第27讲 复数讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第27讲 复数 第27讲 复数 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．准确理解复数的概念与分类，能在含参条件下判定实数、虚数、纯虚数，并识别"虚部"等概念陷阱； 2．掌握复数相等的充要条件，会由复数方程求参数或求复数 本身； 3．熟练进行复数的四则运算与 的幂的化简，会用共轭把分母实数化； 4．理解复数模的几何意义，会用 表示距离，求模的最值、范围及复平面内的轨迹。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 复数的概念与含参分类 选择题 第3~5题 中 先化 ，再按实部、虚部组合列条件 复数相等与复数方程 选择题、填空题 第4~7题、第13题 中偏难 实部对实部、虚部对虚部列方程组 四则运算与 的幂 选择题、填空题 第3~6题、第12题 中 乘法用 ，分式乘共轭实数化 共轭与模的运算性质 选择题、填空题 第5~7题、第13题 中偏难 活用 、 模的几何意义与最值范围 选择题、填空题 第6~7题、第12~13题 难 表距离，三角不等式或数形结合 命题规律分析 复数是新高考的"必拿分"题，但培优层不能只满足于第 1~3 题的送分。本专题把它抬到第 3~7 题档：单选落在第 3~7 题、多选第 9~10 题、填空第 12~13 题，并可作为解三角形与解析几何的"隐藏工具"。基础档只考概念与四则运算；培优加码在三处：一是含参分类（实部、虚部、纯虚数三者条件的组合，常压在第 7 题）；二是模的运算性质（、），把复数题变成代数恒等式；三是模的几何意义与最值（ 是距离，配合三角不等式或数形结合求范围）。本讲把"先标准化 、再分类讨论、最后用几何意义求范围"三步讲透，凡涉及 的题一律优先画圆、读圆心距加减半径。 考点1 复数的概念、相等与方程 知识点1 复数的概念与分类 复数形如 （），其中 叫实部、 叫虚部（ 是不含 的实数），。 分类： 时为实数； 时为虚数；实部 且虚部 时为纯虚数。两个复数不能比较大小，除非它们都是实数。 【易错清单】 1．虚部是 前面的实数系数 ，不是 ；如 的虚部是 而非 。 2．纯虚数必须"实部为零且虚部不为零"同时满足，否则 会被误判。 3．只有实数才能比较大小，含虚部的复数之间不能比大小。 知识点2 复数相等与复数方程 复数相等：（）当且仅当 且 （实部对实部、虚部对虚部）。 由相等可求参数或求复数本身；也常用 是实部的两倍、 反求 。 【易错清单】 1．相等只比较同次项：实部相等、虚部相等，二者缺一不可。 2．实系数二次方程的复数根必成共轭对，解出一个另一根直接取共轭。 考点2 共轭、模与几何意义 知识点3 共轭复数与模的运算性质 的共轭为 ；模 （非负实数）。 常用性质：；；；（）。 【易错清单】 1．共轭只改虚部符号，实部不变； 与 一般不相等。 2．求乘积、商的模优先用模的乘积（商）性质，比先算复数再开方更稳。 3． 是非负实数，比较或求范围时别漏掉非负性。 知识点4 模的几何意义与最值范围 表示复平面上点 到定点 的距离； 在某圆上、某直线上时， 转化为"动点到定点距离"。 求范围用三角不等式：，等号在共线时取到；也可数形结合直接读圆心到定点距离加减半径。 【易错清单】 1．三角不等式下界是绝对值 ，当 时容易漏写绝对值得到负数。 2． 对应定点是 不是 ，符号是最频陷阱。 3．求 的范围是"动点到原点距离"，先把 的轨迹方程写出来再求距离极值。 【题型1 复数概念与含参分类】 【例1】已知复数 （），若 为纯虚数，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】已知复数 （），若 为实数，则 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式1-2】已知复数 （），若 为纯虚数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】已知复数 （），若 为虚数（非实数），则 应满足（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 复数相等与复数方程】 【例2】设复数 （），若 且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】设复数 （），若 且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知 ，则复数 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知复数 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 四则运算与 的幂】 【例3】计算 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】计算 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】计算 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】计算 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 共轭与模的运算性质】 【例4】设 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】若复数 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】若复数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知复数 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 模的几何意义与最值范围】 【例5】已知复数 满足 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 复数方程与复平面轨迹】 【例6】已知复数 满足 ，则 在复平面内对应点的轨迹是（　　） A．一条直线　B．一个圆　C．一条线段　D．一个圆（除去一点） 【变式6-1】满足 的复数 对应点的轨迹是（　　） A．直线 　B．直线 　C．圆　D．原点 【变式6-2】满足 的复数 对应点的轨迹是（　　） A．椭圆　B．线段　C．圆　D．直线 【变式6-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D．与 有关 一、单选题 1．（★★）复数 的虚部是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）复数 的模 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）若复数 （）为纯虚数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知复数 （）。若 为纯虚数，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 7．（★★★）已知复数 满足 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知复数 满足 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于复数 ，下列说法正确的是（　　） A．实部为 ，虚部为 　B．　C．　D． 对应点在第四象限 10．（★★）下列运算正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★★）已知 （），，则下列说法正确的是（　　） A． 对任意复数 成立　B．若 ，则 或 　C．若 ，则 为实数　D．若 ，则 12．（★★★）已知复数 满足 ，则下列说法正确的是（　　） A． 对应点的轨迹是以 为圆心、半径为 的圆　B． 的取值范围是 　C． 的最大值为 　D． 的实部可以为 三、填空题 13．（★★）计算 ______。 14．（★★）若复数 满足 ，则 ______。 15．（★★★）已知复数 满足 ，则 的最小值为 ______。 16．（★★★）已知复数 满足 ，则 的取值范围是 ______。 四、解答题 17．（★★）已知复数 。 (1) 求 与 ； (2) 求 ； (3) 求 与 。 18．（★★）已知 。 (1) 求复数 （化为 的形式）； (2) 求 。 19．（★★）设 （），且满足 ，。 (1) 求 、； (2) 求复数 。 20．（★★★）计算下列各式： (1) ； (2) ； (3) 。 21．（★★★）已知复数 满足 。 (1) 说明 表示的图形； (2) 求 的取值范围； (3) 求 的最小值。 22．（★★★）已知复数 （）。 (1) 若 为实数，求 ； (2) 若 为纯虚数，求 ； (3) 若 对应的点在第二象限，求 的取值范围。 23．（★★★）已知复数 满足 （）。 (1) 证明 ； (2) 求 的值； (3) 求 的值。 24．（★★★）已知复数 对应的点为 ，两定点 、，且 （）。 (1) 讨论 的取值，说明点 的轨迹； (2) 当 时，求 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第27讲 复数 第27讲 复数 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．准确理解复数的概念与分类，能在含参条件下判定实数、虚数、纯虚数，并识别"虚部"等概念陷阱； 2．掌握复数相等的充要条件，会由复数方程求参数或求复数 本身； 3．熟练进行复数的四则运算与 的幂的化简，会用共轭把分母实数化； 4．理解复数模的几何意义，会用 表示距离，求模的最值、范围及复平面内的轨迹。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 复数的概念与含参分类 选择题 第3~5题 中 先化 ，再按实部、虚部组合列条件 复数相等与复数方程 选择题、填空题 第4~7题、第13题 中偏难 实部对实部、虚部对虚部列方程组 四则运算与 的幂 选择题、填空题 第3~6题、第12题 中 乘法用 ，分式乘共轭实数化 共轭与模的运算性质 选择题、填空题 第5~7题、第13题 中偏难 活用 、 模的几何意义与最值范围 选择题、填空题 第6~7题、第12~13题 难 表距离，三角不等式或数形结合 命题规律分析 复数是新高考的"必拿分"题，但培优层不能只满足于第 1~3 题的送分。本专题把它抬到第 3~7 题档：单选落在第 3~7 题、多选第 9~10 题、填空第 12~13 题，并可作为解三角形与解析几何的"隐藏工具"。基础档只考概念与四则运算；培优加码在三处：一是含参分类（实部、虚部、纯虚数三者条件的组合，常压在第 7 题）；二是模的运算性质（、），把复数题变成代数恒等式；三是模的几何意义与最值（ 是距离，配合三角不等式或数形结合求范围）。本讲把"先标准化 、再分类讨论、最后用几何意义求范围"三步讲透，凡涉及 的题一律优先画圆、读圆心距加减半径。 考点1 复数的概念、相等与方程 知识点1 复数的概念与分类 复数形如 （），其中 叫实部、 叫虚部（ 是不含 的实数），。 分类： 时为实数； 时为虚数；实部 且虚部 时为纯虚数。两个复数不能比较大小，除非它们都是实数。 【易错清单】 1．虚部是 前面的实数系数 ，不是 ；如 的虚部是 而非 。 2．纯虚数必须"实部为零且虚部不为零"同时满足，否则 会被误判。 3．只有实数才能比较大小，含虚部的复数之间不能比大小。 知识点2 复数相等与复数方程 复数相等：（）当且仅当 且 （实部对实部、虚部对虚部）。 由相等可求参数或求复数本身；也常用 是实部的两倍、 反求 。 【易错清单】 1．相等只比较同次项：实部相等、虚部相等，二者缺一不可。 2．实系数二次方程的复数根必成共轭对，解出一个另一根直接取共轭。 考点2 共轭、模与几何意义 知识点3 共轭复数与模的运算性质 的共轭为 ；模 （非负实数）。 常用性质：；；；（）。 【易错清单】 1．共轭只改虚部符号，实部不变； 与 一般不相等。 2．求乘积、商的模优先用模的乘积（商）性质，比先算复数再开方更稳。 3． 是非负实数，比较或求范围时别漏掉非负性。 知识点4 模的几何意义与最值范围 表示复平面上点 到定点 的距离； 在某圆上、某直线上时， 转化为"动点到定点距离"。 求范围用三角不等式：，等号在共线时取到；也可数形结合直接读圆心到定点距离加减半径。 【易错清单】 1．三角不等式下界是绝对值 ，当 时容易漏写绝对值得到负数。 2． 对应定点是 不是 ，符号是最频陷阱。 3．求 的范围是"动点到原点距离"，先把 的轨迹方程写出来再求距离极值。 【题型1 复数概念与含参分类】 【例1】已知复数 （），若 为纯虚数，则实数 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】纯虚数要求实部为零且虚部不为零，两步检验。 【解答过程】纯虚数要求实部为零且虚部不为零。由 得 ；又虚部 ，故 且 。取交得 。故选B。 【多解·巧解】纯虚数判定的固定两步：先令实部为零求出候选值，再逐个代回检验虚部不为零。本题若不检验，会把 也收进来而错选" 或 "。 【易错提醒】只令实部为零得 就停手，会漏掉"虚部不为零"的检验，从而把使虚部也为零的 误判为纯虚数（ 时 ，是实数）。 【变式1-1】已知复数 （），若 为实数，则 的值为（　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】C 【解题思路】实数要求虚部为零。 【解答过程】实数要求虚部为零：，即 ，得 或 。故选C。 【变式1-2】已知复数 （），若 为纯虚数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先实部为零，再检验虚部不为零。 【解答过程】纯虚数：实部 得 ；虚部 得 。故 。（当 时 ，确为纯虚数）故选A。 【变式1-3】已知复数 （），若 为虚数（非实数），则 应满足（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】虚数等价于虚部不为零。 【解答过程】虚数（非实数）等价于虚部不为零：，即 。实部是否为零不影响"是虚数"。故选A。 【题型2 复数相等与复数方程】 【例2】设复数 （），若 且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】由 、 反求实部与虚部。 【解答过程】，故 ；，代入 得 ，，。所以 。故选C。 【多解·巧解】 是实部的两倍、，本题直接读出实部为 、模平方为 ，于是 ，不必设二元硬解。 【易错提醒】得到 后只写一个 会漏掉共轭根；系数为实数时复数方程通常成对出现共轭解。 【变式2-1】设复数 （），若 且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】由实部与模列方程。 【解答过程】，故 ；，代入得 ，。所以 。故选C。 【变式2-2】已知 ，则复数 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两边同除以 ，分子分母同乘共轭实数化。 【解答过程】。故选A。 【变式2-3】已知复数 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】观察法或设 比较系数；实系数方程根成共轭对。 【解答过程】因为 ，所以一根为 ，另一根为其共轭 ，即 。故选C。 【题型3 四则运算与 的幂】 【例3】计算 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 的幂按周期 化简； 直接记忆。 【解答过程】；，故 。所以原式 。故选A。 【多解·巧解】先算 （高频结论应直接记忆），它的平方就是 ，不必展开四次方；幂指数除以 看余数即可。 【易错提醒】误把 的余数为 对应成 ：余 时 ，不是 。 【变式3-1】计算 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】，余 得 。 【解答过程】，故 。故选A。 【变式3-2】计算 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分子分母同乘分母的共轭 实数化。 【解答过程】。故选A。 【变式3-3】计算 的值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】按多项式展开，遇到 换成 。 【解答过程】。故选A。 【题型4 共轭与模的运算性质】 【例4】设 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用 ，各自求模再相乘。 【解答过程】，。由 得 。故选A。 【多解·巧解】求乘积的模不要真的把两个复数乘出来：直接用 各自求模再相乘，计算量骤减，也不易出错。 【易错提醒】若先求 再开方得 结果虽对，但绕远路且中间项易错。 【变式4-1】若复数 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】。 【解答过程】，而 ，故 。故选A。 【变式4-2】若复数 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】、。 【解答过程】，故 ；。所以原式 。故选A。 【变式4-3】已知复数 满足 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】配方成 。 【解答过程】设 ，则 ，。代入得 ，配方得 。而 ，故 。故选A。 【题型5 模的几何意义与最值范围】 【例5】已知复数 满足 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】几何意义： 在圆 上，求到定点 的最小距离。 【解答过程】 表示复平面上点 到定点 （对应坐标 ）的距离。 表示 在以原点为圆心、半径为 的圆上。圆心到定点 的距离为 。由圆的几何性质，圆上点到该定点的最小距离为 。故选A。 【多解·巧解】用三角不等式更利落：（因 ）。代数与几何两条路线结果一致，考场上可互相验证。 【易错提醒】把下界错写成 ；模是非负的，下界应取绝对值 。 【变式5-1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】，单位圆上点到 的最小距离。 【解答过程】 是点 到 的距离。 是单位圆，圆心到 距离为 ，故最小距离为 。故选A。 【变式5-2】已知 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 在以 为圆心、半径为 的圆上，求到原点距离范围。 【解答过程】 表示 在以 为圆心、半径为 的圆上。 是该圆上点到原点的距离，圆心到原点距离为 ，故取值范围为 。故选A。 【变式5-3】已知 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】圆心距 加半径 。 【解答过程】 表示以 为圆心、半径为 的圆。 为该圆上点到原点距离，圆心到原点距离为 ，故最大值为 。故选A。 【题型6 复数方程与复平面轨迹】 【例6】已知复数 满足 ，则 在复平面内对应点的轨迹是（　　） A．一条直线　B．一个圆　C．一条线段　D．一个圆（除去一点） 【答案】A 【解题思路】到两定点 与 距离相等 中垂线。 【解答过程】设 ，则 ，。两式相等并平方得 ，展开化简得 ，即 。这是一条直线（到点 与 距离相等的中垂线）。故选A。 【多解·巧解】直接用几何意义更省力： 是 到 的距离， 是 到 的距离。两距离相等 在两定点连线的中垂线上，无需代数展开。 【易错提醒】把 误写成"到 的距离"：注意 对应点是 ，不是 。符号处理是这类题头号陷阱。 【变式6-1】满足 的复数 对应点的轨迹是（　　） A．直线 　B．直线 　C．圆　D．原点 【答案】A 【解题思路】到 与 等距 中垂线。 【解答过程】 是到原点 的距离， 是到 的距离，相等即中垂线，方程为 。故选A。 【变式6-2】满足 的复数 对应点的轨迹是（　　） A．椭圆　B．线段　C．圆　D．直线 【答案】A 【解题思路】到两定点距离之和为常数（大于焦距） 椭圆。 【解答过程】 是 到两定点 、 的距离之和，为常数 （两定点间距），故轨迹是以这两点为焦点的椭圆。故选A。 【变式6-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D．与 有关 【答案】A 【解题思路】展开后用 化简。 【解答过程】。故选A。 一、单选题 1．（★★）复数 的虚部是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】虚部是 前面的实数。 【解答过程】，虚部为 （不含 ）。故选A。 2．（★★）复数 的模 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】。 【解答过程】。故选A。 3．（★★）若复数 （）为纯虚数，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】实部为零且虚部不为零。 【解答过程】纯虚数要求实部为零且虚部不为零：由 得 ，此时虚部 。故选A。 4．（★★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】按完全平方公式展开，注意 。 【解答过程】。故选A。 5．（★★）（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】 除以 余 。 【解答过程】，故 。故选B。 6．（★★★）已知复数 （）。若 为纯虚数，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】A 【解题思路】纯虚数要求实部为零且虚部不为零，两步检验。 【解答过程】令实部为零：，因式分解得 ，即 或 。 再检验虚部不为零：，即 且 。 两条件取交得 。故选A。 7．（★★★）已知复数 满足 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 表示 到点 与 距离相等，轨迹是两点连线的中垂线，再求原点到该直线的距离。 【解答过程】设 （），则 ，。 由 得 ，展开化简得 ， 即 ，故轨迹是直线 。 是该直线上点到原点的距离，其最小值为 。故选A。 8．（★★★）已知复数 满足 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 表示圆， 是圆上点到定点 的距离，用圆心距加减半径求范围。 【解答过程】 表示以 为圆心、半径为 的圆。 表示该圆上的点到定点 的距离。 圆心到定点的距离为 ， 故取值范围为 。故选A。 二、多选题 9．（★★）关于复数 ，下列说法正确的是（　　） A．实部为 ，虚部为 　B．　C．　D． 对应点在第四象限 【答案】ABC 【解题思路】逐项按概念、共轭、模、几何意义判断。 【解答过程】A 实部 、虚部 正确；B 正确；C 正确；D 对应点 在第一象限，错误。故选ABC。 10．（★★）下列运算正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABCD 【解题思路】逐项验证。 【解答过程】A 正确；B 正确；C 正确；D 正确。故选ABCD。 11．（★★★）已知 （），，则下列说法正确的是（　　） A． 对任意复数 成立　B．若 ，则 或 　C．若 ，则 为实数　D．若 ，则 【答案】ABC 【解题思路】逐项用共轭、模与复数相等的性质验证；D 只需举一个反例。 【解答过程】A：由共轭与模的定义，，对任意复数成立，正确； B： 即 ，解得 ，正确； C：由 得 ，即 ，于是 为实数，正确； D：取 ，则 但 ，故说法错误。 故选ABC。 12．（★★★）已知复数 满足 ，则下列说法正确的是（　　） A． 对应点的轨迹是以 为圆心、半径为 的圆　B． 的取值范围是 　C． 的最大值为 　D． 的实部可以为 【答案】ABC 【解题思路】 是圆，逐项用圆心距加减半径或圆上点的坐标范围判断。 【解答过程】 表示以 为圆心、半径为 的圆。 A：由定义，正确； B：圆心到原点距离为 ，故 ，正确； C： 是圆上点到 的距离，圆心 到 的距离为 ，最大值为 ，正确； D：圆上点的横坐标取值范围为 ，最小为 ，不可能取到 ，错误。 故选ABC。 三、填空题 13．（★★）计算 ______。 【答案】 【解题思路】用模的乘积性质。 【解答过程】。 14．（★★）若复数 满足 ，则 ______。 【答案】 【解题思路】。 【解答过程】。 15．（★★★）已知复数 满足 ，则 的最小值为 ______。 【答案】 【解题思路】轨迹是中垂线， 的最小值就是原点到该直线的距离。 【解答过程】设 （），由 得 ， 展开化简得 ，即 。 的最小值为原点到直线 的距离：。 16．（★★★）已知复数 满足 ，则 的取值范围是 ______。 【答案】 【解题思路】把条件配方成 ，得到以 为圆心、半径为 的圆，再求圆上点到原点距离的范围。 【解答过程】设 （），则 ，。 代入得 ，配方得 ， 即 在以 为圆心、半径为 的圆上。圆心到原点的距离为 ， 故 。 四、解答题 17．（★★）已知复数 。 (1) 求 与 ； (2) 求 ； (3) 求 与 。 【答案】(1) ，； (2) ； (3) ，。 【解题思路】先求共轭与模，再展开运算，善用恒等式。 【解答过程】(1) ，。 (2) ，，故 。 (3) ，。 【多解·巧解】(2) 用提取因式 比先算 再减更省事：，与 相乘一步到位。另外 (3) 的 是实部的两倍、，可直接写结果，不必重新展开。 【易错提醒】(2) 中 的 别漏掉变号；减 时要整体减去 ，写成 得到 ，注意 变 是去括号符号所致。 18．（★★）已知 。 (1) 求复数 （化为 的形式）； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】分母实数化，再开方求模。 【解答过程】(1) 。 (2) 。 【多解·巧解】分母实数化的同时也可顺手求模：，比先化 再开方快，且两条路线可互相验证。 【易错提醒】分子乘共轭时 中间项是 ，不是 ；注意 ，常数项是 。 19．（★★）设 （），且满足 ，。 (1) 求 、； (2) 求复数 。 【答案】(1) ，； (2) 。 【解题思路】由实部与模列方程。 【解答过程】(1) ，故 ；，代入 得 ，，。 (2) 所以 。 【多解·巧解】这类"给 和 求 "的题，可把 当作二次方程 的根，即 ，解得 。把复数条件翻译成实系数二次方程，思路更系统。 【易错提醒】得到 后只能写出一个 ；系数为实数时复数根必成共轭对，两根都要写出。 20．（★★★）计算下列各式： (1) ； (2) ； (3) 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】幂用周期 化简，分式乘共轭实化，模用乘积性质 。 【解答过程】(1) ，故 ；又 ，故 ， 原式 。 (2) 。 (3) 。 【多解·巧解】(2) 中分子乘共轭后 使常数项由 变 ，实部恰好化简；(3) 直接用 ，不必先把乘积算出来再开方，计算量骤减。 【易错提醒】(1) 中 的指数除以 余 ，对应 ，不要写成 ；(3) 中 要化简为 ，填空题不化简通常算错。 21．（★★★）已知复数 满足 。 (1) 说明 表示的图形； (2) 求 的取值范围； (3) 求 的最小值。 【答案】(1) 以 为圆心、半径为 的圆； (2) ； (3) 。 【解题思路】圆上点到定点距离的范围用"圆心距加减半径"；(3) 中最小值等于圆心距减半径。 【解答过程】(1) 表示以 为圆心、半径为 的圆。 (2) 圆心到原点的距离为 ，故 。 (3) 是该圆上点到定点 的距离，圆心 到 的距离为 ， 故 的最小值为 。 【多解·巧解】这类"圆上点到定点距离"的题统一用圆心距加减半径：最大值 、最小值 （若 则最小值为 ，故应写成 ）。(3) 中 ，故最小值确为 。 【易错提醒】(2) 中下界要写成 ，本题 ，故为 ；(3) 中定点是 （对应 ），圆心到 的距离是 而不是 。 22．（★★★）已知复数 （）。 (1) 若 为实数，求 ； (2) 若 为纯虚数，求 ； (3) 若 对应的点在第二象限，求 的取值范围。 【答案】(1) 或 ； (2) ； (3) 。 【解题思路】实数看虚部为零，纯虚数看实部为零且虚部不为零，象限看实部、虚部的正负并取交集。 【解答过程】(1) 实数要求虚部为零：，得 或 。 (2) 纯虚数要求实部为零且虚部不为零：令 ，因式分解得 ，即 或 ； 再由虚部 排除 ，故 。 (3) 第二象限要求实部为负、虚部为正：由 得 ； 由 得 或 。两范围取交得 。 【多解·巧解】含参复数的三种分类是固定套路：实数看虚部为零、纯虚数"实部为零且虚部不为零"、象限按实部与虚部的正负求交集。(2) 中先解实部为零得到候选值，再逐个代回检验虚部，能避免把 误收进来。 【易错提醒】(2) 中只令实部为零会得到 或 ，必须用"虚部不为零"把 剔掉（此时 ，是实数而不是纯虚数）；(3) 中 的解集是 或 ，两个不等式最终要取交集。 23．（★★★）已知复数 满足 （）。 (1) 证明 ； (2) 求 的值； (3) 求 的值。 【答案】(1) 证明见解析； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 对已知等式取共轭后作差，先说明 不是实数，再逼出 ；(2) 两边乘 得 ，凑出 ；(3) 由 降幂，再用 化为 求值。 【解答过程】(1) 由 两边取共轭（ 是实数），得 。 两式相减得 ，即 ， 整理为 。若 ，则 为实数，代入原式得 ，其判别式 ，无实数解，矛盾，故 。 于是只能 ，即 ，所以 。 (2) 已知式两边乘 得 ，即 。又 ，且 （代入原式得 ）， 故 ，即 。 (3) 由 得 。又 ，故 。 由 (1) 得 ，所以 。 所以 。再由 知 ，代入原式得 ， 故原式 。 【多解·巧解】(1) 的关键是"取共轭作差"，把 作为可用条件，这是含参等式论证的常用手段。(3) 完全不必求出 的具体值：用 降幂，再用 把 转成 ，整体代入 即可，比硬算 省力得多。 【易错提醒】(1) 容易忽略讨论 的情形而直接默认 ，必须先说明 不是实数；(2) 由 两边乘 时，结论是 而不是 ，符号不能丢；(3) 指数 除以 余 ，对应 而不是 ，余数算错就会全盘出错。 24．（★★★）已知复数 对应的点为 ，两定点 、，且 （）。 (1) 讨论 的取值，说明点 的轨迹； (2) 当 时，求 的取值范围。 【答案】(1) 时轨迹不存在； 时轨迹为线段 （含端点）； 时轨迹为以 、 为焦点的椭圆； (2) 。 【解题思路】把 与两定点间距离 作比较，分三种情形对应"不存在、线段、椭圆"；(2) 用椭圆方程把 化为单变量求范围。 【解答过程】(1) 表示点 到 、 的距离之和为 ，而 。 当 时，，由三角形不等式 ，这样的点 不存在； 当 时，，点 在线段 上（含端点），轨迹为线段 ； 当 时，，轨迹是以 、 为焦点的椭圆。 (2) 当 时，距离之和为 ，故长半轴 ；半焦距 ，短半轴 。设 ，则 在椭圆 上，其中 。 于是 ，当 时取最小值 ，当 时取最大值 ，故 。 【多解·巧解】(1) 的关键是把 与两定点间距离 作比较，这正是椭圆定义中"到两定点距离之和大于两定点间距离"的必要条件。(2) 也可用几何法：原点恰为椭圆中心， 的最小值是短半轴 、最大值是长半轴 ，可直接写出范围，比代数配方更快。 【易错提醒】(1) 最容易漏掉 与 两种临界情形，只答"椭圆"是不完整的， 时轨迹退化为线段而不再是椭圆；(2) 中距离之和 是长半轴的两倍，长半轴是 而不是 ，两焦点为 故半焦距 而不是 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $