第26讲 平面向量的数量积及其应用讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第26讲 平面向量的数量积及其应用 第26讲 平面向量的数量积及其应用 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解数量积的定义与几何意义，掌握数量积的运算律与常用恒等式，会求数量积； 2．掌握数量积的坐标表示，会用坐标判断两向量垂直、求向量的模与夹角； 3．会用"模平方"处理模的问题，会求 型的最值； 4．理解投影数量与投影向量的区别与联系，会处理夹角为锐角或钝角的条件讨论问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 数量积的定义与直接计算 选择题、填空题 第4~6题、第13题 中 熟用 ，几何题先拆向量 模与夹角的求解 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 求模先平方，求角套余弦式 垂直与数量积求参数 选择题、填空题 第5~8题、第13题 中偏难 令数量积为 ，含参时注意讨论 锐角、钝角的条件讨论 选择题、填空题 第8题、第14题 难 除符号外还要排除共线情形 模的最值与投影向量 选择题、解答题 第8题、第14题、第17~19题 难 平方后配方法求最值；投影分母是 命题规律分析 数量积是向量章节分值最密集的一块，也是培优层最该拿稳的部分。新高考中它常出现在单选第5~8题、多选第10~11题、填空第13~14题，并作为解三角形、解析几何题的"隐藏工具"反复出现。基础档只考套公式；培优档有三个明显的加码点：一是夹角为锐角或钝角时，除 的符号外还要排除共线（ 与 都不算锐、钝角）；二是模的最值，把 看成关于 的二次函数配方；三是几何图形中的数量积，要会写 这类跨点向量的拆分。本讲把"求模先平方、求角套余弦、判垂直看零"三条主线讲透，并给出每一类题的第二条路径。 考点1 数量积的定义与几何意义 知识点1 数量积的概念与运算律 ，其中 是两向量共起点时的夹角，；数量积是实数，不是向量。 运算律：；；；不满足消去律与结合律。 【易错清单】 1． 必须两向量共起点；求 时夹角是 的补角，更稳的做法是拆成 ； 2． 或 或 ，三种可能都要考虑； 3．数量积不满足结合律，。 知识点2 投影数量与投影向量 在 方向上的投影数量为 （可正可负），投影向量为 。 几何意义： 等于 与 在 方向上投影数量的乘积； 表示夹角为锐角（或 ）， 表示夹角为钝角（或 ）。 【易错清单】 1．投影数量是实数可正可负，投影向量是向量，两者不能混为一谈； 2．投影向量的分母是 而不是 ，这是最高频的公式错误； 3． 只能推出夹角为锐角或 ，要得锐角须再排除同向共线。 考点2 数量积的运算律、模与夹角 知识点3 常用恒等式与模 ；；。 求模先平方：，把模的问题转化为数量积问题；三角不等式 。 【易错清单】 1．，交叉项系数是 不是 ； 2．配方求最值时，二次式的最小值开方才是模的最小值，别把 的最小值当成 ； 3． 的取值范围是 ，端点在同向或反向时取到。 知识点4 夹角与垂直 ；（非零向量）。 锐角： 且两向量不同向共线；钝角： 且两向量不反向共线。 【易错清单】 1．漏掉"排除共线"是这类题的头号丢分点： 不是锐角， 不是钝角； 2．， 的取值范围是 ，算出的余弦值超出范围说明计算有误； 3．判断垂直时要求两向量非零： 与任何向量的数量积都是 。 考点3 数量积的坐标表示 知识点5 坐标形式的数量积、模、垂直与夹角 设 、，则 ，。 坐标判据：；；。 【易错清单】 1．垂直与共线的坐标条件极易混淆：垂直是"乘积相加"为零，共线是"交叉相乘相减"为零； 2．坐标形式下求模别忘了开方； 才是平方； 3．用坐标求夹角时，分子是数量积、分母是两个模的乘积，别漏掉其中一个模。 【题型1 数量积的定义与直接计算】 【例1】已知 ，， 与 的夹角为 。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】先由定义求 ，之后一切展开都基于"求模先平方"。 【解答过程】(1) 。 (2) ， 故 。 (3) 。 【多解·巧解】(3) 有更省事的算法：先把 记下，再把 看成"关于 、 的二次型展开"，按 一次成型。 熟练后这类题可以完全心算，关键是把 、、 三个"基本量"先算出来摆在旁边。 【易错提醒】(2) 中最容易写错的是交叉项：，系数是 ，写成 会得到 而错选。 【变式1-1】已知 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求模先平方，展开后代入三个基本量。 【解答过程】， 故 。故选A。 【变式1-2】已知 ，，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由垂直得 ，展开即可解出数量积。 【解答过程】由 得 ， 即 ，故 。故选A。 【变式1-3】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 拆成 ，使两个向量共起点。 【解答过程】，故 。 ，。 故 。故选A。 【题型2 坐标形式的数量积与模】 【例2】已知 ，。 (1) 求 、、； (2) 求 ； (3) 若 与 垂直，求 的值。 【答案】(1) ，，； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1)(2) 逐分量运算；(3) 用数量积为 ，不一定要先算坐标。 【解答过程】(1) ； ，。 (2) ，， 。 (3) 由 得 ， 即 ，故 。 【多解·巧解】(3) 用 直接求解，完全不必先算 再点乘，省掉了展开坐标这一步。凡是"含参组合向量与已知向量垂直"，一律用分配律展开成 模长的平方 与数量积的线性组合，这是本节提速最有效的一条经验。 【易错提醒】(3) 中要注意是与 垂直而不是与 垂直，条件写成 会得到 的错误答案。落笔前先把"与谁垂直"圈出来。 【变式2-1】已知 ，，则 与 分别为（　　） A．、　B．、　C．、　D．、 【答案】A 【解题思路】先算数量积，再算组合向量的坐标与模。 【解答过程】； ，。 故选A。 【变式2-2】已知 ，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】坐标形式的垂直条件：对应分量乘积之和为零。 【解答过程】由 得 ，即 ，。 此时 、，确互相垂直。故选A。 【变式2-3】已知 ，，则 在 方向上的投影数量为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】投影数量 。 【解答过程】，。 故投影数量为 。故选A。 【题型3 向量的夹角与锐钝角的条件讨论】 【例3】已知 ，，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是（　　） A．　B． 且 　C．　D． 【答案】B 【解题思路】钝角要求 且两向量不反向共线。 【解答过程】先由钝角得 ：，得 。 再排除反向共线：若 （），则 ，，进而 。 当 时 ，夹角为 ，不是钝角，应舍去。 故 且 $k eq -4$。故选B。 【多解·巧解】这类题有一个固定的三步流程：① 由锐、钝得 或 ；② 令 解出共线时的参数值（注意判断 的正负）；③ 从①的范围中把②的值挖掉。 第②步常常可以"一眼看出"：本题 的第一个分量恒为 ，而 的第一个分量是 ，所以共线时必有 ，直接就知道要挖掉的是 。 【易错提醒】只写 就选 A，是本题设计好的陷阱。 时两向量反向共线、夹角为 ，而钝角的定义严格要求 ，端点取不到。同理，锐角要排除 （同向共线）。 【变式3-1】已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再平方求模。 【解答过程】。 。 故 。故选A。 【变式3-2】已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用 。 【解答过程】； ，。 ，故 。故选A。 【变式3-3】已知非零向量 、 满足 ，则 与 的夹角为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把差的模等于模长 平方，转化为关于 的方程。 【解答过程】设 ，夹角为 。 。 由 得 ，即 ，。 故 。故选B。 【题型4 求向量的模与模的最值】 【例4】已知 ，， 与 的夹角为 ，。 (1) 用 表示 ； (2) 当 为何值时 取最小值？最小值是多少？ 【答案】(1) ； (2) ，最小值为 。 【解题思路】把模的平方写成 的二次函数，配方法求最值。 【解答过程】(1) 。 。 (2) ，当且仅当 时取等号。 故 的最小值为 ，此时 。 【多解·巧解】本题有漂亮的几何解法： 是点 到 所在直线上动点的距离，其最小值就是点 到该直线的距离，等于 ，与代数配方结果一致。 一般地， 的最小值为 ， 时取到，可直接套用。 【易错提醒】配方得到的是 的最小值 ，题目问的是 的最小值，最后必须开方得 。这是模的最值题最普遍的失分点。 【变式4-1】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用三角不等式，端点在同向与反向时取到。 【解答过程】由三角不等式 ， 得 ，即 。 故选A。 【变式4-2】已知 、 满足 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求模先平方，交叉项系数为 。 【解答过程】。 故 。故选A。 【变式4-3】已知 ，，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由垂直条件解出 ，再平方求模。 【解答过程】由 得 ，即 ，故 。 ， 故 。故选A。 【题型5 垂直与数量积的含参讨论】 【例5】已知 ，。 (1) 若 ，求 ； (2) 若 ，求 ； (3) 若 与 的夹角为锐角，求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 且 $m eq \frac{1}{2}$。 【解题思路】(2) 用 ；(3) 锐角要排除同向共线。 【解答过程】(1) 由 得 ，。 (2) 由 得 ， 即 ，故 ，，。 (3) 锐角要求 ，即 ，。 再排除同向共线：若 （），则 ，，。 当 时夹角为 ，不是锐角，应舍去。 故 且 $m eq \frac{1}{2}$。 【多解·巧解】(2) 的结论可以记住为一条通用性质： 等价于 ，它的几何意义是"菱形的对角线互相垂直"。看到这种结构直接转化为模相等，比展开四个数量积快得多。 (3) 与例3 的钝角情形完全对偶，把两题放在一起练，"先定符号、再挖共线"的流程就固化了。 【易错提醒】(3) 中最容易漏掉 $m eq \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a}0^{\circ}0^{\circ}$ 既不是锐角也不是钝角，必须从范围内挖掉。 【变式5-1】已知 ，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】坐标垂直条件：。 【解答过程】由 得 ，即 ，。故选A。 【变式5-2】已知 、、，则 是（　　） A．等腰直角三角形　B．直角三角形（非等腰）　C．等腰三角形（非直角）　D．一般三角形 【答案】A 【解题思路】算 、 的数量积与模。 【解答过程】？更正：，。 ，。 ，故 ， 是直角三角形； 又 $|\overrightarrow{AB}| eq |\overrightarrow{AC}|$，故不是等腰三角形。 故选B。 【变式5-3】已知 ，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】转化为 。 【解答过程】由 得 ，即 。 ，，故 ，，。 故选C。 【题型6 投影、投影向量与数量积的范围】 【例6】已知 ，。 (1) 求 在 方向上的投影数量与投影向量； (2) 设 （），当 为何值时 最小？最小值是多少？ 【答案】(1) 投影数量为 ，投影向量为 ； (2) ，最小值为 。 【解题思路】(1) 投影数量分母是 ，投影向量分母是 ；(2) 平方后配方。 【解答过程】(1) ，，。 投影数量为 ； 投影向量为 。 (2) ， 。 当 时取最小值 ，故 的最小值为 。 【多解·巧解】(2) 完全可以用公式直接写：，最小值在 处取到，最小值为 。 记住"取到最值时 "这一结论，它与投影向量的系数恰好互为相反数，两者可以互相印证。 【易错提醒】投影数量 与投影向量 的分母不同，前者是模、后者是模的平方；另外投影数量可以为负，代表 与 的夹角为钝角。 【变式6-1】已知 ，，则 在 方向上的投影数量为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】投影数量 。 【解答过程】，。 故投影数量为 。故选A。 【变式6-2】已知 ，， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影数量为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】投影数量 。 【解答过程】投影数量为 。故选A。 【变式6-3】已知 ，，则 在 方向上的投影向量为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】投影向量 。 【解答过程】，。 投影向量为 。故选A。 一、单选题 1．（★★）已知 ，， 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直接用定义式。 【解答过程】。故选A。 2．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】坐标形式：对应分量相乘再相加。 【解答过程】。故选A。 3．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】模的坐标公式 。 【解答过程】。故选A。 4．（★★）已知 ，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】垂直的坐标条件：。 【解答过程】由 得 ，。故选A。 5．（★★）已知 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求模先平方。 【解答过程】， 故 。故选A。 6．（★★★）已知 ，，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求模先平方：，再代入垂直条件。 【解答过程】由 得 。 ， 故 ，。故选A。 7．（★★★）已知 ，。若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（　　） A．　B． 且 　C．　D． 【答案】B 【解题思路】锐角要求 且两向量不共线同向，同向共线对应的 要挖掉。 【解答过程】，得 。 再排除同向共线：若 （），由第一个分量 得 ， 此时 ，两向量夹角为 ，不是锐角，应舍去。 故 且 。故选B。 8．（★★★）在 中，，，， 为 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 、 都拆成 、 的组合，再用分配律与平方差。 【解答过程】，。 。 故选A。 二、多选题 9．（★★）已知 ，，则下列结论正确的有（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABCD 【解题思路】算出数量积与模后逐项判断，D 用 。 【解答过程】，A对，进而 B 对； ，，C对； ，D对。 故选ABCD。 10．（★★）已知 ，，则下列说法正确的有（　　） A． 的最大值为 　B． 的最小值为 　C． 的最大值为 　D． 的最小值为 【答案】ABCD 【解题思路】，端点在同向或反向时取到。 【解答过程】，A、B 都对； 由三角不等式 ，C、D 都对。 故选ABCD。 11．（★★★）已知 ，（），则下列说法正确的有（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 　C．若 与 的夹角为钝角，则 　D．若 ，则 【答案】ABD 【解题思路】逐项独立推导；钝角的判定除数量积为负外，还要排除反向共线（临界值 ）。 【解答过程】A：由 得 ，正确； B：由 得 ，正确； C：由 得 。但若两向量反向共线，设 （）， 由第二个分量 得 ，此时 ，夹角为 不是钝角，须剔除。 故取值范围应为 且 ，说法漏掉临界值，错误； D： 两边平方得 ，即 ，正确。故选ABD。 12．（★★★）已知 ，，，则下列说法正确的有（　　） A． 与 的夹角为 　B．　C．　D．（）的最小值为 【答案】ABC 【解题思路】逐项用夹角公式、模平方与二次函数的最值验证；注意 D 中最小值应是模长而不是模长平方。 【解答过程】A：，故 ，正确； B：，故 ，正确； C：，正确； D：， 模长平方的最小值为 ，故 的最小值为 而不是 ，错误。 故选ABC。 三、填空题 13．（★★）已知 ，，则 ______， ______。 【答案】； 【解题思路】数量积用坐标公式，模用距离公式。 【解答过程】； 。 14．（★★）已知 ，，若 ，则 ______。 【答案】 【解题思路】垂直时对应分量乘积之和为零。 【解答过程】由 得 ，即 ，。 15．（★★★）已知 ，。若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是 ______。 【答案】 且 【解题思路】钝角要求数量积为负且两向量不共线反向，临界值要单独剔除。 【解答过程】由钝角得 ，即 。 再排除反向共线：若 （），由第二个分量 得 ， 此时 ，两向量夹角为 ，不是钝角，应舍去。 故 且 。 16．（★★★）已知 ，，。若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 ______。 【答案】 【解题思路】把数量积写成 ，夹角为锐角即 。 【解答过程】设 与 的夹角为 ，则 。 由 为锐角知 ，故 ， 于是 。故 。 四、解答题 17．（★★）已知 ，， 与 的夹角为 。 (1) 求 、、； (2) 求 。 【答案】(1) 、、； (2) 。 【解题思路】先把 、、 三个基本量算出来，再展开。 【解答过程】(1) ； ，故 ； ，故 。 (2) 。 【多解·巧解】(2) 的展开可以按"二次型"的规律一次写对： 中 的系数是 ， 的系数是 ， 的系数是 。熟练后不必逐项相乘，直接按"系数表"写出结果，可有效避免漏项。 【易错提醒】(1) 中 和的模 与 差的模 的差别只在交叉项符号：一个是 、一个是 ，算完一个后另一个只需改动符号，但也正因为如此容易把两个答案写反。 18．（★★）已知 ，。 (1) 求 、、； (2) 求 与 的夹角的余弦值； (3) 求 。 【答案】(1) 、、； (2) ； (3) 。 【解题思路】逐项用坐标公式，夹角余弦用 。 【解答过程】(1) ； ，。 (2) 。 (3) ，故 。 【多解·巧解】(3) 也可以用模平方公式核对：，同样得 。当两条路线算出不同结果时，说明某处的符号或系数出了错，交叉验证是考场上最划算的检查手段。 【易错提醒】(2) 分母是两个模的乘积 ，只除以一个模是常见错误；另外结果要分母有理化写成 。 19．（★★）已知 、、。 (1) 求 、 的坐标及 、； (2) 求 ，并判断 是否为直角三角形； (3) 求 的面积。 【答案】(1) ，，，； (2) ，不是直角三角形； (3) 。 【解题思路】(3) 先由数量积求 ，再由 求 ，最后用面积公式。 【解答过程】(1) ，； ，。 (2) $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3 + 20 = 23 eq 0\angle A eq 90^{\circ}$。 再检验 ：，，$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC} = 6 - 4 = 2 eq 0$； 检验 ：，，$\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB} = -2 + 5 = 3 eq 0$。 三个角都不是直角，故 不是直角三角形。 (3) ，故 。 。 【多解·巧解】(3) 有更简洁的算法：借助 把面积写成 ，代入得 。 这个式子不需要开根求 再求 ，一步到位，是坐标法求三角形面积的标准做法。 【易错提醒】(2) 判断直角三角形必须三个角都检验（或至少检验一个角后说明另外两个不可能），只算 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} eq 0$ 就下结论"不是直角三角形"是不严谨的。 20．（★★★）已知 ，， 与 的夹角为 。 (1) 求 与 ； (2) 若 与 垂直，求 ； (3) 求 （）的最小值及此时 的值。 【答案】(1) ，； (2) ； (3) ，最小值为 。 【解题思路】三问都围绕同一个基本量 展开；第 (3) 问配方求模的最小值，注意最后要开方。 【解答过程】。 (1) ，故 。 (2) 由 得 ，故 。 (3) ， 故当 时 取最小值 ， 的最小值为 。 【多解·巧解】(3) 也可用现成公式： 的最小值为 ，取最小值时 ，该值与投影向量系数互为相反数。 【易错提醒】(1) 中交叉项系数是 ，写成 会算错；(2) 中是"与 垂直"，不要把条件点乘成 ；(3) 配方得到的是模长平方的最小值 ，最后必须开方得 。 21．（★★★）已知 ，。 (1) 若 与 的夹角为锐角，求 的取值范围； (2) 若 与 的夹角为钝角，求 的取值范围； (3) 是否存在实数 使 与 的夹角为 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由。 【答案】(1) 且 ； (2) ； (3) 存在，。 【解题思路】锐角、钝角都先由数量积的符号定范围，再分别排除同向、反向共线；直角直接令数量积为零。 【解答过程】。 (1) 锐角要求 ，即 。再排除同向共线：设 （）， 由第二个分量 得 ，此时 ，夹角为 ，应舍去， 故 且 。 (2) 钝角要求 ，即 。再排除反向共线：同理共线时 ，只可能同向， 不存在反向共线情形，故 。 (3) 夹角为 即 ，，，存在。 【多解·巧解】三小问是同一套动作的三次使用：先算数量积的符号，再判断是否存在共线需要剔除。特别是钝角情形，要先看共线时的比例系数 的正负：本题 ，说明只能同向，故无需剔除任何值，直接取 。 【易错提醒】(1) 中最容易漏掉 ：此时 ，夹角为 ，不属于锐角；(2) 中不要因为"锐角要剔除"就盲目地也给钝角剔除一个值，当共线系数恒正时反向共线根本不存在；(3) 是直角（数量积为零），要与 (1)(2) 的严格不等号区分开。 22．（★★★）在 中，，，。 (1) 求 及 的长； (2) 若 为 的中点，求 ； (3) 求 。 【答案】(1) ，； (2) ； (3) 。 【解题思路】(2)(3) 的关键都是把目标向量拆成 、 的组合，再用"求模先平方"。 【解答过程】(1) 。 ，故 。 (2) ， ，故 。 (3) 。 【多解·巧解】(2) 的结果可用中线长公式复核：，代入得 ，解得 ，与平方结果一致。(3) 中 与 不共起点，务必先拆向量再计算。 【易错提醒】(3) 中 是 与 的夹角，而 与 的夹角是 的补角，直接代入 会出错；正确做法是拆成 后展开。 23．（★★★）已知 ，。 (1) 求 、 及 ； (2) 求 在 方向上的投影数量与投影向量； (3) 求实数 ，使 与 垂直。 【答案】(1) ，，； (2) 投影数量为 ，投影向量为 ； (3) 或 。 【解题思路】投影数量分母是 、投影向量分母是 ；(3) 用 。 【解答过程】(1) ，，。 (2) 投影数量为 ； 投影向量为 。 (3) 由 得 ， 即 ，，故 或 。 【多解·巧解】(3) 的结论可一般化：。本题 ，正好对应两个互为相反数的 。(2) 中也可顺便验证投影向量必与 共线。 【易错提醒】(2) 中投影数量的分母是 、投影向量的分母是 ，两者不同；若把投影向量的分母也写成 ，漏乘一次 方向，结果就不与 共线；(3) 中 的两个值都要写，只取正的会漏解。 24．（★★★）已知 ，，点 满足 （， 为原点）。 (1) 求点 的坐标（用 表示），并说明点 的轨迹； (2) 求 的最小值及此时 的值； (3) 求使 的 值，并判断此时点 是否在线段 上（、 分别为 、 的终点）。 【答案】(1) ，轨迹为直线 ； (2) ，最小值为 ； (3) ；此时 不在线段 上（在 的外侧）。 【解题思路】(1) 两系数之和恒为 ，故轨迹是直线 ；(2) 平方后配方；(3) 令数量积为零，并把 与线段对应的参数范围比较。 【解答过程】(1) 。 消去 ：由 得 ，即轨迹为直线 （它正是过 、 的直线）。 (2) 。 当 时取最小值 ，故 的最小值为 。 (3) ，令 得 。 此时 。线段 上的点对应 ，而 ，故 在线段 之外的 外侧。 【多解·巧解】(1) 甚至可以不算：由 两系数之和恒为 就知 恒在直线 上（等和线）。(2) 的几何解释是"原点到直线 的距离"：，与配方结果一致。 【易错提醒】(2) 中配方 的顶点横坐标为 ，不是 ；最小值为 是模长平方，开方后才是 ；(3) 中 对应 在线段 之外，判断位置要对比 与区间 的关系。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第26讲 平面向量的数量积及其应用 第26讲 平面向量的数量积及其应用 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解数量积的定义与几何意义，掌握数量积的运算律与常用恒等式，会求数量积； 2．掌握数量积的坐标表示，会用坐标判断两向量垂直、求向量的模与夹角； 3．会用"模平方"处理模的问题，会求 型的最值； 4．理解投影数量与投影向量的区别与联系，会处理夹角为锐角或钝角的条件讨论问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 数量积的定义与直接计算 选择题、填空题 第4~6题、第13题 中 熟用 ，几何题先拆向量 模与夹角的求解 选择题、填空题 第6~8题、第13~14题 中偏难 求模先平方，求角套余弦式 垂直与数量积求参数 选择题、填空题 第5~8题、第13题 中偏难 令数量积为 ，含参时注意讨论 锐角、钝角的条件讨论 选择题、填空题 第8题、第14题 难 除符号外还要排除共线情形 模的最值与投影向量 选择题、解答题 第8题、第14题、第17~19题 难 平方后配方法求最值；投影分母是 命题规律分析 数量积是向量章节分值最密集的一块，也是培优层最该拿稳的部分。新高考中它常出现在单选第5~8题、多选第10~11题、填空第13~14题，并作为解三角形、解析几何题的"隐藏工具"反复出现。基础档只考套公式；培优档有三个明显的加码点：一是夹角为锐角或钝角时，除 的符号外还要排除共线（ 与 都不算锐、钝角）；二是模的最值，把 看成关于 的二次函数配方；三是几何图形中的数量积，要会写 这类跨点向量的拆分。本讲把"求模先平方、求角套余弦、判垂直看零"三条主线讲透，并给出每一类题的第二条路径。 考点1 数量积的定义与几何意义 知识点1 数量积的概念与运算律 ，其中 是两向量共起点时的夹角，；数量积是实数，不是向量。 运算律：；；；不满足消去律与结合律。 【易错清单】 1． 必须两向量共起点；求 时夹角是 的补角，更稳的做法是拆成 ； 2． 或 或 ，三种可能都要考虑； 3．数量积不满足结合律，。 知识点2 投影数量与投影向量 在 方向上的投影数量为 （可正可负），投影向量为 。 几何意义： 等于 与 在 方向上投影数量的乘积； 表示夹角为锐角（或 ）， 表示夹角为钝角（或 ）。 【易错清单】 1．投影数量是实数可正可负，投影向量是向量，两者不能混为一谈； 2．投影向量的分母是 而不是 ，这是最高频的公式错误； 3． 只能推出夹角为锐角或 ，要得锐角须再排除同向共线。 考点2 数量积的运算律、模与夹角 知识点3 常用恒等式与模 ；；。 求模先平方：，把模的问题转化为数量积问题；三角不等式 。 【易错清单】 1．，交叉项系数是 不是 ； 2．配方求最值时，二次式的最小值开方才是模的最小值，别把 的最小值当成 ； 3． 的取值范围是 ，端点在同向或反向时取到。 知识点4 夹角与垂直 ；（非零向量）。 锐角： 且两向量不同向共线；钝角： 且两向量不反向共线。 【易错清单】 1．漏掉"排除共线"是这类题的头号丢分点： 不是锐角， 不是钝角； 2．， 的取值范围是 ，算出的余弦值超出范围说明计算有误； 3．判断垂直时要求两向量非零： 与任何向量的数量积都是 。 考点3 数量积的坐标表示 知识点5 坐标形式的数量积、模、垂直与夹角 设 、，则 ，。 坐标判据：；；。 【易错清单】 1．垂直与共线的坐标条件极易混淆：垂直是"乘积相加"为零，共线是"交叉相乘相减"为零； 2．坐标形式下求模别忘了开方； 才是平方； 3．用坐标求夹角时，分子是数量积、分母是两个模的乘积，别漏掉其中一个模。 【题型1 数量积的定义与直接计算】 【例1】已知 ，， 与 的夹角为 。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 【变式1-1】已知 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知 ，，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 坐标形式的数量积与模】 【例2】已知 ，。 (1) 求 、、； (2) 求 ； (3) 若 与 垂直，求 的值。 【变式2-1】已知 ，，则 与 分别为（　　） A．、　B．、　C．、　D．、 【变式2-2】已知 ，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知 ，，则 在 方向上的投影数量为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 向量的夹角与锐钝角的条件讨论】 【例3】已知 ，，若 与 的夹角为钝角，则 的取值范围是（　　） A．　B． 且 　C．　D． 【变式3-1】已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】已知 ，，则 与 的夹角为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知非零向量 、 满足 ，则 与 的夹角为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 求向量的模与模的最值】 【例4】已知 ，， 与 的夹角为 ，。 (1) 用 表示 ； (2) 当 为何值时 取最小值？最小值是多少？ 【变式4-1】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知 、 满足 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知 ，，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 垂直与数量积的含参讨论】 【例5】已知 ，。 (1) 若 ，求 ； (2) 若 ，求 ； (3) 若 与 的夹角为锐角，求 的取值范围。 【变式5-1】已知 ，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知 、、，则 是（　　） A．等腰直角三角形　B．直角三角形（非等腰）　C．等腰三角形（非直角）　D．一般三角形 【变式5-3】已知 ，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 投影、投影向量与数量积的范围】 【例6】已知 ，。 (1) 求 在 方向上的投影数量与投影向量； (2) 设 （），当 为何值时 最小？最小值是多少？ 【变式6-1】已知 ，，则 在 方向上的投影数量为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】已知 ，， 与 的夹角为 ，则 在 方向上的投影数量为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知 ，，则 在 方向上的投影向量为（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）已知 ，， 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知 ，，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知 ，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知 ，，且 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知 ，。若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（　　） A．　B． 且 　C．　D． 8．（★★★）在 中，，，， 为 的中点，则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）已知 ，，则下列结论正确的有（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★★）已知 ，，则下列说法正确的有（　　） A． 的最大值为 　B． 的最小值为 　C． 的最大值为 　D． 的最小值为 11．（★★★）已知 ，（），则下列说法正确的有（　　） A．若 ，则 　B．若 ，则 　C．若 与 的夹角为钝角，则 　D．若 ，则 12．（★★★）已知 ，，，则下列说法正确的有（　　） A． 与 的夹角为 　B．　C．　D．（）的最小值为 三、填空题 13．（★★）已知 ，，则 ______， ______。 14．（★★）已知 ，，若 ，则 ______。 15．（★★★）已知 ，。若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围是 ______。 16．（★★★）已知 ，，。若 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 ______。 四、解答题 17．（★★）已知 ，， 与 的夹角为 。 (1) 求 、、； (2) 求 。 18．（★★）已知 ，。 (1) 求 、、； (2) 求 与 的夹角的余弦值； (3) 求 。 19．（★★）已知 、、。 (1) 求 、 的坐标及 、； (2) 求 ，并判断 是否为直角三角形； (3) 求 的面积。 20．（★★★）已知 ，， 与 的夹角为 。 (1) 求 与 ； (2) 若 与 垂直，求 ； (3) 求 （）的最小值及此时 的值。 21．（★★★）已知 ，。 (1) 若 与 的夹角为锐角，求 的取值范围； (2) 若 与 的夹角为钝角，求 的取值范围； (3) 是否存在实数 使 与 的夹角为 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由。 22．（★★★）在 中，，，。 (1) 求 及 的长； (2) 若 为 的中点，求 ； (3) 求 。 23．（★★★）已知 ，。 (1) 求 、 及 ； (2) 求 在 方向上的投影数量与投影向量； (3) 求实数 ，使 与 垂直。 24．（★★★）已知 ，，点 满足 （， 为原点）。 (1) 求点 的坐标（用 表示），并说明点 的轨迹； (2) 求 的最小值及此时 的值； (3) 求使 的 值，并判断此时点 是否在线段 上（、 分别为 、 的终点）。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $