第23讲 解三角形中的最值与范围问题 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第23讲 解三角形中的最值与范围问题 第23讲 解三角形中的最值与范围问题 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．能用正弦定理把边化为角的正弦，借助 消元，把最值问题转化为三角函数值域问题； 2．能用余弦定理结合基本不等式求 、、 等量的最值，并说明取等条件； 3．掌握面积与周长最值的两条路径（化角与化边），能正确写出取值范围的开闭端点； 4．能在锐角三角形条件下正确确定角的范围，进而求出边长比或边和的范围。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 角的最值范围（锐角条件） 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 用三角都小于 列不等式组定范围 边的最值（积、和） 选择题、填空题 第6~8题／第14题 中偏难 余弦定理配基本不等式，注明取等条件 面积的最值范围 选择题、填空题、解答题 第8题／第15题 中偏难 配合 的最值 周长（边和）的范围 选择题、解答题 第8题／第14题／第15题 中偏难 化角求和，用和差化积得 型 锐角三角形条件下的范围 选择题、填空题 第14题 中偏难 先用锐角定角范围，再求比值范围 综合应用（多问） 解答题 第15题 中偏难 先由已知定角，再分别求积、和、面积的最值 命题规律分析 解三角形中的最值与范围问题是新高考的第8题、第14题档的高频考点，也常作为解答题的一问出现，它是"解三角形"与"基本不等式、三角函数"的交汇点。命题形式主要有三类：①用正弦定理"化角"，把 化为关于一个内角的三角函数，再用 或正弦函数的有界性求范围；②用余弦定理"化边"，配以基本不等式 求积或和的最值；③在锐角三角形条件下先定角范围再求比值的范围。核心结论是两个：已知一边及其对角，则邻边之积有最大值（对边平方），邻边之和的最大值在等腰时取到。本讲把六类问题一次讲清，并给出"取等条件即等腰（本题为等边）"这一通用自检准则。 考点1 用正弦定理化角求范围 知识点1 边角互化与内角消元 由正弦定理 等，可把关于边的式子化为关于角的正弦的式子；再用 把两个角化为一个角，问题即化为三角函数的最值问题。 常用变形：，当 确定时， 只随 变化。 【易错清单】 1．忘记用 消元，导致式子中同时含两个变化的角无法求最值； 2．和差化积的公式用错（系数与半角容易写错）； 3．求出角的最值后忘记检验是否能构成三角形。 知识点2 转化为三角函数求值域 当 为定值 时，，由 得 。 因此"边之和"型的最值在 （等腰或等边）时取到；"边之积"或"面积"型的最值也在 时取到——这是本题型的统一规律。 【易错清单】 1．把 的范围误写成 ，忽略下界 ； 2．不等号能否取等要盯住 是否允许（三角形内角均正，通常可以）； 3．结论"等腰取最值"要在解答里写出取等条件，只说"最大值为"而不说何时取到会被扣分。 考点2 用余弦定理与基本不等式求最值 知识点3 余弦定理与基本不等式 在 中，用 可得到 ，从而给出 的上界。 当 时 ，即 （等号在 时成立）；当 时 ，即 。 【易错清单】 1．用 时方向写反，导致最值取成最小值； 2．忘记标注取等条件 ； 3．夹钝角时 ，公式变成 中的系数会大于 ，勿套用锐角结论。 知识点4 面积与周长的最值范围 面积 ，当 固定时， 的最大值取决于 的最大值；边长（周长） 的最值则可由 与 的最值合成。 由 及 可得 ，这是求"边和"最值的常用桥梁。 【易错清单】 1．求周长最值时漏掉固定边 ，只算 ； 2．面积的夹角选错（ 里的角 必须是 、 的夹角）； 3．取值范围的开闭端点弄错：能用基本不等式取等的一般是闭端点。 【题型1 角的最值范围】 【例1】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用"三个内角都小于 "以及内角都为正列出不等式组。 【解答过程】由 及 得 。 由 得 ，即 ；由 得 ，即 ；由 得 。 取交得 。故选B。 【多解·巧解】"锐角三角形"这一条件要拆成"三个角都小于 "，再加上"三个角都大于 "，一共四个不等式。本题中 与 让所有角都用 表示，逐个列式即可。注意 的条件（）被 覆盖，所以最终只保留最紧的两条。 【易错提醒】只考虑 而漏掉 ，会得到 （含 到 ）的错误范围。锐角条件必须三个角都检查，"哪个角成了锐角的短板"就是范围的来源。 【变式1-1】在 中，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】去掉"锐角"限制后，只需保证三个角都为正。 【解答过程】由 及 ，各角为正需 、（即 ）、（即 ）。取交得 。故选A。 【变式1-2】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用 与锐角条件列式。 【解答过程】由 得 。锐角条件要求 ，即 ，得 ；又 ，且 得 。取交得 。故选B。 【变式1-3】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】与例1同构：用 ，三个角都要小于 。 【解答过程】由 及 。由 得 ；由 得 ；由 得 。取交得 。故选B。 【题型2 边的最值】 【例2】在 中，，，则 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用余弦定理写出 ，再用基本不等式。 【解答过程】由余弦定理 。由基本不等式 ，得 。又 ，所以 ，当 时取到最大值 。故选B。 【多解·巧解】本题的关键是把 中的 用 换成更小的量，得到 。注意不等式方向：让右边缩小后仍不超过 ，所以 。取等条件 要写出来，它同时给出了最大值的位置。 【易错提醒】把基本不等式方向写反（用 某个量）会得出"最小值为"的错误结论。记忆法则：求"积的最大值"就用"和（平方和）不小于积"的方向。 【变式2-1】在 中，，，则 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】与例2同法，把角 换成角 。 【解答过程】，又 ，所以 ，当 时取到最大值 。故选B。 【变式2-2】在 中，，，则 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】夹钝角时余弦为负， 中的系数会变大。 【解答过程】，又 ，所以 ，即 ，当 时取到最大值 。故选A。 【易错提醒】夹钝角与夹锐角的结论不同： 时 （对应系数 ），不是 。本题 时 ，若套用锐角结论会得到 的错误答案。 【变式2-3】在 中，，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】用正弦定理把 化为关于角 的三角函数，再由 的范围求值域。 【解答过程】由 得 ，所以 。 因为 ，所以 ，从而 ，故 。故选B。 【易错提醒】求 的范围要先把 化为只含 的式子，再由 的取值区间（注意端点开闭）求得 的范围。 可以接近 也可能取到 ，所以下界开、上界闭。 【题型3 面积的最值】 【例3】在 中，，，则 面积的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先把面积写成 ，再用余弦定理与基本不等式求 的最大值。 【解答过程】面积 。 由 ，又 ，得 。 所以 ，当 时取到最大值 。故选A。 【多解·巧解】面积最值问题的标准路径是"先写面积公式 → 再求两边之积的最大值"。当已知一边及其对角时，对角的两条邻边之积有上界（等于对边的平方，因为 时 ），于是面积的上界也就确定了。面积取最大时三角形为等腰（本题为等边），这是可以预期的"对称取最值"。 【易错提醒】不要忘记面积公式里的系数 ；也不要一开始就用" 最大即面积最大"而不加说明——当 固定时这一说法才成立，本题 已知，条件满足。 【变式3-1】在 中，，，则 面积的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同例3： 的最大值为 ，面积随之确定。 【解答过程】面积 。由 ，又 ，得 。所以 。故选A。 【变式3-2】在 中，，，则 面积的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先由余弦定理与基本不等式求 的最大值，再乘 。 【解答过程】面积 。由 ，又 ，得 。所以 。故选B。 【变式3-3】在 中，，，则 面积的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】两边固定时，面积随夹角的正弦变化，夹角为直角时取到最大。 【解答过程】面积 。因为 （当 时取到），所以 ，即 的最大值为 。故选B。 【易错提醒】当 时三角形仍能构成（此时 ），所以最大值 可以取到。若两边固定但要求三角形为锐角，则 取不到 ，最大值会变成开区间。 【题型4 周长（边和）的范围】 【例4】在 中，，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用正弦定理把 化为角，再用和差化积与余弦的有界性求范围。 【解答过程】由 得 ，所以 。 因为 ，由和差化积 。 又 ，所以 ，从而 。故选A。 【多解·巧解】和差化积是求"边之和"范围的核心：，因为 固定，所以 只随 变化。当 时 取最大，两边之和最大（此时三角形为等边）；当 与 趋近于 与 时趋近下界。下界取不到（因为两个角都必须是正角），故左端开。 【易错提醒】把 的范围写成 （闭）会误判左端为闭区间；另外 的下界是 ，不要写成 。 【变式4-1】在 中，，，则 周长的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 的范围，再加上固定边 。 【解答过程】由 得 ，所以 。由 得 ，故 。所以周长 。故选A。 【变式4-2】在 中，，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】与例4同构，把角 换成 。 【解答过程】由 得 ，所以 。由 得 ，故 。故选A。 【变式4-3】在 中，，，则 周长的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直角三角形中把 化为角的三角函数，再用 求范围。 【解答过程】由 及正弦定理 、，所以 。由 得 ，故 。所以周长 。故选A。 【易错提醒】直角三角形中 的范围要用""来求：当 时取最大值 （对应等腰直角三角形），当 趋近 或 时趋近下界 （取不到）。 【题型5 锐角三角形条件下的范围】 【例5】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用锐角条件定 的范围，再把 化为 的表达式。 【解答过程】由例1知 。又由正弦定理 。 由 得 ，所以 。故选A。 【多解·巧解】本题是"角范围 + 比值范围"的组合，分两步：① 由锐角条件定 的范围（例1 已做好）；② 把比值化为 的函数。用二倍角 约掉 ，比值只剩 ，由 在锐角范围内单调递减即得范围。 【易错提醒】两个环节都易错：一是 的范围写错（漏掉 ）；二是误用 后忘记除以 。另外 在 上递减，所以 增大时比值减小，端点要对应好。 【变式5-1】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】与例5同构，先定 的范围再化比值。 【解答过程】由 及 ，锐角条件给出 （由 ）、（由 ），故 。又 。故选A。 【变式5-2】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由锐角条件定 、 的范围，再由 求范围。 【解答过程】由 得 ，锐角条件要求 、，故 。 于是 。当 时该值趋于 ，当 时该值趋于 ，且在该区间上随 增大而增大，故 。故选A。 【易错提醒】本题的 不是简单的 型，需要在区间端点处取极限值，并说明单调性。若只算 （对称点）得到 ，会误以为范围关于 对称而错选。 【变式5-3】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】由锐角条件定 的范围，再把 化为 的函数取端点值。 【解答过程】由 得 ，锐角条件要求 ，即 ，得 ；又 ，故 。 于是 。当 时该值趋于 ，当 时该值趋于 ，故 。故选A。 【题型6 综合应用】 【例6】在 中，，。 (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 余弦定理配基本不等式；(2) 把 化为 ，再由 与 的范围求最值。 【解答过程】(1) 由 与 得 ，即 ，当 时取到最大值 。 (2) 。由 ，所以 。 令 ，函数 在 上单调递减，故当 时取最小值 。 所以 的最小值为 （当 时取到）。 【多解·巧解】(2) 也可用更省事的写法：，而 并不能直接给出下界（ 越小右式越大，方向反了）。正确做法是把式子化为 的单调函数再求最值——这正是"基本不等式不是万能钥匙"的典型提醒：先分析式子关于哪个量单调，再决定用哪条路。 【易错提醒】(2) 中容易误用" 最大时 最小"，这只在分子也随 变化且整体单调时才成立，必须把分母分子都化为 的函数再判断。 【变式6-1】在 中，，。 (1) 求 周长的最大值； (2) 求 面积的最大值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】两问都依赖 的最大值；周长用 ，面积用 。 【解答过程】(1) 由 与 得 。又 ，所以 ，周长 （取到最大值 时 ）。 (2) 面积 。 【变式6-2】在 中，，。 (1) 求 的最大值； (2) 求 面积的最大值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】两问都归到 的最大值：，。 【解答过程】(1) 由 与 得 。又 ，所以 （取到最大值 时 ）。 (2) 面积 。 【变式6-3】在 中，，，求 的最大值。 【答案】。 【解题思路】用正弦定理化为角，再用和差化积求最大值。 【解答过程】由 得 ，所以 。由 得 ，所以 ，当 时取到最大值 。 一、单选题 1．（★★）在 中，，，则 面积的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求 的最大值，再乘 。 【解答过程】由 得 。面积 。故选A。 2．（★★）在 中，，，则 面积的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】两边固定时面积随夹角正弦变化，最大在夹角为直角时取到。 【解答过程】面积 ，当 时取到最大值 。故选A。 3．（★★）在 中，，，则 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用 配合 。 【解答过程】由 得 。又 ，所以 ，最大值为 。故选A。 4．（★★）在 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】。 【解答过程】由正弦定理 。故选A。 5．（★★）在 中，，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用正弦定理化角，再用和差化积求范围。 【解答过程】由 得 ，所以 。由 得 ，所以 。故选A。 6．（★★★）在 中，，。若满足条件的三角形有两个，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】三角形有两解等价于 且 ，把两个不等式联立解出 。 【解答过程】已知边 及其对角 ，当 （即 ）且 时，角 可取锐角与钝角两个值，三角形有两解。由 得 ；由 得 。所以 。故选B。 7．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，若 ，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】先用射影恒等式 把条件化简求出 ，再用余弦定理与基本不等式求 的范围。 【解答过程】由 得 ，即 。由射影恒等式 ，得 ，因 ，故 ，即 。由余弦定理 ，得 。又 ，因 ，故 ，即 。故选B。 8．（★★★）已知 为锐角三角形，且 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由锐角条件定出 的范围，再由正弦定理把 化为 求值域。 【解答过程】由 、，锐角条件要求（即 ）与 （即 ），故 。由正弦定理 ，所以 。由 得 ，故 。故选A。 二、多选题 9．（★★）在 中，，，下列说法正确的是（　　） A． 的最大值为 　B．面积的最大值为 　C． 的最大值为 　D． 的最大值为 【答案】ABC 【解题思路】A、C 用余弦定理配基本不等式，B 由 A 推出，D 要单独分析 的取值范围。 【解答过程】A中由 得 ，正确； B中 ，正确； C中 ，得 ，正确； D中 ，由 有实根知 ，故 ，最大值为 而不是 ，错误。故选ABC。 10．（★★）在 中，，，下列说法正确的是（　　） A． 的最大值为 　B．面积的最大值为 　C． 的最大值为 　D． 的最大值为 【答案】ABC 【解题思路】三问都源于 ，再用 。 【解答过程】由 得 ，C正确； 面积 ，B正确； ，得 ，A正确； D中 ，错误。故选ABC。 11．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，若 ，，则下列说法正确的是（　　） A． 的最大值为 　B． 面积的最大值为 　C． 的取值范围是 　D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是 【答案】ABD 【解题思路】A、B、C 都由 与基本不等式出发；D 再叠加锐角条件，把 化为 的余弦函数求范围。 【解答过程】A中由 得 ，当 时取等，正确； B中 ，当 时取等，正确； C中 ，由 得 ，故 ，下界为 而非 ，错误； D中若为锐角三角形，则 且 ，结合 得 。由 得 。由 得 。由 得 ，故 ，正确。故选ABD。 12．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，若 ，，则下列说法正确的是（　　） A． 的最大值为 　B． 的取值范围是 　C． 周长的最大值为 　D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是 【答案】ACD 【解题思路】A、B、C 由 与基本不等式推出；D 叠加锐角条件，把 化为 的函数求范围。 【解答过程】A中由 得 ，当 时取等，正确； B中 ，由 得 ，故 ，而非 ，错误； C中周长 ，当 时取等，正确； D中若为锐角三角形，则 且 ，结合 得 。由 得 。由 、 得 ，故 ，正确。故选ACD。 三、填空题 13．（★★）在 中，，，则 的最大值是 ____________。 【答案】 【解题思路】余弦定理配基本不等式。 【解答过程】由 得 ，当 时取到最大值 。 14．（★★）在 中，，，则 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】把 表示为 的函数，由 的范围求 的范围。 【解答过程】。因为 ，所以 ，从而 ，故 。 15．（★★★）设 的内角 、、 所对的边分别为 、、。若 ，且 ，则 周长的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】先用射影恒等式 求出角 ，再把周长化为直角三角形的斜边与两直角边之和求范围。 【解答过程】由射影恒等式 ，条件化为 。因 ，故 ，即 。此时 为斜边，。周长 ，而 。由 得 ，即 ，故 ，，所以 。 16．（★★★）在锐角 中，角 、、 所对的边分别为 、、。若 ，，则 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】先由锐角条件定出 的范围，再由正弦定理把 化为 的函数求范围。 【解答过程】由 且三角形为锐角三角形，要求 与 ，故 。由 得 。由 、 得 ，故 。 四、解答题 17．（★★）在 中，，。 (1) 求 的最大值； (2) 求 面积的最大值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】余弦定理配基本不等式求 的最大值，再乘 。 【解答过程】(1) 由 与 得 ，即 ，当 时取到最大值 。 (2) 面积 ，当 时取到最大值 。 【多解·巧解】(2) 与 (1) 是"一步之遥"的关系：面积的最大值点与 的最大值点相同（都在 时），所以求面积最值总是先求两边之积的最值。本题取等时 、，三角形恰好是等边三角形，面积 ，可心算核对。 【易错提醒】(1) 中不等式方向写反会得到"最小值为"的错误结论；(2) 中容易忘记写取等条件，或把面积公式的系数 漏掉。 18．（★★）在 中，，。 (1) 求 的最大值； (2) 求 周长的最大值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】用 配 ；周长在 基础上加 。 【解答过程】(1) 由 得 。又 ，所以 ，当 时取到最大值 。 (2) 周长 ，当 时取到最大值 。 【多解·巧解】(1) 中的桥梁式 值得记牢：它把"边和"的最值与"边积"的最值直接联系起来，避免了和差化积。当已知一边及其对角时，这条式子几乎总是最省力的路径。 【易错提醒】(2) 中忘记加上固定边 是常见错误（会误答 ）；另外要确认 取到 时对应的 、 能使三角形成立（ 显然可以）。 19．（★★）在 中，，。 (1) 求 面积的最大值； (2) 求面积取最大值时边 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 两边固定，面积随夹角正弦变化；(2) 取最大时 ，用勾股定理求 。 【解答过程】(1) 面积 ，当 时取到最大值 。 (2) 当 时，，所以 。 【多解·巧解】两边固定时面积的最大值总在"夹角为直角"时取到，这是一条可以直接使用的结论：，而 在 处取最大值 。此时第三边由勾股定理给出，。 【易错提醒】(2) 中要注意"面积最大"对应 ，此时余弦定理退化为勾股定理，不要把 代入后又用 之类的错误值。 20．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且 ，。 (1) 求 的最大值； (2) 求 面积的最大值； (3) 求 周长的最大值。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 余弦定理配基本不等式求 的最大值；(2)(3) 在 (1) 的基础上分别乘面积公式系数、加固定边 。 【解答过程】(1) 由 与 得 ，即 ，当 时取到最大值 。 (2) 面积 ，当 时取到最大值 。 (3) 由 得 ，故周长 ，当 时取到最大值 。 【多解·巧解】(1) 中的桥梁式 把"边和"的最值与"边积"的最值直接联系起来：已知一边 及其对角 时，这条式子几乎总是最省力的路径。(3) 中三问的"取等点"相同（都在 ），所以面积最大、周长最大同时取到。 【易错提醒】(2) 中容易漏写面积公式的系数 ，或把 写成 ；(3) 中忘记加上固定边 是常见错误（会误答 ）。凡求"周长最大"都要先求"另两边之和最大"，再加上已知边。 21．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且 ，。 (1) 求 的最大值； (2) 求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 余弦定理配基本不等式；(2) 用正弦定理化角，再和差化积求范围。 【解答过程】(1) 由 得 ，当 时取到最大值 。 (2) 由 得 ，所以 。由 得 ，而 ，故 ，所以 。 【多解·巧解】(2) 用和差化积把"两角正弦之和"拼成只含 的单变量函数，是把角范围问题化简的核心手法：和差化积 中， 是常数、 是自由变量。 【易错提醒】(2) 的下界取不到：当 时 ，但两角均须为正角，故 而不能取等，左端必须写成开区间。判断开闭，要看端点对应的角能否真正取到。 22．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 面积的最大值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 用射影恒等式 把条件化为 与 的关系，直接求出 ；(2) 由 求面积最大值。 【解答过程】(1) 由射影恒等式 ，条件化为 。因 ，故 ，即 。(2) 由 得 ，面积 ，当 时取到最大值 。 【多解·巧解】(1) 的关键是认出""就是射影恒等式的左边，它恒等于 （可理解为边 在另外两边上的投影之和）。见到形如 的结构，应立即联想到它等于 ，这类条件往往一步就能化简到位。 【易错提醒】(1) 中约去 时须说明 （三角形边长恒正，可直接约去）；(2) 中基本不等式的方向是 ，符号写反会得到""的错误结论。面积最大值的取等条件 与 (1) 求出的 配合，恰好构成等边三角形。 23．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 面积的最大值； (3) 若 为锐角三角形且 ，求 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 先展开条件、再用射影恒等式求得 ；(2) 用 求面积最大值；(3) 用锐角条件定出 的范围，再把 化为 的函数求值域。 【解答过程】(1) 由 得 ，即 。由射影恒等式 ，得 ，因 ，故 ，即 。(2) 由 得 ，面积 ，当 时取到最大值 。(3) 锐角三角形要求 与 ，故 。由正弦定理 。当 时 ，当 时 ，且 时 ，故 。 【多解·巧解】(3) 是"比值化角"：把 用正弦定理写成 后，利用 化为 的单变量函数，再由锐角条件给出的 范围取端点值。只要结论含"边的比值"，就应立刻想到正弦定理——它把"边之比"换成"对角正弦之比"。 【易错提醒】(1) 中把 移到右边后除以 时须说明 ；(2) 中面积公式用的是 （本题为 ），不要与正弦值记混；(3) 中容易漏算 这一条件，从而把 的范围错定为 ，导致左端点错误。锐角三角形的三个角都要小于 ，缺一不可。 24．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 的取值范围； (3) 若 为锐角三角形且 ，求 面积的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 把 用余弦定理化为边的关系，整体化简得 ；(2) 由 求 的范围；(3) 叠加锐角条件，把面积化为 的函数求范围。 【解答过程】(1) 由余弦定理 。代入条件得 ，整理得 ，即 。由余弦定理 ，故 。(2) 由 、 得 。由 得 ，故 ，所以 。(3) 锐角三角形要求 与 ，故 。由 得 。由 、 得 ，故 。面积 。 【多解·巧解】(1) 中把 化为 是"余弦定理的角化边"技巧，它把含角的等式变成纯边的等式，避免了对角是否特殊的前置判断。(3) 与 (2) 的差别只在锐角条件："锐角"把 从 收缩到 ，因此面积的下界由开变闭（上界仍在 处取到），这类端点的变化是范围题的重点。 【易错提醒】(1) 中整理应得到 而不是 ， 项来自 通分后产生的 ，不要漏算；(2) 中 的下界取不到（对应退化配置），必须写开区间，而上界在 时取到；(3) 中容易把 的上界写成 ，实际最大在 处取到 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第23讲 解三角形中的最值与范围问题 第23讲 解三角形中的最值与范围问题 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．能用正弦定理把边化为角的正弦，借助 消元，把最值问题转化为三角函数值域问题； 2．能用余弦定理结合基本不等式求 、、 等量的最值，并说明取等条件； 3．掌握面积与周长最值的两条路径（化角与化边），能正确写出取值范围的开闭端点； 4．能在锐角三角形条件下正确确定角的范围，进而求出边长比或边和的范围。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 角的最值范围（锐角条件） 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 用三角都小于 列不等式组定范围 边的最值（积、和） 选择题、填空题 第6~8题／第14题 中偏难 余弦定理配基本不等式，注明取等条件 面积的最值范围 选择题、填空题、解答题 第8题／第15题 中偏难 配合 的最值 周长（边和）的范围 选择题、解答题 第8题／第14题／第15题 中偏难 化角求和，用和差化积得 型 锐角三角形条件下的范围 选择题、填空题 第14题 中偏难 先用锐角定角范围，再求比值范围 综合应用（多问） 解答题 第15题 中偏难 先由已知定角，再分别求积、和、面积的最值 命题规律分析 解三角形中的最值与范围问题是新高考的第8题、第14题档的高频考点，也常作为解答题的一问出现，它是"解三角形"与"基本不等式、三角函数"的交汇点。命题形式主要有三类：①用正弦定理"化角"，把 化为关于一个内角的三角函数，再用 或正弦函数的有界性求范围；②用余弦定理"化边"，配以基本不等式 求积或和的最值；③在锐角三角形条件下先定角范围再求比值的范围。核心结论是两个：已知一边及其对角，则邻边之积有最大值（对边平方），邻边之和的最大值在等腰时取到。本讲把六类问题一次讲清，并给出"取等条件即等腰（本题为等边）"这一通用自检准则。 考点1 用正弦定理化角求范围 知识点1 边角互化与内角消元 由正弦定理 等，可把关于边的式子化为关于角的正弦的式子；再用 把两个角化为一个角，问题即化为三角函数的最值问题。 常用变形：，当 确定时， 只随 变化。 【易错清单】 1．忘记用 消元，导致式子中同时含两个变化的角无法求最值； 2．和差化积的公式用错（系数与半角容易写错）； 3．求出角的最值后忘记检验是否能构成三角形。 知识点2 转化为三角函数求值域 当 为定值 时，，由 得 。 因此"边之和"型的最值在 （等腰或等边）时取到；"边之积"或"面积"型的最值也在 时取到——这是本题型的统一规律。 【易错清单】 1．把 的范围误写成 ，忽略下界 ； 2．不等号能否取等要盯住 是否允许（三角形内角均正，通常可以）； 3．结论"等腰取最值"要在解答里写出取等条件，只说"最大值为"而不说何时取到会被扣分。 考点2 用余弦定理与基本不等式求最值 知识点3 余弦定理与基本不等式 在 中，用 可得到 ，从而给出 的上界。 当 时 ，即 （等号在 时成立）；当 时 ，即 。 【易错清单】 1．用 时方向写反，导致最值取成最小值； 2．忘记标注取等条件 ； 3．夹钝角时 ，公式变成 中的系数会大于 ，勿套用锐角结论。 知识点4 面积与周长的最值范围 面积 ，当 固定时， 的最大值取决于 的最大值；边长（周长） 的最值则可由 与 的最值合成。 由 及 可得 ，这是求"边和"最值的常用桥梁。 【易错清单】 1．求周长最值时漏掉固定边 ，只算 ； 2．面积的夹角选错（ 里的角 必须是 、 的夹角）； 3．取值范围的开闭端点弄错：能用基本不等式取等的一般是闭端点。 【题型1 角的最值范围】 【例1】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】在 中，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 边的最值】 【例2】在 中，，，则 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】在 中，，，则 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】在 中，，，则 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】在 中，，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 面积的最值】 【例3】在 中，，，则 面积的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】在 中，，，则 面积的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】在 中，，，则 面积的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】在 中，，，则 面积的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 周长（边和）的范围】 【例4】在 中，，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】在 中，，，则 周长的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】在 中，，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】在 中，，，则 周长的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 锐角三角形条件下的范围】 【例5】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知 为锐角三角形，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 综合应用】 【例6】在 中，，。 (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值。 【变式6-1】在 中，，。 (1) 求 周长的最大值； (2) 求 面积的最大值。 【变式6-2】在 中，，。 (1) 求 的最大值； (2) 求 面积的最大值。 【变式6-3】在 中，，，求 的最大值。 一、单选题 1．（★★）在 中，，，则 面积的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）在 中，，，则 面积的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）在 中，，，则 的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）在 中，，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）在 中，，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）在 中，，。若满足条件的三角形有两个，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，若 ，且 ，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知 为锐角三角形，且 ，，则 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）在 中，，，下列说法正确的是（　　） A． 的最大值为 　B．面积的最大值为 　C． 的最大值为 　D． 的最大值为 10．（★★）在 中，，，下列说法正确的是（　　） A． 的最大值为 　B．面积的最大值为 　C． 的最大值为 　D． 的最大值为 11．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，若 ，，则下列说法正确的是（　　） A． 的最大值为 　B． 面积的最大值为 　C． 的取值范围是 　D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是 12．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，若 ，，则下列说法正确的是（　　） A． 的最大值为 　B． 的取值范围是 　C． 周长的最大值为 　D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是 三、填空题 13．（★★）在 中，，，则 的最大值是 ____________。 14．（★★）在 中，，，则 的取值范围是 ____________。 15．（★★★）设 的内角 、、 所对的边分别为 、、。若 ，且 ，则 周长的取值范围是 ____________。 16．（★★★）在锐角 中，角 、、 所对的边分别为 、、。若 ，，则 的取值范围是 ____________。 四、解答题 17．（★★）在 中，，。 (1) 求 的最大值； (2) 求 面积的最大值。 18．（★★）在 中，，。 (1) 求 的最大值； (2) 求 周长的最大值。 19．（★★）在 中，，。 (1) 求 面积的最大值； (2) 求面积取最大值时边 的值。 20．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且 ，。 (1) 求 的最大值； (2) 求 面积的最大值； (3) 求 周长的最大值。 21．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且 ，。 (1) 求 的最大值； (2) 求 的取值范围。 22．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 面积的最大值。 23．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 面积的最大值； (3) 若 为锐角三角形且 ，求 的取值范围。 24．（★★★）在 中，角 、、 所对的边分别为 、、，且 。 (1) 求角 ； (2) 若 ，求 的取值范围； (3) 若 为锐角三角形且 ，求 面积的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $