第04讲 基本不等式及其应用-艺术生专用讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第04讲 基本不等式及其应用 第04讲 基本不等式及其应用 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解基本不等式与重要不等式，牢记"一正、二定、三相等"的使用条件； 2．能用配凑、换元等技巧把式子化为"和定"或"积定"的形式求最值； 3．熟练掌握"1"的代换与整体代换，能处理条件为定值（不等于 1）的最值问题； 4．能建立函数模型解决用料最省、面积最大等实际问题，答案符合实际并带单位。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 配凑型求最值 选择题、填空题 第1~4题 中 凑出 使乘积为定值 和定积最大、积定和最小 选择题、填空题 第2~6题 中 先看"和定"还是"积定"，再套结论 "1"的代换与条件最值 选择题、填空题 第7~8题、第13~14题 中偏难 把定值整体乘进去再展开 含分母换元与多项式除法 选择题、填空题 第6~8题 中偏难 先把假分式拆成"整式 + 真分式" 实际应用（面积、用料） 解答题 第17~19题 中 设元→列函数→用不等式，检验等号 命题规律分析 基本不等式是高考求最值的"常规武器"，选择、填空直接考，解答题中常作为某一问出现，难度中档偏上。命题规律上有三条主线：一是配凑型求最值（把式子凑成 ）；二是"1"的代换与条件最值，常落在第 7~8 题或第 13~14 题；三是实际应用（面积、用料），多以中档解答题收尾。陷阱集中在两点：忽视"一正"（在负数上用不等式）、忘记检验等号成立条件。本讲把配凑、换元、代换三把钥匙一次讲透，力争把这类题的分数全部拿满。 考点1 基本不等式 知识点1 基本不等式 若 ，，则 ，当且仅当 时等号成立；对任意实数有 ，等号当且仅当 时成立。 使用三步检查：一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到），三者缺一不可。 【易错清单】 1． 时不能直接用，要先提取负号化为正数； 2．只满足"一正、二定"而不检验"三相等"，可能把"下界"误当最小值。 知识点2 两个最值结论 和定积最大：若 、 且 ，则 ，当且仅当 时取到最大值。 积定和最小：若 、 且 ，则 ，当且仅当 时取到最小值。 【易错清单】 1．"和定"求积的最大、"积定"求和的最小，方向记反是常见错误； 2．和（或积）不是定值时必须先配凑成定值，不能硬套结论。 知识点3 常见变形与配凑（基础） 配凑型：（，），等号当且仅当 时成立。 "1"的代换：由 得 ，展开后凑倒数对。 【易错清单】 1．定值不是 时，最后要除以该定值才是原式的最值； 2．配凑后要解方程检验等号点是否落在定义域内。 考点2 基本不等式的实际应用（基础） 知识点4 实际问题的解题步骤 设元 → 用条件消去一个变量 → 列目标函数（写明定义域）→ 用基本不等式求最值 → 代回求未知量并写答案（带单位）。 "周长一定求面积最大"用和定积最大，"面积一定求用料（周长）最省"用积定和最小。 【易错清单】 1．答案必须符合实际（边长、次数为正），必要时舍去不合题意的根； 2．先写定义域（如 ）再求最值，避免遗漏约束。 【题型1 配凑型求最值】 【例1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把整式部分凑出分母 ，使两项之积为定值。 【解答过程】因为 ，所以 。 ， 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 。故选B。 【多解·巧解】也可换元 ，原式化为 ，一正二定三相等一次到位。配凑的诀窍是把分式的分母"搬"到整式部分：凑出与分母相同的 ，使两项乘积为定值 ，再补上被"借走"的常数。 【易错提醒】不能对 直接套 ——两项之积不是定值；必须先配凑或换元。另外等号点 要落在定义域 内，本题满足。 【变式1-1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 为定值，套 。 【解答过程】，当且仅当 ，即 时取等号。故选A。 【变式1-2】已知 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．不存在　D． 【答案】A 【解题思路】 时先提取负号化为正数再用不等式。 【解答过程】由 得 ，于是 ，即 ，故 ，当且仅当 时取等号。最大值为 。故选A。 【变式1-3】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】换元 ，化为 。 【解答过程】令 ，则 ，当且仅当 （即 ）时取等号。故选C。 【题型2 和定积最大与积定和最小】 【例2】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】把 看成 ，凑成"和定"形式。 【解答过程】由基本不等式 ，所以 。 当且仅当 （结合 得 ，）时取等号。故选B。 【多解·巧解】凑"和定"是关键：把 看成 ，此时 为定值，套"和定积最大"。若直接写 会因 不是定值而无从下手。 【易错提醒】① 忘记"多除一个 "：由 得 ，别写成 ；② 等号条件要写 （不是 ）。 【变式2-1】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 看成 。 【解答过程】由 ，得 ，当且仅当 （即 ，）时取等号。故选A。 【变式2-2】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】积定和最小： 为定值。 【解答过程】，当且仅当 （即 ，）时取等号。故选A。 【变式2-3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】化为 ，再用和定积最大。 【解答过程】。由 ，得 ，当且仅当 时取等号。故选A。 【题型3 "1"的代换与整体代换】 【例3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把条件"1"整体乘进 后展开，凑倒数对。 【解答过程】因为 ，所以 。 由 ，得 ，当且仅当 时取等号。故选A。 【多解·巧解】把定值"1"整体乘进去是这类题的核心动作：条件以 的形式给出时，让目标式乘上 （值恒为 ），展开后自然凑出 这对倒数结构。 【易错提醒】① 展开时常数项是 （别漏项）；② 检验等号： 与条件联立有正解，说明 能取到。 【变式3-1】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 乘进去展开。 【解答过程】，当且仅当 （即 ，结合 得 ，）时取等号。故选A。 【变式3-2】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】条件定值为 ，乘 后展开。 【解答过程】因为 ，所以 ， 当且仅当 （即 ，结合 得 ，）时取等号。故选A。 【变式3-3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】展开后化为 的函数，再用和定积最大。 【解答过程】展开：。 又 ，代入得原式 。 设 ，由 得 ；函数 在 上单调递减，故当 （即 ）时原式取最小值 。故选B。 【题型4 换元与多项式除法配凑】 【例4】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】做除法把假分式拆成"整式 + 真分式"，再配凑。 【解答过程】因为 ，所以 。 又 时 ，故 ，从而原式 ，当且仅当 （即 ）时取等号。故选A。 【多解·巧解】见到"分母为一次式、分子为二次式"的分式，先做多项式除法，把分子配成关于分母的多项式：，拆完才有"积为定值"的结构。这一步与"配凑"是同一件事的两种说法。 【易错提醒】配凑时别丢常数： 与 的最小值是 ，还要加上被分出来的常数 ，答案为 。 【变式4-1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】换元 ，化为 。 【解答过程】令 ，则 ，，当且仅当 （即 ）时取等号。故选A。 【变式4-2】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】拆开即 。 【解答过程】，当且仅当 时取等号。故选A。 【变式4-3】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分子配成 ，拆开后用基本不等式。 【解答过程】因为 ，所以 。 又 时 ，故 ，当且仅当 （即 ）时取等号。故选A。 【题型5 多元最值与条件最值】 【例5】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用基本不等式把约束翻译成关于 的一元不等式。 【解答过程】设 （），则 。 由 ，得 ，即 ，解得 （，舍去 ）。 当 时 ，等号成立。故最小值为 。故选A。 【多解·巧解】把约束 与目标 建立联系是核心：设 后， 代入 ，用基本不等式把"约束"翻译成关于目标的一元不等式。等价地也可先由 直接整体代换。 【易错提醒】解 得 或 ，作为正的 只能取 ；并须检验等号（）能取到。 【变式5-1】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先由和定积最大得 ，再对 用单调性。 【解答过程】由 得 ，即 。 函数 在 上单调递减（导数 ），故最小值在 处取得，为 。故选A。 【变式5-2】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 看成 ，凑"和定"。 【解答过程】，所以 ，当且仅当 （即 ，）时取等号。故选A。 【变式5-3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】换元 ，，由 得 。 【解答过程】由 得 ，即 ，确实成立。 令 ，，由 、 及 知 同号且 、，结合 可推出 附近的对称结构。 由基本不等式 ，当且仅当 （即 ）时取等号。故选A。 【题型6 基本不等式的实际应用】 【例6】要制作一个容积为 的无盖长方体水箱，底面为正方形。问底面边长为多少米时用料最省？ A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】设底面边长 、高 ，由体积消去 ，得表面积 ，再拆项用不等式。 【解答过程】设底面边长为 、高为 ，由 得 。 无盖表面积 （）。 由三元基本不等式 ，当且仅当 （即 ）时取等号。故选A。 【多解·巧解】拆项凑定值是关键：把 拆成 三项，使三项之积 为常数，再用三元基本不等式。把一项拆成两项是"凑积定"的常用手段。 【易错提醒】① 无盖水箱只有"底面 + 四个侧面"，别误加一个顶面；② 体积条件 用来消去 ，代换后定义域为 ；③ 等号 落在定义域内。 【变式6-1】用长为 的篱笆围成一个矩形场地，则场地面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】周长定即"和定"，用和定积最大。 【解答过程】设矩形两边为 （），则 ，即 。 面积 ，当且仅当 时取等号。故选A。 【变式6-2】已知某产品的总成本 （元）与产量 （件）满足 （），则总成本的最低值为（　　） A． 元　B． 元　C． 元　D． 元 【答案】A 【解题思路】直接套 。 【解答过程】，当且仅当 （即 ）时取等号。故选A。 【变式6-3】用一段长为 的篱笆靠墙围成一个矩形菜园（墙足够长，只需围三边），则菜园面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】三边用篱笆：（垂直于墙的边）（平行于墙的边），列面积函数后用不等式。 【解答过程】设垂直于墙的边长为 ，则平行于墙的边长为 （）。 面积 ，当且仅当 （即 ）时取等号。故选A。 一、单选题 1．（★★）已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】。 【解答过程】，当 时取等号。故选A。 2．（★★）已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】和定积最大：。 【解答过程】，当 时取等号。故选B。 3．（★★）已知 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D．不存在 【答案】A 【解题思路】 时提取负号化为正数。 【解答过程】由 得 ，，即 ，故 ，当且仅当 时取等号。故选A。 4．（★★）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】"1"的代换或化 。 【解答过程】，当 时取等号。故选B。 5．（★★）已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】换元 ，化为 。 【解答过程】令 ，则 ，当 （即 ）时取等号。故选B。 6．（★★★）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】定值为 ，把 （恒为 ）乘进待求式展开，凑出倒数对。 【解答过程】由 得 ，故 。由基本不等式 ，故原式 ，当 时取等号。故选A。 7．（★★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先把左边配凑成""求其最小值，再由恒成立得 不超过该最小值。 【解答过程】当 时 ，将左边配凑：。 由基本不等式 ，故 （等号在 ，即 处成立）。 要使不等式对一切 恒成立，需 不超过左边的最小值，即 ， 故 的最大值为 。故选A。 8．（★★★）已知 ，，且 。若 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】" 恒成立"即 不小于 的最大值，先用"和定积最大"求 的最大值。 【解答过程】由 及"和定积最大"，得 ， 故 ，当 （即 ，）时取等号。 所以 的最大值为 。要使 对一切满足条件的 恒成立，需 ， 故 的最小值为 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列关于基本不等式的说法正确的是（　　） A．若 ，，则 　B．若 ，，则 　C．若 ，则 　D．若 ，则 【答案】ABD 【解题思路】逐项检查"一正"这一前提。 【解答过程】A、B 是基本不等式本身，成立；C： 时 ，不成立；D： 时 ，当 时取等号，成立。故选ABD。 10．（★★）已知 ，，且 ，则（　　） A．　B． 的最大值为 　C．　D． 【答案】ABCD 【解题思路】和定积最大；其余各项由此推出。 【解答过程】由 知 A、B 正确； ，C 正确； ，D 正确。故选ABCD。 11．（★★★）已知 ，，且 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】以"和定积最大" 为基础，其余各项由恒等变形或基本不等式逐项推出。 【解答过程】A：由"和定积最大"得 ，正确； B：，正确； C：（因 ），正确； D：， 故 ，与""方向相反，错误。 故选ABC。 12．（★★★）已知 ，，且 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项用基本不等式；D 需在约束下真正求出 的最小值再判断。 【解答过程】A：由"和定积最大"，（注意 ），故 ，正确； B：，正确； C：，正确； D：由 得 ， 故 （当 时取到），而 ，D 错误。 故选ABC。 三、填空题 13．（★★）已知 ，则 的最小值为____________。 【答案】 【解题思路】。 【解答过程】，当 时取等号。 14．（★★）已知 ，，，则 的最大值为____________。 【答案】 【解题思路】和定积最大。 【解答过程】，当 时取等号。 15．（★★★）已知 ，，且 ，则 的最小值为____________。 【答案】 【解题思路】把 变形为 ，再把目标式通分后化为 。 【解答过程】由 得 ，即 ； 又由 知 ，从而 ，各分母均为正。 于是 。 由 与 得 ，即 ，故 （因 ）。 所以原式 ，当且仅当 时取等号，最小值为 。 16．（★★★）已知 ，，且 ，则 的最小值为____________。 【答案】 【解题思路】条件已给出""的形式，把目标式乘上 展开，凑出倒数对。 【解答过程】由 ，。 由基本不等式 ，故 ，当 （即 ）时取等号。 故 的最小值为 。 四、解答题 17．（★★）已知 ，。 (1) 若 ，求 的最大值； (2) 若 ，求 的最小值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 和定积最大；(2) 积定和最小。 【解答过程】(1) ，当 时取等号。 (2) ，当 时取等号。 【多解·巧解】(1) 与 (2) 是"和定积最大、积定和最小"的正反两面：条件给"和"就求积的最大值，条件给"积"就求和的最小值。先判断条件是"和定"还是"积定"，再决定用哪一句结论。 【易错提醒】两句结论方向恰好相反，容易记混：和定求积的最大值、积定求和的最小值。写完后用等号条件（）代回原式检验。 18．（★★）已知 ，求函数 的最小值，并求取得最小值时 的值。 【答案】最小值 ，此时 。 【解题思路】换元 后配凑。 【解答过程】令 ，则 ，。 当且仅当 ，即 （）时取等号。所以最小值为 ，此时 。 【多解·巧解】也可不换元，直接"配凑"：，从原式里"借"出 与 相互抵消，凑出积为定值的两项。换元与配凑是同一思路的两种写法，哪个顺手用哪个。 【易错提醒】不能对 直接套 ——两项之积不是定值；必须先换元或配凑使乘积等于 ，且检验等号点 满足 。 19．（★★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】两问都用"1"的代换：把 （值恒为 ）乘进待求式展开。 【解答过程】(1) ，当 时取等号。 (2) ，当 （即 ，结合 得 ，）时取等号。 【多解·巧解】"1"的代换的标准三步：乘定值 → 展开分组（常数 + 倒数对）→ 用 。本题定值恰为 ，直接相乘即可；若定值是 ，则乘 并记得最后除以 。 【易错提醒】(2) 中最易错的是把系数算错：展开 得 ，常数项是 ，交叉项之积为 ，故最小值为 。 20．（★★★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) "和定积最大"；(2) 把定值 对应的 （恒为 ）乘进待求式展开。 【解答过程】(1) 由"和定积最大"得 ，当 时取等号。 (2) 由 得 ，故 ， 当 （即 ，结合 得 ，）时取等号。 【多解·巧解】(2) 是"1 的代换"：条件 的值恒为 ，故乘 ，展开后常数项为 、交叉项之积为 ，最小值为 。 【易错提醒】(2) 乘进去展开时不要漏除以定值 ： 的最小值是 ，因 ，故原式最小值为 。 21．（★★★）已知 。 (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 配凑成 ；(2) 用多项式除法把假分式拆成"整式 + 真分式"。 【解答过程】(1) ， 当 （即 ）时取等号，最小值为 。 (2) 因为 ，所以 。 由基本不等式 ，故原式 ， 当 （即 ）时取等号，最小值为 。 【多解·巧解】(2) 的核心是多项式除法：把 拆成 ，拆完后两项之积为常数才有定积结构。 【易错提醒】(2) 拆分的余数别算错：，余数为 ，故真分式部分是 （不是 ）；常数 也勿漏。 22．（★★★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】条件已给""，把目标式直接乘上 展开，凑倒数对。 【解答过程】(1) ， 当 时取等号。 (2) ， 当 （即 ）时取等号。 【多解·巧解】两问都用"整体代换"：条件 的值恒为 ，直接乘到目标式上展开。(2) 展开后常数项为 ，交叉项之积为 ，最小值为 。 【易错提醒】(2) 展开 共四项：，交叉项之积 ，开方得 ，勿算错系数。 23．（★★★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值； (3) 若不等式 对一切满足条件的 恒成立，求实数 的最大值。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 凑"和定积最大"；(2)、(3) 把 （其值为 ）乘进待求式展开，恒成立转化为求最小值。 【解答过程】(1) 由"和定积最大"得 ，故 ，当 时取等号。 (2) ，当 时取等号。 (3) ， 即 的最小值为 。要使 恒成立，需 ，故 的最大值为 。 【多解·巧解】(3) 是"恒成立求参数最值"的典型： 恒成立 ，故 的最大值就是左边的最小值 。 【易错提醒】三问的等号条件各不相同：(1) 在 处；(2)、(3) 在 （即 ）处。求最小值时务必检验等号能否取到，本题 满足 ，可以取到。 24．（★★★）某农户计划用总长为 的篱笆围成一个矩形菜园，并在菜园中间用一道篱笆将其分成两个小矩形，中间的篱笆与菜园中长为 的边垂直。 (1) 用 表示菜园的总面积 ，并写出 的取值范围； (2) 求 的最大值及此时 的值； (3) 若要保证总面积不小于 ，求 的取值范围。 【答案】(1) （）； (2) 最大值为 ，此时 ； (3) 。 【解题思路】篱笆总长 矩形周长 中间一道 （ 为与中间篱笆平行的一边）；再把面积写成 的函数求最值。 【解答过程】设与中间篱笆平行的一边长为 。篱笆总长为矩形周长 再加中间的一道 ，即 ，解得 。 (1) 面积 ，由 、 得 。 (2) ，因 为定值，由"和定积最大"得 ， 故 ，当且仅当 （此时 ）时取等号，最大面积为 。 (3) 由 得 ，即 ，整理得 ， 解得 （两者均在 内）。 【多解·巧解】(2) 也可配方：，顶点 即为最大值点，与"和定积最大"殊途同归。 【易错提醒】① 篱笆总长的约束易写错：中间多一道篱笆，总长是 ，不是 ；② 定义域 必须写出；③ 检验 落在定义域内，且 (3) 的解也落在定义域内。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第04讲 基本不等式及其应用 第04讲 基本不等式及其应用 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解基本不等式与重要不等式，牢记"一正、二定、三相等"的使用条件； 2．能用配凑、换元等技巧把式子化为"和定"或"积定"的形式求最值； 3．熟练掌握"1"的代换与整体代换，能处理条件为定值（不等于 1）的最值问题； 4．能建立函数模型解决用料最省、面积最大等实际问题，答案符合实际并带单位。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 配凑型求最值 选择题、填空题 第1~4题 中 凑出 使乘积为定值 和定积最大、积定和最小 选择题、填空题 第2~6题 中 先看"和定"还是"积定"，再套结论 "1"的代换与条件最值 选择题、填空题 第7~8题、第13~14题 中偏难 把定值整体乘进去再展开 含分母换元与多项式除法 选择题、填空题 第6~8题 中偏难 先把假分式拆成"整式 + 真分式" 实际应用（面积、用料） 解答题 第17~19题 中 设元→列函数→用不等式，检验等号 命题规律分析 基本不等式是高考求最值的"常规武器"，选择、填空直接考，解答题中常作为某一问出现，难度中档偏上。命题规律上有三条主线：一是配凑型求最值（把式子凑成 ）；二是"1"的代换与条件最值，常落在第 7~8 题或第 13~14 题；三是实际应用（面积、用料），多以中档解答题收尾。陷阱集中在两点：忽视"一正"（在负数上用不等式）、忘记检验等号成立条件。本讲把配凑、换元、代换三把钥匙一次讲透，力争把这类题的分数全部拿满。 考点1 基本不等式 知识点1 基本不等式 若 ，，则 ，当且仅当 时等号成立；对任意实数有 ，等号当且仅当 时成立。 使用三步检查：一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到），三者缺一不可。 【易错清单】 1． 时不能直接用，要先提取负号化为正数； 2．只满足"一正、二定"而不检验"三相等"，可能把"下界"误当最小值。 知识点2 两个最值结论 和定积最大：若 、 且 ，则 ，当且仅当 时取到最大值。 积定和最小：若 、 且 ，则 ，当且仅当 时取到最小值。 【易错清单】 1．"和定"求积的最大、"积定"求和的最小，方向记反是常见错误； 2．和（或积）不是定值时必须先配凑成定值，不能硬套结论。 知识点3 常见变形与配凑（基础） 配凑型：（，），等号当且仅当 时成立。 "1"的代换：由 得 ，展开后凑倒数对。 【易错清单】 1．定值不是 时，最后要除以该定值才是原式的最值； 2．配凑后要解方程检验等号点是否落在定义域内。 考点2 基本不等式的实际应用（基础） 知识点4 实际问题的解题步骤 设元 → 用条件消去一个变量 → 列目标函数（写明定义域）→ 用基本不等式求最值 → 代回求未知量并写答案（带单位）。 "周长一定求面积最大"用和定积最大，"面积一定求用料（周长）最省"用积定和最小。 【易错清单】 1．答案必须符合实际（边长、次数为正），必要时舍去不合题意的根； 2．先写定义域（如 ）再求最值，避免遗漏约束。 【题型1 配凑型求最值】 【例1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】已知 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．不存在　D． 【变式1-3】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 和定积最大与积定和最小】 【例2】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 "1"的代换与整体代换】 【例3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 换元与多项式除法配凑】 【例4】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 多元最值与条件最值】 【例5】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 基本不等式的实际应用】 【例6】要制作一个容积为 的无盖长方体水箱，底面为正方形。问底面边长为多少米时用料最省？ A．　B．　C．　D． 【变式6-1】用长为 的篱笆围成一个矩形场地，则场地面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】已知某产品的总成本 （元）与产量 （件）满足 （），则总成本的最低值为（　　） A． 元　B． 元　C． 元　D． 元 【变式6-3】用一段长为 的篱笆靠墙围成一个矩形菜园（墙足够长，只需围三边），则菜园面积的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）已知 ，则 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D．不存在 4．（★★）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知 ，，且 。若 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于基本不等式的说法正确的是（　　） A．若 ，，则 　B．若 ，，则 　C．若 ，则 　D．若 ，则 10．（★★）已知 ，，且 ，则（　　） A．　B． 的最大值为 　C．　D． 11．（★★★）已知 ，，且 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 12．（★★★）已知 ，，且 ，则（　　） A．　B．　C．　D． 三、填空题 13．（★★）已知 ，则 的最小值为____________。 14．（★★）已知 ，，，则 的最大值为____________。 15．（★★★）已知 ，，且 ，则 的最小值为____________。 16．（★★★）已知 ，，且 ，则 的最小值为____________。 四、解答题 17．（★★）已知 ，。 (1) 若 ，求 的最大值； (2) 若 ，求 的最小值。 18．（★★）已知 ，求函数 的最小值，并求取得最小值时 的值。 19．（★★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值。 20．（★★★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值。 21．（★★★）已知 。 (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值。 22．（★★★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值。 23．（★★★）已知 ，，且 。 (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值； (3) 若不等式 对一切满足条件的 恒成立，求实数 的最大值。 24．（★★★）某农户计划用总长为 的篱笆围成一个矩形菜园，并在菜园中间用一道篱笆将其分成两个小矩形，中间的篱笆与菜园中长为 的边垂直。 (1) 用 表示菜园的总面积 ，并写出 的取值范围； (2) 求 的最大值及此时 的值； (3) 若要保证总面积不小于 ，求 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $