第11讲 对数与对数函数 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第11讲 对数与对数函数 第11讲 对数与对数函数 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练进行指数式与对数式的互化，会求简单对数的值； 2．掌握对数的三条运算性质与换底公式，会化简、会条件求值； 3．理解对数函数的图象与性质，会求定点、比较对数值的大小； 4．会解对数不等式，能判断对数型复合函数的定义域、单调区间与值域。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 指数式与对数式的互化 选择题、填空题 第 1~4 题 中档 底数不变，指数与对数值同位置，幂与真数同位置 对数的运算性质与化简 选择题、填空题 第 4~6 题 中档 积化和、商化差、幂提前，先合并再求值 换底公式与条件求值 选择题、填空题 第 6~8 题、第 13 题 中偏难 底数不同先换底，连乘用"首尾相接"结论 对数函数的图象与比较大小 选择题 第 5~8 题 中偏难 恒过 ；同底比单调，都不同插 或 对数型复合函数的定义域、单调性与值域 选择题、解答题 第 8 题、第 14 题、第 20~22 题 中偏难 先求定义域，再"同增异减"，最后与定义域取交集 命题规律分析 对数与对数函数是指数函数的"孪生内容"，也是新高考的高频考点。基础运算题多落在第 1~5 题，而换底求值、对数型复合函数的单调性与含参问题常出现在第 6~8 题、第 13~14 题，是 90~120 分学生拉开差距的必争之地。命题形式主要有三类：一是利用运算性质与换底公式做条件求值；二是比较对数值的大小（同底看单调、都不同插 或 ）；三是对数型复合函数的定义域、单调性与值域。本讲用"真数大于 、底数大于 且不等于 、底数小于 要变号"三条红线串起全部题型，把换底与"同增异减"讲成可以直接套用的流程。 考点1 对数与对数的运算 知识点1 对数的概念与指对互化 若 （ 且 ），则 ，其中 叫底数、 叫真数；互化关系 。 常用对数 记作 ，自然对数 记作 ；基本性质 ，，。 【易错清单】 1． 和负数没有对数，凡含对数先写"真数大于 "； 2．含参问题中别漏掉底数条件" 且 "； 3．把 误写成 ，和的对数不能拆。 知识点2 对数的运算性质与换底公式 运算性质（，）：，，。 换底公式 （， 且均不为 ，）；推论 ，。 【易错清单】 1．换底公式分子是新底真数的对数、分母是原底的对数，写反就约不掉； 2． 的前提是 ， 为负时不能这样化； 3． 是必记送分点，但 不能合并。 考点2 对数函数的图象、性质与复合函数 知识点3 对数函数的图象与性质 对数函数 （ 且 ）定义域为 、值域为 ，图象恒过定点 。 当 时在 上单调递增，当 时单调递减；它与同底指数函数 的图象关于直线 对称。 【易错清单】 1．把对数函数的定点 与指数函数的定点 记混； 2．形如 的定点：令真数 求 ，再代回求 ； 3．底数在 与 之间时解不等式要变号。 知识点4 对数型复合函数的单调性与值域 形如 的复合函数，解题顺序固定：先求定义域（），再在这个范围内定内层 的单调性，最后由"同增异减"得整体单调性。 求值域先求内层 在定义域内的取值范围，再用外层单调性映射到外层范围；单调区间必须与定义域取交集。 【易错清单】 1．不先求定义域就判断单调区间，把区间写到了定义域之外； 2．"内层递减、外层递减"整体是递增，别误判成递减； 3．求值域时把内层取到非正数的情形也算进去，忽略真数必须大于 的限制。 【题型1 指数式与对数式的互化与求值】 【例1】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分别把真数化成同底幂，读出对数值再相加。 【解答过程】；。所以原式 。故选A。 【多解·巧解】求对数值也可用"设 ，化为 "的互化法：设 ，则 ，得 ；当"底数与真数都是同一个数的幂"时，直接读指数（）比设未知数更快。 【易错提醒】 是负数，忽略负号算成 会得到 而误选 B；真数小于 时对数值为负，可先估算符号再计算。 【变式1-1】计算 ____________。 【答案】 【解题思路】用恒等式 与同底对数直接求值。 【解答过程】由 得 ；。所以原式 。 【变式1-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】由互化公式 对号入座。 【解答过程】在 中，底数是 、真数是 ，故 。故选B。 【变式1-3】计算 ____________。 【答案】 【解题思路】先把真数化成 的幂，再用 。 【解答过程】。（也可用"幂提前"：。） 【题型2 对数的运算性质与化简求值】 【例2】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用"和化积"合并前两项，再减去第三项。 【解答过程】，又 ，所以原式 。故选A。 【多解·巧解】也可把三式一次性合并：——加法化积、减法化商，在"和差混合"的对数式里，先整体合并再求值往往更省事，也少犯符号错。 【易错提醒】把 当成 （真数相加）；只有"积"才能拆成"和"，这里是反过来"和化积"。 【变式2-1】计算 ____________。 【答案】 【解题思路】同底两对数相减，合并为商的对数。 【解答过程】。 【变式2-2】计算 ____________。 【答案】 【解题思路】先合并减法，再与加法一起合并。 【解答过程】，，所以原式 。 【变式2-3】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】提取公因式 ，用 化简。 【解答过程】，所以原式 。故选A。 【题型3 换底公式与条件求值】 【例3】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把后一个对数换成以 为底，与前一项约分。 【解答过程】，所以 。故选A。 【多解·巧解】连乘形如 有固定结论 （"首尾相接"直接读），本题一步得 ；记住这条推论，遇到三四个对数连乘可以连续使用，省去逐次换底。 【易错提醒】换底时分子分母写反：正确形式是 （分子是新底真数、分母是新底原底数），写反会得到 而约不掉。 【变式3-1】计算 ____________。 【答案】 【解题思路】连乘用"首尾相接"结论 。 【解答过程】。 【变式3-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把真数 拆成"已知真数的幂"与特殊值的积。 【解答过程】。故选A。 【变式3-3】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 拆成 ，并把 用 表示。 【解答过程】。故选A。 【题型4 对数函数的图象、定点与比较大小】 【例4】函数 的图象恒过定点（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】令真数为 （此时对数值为 ）求出横坐标，再代回求纵坐标。 【解答过程】令 ，得 ，此时 。所以定点为 。故选A。 【多解·巧解】也可用图象平移： 恒过 ，左移 个单位得 过 ，再下移 个单位即过 ；抓住"定点 随图象整体平移"，就不会把真数误当成 。 【易错提醒】把真数当成 ，令 得 而误选 B；本题真数是 ，令它等于 才是正确的。 【变式4-1】函数 的图象恒过定点____________。 【答案】 【解题思路】令真数 求出 ，再代回求 。 【解答过程】令 ，得 ，此时 ，故定点为 。 【变式4-2】比较大小：____________（填""或""）。 【答案】 【解题思路】底数在 与 之间，对数函数单调递减。 【解答过程】因为 单调递减，且 ，所以 。 【变式4-3】设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】同底对数用单调性，并插入 作分界。 【解答过程】因为 单调递增，且 ，所以 ，即 ；又 。所以 。故选A。 【题型5 对数函数的单调性与解不等式】 【例5】已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先列定义域（真数大于 ），再按单调性脱去对数符号。 【解答过程】先保证真数为正：，即 ；因为 单调递增，由 得 ，即 。取交集得 。故选A。 【多解·巧解】解对数不等式永远"两步走"：第一步真数大于零（定义域要求），第二步用单调性脱去对数符号，最后取交集。本题也可把 留在原位，直接把自变量搬出来比：同底递增时"函数值小则自变量小"，即 ，配合 得答案。 【易错提醒】只脱符号忘记 ，会把 误写成 而选 B；定义域条件是这类题的第一得分点，必须写在解题过程里。 【变式5-1】不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把右端化为同底对数，再"真数大于零 + 单调性"两步解。 【解答过程】不等式化为 。先保证真数为正：，即 ；因为 递增，所以 ，即 。取交集得 ，解集为 。故选A。 【变式5-2】不等式 的解集是____________。 【答案】 【解题思路】底数小于 ，脱去对数符号要变号。 【解答过程】不等式化为 。先保证真数为正：，即 ；因为底数 ，函数递减，所以 ，即 。取交集得 ，解集为 。 【变式5-3】已知函数 （ 且 ）在区间 上的最大值为 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】分 与 讨论最值位置，再检验。 【解答过程】当 时 递增，最大值 ，即 ，得 ，符合；当 时 递减，最大值 ，即 ，得 ，与 矛盾，舍去。所以 。 【题型6 对数型复合函数的定义域与单调性】 【例6】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再"同增异减"，最后与定义域取交集。 【解答过程】先求定义域：由 得 ，即 或 。设 ， 在 上递减、在 上递增；外层 递减。由"同增异减"， 在 递减处递增，即 在 上递增。再与定义域 取交集，得单调递增区间为 。故选A。 【多解·巧解】三步走：定定义域 定内外层单调性 "同增异减"后与定义域取交集；交集把区间从 缩到 ，这一步是本题的分水岭，先算内层对称轴、再"削"掉定义域之外的部分，顺序不能颠倒。 【易错提醒】不先求定义域就直接写 ，把区间写到了定义域之外；对数型复合函数的单调区间必须完整落在真数大于 的范围内。 【变式6-1】函数 的定义域是____________。 【答案】 【解题思路】令真数大于零，解一元二次不等式。 【解答过程】由 得 ，解得 或 ，故定义域为 。 【变式6-2】函数 的值域是____________。 【答案】 【解题思路】先求内层范围，再映射到外层。 【解答过程】设 ，即内层 ；外层 单调递增，故 。 【变式6-3】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再"同增异减"，最后取交集。 【解答过程】先求定义域：由 即 得 。设 ， 在 上递减、在 上递增；外层 递增。由"同增异减"， 在 递减处递减，即 在 上递减。与定义域 取交集，得单调递减区间为 。故选A。 一、单选题 1．（★★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】化为指数式求值。 【解答过程】设 ，则 ，所以 。故选B。 2．（★★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】对数的真数必须大于零。 【解答过程】由 得定义域为 。故选B。 3．（★★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】合并成积的对数。 【解答过程】。故选C。 4．（★★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】真数大于零。 【解答过程】由 得 ，故定义域为 。故选A。 5．（★★）已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】同底对数用单调性，再与 比较。 【解答过程】因为 单调递增，且 ，所以 ，即 。故选B。 6．（★★★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】前两项用换底与幂运算化简，第三项用恒等式 ，最后相加。 【解答过程】；；由恒等式 得 。所以原式 。故选A。 7．（★★★）已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先确定 ， 与 的大小关系，再用""这一关键不等式比较 与 。 【解答过程】因为 ，所以 ；因为 ，所以 ，故 。再比较 与 ：由 且 递增，得 ，从而 ；又 。综上 。故选A。 8．（★★★）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】外层递增，故只需内层在 上递增且恒正，两个条件要同时满足。 【解答过程】设 ，其对称轴为 ，开口向上， 在 上递增。外层 递增，故 在 上递增当且仅当 在 上递增且 。要 在 上递增，需 落在递增区间内，即 ，解得 ；此时 在 上递增，最小值 ，由 得 ，恒正条件满足。所以 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列关于对数的说法中，正确的是（　　） A． 和负数没有对数　B．（ 且 ）　C．（ 且 ）　D． 【答案】ABC 【解题思路】对照对数的概念与运算性质逐项判断。 【解答过程】A 正确，真数必须大于零；B、C 正确，这是对数的两条基本性质；D 错误，正确的性质是 （积的对数等于对数的和）。故选ABC。 10．（★★）关于对数函数 （ 且 ），下列说法正确的是（　　） A．定义域为 　B．值域为 　C．图象过点 　D．当 时在定义域上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照对数函数的定义与性质判断。 【解答过程】对数函数的定义域为 、值域为 、图象过点 ，A、B、C 均正确；当 时函数单调递减，D 错误。故选ABC。 11．（★★★）已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABD 【解题思路】用"首尾相接"的换底结论逐项验证，注意底数不同的对数不能直接相加。 【解答过程】A 中 ，正确；B 中 ，正确；C 中 ，而 的两项底数不同、无法合并，错误；D 中 ，正确。故选ABD。 12．（★★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．若 的定义域为 ，则 　B．当 时， 的单调递增区间为 　C．若 的值域为 ，则 或 　D．当 时， 的定义域为 【答案】ABC 【解题思路】"定义域为 "看内层判别式小于零，"值域为 "看内层最小值不大于零，二者条件不同，要分别求解。 【解答过程】设 ，开口向上。A 中定义域为 即 恒成立，需 ，解得 ，正确；B 中当 时 ，对称轴为 ， 在 上递减，外层 递减，由"同增异减"知 在 上递增，正确；C 中值域为 需内层最小值 ，即 ，解得 或 ，正确；D 中当 时 ，，当 时 使对数无意义，定义域为 ，不是 ，错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）计算 ____________。 【答案】 【解题思路】化为指数式求值。 【解答过程】设 ，则 ，所以 。 14．（★★）函数 的定义域是____________。 【答案】 【解题思路】真数大于零。 【解答过程】由 得 ，故定义域为 。 15．（★★★）已知 ，，则 ____________（用 ， 表示）。 【答案】 【解题思路】把 、 都换成以 为底的商，再用 ， 表示，最后通分。 【解答过程】由换底公式 ；又 ，所以 。同理 。于是 。 16．（★★★）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】值域为 等价于内层二次函数能取遍所有正数，即内层最小值不大于零。 【解答过程】设 ，开口向上，。要使 的值域为 ，需 能取遍 内的所有值，即内层最小值不大于零：，整理得 ，即 ，解得 或 。 四、解答题 17．（★★）计算下列各式的值： (1) ； (2) 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 分别求值再相加；(2) 先"和化积"再化简第三项。 【解答过程】(1) ，，所以原式 。 (2) ，，所以原式 。 【多解·巧解】(2) 也可以把三项一次合并：——加法化积、减法化商、系数提前，一步到位；当式子里"和差混合"时，先整体合并再求值更稳。 【易错提醒】 是负数，漏掉负号会得到 ；(2) 中 等于 而不是 ，系数 是"提前"出来的，不在真数上。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求 的定义域； (2) 求 与 的值； (3) 求 在 上的值域。 【答案】(1) ； (2) ，； (3) 。 【解题思路】(1) 真数大于零；(2) 先算真数再求对数；(3) 底数大于 故递增，代入两端点。 【解答过程】(1) 由 得 ，定义域为 。 (2) ；。 (3) 因为底数 ，所以 在 上单调递增，故在 上的最小值为 、最大值为 ，值域为 。 【多解·巧解】(3) 底数大于 时 递增，其最值只需把区间端点代入真数（把端点先减 得 与 ），不必整体求"反函数"；(2) 求 的关键是先算出真数 再取对数。 【易错提醒】求 时忘记先减 ，直接算 是无法化为整数的；(3) 中代端点时要代"真数端点" 与 ，别把 、 直接当对数值。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 的定义域； (2) 求 的单调递增区间。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先求定义域（真数大于零），再在定义域内用"同增异减"确定单调区间。 【解答过程】(1) 由 得 ，解得 或 ，故定义域为 。 (2) 设 ， 在 上递减、在 上递增；外层 递减。由"同增异减"， 在 递减处递增，即 在 上递增。与定义域 取交集，得单调递增区间为 。 【多解·巧解】复合函数单调区间必须"先定定义域、再同增异减、最后取交集"三步齐做；外层底数 小于 是减函数，因此"内层递减 整体递增"，与直观正好相反，是本题的关键判断。 【易错提醒】只在 上判内层递减而不与定义域取交集，会误把区间写成 ；对数型复合函数的单调区间一定落在定义域内。 20．（★★★）已知函数 （ 且 ）。 (1) 当 时，求 的定义域； (2) 若 在 上是减函数，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 真数大于零解不等式；(2) 复合函数单调性既要判"内外层单调方向"，又要保证区间上真数恒正。 【解答过程】(1) 当 时，，由 得 ，定义域为 。 (2) 设 ，因 ， 在 上单调递减。要使 在 上递减，需外层 递增，故 ；同时 在 上要有意义，需 在 上恒成立，因 递减，只需其端点值 ，即 。综上 。 【多解·巧解】(2) 复合函数在闭区间上讨论单调性要守两条底线："内外层同增异减"决定单调方向，"真数恒正"决定参数上限；本题内层 递减已定，只需 使外层递增，再用右端点 卡住 。 【易错提醒】(2) 只由同增异减得 而忘记真数恒正，会漏掉 这一上界；求真数在区间上的最小值要取 的最小值点（本题是 ），别误取 。 21．（★★★）已知函数 （ 且 ）。 (1) 若 在 上的最大值为 ，求 的值； (2) 若 ，解不等式 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】(1) 分 与 讨论最值位置；(2) 化为同底后脱去对数符号，同时守住真数为正。 【解答过程】(1) 当 时 递增，最大值 ，即 ，结合 得 ；当 时 递减，最大值 ，舍去。所以 。 (2) 当 时，，不等式化为 。由真数为正，得 且 ，即 ；因为 递增，所以 ，解得 。取公共部分得 ，即解集为 。 【多解·巧解】(1) 含底数的最大值问题一律先分 、 两类，单调方向不同，取到最值的端点也不同；(2) 解对数不等式"两步走"：先保真数为正（得 ），再按单调性脱去符号，最后取交集。 【易错提醒】(2) 本题真数是 ，它大于零的条件不能漏；若只在脱符号后解得 就作答，虽结果相同，但遇到真数为负的可能解就会出错，规范写法必须两步齐全。 22．（★★★）已知函数 （ 且 ）。 (1) 若 ，求 的值； (2) 在 (1) 的条件下，解不等式 ； (3) 在 (1) 的条件下，求 在 上的值域。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 化为指数式求底数；(2) 底数小于 时函数递减，脱去对数符号后不等号方向要改变，并注意定义域；(3) 递减函数在区间上由端点取最值。 【解答过程】(1) 由 得 ，即 ，符合 且 。 (2) 当 时 在 上递减。由真数为正得 且 ，即 ；因 递减， 等价于 ，解得 。取公共部分得 ，即解集为 。(3) 因为 在 上递减，所以最大值为 、最小值为 ，值域为 。 【多解·巧解】(2) 底数 是减函数，脱去对数符号时不等号必须"由大变小"，这是与底数大于 时最大的区别；再叠加真数条件 ，两步一起才不丢解。 【易错提醒】(2) 若按底数大于 的习惯直接写 ，会得到相反的解集；(3) 递减函数在 上"左大右小"，端点代入时别把最大值、最小值写反。 23．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的最小值及取得最小值时 的值； (2) 若 ，求 的取值范围； (3) 若 在 上的最大值为 ，求实数 的取值范围。 【答案】(1) 最小值为 ，此时 ； (2) ； (3) 。 【解题思路】令 换元，把问题化为关于 的二次函数； 时 取遍 ，第 (3) 问按对称轴与区间的位置关系讨论。 【解答过程】(1) 令 （ 时 ），则 。 所以当 即 时， 取得最小值 。(2) 由 得 ，即 ，解得 ，即 ，所以 。(3) 因为 ，所以 （需 ）。记 ，其对称轴为 ，开口向上。当 时， 在 上递增，最大值 ，符合；当 时，区间含对称轴，最大值 ，只需左端点 ，即 ，解得 ，与 取交得 ；当 时，，最大值超过 ，不符合。综上 。 【多解·巧解】换元 是"对数型二次函数"的通法，换元后 的范围由 的范围确定，务必同步写出；(3) 中"最大值为 "要比较区间两端与对称轴：右端 处恒为 ，再要求左端 处的值不超过 ，由此卡出 的范围。 【易错提醒】(3) 只比较右端点 （此处恒为 ）而不检验左端点 的值，会误认为任意 都满足； 时左端点的函数值 会让最大值超过 ，必须排除。 24．（★★★）已知函数 。 (1) 若 的定义域为 ，求实数 的取值范围； (2) 若 的值域为 ，求实数 的取值范围； (3) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) "定义域为 "看内层判别式；(2) "值域为 "看内层最小值非正；(3) 外层递减，需内层在 上递减且真数恒正。 【解答过程】设 ，开口向上，对称轴 ，。(1) 定义域为 即 恒成立，需 ，解得 。(2) 值域为 需 取遍所有正数，即 ，解得 ，即 或 。(3) 外层 递减，要使 在 上递增，需内层 在 上递减，故对称轴 ，即 ；同时 要在 上恒成立。当 时， 在 上递减，最小值在 处取得，故只需 ，即 。综上 。 【多解·巧解】(3) 复合函数单调区间问题的口诀："先由同增异减定方向，再让真数在区间上恒正卡范围"；本题外层递减，故要内层递减（对称轴在 的右侧），再取内层在该区间的最小值 保证为正。 【易错提醒】(3) 只由"内层递减"得 而漏掉真数条件 ；另外别把 在 上的最小值误取在顶点或 处——当 时顶点在区间右侧外，最小值取在端点 。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第11讲 对数与对数函数 第11讲 对数与对数函数 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练进行指数式与对数式的互化，会求简单对数的值； 2．掌握对数的三条运算性质与换底公式，会化简、会条件求值； 3．理解对数函数的图象与性质，会求定点、比较对数值的大小； 4．会解对数不等式，能判断对数型复合函数的定义域、单调区间与值域。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 指数式与对数式的互化 选择题、填空题 第 1~4 题 中档 底数不变，指数与对数值同位置，幂与真数同位置 对数的运算性质与化简 选择题、填空题 第 4~6 题 中档 积化和、商化差、幂提前，先合并再求值 换底公式与条件求值 选择题、填空题 第 6~8 题、第 13 题 中偏难 底数不同先换底，连乘用"首尾相接"结论 对数函数的图象与比较大小 选择题 第 5~8 题 中偏难 恒过 ；同底比单调，都不同插 或 对数型复合函数的定义域、单调性与值域 选择题、解答题 第 8 题、第 14 题、第 20~22 题 中偏难 先求定义域，再"同增异减"，最后与定义域取交集 命题规律分析 对数与对数函数是指数函数的"孪生内容"，也是新高考的高频考点。基础运算题多落在第 1~5 题，而换底求值、对数型复合函数的单调性与含参问题常出现在第 6~8 题、第 13~14 题，是 90~120 分学生拉开差距的必争之地。命题形式主要有三类：一是利用运算性质与换底公式做条件求值；二是比较对数值的大小（同底看单调、都不同插 或 ）；三是对数型复合函数的定义域、单调性与值域。本讲用"真数大于 、底数大于 且不等于 、底数小于 要变号"三条红线串起全部题型，把换底与"同增异减"讲成可以直接套用的流程。 考点1 对数与对数的运算 知识点1 对数的概念与指对互化 若 （ 且 ），则 ，其中 叫底数、 叫真数；互化关系 。 常用对数 记作 ，自然对数 记作 ；基本性质 ，，。 【易错清单】 1． 和负数没有对数，凡含对数先写"真数大于 "； 2．含参问题中别漏掉底数条件" 且 "； 3．把 误写成 ，和的对数不能拆。 知识点2 对数的运算性质与换底公式 运算性质（，）：，，。 换底公式 （， 且均不为 ，）；推论 ，。 【易错清单】 1．换底公式分子是新底真数的对数、分母是原底的对数，写反就约不掉； 2． 的前提是 ， 为负时不能这样化； 3． 是必记送分点，但 不能合并。 考点2 对数函数的图象、性质与复合函数 知识点3 对数函数的图象与性质 对数函数 （ 且 ）定义域为 、值域为 ，图象恒过定点 。 当 时在 上单调递增，当 时单调递减；它与同底指数函数 的图象关于直线 对称。 【易错清单】 1．把对数函数的定点 与指数函数的定点 记混； 2．形如 的定点：令真数 求 ，再代回求 ； 3．底数在 与 之间时解不等式要变号。 知识点4 对数型复合函数的单调性与值域 形如 的复合函数，解题顺序固定：先求定义域（），再在这个范围内定内层 的单调性，最后由"同增异减"得整体单调性。 求值域先求内层 在定义域内的取值范围，再用外层单调性映射到外层范围；单调区间必须与定义域取交集。 【易错清单】 1．不先求定义域就判断单调区间，把区间写到了定义域之外； 2．"内层递减、外层递减"整体是递增，别误判成递减； 3．求值域时把内层取到非正数的情形也算进去，忽略真数必须大于 的限制。 【题型1 指数式与对数式的互化与求值】 【例1】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】计算 ____________。 【变式1-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】计算 ____________。 【题型2 对数的运算性质与化简求值】 【例2】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】计算 ____________。 【变式2-2】计算 ____________。 【变式2-3】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 换底公式与条件求值】 【例3】计算 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】计算 ____________。 【变式3-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 对数函数的图象、定点与比较大小】 【例4】函数 的图象恒过定点（　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-1】函数 的图象恒过定点____________。 【变式4-2】比较大小：____________（填""或""）。 【变式4-3】设 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 对数函数的单调性与解不等式】 【例5】已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】不等式 的解集是____________。 【变式5-3】已知函数 （ 且 ）在区间 上的最大值为 ，则 ____________。 【题型6 对数型复合函数的定义域与单调性】 【例6】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】函数 的定义域是____________。 【变式6-2】函数 的值域是____________。 【变式6-3】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）函数 的定义域是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）计算 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知 ，，，则 ，， 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列关于对数的说法中，正确的是（　　） A． 和负数没有对数　B．（ 且 ）　C．（ 且 ）　D． 10．（★★）关于对数函数 （ 且 ），下列说法正确的是（　　） A．定义域为 　B．值域为 　C．图象过点 　D．当 时在定义域上单调递增 11．（★★★）已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 12．（★★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．若 的定义域为 ，则 　B．当 时， 的单调递增区间为 　C．若 的值域为 ，则 或 　D．当 时， 的定义域为 三、填空题 13．（★★）计算 ____________。 14．（★★）函数 的定义域是____________。 15．（★★★）已知 ，，则 ____________（用 ， 表示）。 16．（★★★）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是____________。 四、解答题 17．（★★）计算下列各式的值： (1) ； (2) 。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求 的定义域； (2) 求 与 的值； (3) 求 在 上的值域。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 的定义域； (2) 求 的单调递增区间。 20．（★★★）已知函数 （ 且 ）。 (1) 当 时，求 的定义域； (2) 若 在 上是减函数，求实数 的取值范围。 21．（★★★）已知函数 （ 且 ）。 (1) 若 在 上的最大值为 ，求 的值； (2) 若 ，解不等式 。 22．（★★★）已知函数 （ 且 ）。 (1) 若 ，求 的值； (2) 在 (1) 的条件下，解不等式 ； (3) 在 (1) 的条件下，求 在 上的值域。 23．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的最小值及取得最小值时 的值； (2) 若 ，求 的取值范围； (3) 若 在 上的最大值为 ，求实数 的取值范围。 24．（★★★）已知函数 。 (1) 若 的定义域为 ，求实数 的取值范围； (2) 若 的值域为 ，求实数 的取值范围； (3) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $