第22讲 解三角形讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第22讲 解三角形 第22讲 解三角形 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练应用正弦定理、余弦定理求边求角，并能对"两边及一边对角"作多解讨论； 2．掌握三角形的面积公式 ，能由面积反求边或角； 3．会用边角互化判断三角形形状，能识别"等腰或直角"这类多结论问题； 4．能用射影关系与比例合并等技巧处理边角混合条件，完成定理联用的综合问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 正弦定理求边、求角（含多解） 选择题、填空题、解答题 第5~8题／第13题／第15题 中 两角一边或两边一对角用正弦定理，求出正弦值后必须检验 余弦定理求边、求角 选择题、填空题、解答题 第4~6题／第15题 中 三边或两边夹角用余弦定理，结果唯一，优先使用 三角形的面积 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第15题 中 ，注意夹角与系数 判断三角形的形状 选择题、多选题 第8题／第9~11题 中偏难 统一化为边或角的正弦；由 得两种结论 边角互化与定理联用 选择题、解答题 第8题／第14题／第15题 中偏难 用射影关系 与比例合并 命题规律分析 解三角形是高考解答题第15题的常客，也常作为选择题第6~8题、填空题第13~14题出现。核心是"两定理一公式"：正弦定理 、余弦定理 、面积公式 。基础层要求"已知三边或两边夹角"的问题全对；培优层要突破三类第8题、第14题档的问题：两边及一边对角的多解讨论、边角互化中的"等腰或直角"双结论、以及用射影关系与比例合并化简混合条件。本讲以"边角互化"为主线，把六个题型串起来。三个高频陷阱：两边及一边对角可能有两解；判断形状时由 漏掉 ；求角时优先用余弦定理可避开多解讨论。 考点1 正弦定理与余弦定理 知识点1 正弦定理及其适用情形 在 中，（ 为外接圆半径），常用变形为 与 。 适用情形：已知两角和任一边，或已知两边和其中一边的对角；后者由正弦值求角时可能有两解，须用内角和 与"大边对大角"检验。 【易错清单】 1．已知两边及一边对角求角时漏掉钝角解，或把不合内角和的解留下； 2．把 中的 随意去掉（作比例时才能约掉）； 3．求角时错配边：求 时分子用的是 。 知识点2 余弦定理及其适用情形 在 中，；求角时用变形 。 适用情形：已知三边，或已知两边及其夹角；由 的正负可判断角 为锐角、直角或钝角，且结果唯一，不会产生多解。 【易错清单】 1．公式中的符号写错，忘记"减 "； 2．求 时分子写成 （减号后应是所求角所对的边）； 3．求出最大角的余弦值后忘记由正负判断三角形类型。 考点2 面积、形状判断与综合应用 知识点3 三角形的面积公式 面积公式 ，即"两边乘积乘以夹角正弦的一半"。 已知面积求边或角时，把面积公式当作方程使用；由 反求角 时， 可能是锐角也可能是钝角，需结合题目条件取舍。 【易错清单】 1．用面积公式时取错夹角（ 配的必须是 与 ）； 2．漏掉系数 ； 3．由面积求出 后只写锐角解，漏掉钝角解。 知识点4 判断三角形的形状 判断形状两条思路：统一化为"边"的关系，或统一化为"角"的关系，再结合内角和判断。常用结论： 为直角三角形； 为等腰三角形；最大边的平方大于另两边平方和为钝角三角形。 边角互化动作：把 换成 （等比时常可约掉 ），把 换成 。由 得 或 ，对应"等腰或直角"。 【易错清单】 1．由 只写 ，丢掉 导致的直角三角形； 2．把"等腰三角形"与"直角三角形"的判定条件混淆； 3．忽略三角形内角的取值范围 与内角和条件。 【题型1 正弦定理求边与角】 【例1】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 【解题思路】用正弦定理求出 ，再逐个检验是否满足内角和。 【解答过程】由 得 。 所以 或 。 检验：，，两种情况都能构成三角形。故选C。 【多解·巧解】求出正弦值后"必检验"是本类题的铁律。两条检验标准：① 内角和：；② 大边对大角： 要求 ，而 与 都满足。本题两个标准都通过，所以保留两解。若把 改成 ，则 会因 被舍去，只剩一解。 【易错提醒】只写 而漏掉 是最常见的错误。凡是"已知两边及一边对角求另一角"，都要先默认两解，再用内角和与大边对大角筛选。 【变式1-1】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】A 【解题思路】用正弦定理求 ，再用内角和与大边对大角筛选。 【解答过程】由 得 ，所以 或 。 若 ，则 ，舍去；又 要求 ，只剩 。故选A。 【变式1-2】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】已知两角与一边，直接代入正弦定理求边。 【解答过程】。故选A。 【变式1-3】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 【解题思路】求出正弦值后两个角都要用内角和检验。 【解答过程】，所以 或 。 检验：，，均成立，故 有两解。故选C。 【题型2 余弦定理求边与角】 【例2】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】已知两边及夹角，用余弦定理求第三边；夹角为钝角时余弦为负。 【解答过程】，所以 。故选A。 【多解·巧解】夹钝角时 ，公式里的"减 "实际变成"加"，结果比勾股定理算出的更大——本题若误用 会得到 ，故选出 （选项B）。牢记 ，它是本类题最关键的一步。 【易错提醒】把 记成 （正号）是本题最大的坑，会误得 ；另外结果要开方， 而不是 。 【变式2-1】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】余弦定理直接计算。 【解答过程】，所以 。故选A。 【变式2-2】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】已知三边求角，用余弦定理的变形形式。 【解答过程】。故选A。 【易错提醒】分子中"减号后面是所求角所对的边"：求 就减 ，写成 会算错。 【变式2-3】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】夹角为钝角，余弦为负，"减"变"加"。 【解答过程】，所以 。故选A。 【题型3 三角形的面积】 【例3】在 中，，， 的面积为 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【答案】C 【解题思路】用面积公式反求 ，再由正弦值判断有几个角。 【解答过程】由 得 ，所以 ，得 或 。 两种情况下 都等于 ，均符合题意。故选C。 【多解·巧解】面积公式给出的是 而不是角 ，所以反求角时必须考虑两解： 相同对应互补的两个角。本题只给了 、 与面积，没有约束 或其他角，因此两个角都成立。若题目再补充" 是最短边"之类的条件，才能筛掉一个解。 【易错提醒】只写 而漏掉 是本题最典型的错误。记住：凡是"由面积反求夹角"，先写两解，再看题目条件是否排除其一。 【变式3-1】在 中，，，，则 的面积是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两边及夹角已知，直接代入面积公式。 【解答过程】。故选A。 【变式3-2】在 中，，，，则 与 的面积分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【答案】A 【解题思路】求边用余弦定理，求面积用面积公式。 【解答过程】，所以 ；。故选A。 【变式3-3】在 中，，， 的面积为 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】把面积公式当作方程解出 。 【解答过程】由 得 ，所以 。 【题型4 判断三角形的形状】 【例4】在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形　B．直角三角形　C．等边三角形　D．等腰直角三角形 【答案】A 【解题思路】用正弦定理把边化为角的正弦，或用余弦定理化为边的关系。 【解答过程】由正弦定理，把 、 分别换成 、，得 ，即 。 因为 、 是三角形内角，所以 ，从而 ，即 ，故 是等腰三角形。故选A。 【多解·巧解】本题也可用余弦定理转为纯边的关系：，两边化简得 ，即 ，故 。两种方法都得等腰。条件含"边乘余弦"时，两条路都通，向角化往往更快，向边化更适合处理含边平方的条件。 【易错提醒】由 直接写 是对的，但要注意 的范围是 ，只有 一个解；若条件里出现的是 ，就还要考虑互补的情形。 【变式4-1】在 中，若 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】把条件与余弦定理求角的公式对照。 【解答过程】由余弦定理 ，把条件 代入得 。因为 ，所以 。 【变式4-2】在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形　B．直角三角形　C．等边三角形　D．等腰或直角三角形 【答案】A 【解题思路】在三角形中，正弦相等结合内角范围判断。 【解答过程】因为 、，由 得 或 。 但 会使 ，不能构成三角形，舍去，所以 ， 是等腰三角形。故选A。 【易错提醒】这里与 的情形不同： 的"互补解" 会被 排除，只剩 。而 的互补解 对应 （直角），是有效解。两者结论不同，切勿套用。 【变式4-3】在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形　B．直角三角形　C．等边三角形　D．锐角三角形 【答案】A 【解题思路】用余弦定理把 展开，化简边的关系。 【解答过程】由余弦定理 ，代入 得 。 两边乘 得 ，即 ，所以 ， 是等腰三角形。故选A。 【题型5 边角互化与定理联用】 【例5】在 中，已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】展开后用射影关系 合并。 【解答过程】把 展开得 ，即 。 由射影关系 ，得 ，所以 ，即 。故选B。 【多解·巧解】射影关系 （对每个角都有一个）是解三角形的"隐藏工具"，它其实就是余弦定理的推论。凡是条件里出现"边乘另一个角的余弦"的组合，优先尝试凑成射影关系，往往一步到位。本题也可用余弦定理把三处的余弦全部展开，但计算量会大一倍。 【易错提醒】展开时符号易错： 展开为 ，把 移到右边后是""，正好与 凑成射影关系。若把符号写错，会得到错误的 。 【变式5-1】在 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由比例合并 。 【解答过程】由 ，利用比例合并得 。而 。故选A。 【变式5-2】在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形　B．直角三角形　C．等腰三角形或直角三角形　D．等边三角形 【答案】C 【解题思路】边角互化后用二倍角公式，注意 的两种结论。 【解答过程】由正弦定理，把 、 换成 、，得 ，即 。 因为 、 是三角形内角，所以 或 ，即 或 。当 时为等腰三角形；当 时 ，为直角三角形。故选C。 【易错提醒】只写 而漏掉 是本题最典型的错误。切记： 的两个解对应"等腰"或"直角"，缺一不可。 【变式5-3】在 中，，其外接圆半径 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用 。 【解答过程】由 得 。故选B。 【题型6 解三角形的综合应用】 【例6】在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，，求 与 的面积。 【答案】(1) ； (2) ，面积为 。 【解题思路】(1) 用正弦定理把 全部换成边，化出 ；(2) 代入余弦定理求 ，再用面积公式。 【解答过程】(1) 由正弦定理，，，。把条件两边同乘 得 ，即 ，所以 。 由余弦定理 ，故 。 (2) 代入 ， 得 ，所以 ；面积 。 【多解·巧解】(1) 的关键一步是"把等式两边同乘 "，把所有的 一次性换成边，这比逐项用 代入更整齐。化出 后，对照余弦定理的形式（多了一项 ）即可读出 。见到" 与边齐次"的等式，第一反应就是同乘 化为纯边关系。 【易错提醒】(1) 中容易漏掉 而直接把 当作 用（在齐次式里虽然结果相同，但过程不规范）；(2) 中面积公式取错夹角： 配的是 、 与它们的夹角 。 【变式6-1】在 中，，，。 (1) 求 ； (2) 求 的面积。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】求边用余弦定理，求面积用面积公式。 【解答过程】(1) ，所以 。 (2) 。 【变式6-2】在 中，，，，求角 。 【答案】。 【解题思路】用正弦定理求 ，再结合内角和确定角。 【解答过程】由 得 。因为 ，所以 （此时 ，成立）。 【变式6-3】在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，若 ，求角 。 【答案】。 【解题思路】用射影关系 化简条件。 【解答过程】由射影关系 ，条件化为 。因为 ，两边约去 得 ，所以 。 一、单选题 1．（★★）在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】正弦定理求边。 【解答过程】。故选A。 2．（★★）在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】余弦定理求边。 【解答过程】，所以 。故选A。 3．（★★）在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】夹钝角，余弦为负，"减"变"加"。 【解答过程】，所以 。故选A。 4．（★★）在 中，，，，则 的面积是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】面积公式直接代入。 【解答过程】。故选A。 5．（★★）在 中，，，，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．等腰直角三角形 【答案】C 【解题思路】算最大角（对应最大边 ）的余弦值。 【解答过程】，所以 为钝角，即 是钝角三角形。故选C。 6．（★★★）在 中，内角 、、 所对的边分别为 、、，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把条件与正弦定理 对齐，再由 定角。 【解答过程】由正弦定理 ，与条件 比较得 ，即 。因为 ，故 。故选B。 7．（★★★）在 中，，，，则满足条件的三角形共有（　　）个 A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】用正弦定理求 ，再对每个可能的角逐一检验内角和与大边对大角。 【解答过程】由 得 。因为 ，所以 有两个可能值 与 。检验内角和：，，两种情况都能构成三角形。故共有 个。故选C。 8．（★★★）在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【答案】C 【解题思路】先由正弦定理求 （有两解），再分别用内角和求 并算出 。 【解答过程】由 得 ，所以 或 （两解均满足内角和）。当 时 ，；当 时 ，同理 。故选C。 二、多选题 9．（★★）关于 ，下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D．若 ，则 【答案】ABD 【解题思路】逐项核对内角和、正弦定理、面积公式与勾股定理的逆定理。 【解答过程】A是内角和定理，正确；B是正弦定理，正确； C错误，面积公式应为 ，漏掉了系数 ； D由 得 ，故 ，正确。故选ABD。 10．（★★）在 中，，，下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 的最大值为 【答案】ABC 【解题思路】先用正弦定理求出 ，再逐项验证，注意 的取值范围。 【解答过程】由 得 ，A正确； 由 ，B正确； 由比例合并得 ，C正确； D中 ，而 ， 可取到 （当 时），故 的最大值为 而不是 ，错误。故选ABC。 11．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 是等腰三角形或直角三角形　B．若 ，则 是等边三角形　C．若 ，则 　D．若 ，则 是等腰三角形 【答案】ABC 【解题思路】四个选项分别考边角互化、正切相等、余弦定理与二倍角，都要独立化简后判断。 【解答过程】A：由正弦定理得 ，即 ，所以 或 ，对应等腰或直角三角形，正确； B：由正弦定理化为 ，即 ，在三角形内角范围内得 ，是等边三角形，正确； C：由余弦定理 ，得 ，正确； D：由 得 或 ，后者对应直角三角形而非等腰三角形，故"一定是等腰三角形"不成立，错误。故选ABC。 12．（★★★）已知 满足 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B． 的最大值为 　C．若 ，则 的最大值为 　D． 一定是钝角三角形 【答案】ACD 【解题思路】条件里出现了 与 ，先把 化为 的方程，解出 再逐项分析。 【解答过程】由余弦定理 ，与条件比较得 ，即 ，解得 或 。 时 ，不能构成三角形，舍去；故 ，，A 正确。于是 ，，当 时取到最大值 ，不是 ，B 错误。当 时，，即 （当 时取到），C 正确。因为 ，所以 一定是钝角三角形，D 正确。故选ACD。 三、填空题 13．（★★）在 中，，，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】余弦定理求边。 【解答过程】，所以 。 14．（★★）在 中，，，，则 ____________。 【答案】 【解题思路】正弦定理求边。 【解答过程】。 15．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，若 ，且 ，则 面积的最大值是____________。 【答案】 【解题思路】先用平方差把条件化为余弦定理的形式定出角 ，再用基本不等式求 的上界。 【解答过程】由 ，得 ，故 ，即 。面积 ；由余弦定理 ，得 （当 时取到）。所以 。故面积的最大值为 。 16．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，若 ，且 ，则 的最大值是____________。 【答案】 【解题思路】平方差把条件整理为余弦定理的形式，先定角 ，再用基本不等式求 的上界。 【解答过程】由 ，得 。与余弦定理 比较得 ，即 ，。由 ，得 （当 时取到）。故 的最大值是 。 四、解答题 17．（★★）在 中，，，。 (1) 求角 ； (2) 求边 与 的面积。 【答案】(1) ； (2) ，面积为 。 【解题思路】(1) 用正弦定理求 后检验；(2) 由内角和求 ，再用正弦定理求 、面积公式求面积。 【解答过程】(1) 由 得 ，所以 或 。若 ，则 ，舍去，故 。 (2) ，由正弦定理 ；面积 。 【多解·巧解】本题求 后， 让整个三角形变成直角三角形，"、、"的比例关系（）可直接验证结果：、、，完全吻合。求出某个角是特殊角后，用边比关系自检是最快的核对方式。 【易错提醒】(1) 中漏掉对 的检验，会多写一个不合题意的解；(2) 中面积公式配错了夹角（写成 时要注意夹角是 ，不是 ）。 18．（★★）在 中，，，。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 余弦定理求 ；(2) 再用余弦定理求 。 【解答过程】(1) ，所以 。 (2) 。 【多解·巧解】求第二问的角优先选余弦定理而不是正弦定理：余弦定理的结果唯一，而正弦定理求出 后还要判断 是锐角还是钝角。本题 ，说明 是锐角，结论唯一。 【易错提醒】(2) 中分母要"有理化"：，写成 不规范；另外分子中减号后面必须是与所求角 相对的边 。 19．（★★）在 中，，，。 (1) 判断 的形状； (2) 求 的面积与最大角。 【答案】(1) 直角三角形（ 为直角）； (2) 面积为 ，最大角为 。 【解题思路】最大边对应最大角，用余弦定理或勾股定理的逆定理判断。 【解答过程】(1) 因为 ，所以 ，即 ，故 是以 为直角的直角三角形。 (2) 面积 ；最大角为 。 【多解·巧解】判断直角三角形有两条路：勾股定理的逆定理（看 与 是否相等）与余弦定理（看 是否为零）。本题两者都直接给出结论。注意"最大边对应最大角"，所以只要对最大边做检验即可，不必三边都试。 【易错提醒】用勾股定理时要注意"用哪两边配对角"：本题 最大，所以检验 ；若误写 会得到错误结论。另外面积不要漏掉 。 20．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，，求 的面积。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 展开后凑射影关系 ；(2) 用余弦定理与 联立求 ，再算面积。 【解答过程】(1) 把 展开得 ，即 。由射影关系 ，得 ，所以 ，。 (2) 由余弦定理 ；又 ，两式相减得 ，即 。面积 。 【多解·巧解】(1) 展开后"凑射影关系"是解三角形的高频技巧，一步即可定角；(2) 中把 的平方与 作差是求 的标准操作。 【易错提醒】(1) 展开时 移到右边变 ，才能与 凑成射影关系，符号错了全盘皆错；(2) 不要误把 配上基本不等式去求 的最大值，本题需要的是由方程确定的 值。 21．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 面积的最大值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 两边同乘 把 化为边，对照余弦定理定角；(2) 夹钝角时用 求 的上界。 【解答过程】(1) 由正弦定理 ，，，把条件两边同乘 得 ，即 。由余弦定理 ，故 。 (2) 由 及 ，得 （当 时取到）。面积 。 【多解·巧解】(1) 见到" 与边齐次"的等式，第一反应就是两边同乘 化为纯边关系；(2) 夹钝角时 ，与锐角下的 不同，别套用。 【易错提醒】(1) 中容易漏乘 而把 直接当成 用（齐次式虽然结果相同，但过程不规范）；(2) 中夹 时系数是 ，若套用 的结论会算错最大值。 22．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 面积的最大值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 把条件与余弦定理对照定角；(2) 由"和固定"用基本不等式求 的最大值，再算面积。 【解答过程】(1) 由 得 ，与余弦定理 比较得 ，即 ，故 。 (2) 由 及基本不等式 （当 时取到）。面积 ，当 时取到最大值 。 【多解·巧解】(2) 中"和固定求积的最大"用 最快，取等条件是 ，此时三角形为等腰。 【易错提醒】(1) 中把条件抄成 会得到 ，注意移项符号；(2) 中面积公式的夹角必须是所乘两边 、 的夹角 。 23．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，已知 ，，。 (1) 求角 ； (2) 求边 与 的面积。 【答案】(1) 或 ； (2) 当 时 、；当 时 、。 【解题思路】(1) 正弦定理求 后用内角和检验两解；(2) 分别用内角和求 ，再由正弦定理求 、面积公式求面积。 【解答过程】(1) 由 得 ，所以 或 。检验内角和：，，两解均成立。 (2) 当 时 ，，面积 ；当 时 ，同理 ，。 【多解·巧解】已知"两边及一边对角"时，先默认两解，再用内角和逐一检验；本题两解都成立，是典型的"两解三角形"，答案要写全。 【易错提醒】(1) 中只写 而漏掉 是最常见的错误；(2) 中面积公式的夹角要与所乘的两边对应，用 、 时应配夹角 。 24．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 面积的最大值； (3) 若 为锐角三角形，求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 用射影关系一步定角；(2) 用 求 的上界；(3) 先由锐角条件定 的范围，再把 化为 的函数。 【解答过程】(1) 由射影关系 ，条件化为 。因为 ，得 ，故 。 (2) 由 及 ，得 （当 时取到）；面积 。 (3) 由 得 ；锐角条件要求 且 ，故 。又 ，当 趋于 时该值趋于 ，当 趋于 时该值趋于 ，且在该区间上随 增大而增大，故 。 【多解·巧解】(1) 中"边乘另一个角的余弦"的组合优先凑射影关系，比展开三处余弦快得多；(3) 的关键是先由锐角条件定出 的范围，再把 化为 的函数取端点极限值。 【易错提醒】(1) 中射影关系用错方向会得到错误的 ；(3) 中容易只写 而漏掉 ，导致 的范围偏大， 的范围随之出错。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第22讲 解三角形 第22讲 解三角形 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练应用正弦定理、余弦定理求边求角，并能对"两边及一边对角"作多解讨论； 2．掌握三角形的面积公式 ，能由面积反求边或角； 3．会用边角互化判断三角形形状，能识别"等腰或直角"这类多结论问题； 4．能用射影关系与比例合并等技巧处理边角混合条件，完成定理联用的综合问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 正弦定理求边、求角（含多解） 选择题、填空题、解答题 第5~8题／第13题／第15题 中 两角一边或两边一对角用正弦定理，求出正弦值后必须检验 余弦定理求边、求角 选择题、填空题、解答题 第4~6题／第15题 中 三边或两边夹角用余弦定理，结果唯一，优先使用 三角形的面积 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第15题 中 ，注意夹角与系数 判断三角形的形状 选择题、多选题 第8题／第9~11题 中偏难 统一化为边或角的正弦；由 得两种结论 边角互化与定理联用 选择题、解答题 第8题／第14题／第15题 中偏难 用射影关系 与比例合并 命题规律分析 解三角形是高考解答题第15题的常客，也常作为选择题第6~8题、填空题第13~14题出现。核心是"两定理一公式"：正弦定理 、余弦定理 、面积公式 。基础层要求"已知三边或两边夹角"的问题全对；培优层要突破三类第8题、第14题档的问题：两边及一边对角的多解讨论、边角互化中的"等腰或直角"双结论、以及用射影关系与比例合并化简混合条件。本讲以"边角互化"为主线，把六个题型串起来。三个高频陷阱：两边及一边对角可能有两解；判断形状时由 漏掉 ；求角时优先用余弦定理可避开多解讨论。 考点1 正弦定理与余弦定理 知识点1 正弦定理及其适用情形 在 中，（ 为外接圆半径），常用变形为 与 。 适用情形：已知两角和任一边，或已知两边和其中一边的对角；后者由正弦值求角时可能有两解，须用内角和 与"大边对大角"检验。 【易错清单】 1．已知两边及一边对角求角时漏掉钝角解，或把不合内角和的解留下； 2．把 中的 随意去掉（作比例时才能约掉）； 3．求角时错配边：求 时分子用的是 。 知识点2 余弦定理及其适用情形 在 中，；求角时用变形 。 适用情形：已知三边，或已知两边及其夹角；由 的正负可判断角 为锐角、直角或钝角，且结果唯一，不会产生多解。 【易错清单】 1．公式中的符号写错，忘记"减 "； 2．求 时分子写成 （减号后应是所求角所对的边）； 3．求出最大角的余弦值后忘记由正负判断三角形类型。 考点2 面积、形状判断与综合应用 知识点3 三角形的面积公式 面积公式 ，即"两边乘积乘以夹角正弦的一半"。 已知面积求边或角时，把面积公式当作方程使用；由 反求角 时， 可能是锐角也可能是钝角，需结合题目条件取舍。 【易错清单】 1．用面积公式时取错夹角（ 配的必须是 与 ）； 2．漏掉系数 ； 3．由面积求出 后只写锐角解，漏掉钝角解。 知识点4 判断三角形的形状 判断形状两条思路：统一化为"边"的关系，或统一化为"角"的关系，再结合内角和判断。常用结论： 为直角三角形； 为等腰三角形；最大边的平方大于另两边平方和为钝角三角形。 边角互化动作：把 换成 （等比时常可约掉 ），把 换成 。由 得 或 ，对应"等腰或直角"。 【易错清单】 1．由 只写 ，丢掉 导致的直角三角形； 2．把"等腰三角形"与"直角三角形"的判定条件混淆； 3．忽略三角形内角的取值范围 与内角和条件。 【题型1 正弦定理求边与角】 【例1】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【变式1-1】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 【变式1-2】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【题型2 余弦定理求边与角】 【例2】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 三角形的面积】 【例3】在 中，，， 的面积为 ，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 或 【变式3-1】在 中，，，，则 的面积是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】在 中，，，，则 与 的面积分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【变式3-3】在 中，，， 的面积为 ，则 ____________。 【题型4 判断三角形的形状】 【例4】在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形　B．直角三角形　C．等边三角形　D．等腰直角三角形 【变式4-1】在 中，若 ，则 ____________。 【变式4-2】在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形　B．直角三角形　C．等边三角形　D．等腰或直角三角形 【变式4-3】在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形　B．直角三角形　C．等边三角形　D．锐角三角形 【题型5 边角互化与定理联用】 【例5】在 中，已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】在 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】在 中，若 ，则 是（　　） A．等腰三角形　B．直角三角形　C．等腰三角形或直角三角形　D．等边三角形 【变式5-3】在 中，，其外接圆半径 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 解三角形的综合应用】 【例6】在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，，求 与 的面积。 【变式6-1】在 中，，，。 (1) 求 ； (2) 求 的面积。 【变式6-2】在 中，，，，求角 。 【变式6-3】在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，若 ，求角 。 一、单选题 1．（★★）在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）在 中，，，，则 的面积是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）在 中，，，，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形　B．直角三角形　C．钝角三角形　D．等腰直角三角形 6．（★★★）在 中，内角 、、 所对的边分别为 、、，若 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）在 中，，，，则满足条件的三角形共有（　　）个 A．　B．　C．　D． 8．（★★★）在 中，，，，则 （　　） A．　B．　C． 或 　D． 二、多选题 9．（★★）关于 ，下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D．若 ，则 10．（★★）在 中，，，下列说法正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 的最大值为 11．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，则下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 是等腰三角形或直角三角形　B．若 ，则 是等边三角形　C．若 ，则 　D．若 ，则 是等腰三角形 12．（★★★）已知 满足 ，则下列说法正确的是（　　） A．　B． 的最大值为 　C．若 ，则 的最大值为 　D． 一定是钝角三角形 三、填空题 13．（★★）在 中，，，，则 ____________。 14．（★★）在 中，，，，则 ____________。 15．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，若 ，且 ，则 面积的最大值是____________。 16．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，若 ，且 ，则 的最大值是____________。 四、解答题 17．（★★）在 中，，，。 (1) 求角 ； (2) 求边 与 的面积。 18．（★★）在 中，，，。 (1) 求 ； (2) 求 。 19．（★★）在 中，，，。 (1) 判断 的形状； (2) 求 的面积与最大角。 20．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，，求 的面积。 21．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 面积的最大值。 22．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 面积的最大值。 23．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，已知 ，，。 (1) 求角 ； (2) 求边 与 的面积。 24．（★★★）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 面积的最大值； (3) 若 为锐角三角形，求 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $