提取 时，把 写成 后相减得 ，容易算成 。检验：，公式给出 ，一致。 【变式6-1】已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【答案】 【解题思路】拆成裂项部分与等比部分。 【解答过程】裂项部分：； 等比部分：。 故 。 【变式6-2】已知数列 的前 项和 ，数列 满足 ，求 的前 项和 。 【答案】 【解题思路】先由 求 ，再裂项。 【解答过程】由 得 （），故 。 。 。 【变式6-3】求数列 的前 项和 。 【答案】 【解题思路】用错位相减法，注意公比为 但通项中指数是 。 【解答过程】，① ，② ① ② 得 。 其中 。 故 ， 。 一、单选题 1．（★★）数列 ，，，， 的前 项和为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】首项为 、公差为 的等差数列求和。 【解答过程】。故选A。 2．（★★）（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】裂项相消。 【解答过程】原式 。故选A。 3．（★★）数列 的前 项和为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】裂项相消。 【解答过程】。故选A。 4．（★★）数列 的前 项和为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】首项为 、公差为 的等差数列求和。 【解答过程】。故选A。 5．（★★）数列 的前 项和为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】首项为 、公比为 的等比数列求和。 【解答过程】。故选A。 6．（★★★）已知数列 的前 项和 ，则数列 的前 项和为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由 作差求通项 ，再对 裂项相消。 【解答过程】当 时，；又 ，故 。于是 ，故前 项和 。故选A。 7．（★★★）已知数列 的通项为 ，其前 项和为 。若 对一切 恒成立，则整数 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把通项拆成"错位相减型"与"等比型"分别求和得 的精确式，再由恒成立确定整数下界。 【解答过程】因为 ，而 ，，所以 。因为 ，故 对一切 成立，即 可行；而当 时 ，不满足恒成立。故选B。 8．（★★★）已知数列 的通项为 ，其前 项和为 。若 对一切 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】裂项求 后判断 上的单调性，用最小值定参数上界。 【解答过程】因为 ，所以 。易知 随 增大而增大，故在 上的最小值为 。要使 对一切 恒成立，需 ，得 ，故 的最大值为 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列关于数列求和的说法正确的是（　　） A．等差数列 　B．等比数列 时 　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项验证，D 项缺少 的系数。 【解答过程】A、B 分别是等差、等比数列的求和公式，正确； C 中右边通分得 ，正确； D 中右边通分得 ，比左边大 倍，错误。 故选ABC。 10．（★★）已知数列 的前 项和 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】作差求通项后逐项判断。 【解答过程】，A 正确； 当 时，， 时也成立，B 正确； ，C 正确；，D 错误。 故选ABC。 11．（★★★）设等比数列 的首项 ，公比为 ，前 项和为 。则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 对一切 成立　B．若 ，则数列 单调递增　C．若 ，则不存在 使 　D．若 ，则 对一切 成立 【答案】ABD 【解题思路】按公比 的取值范围分类，结合等比求和公式逐项判断，注意 的临界情形。 【解答过程】A：当 时 （因 ），正确；B：当 时每一项 ，故 ， 递增，正确；C：取 、，则 ，说明存在 使 ，错误；D：当 时相邻两项互为相反数，，故 ，正确。故选ABD。 12．（★★★）已知数列 的通项为 ，其前 项和为 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D．存在 ，使 【答案】ABC 【解题思路】并项求和：把相邻两项并为一组，再按 的奇偶分别写出 。 【解答过程】当 时，，，相邻两项之和 ，故 ，即 ，B 正确；当 时，，即 ，C 正确；由 知 A 正确；若 ，当 为偶数时 无正整数解，当 为奇数时 得 非正整数，故不存在，D 错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）数列 的前 项和为 ____________。 【答案】 【解题思路】首项为 、公差为 的等差数列求和。 【解答过程】。 14．（★★）数列 的前 项和为 ____________。 【答案】 【解题思路】首项为 、公比为 的等比数列求和。 【解答过程】。 15．（★★★）已知数列 的通项为 ， 为其前 项和。若 ，则正整数 的最小值为 ____________。 【答案】 【解题思路】先裂项相消把 化为简洁式，再解关于 的不等式。 【解答过程】因为 ，所以 。由 得 ，即 ，解得 。故正整数 的最小值为 。 16．（★★★）已知数列 的通项为 ，其前 项和为 。若存在正整数 ，使得 对一切 恒成立，则 的最小值为 ____________。 【答案】 【解题思路】先用错位相减求 并确定其上界（极限值），再由恒成立定 的下界。 【解答过程】，，两式相减得 ，故 ，且随 增大而递增趋近于 。要使 对一切 成立，需 ，即 ；而当 时 ，，不成立。故 的最小值为 。 四、解答题 17．（★★）已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【答案】 【解题思路】分组求和：等差部分与等比部分分别求和。 【解答过程】。 ； 。 故 。 【多解·巧解】分组求和题最值得养成的习惯是先写通项的"拆法"，再分别求和。本题把 明确拆成两部分后，剩下的是纯粹的公式代入，几乎不会出错。若想更快，可以记住两个高频结论：，。这两条在分组求和中反复出现，直接调用能省下大量时间。 【易错提醒】① 等比部分的公比误认为 （应为 ），直接用 相加；② 等差部分把 算成 ；③ 两部分相加时把 写成 。检验：，公式给出 ，一致。 18．（★★）已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【答案】 【解题思路】分母相差 ，裂项系数为 ，相消后剩首尾各两项。 【解答过程】因为 ， 故 。 。 中间从 到 的项两两抵消，剩 。 【多解·巧解】裂项跨度为 时，相消后首尾各留两项，这是它与"跨度 "的关键区别。记忆办法：把前几项和后几项写出来看看——正项有 ，负项有 ，能抵消的是 及以后，所以前面的 留下来，后面的 留下来。写出前四项与末两项，答案自然浮现，这比死记公式可靠得多。 【易错提醒】① 忘记 的系数；② 相消后只留首一项与末一项（写成 ），漏掉 与 ；③ 最后通分时把 算成 。检验：，公式给出 ，一致。 19．（★★）已知数列 的通项为 ，求其前 项和 。 【答案】 【解题思路】分组求和：奇数数列与等比数列。 【解答过程】。 前一部分是前 个奇数之和，等于 ； 后一部分是首项为 、公比为 的等比数列前 项和：。 故 。 【多解·巧解】前 个奇数之和等于 ，这条结论建议直接记住：。它可以用等差数列求和公式推出，也可以由" "累加得到——后一种看法把它与裂项联系了起来，理解更深刻。记住常见数列的和式，能把求和题变成填空题。除了奇数之和，还应记住 与。 【易错提醒】① 把前一部分算成 之外的 ；② 等比部分公比写成 但首项写成 ，得到 （本题首项是 ）；③ 把 写成 。检验：，公式给出 ，一致。 20．（★★★）已知等差数列 满足 ，。 (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 ，求数列 的前 项和 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 由两个已知项定首项与公差；(2) 通项为"等差乘等比"，用错位相减法。 【解答过程】(1) 设公差为 ，由 得 ，，故 。 (2) ，故 ，① ，② ① 减 ② 得 。 其中 ， 故 ， 。 【多解·巧解】通项为 型时，除了标准错位相减，还可先拆项：，直接调用已知结论 与等比和 ，得 ，可省去一次完整的错位相减。 【易错提醒】① 相减方向取反后左边变为 （应为 ），导致符号全错；② 中间等比部分首项是 （即 ）而不是 ，漏项会使结果偏差；③ 最后提取 时把 误写成 。检验：，公式给出 ，一致。 21．（★★★）已知数列 的前 项和为 。 (1) 求数列 的通项公式； (2) 设 ，求数列 的前 项和 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用 作差求通项；(2) 取对数后分母成两个连续整数之积，裂项相消。 【解答过程】(1) 当 时，； 又 ，故 。 (2) 因为 ，，故 。 于是 。 【多解·巧解】(1) 求通项后务必用 回代检验： 必须与作差公式在 处一致，否则要分段书写。(2) 中"取对数"是把等比通项化为等差通项的关键一步， 把 型问题彻底转为 的标准裂项。 【易错提醒】① (1) 中作差时把 的指数写错（应为 ），导致 偏差；② (2) 中把 误算成 ，分母不成连续整数；③ 裂项后注意首项是 ，对应的正项为 。检验：，公式给出 ，一致。 22．（★★★）已知数列 的通项为 ，其前 项和为 。 (1) 求 ； (2) 证明：。 【答案】(1) ； (2) 证明见解答。 【解题思路】(1) 分母分解为 后裂项相消；(2) 由化简结果直接作差比较。 【解答过程】(1) ， 故 。 (2) 由 (1) 得 。因为 且 ，故 ，即 。 【多解·巧解】当不等式的右端恰为 时，最省力的证法不是构造差函数，而是先把 化到 再作差： 一目了然。凡是结论里出现"半个分母"的常数，多半就是这个裂项系数留下的痕迹。 【易错提醒】① 分母分解时写成 （错位一项），导致求和范围不对；② 忘记裂项系数 ，得到 ，不等式证明随之失效；③ (2) 中不能用" 递增"代替"与 比较"，递增只能说明有上界，而上界并非 。检验：，公式给出 ，一致。 23．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求证：数列 是等比数列； (2) 求数列 的通项公式； (3) 设 ，求数列 的前 项和 ，并证明 。 【答案】(1) 证明见解答； (2) ； (3) ，证明见解答。 【解题思路】(1) 把递推式变形为 ；(2) 由等比通项求 ；(3) 对 裂项相消后放缩。 【解答过程】(1) 由 得 。 又 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列。 (2) 由 (1) 得 ，故 。 (3) ，因为 ， 故 。 于是 。 因为 ，所以 。 【多解·巧解】(3) 中的裂项是本讲的核心技巧：当 时，先算 ，发现分子恰为 ，正好与 的分子 抵消，系数为 。"先算差、再定系数"是判断裂项系数的万能手法，不必死记公式。 【易错提醒】① (1) 中漏写 （等比数列要求各项非零）；② (2) 中把 误写成 （首项 、公比 ，第 项是 ）；③ (3) 中把裂项系数误定为 ，而 的分子恰为 ，系数应为 。检验：，公式给出 ，一致。 24．（★★★）已知数列 满足 ，（）。 (1) 求证：数列 是等差数列，并求 ； (2) 设 ，求数列 的前 项和 ； (3) 证明：。 【答案】(1) 证明见解答，； (2) ； (3) 证明见解答。 【解题思路】(1) 对递推式两边取倒数，化归为等差数列；(2) 由 写出 后裂项相消；(3) 由化简结果作差比较。 【解答过程】(1) 因为 ，对 两边取倒数得 。 又 ，故 是首项为 、公差为 的等差数列，，即 。 (2) ， 故 。 (3) 由 (2) 得 。因为 ，故 ，所以 。 【多解·巧解】形如 （）的分式递推，取倒数是统一入口：，立刻化为 的等差（或一阶线性）递推。(3) 的证明同样走"先化到简洁式、再作差"的路子，，不必另寻放缩。 【易错提醒】① (1) 中取倒数展开错误，把 误算成 ；② (2) 中遗漏系数 ，得到 ，从而 (3) 的结论错误；③ (3) 中不能用" 递增"代替"与 比较"，论证不完整。检验：，公式给出 ，一致。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $