第19讲 三角恒等变换讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第19讲 三角恒等变换 第19讲 三角恒等变换 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，能正确判断各项符号； 2．掌握二倍角公式的三个形式与降幂公式，会根据已知条件选择合适的形式； 3．掌握辅助角公式，会把 化为一个三角函数并研究其性质； 4．掌握给值求值中的"凑角"方法，能处理 等角的变换。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 两角和差公式的直接应用 选择题、填空题 第4~6题、第13题 中 非特殊角拆成两个特殊角的和差 二倍角公式求值 选择题、填空题 第5~8题、第13题 中 按已知量选择 的形式 辅助角公式化简 选择题、填空题、解答题 第6~8题、第14题、第20题 中偏难 提出 后配成和角 给值求值（凑角） 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 把所求角拆成已知角的和差 恒等变换与性质综合 多选题、解答题 第11题、第20~24题 中偏难 先化成一个三角函数，再研究最值与周期 命题规律分析 三角恒等变换是三角函数的运算中枢，新高考中多以选择第4~6题、填空第13题出现，也常作为解答题第15题的第一问。培优层面有四个高频方向：一是两角和差公式与给值求值的结合；二是二倍角公式的灵活选择（三个形式要按"已知什么、求什么"选取）；三是辅助角公式化一求最值、求周期；四是"凑角"技巧，核心是把所求角用已知角表示（如 ）。本讲把公式的"变形方向"与"符号陷阱"讲透，力争中档题一步到位、第8题档也能拿下。 考点1 两角和与差的三角公式 知识点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 余弦（符号相反）：，。 正弦（符号相同）：；正切：。 【易错清单】 1． 展开式中是"减"号，写成加号是最常见的错误； 2．，函数符号不能"分配"； 3．正切公式使用前要确认相关角都有正切值且分母不为零。 知识点2 二倍角公式与降幂变形 ；。 降幂公式：，。 【易错清单】 1．已知 用 、已知 用 ，选错形式会多绕弯路； 2． 中的 是角的两倍，与系数 不同，写成 会漏掉 ； 3．用降幂公式时忘记除以 。 考点2 辅助角公式与恒等变换的综合应用 知识点3 辅助角公式 ，其中 （）。 常用特例：，，。 【易错清单】 1．提取的系数是 ，不是 ； 2． 由 确定（ 是正弦项系数），取错会让相位整体偏移； 3．合成后不要漏掉振幅，只写 会丢最大值信息。 知识点4 给值求值与角的拆分 通法：把"所求角"用"已知角"表示，再用和差公式展开。常见凑角：；。 求值时先用平方关系补齐所需的三角函数值并判断符号，再代入和差公式计算。 【易错清单】 1．凑角时把符号写反，如把 写成 ； 2．忘记判断所求角所在范围，导致开方符号错； 3．展开时用错公式（正弦与余弦公式互换）。 【题型1 两角和差公式的直接应用】 【例1】已知 、 均为锐角，，。 (1) 求 ； (2) 求 。 【变式1-1】（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 二倍角公式求值】 【例2】已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 【变式2-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 辅助角公式化简】 【例3】已知函数 。 (1) 把 化为 的形式； (2) 求 的最大值与最小值； (3) 求 的最小正周期。 【变式3-1】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】函数 的最大值是 ____________。 【变式3-3】函数 的最小正周期与最大值分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【题型4 给值求值与角的变换】 【例4】已知 ，，且 ，求 。 【变式4-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式4-3】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型5 恒等变换与三角函数性质】 【例5】已知函数 。 (1) 化简 ； (2) 求 的最小正周期； (3) 求 在 上的最大值。 【变式5-1】化简 得（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-2】函数 的最大值是 ____________。 【变式5-3】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 化简与求值的综合】 【例6】(1) 化简 ； (2) 已知 ，求 (1) 中分式的值。 【变式6-1】化简 （　　）（） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）化简 （　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）下列公式正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 10．（★★）已知 ，且 是第二象限角，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 11．（★★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 的最小正周期为 　C． 在 上的最大值为 　D． 的图象关于直线 对称 12．（★★★）已知函数 （ 为常数）的最小值为 ，则下列结论正确的是（　　） A． 或 　B．当 时， 的最大值为 　C．当 时， 的最大值为 　D．当 时， 的最小正周期为 三、填空题 13．（★★） ____________。 14．（★★）已知 ，则 ____________。 15．（★★★）已知 是第二象限角，则 的取值范围是____________。 16．（★★★）已知 ，则 ____________。 四、解答题 17．（★★）求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) 。 18．（★★）已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 19．（★★）已知 。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 20．（★★★）已知函数 。 (1) 把 化为 的形式； (2) 求 的最小正周期； (3) 求 在 上的值域。 21．（★★★）已知 ，且 。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 22．（★★★）已知 ，，且 ，。 (1) 求 ； (2) 求 的值。 23．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期与最大值； (2) 求 的对称轴方程； (3) 若把 的图象向左平移 （）个单位后关于 轴对称，求 。 24．（★★★）已知 （）。 (1) 用 表示 ； (2) 若该式的值为 ，求 ； (3) 当 时，求 的值。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第19讲 三角恒等变换 第19讲 三角恒等变换 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，能正确判断各项符号； 2．掌握二倍角公式的三个形式与降幂公式，会根据已知条件选择合适的形式； 3．掌握辅助角公式，会把 化为一个三角函数并研究其性质； 4．掌握给值求值中的"凑角"方法，能处理 等角的变换。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 两角和差公式的直接应用 选择题、填空题 第4~6题、第13题 中 非特殊角拆成两个特殊角的和差 二倍角公式求值 选择题、填空题 第5~8题、第13题 中 按已知量选择 的形式 辅助角公式化简 选择题、填空题、解答题 第6~8题、第14题、第20题 中偏难 提出 后配成和角 给值求值（凑角） 选择题、填空题 第8题、第14题 中偏难 把所求角拆成已知角的和差 恒等变换与性质综合 多选题、解答题 第11题、第20~24题 中偏难 先化成一个三角函数，再研究最值与周期 命题规律分析 三角恒等变换是三角函数的运算中枢，新高考中多以选择第4~6题、填空第13题出现，也常作为解答题第15题的第一问。培优层面有四个高频方向：一是两角和差公式与给值求值的结合；二是二倍角公式的灵活选择（三个形式要按"已知什么、求什么"选取）；三是辅助角公式化一求最值、求周期；四是"凑角"技巧，核心是把所求角用已知角表示（如 ）。本讲把公式的"变形方向"与"符号陷阱"讲透，力争中档题一步到位、第8题档也能拿下。 考点1 两角和与差的三角公式 知识点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 余弦（符号相反）：，。 正弦（符号相同）：；正切：。 【易错清单】 1． 展开式中是"减"号，写成加号是最常见的错误； 2．，函数符号不能"分配"； 3．正切公式使用前要确认相关角都有正切值且分母不为零。 知识点2 二倍角公式与降幂变形 ；。 降幂公式：，。 【易错清单】 1．已知 用 、已知 用 ，选错形式会多绕弯路； 2． 中的 是角的两倍，与系数 不同，写成 会漏掉 ； 3．用降幂公式时忘记除以 。 考点2 辅助角公式与恒等变换的综合应用 知识点3 辅助角公式 ，其中 （）。 常用特例：，，。 【易错清单】 1．提取的系数是 ，不是 ； 2． 由 确定（ 是正弦项系数），取错会让相位整体偏移； 3．合成后不要漏掉振幅，只写 会丢最大值信息。 知识点4 给值求值与角的拆分 通法：把"所求角"用"已知角"表示，再用和差公式展开。常见凑角：；。 求值时先用平方关系补齐所需的三角函数值并判断符号，再代入和差公式计算。 【易错清单】 1．凑角时把符号写反，如把 写成 ； 2．忘记判断所求角所在范围，导致开方符号错； 3．展开时用错公式（正弦与余弦公式互换）。 【题型1 两角和差公式的直接应用】 【例1】已知 、 均为锐角，，。 (1) 求 ； (2) 求 。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先由平方关系补齐 与 ，再代入和差公式。 【解答过程】因为 、 均为锐角，所以 ，。 (1) 。 (2) 。 【多解·巧解】给值求值的固定顺序是"先补值、再代入"： 需要四个量，缺的 、 由平方关系补齐（锐角一律取正）。 与 是两对常用勾股数，见到立刻写出另一半。 【易错提醒】余弦差角公式中间是"加"号（），与和角公式的"减"号相反，这是最容易写错的一处。 【变式1-1】（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 拆成 ，用两角和的正切公式。 【解答过程】。故选A。 【变式1-2】（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】逆用两角和的正弦公式。 【解答过程】原式 。故选C。 【变式1-3】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】直接代入两角和的正切公式。 【解答过程】。故选A。 【题型2 二倍角公式求值】 【例2】已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】先由平方关系求 ，再分别代入二倍角公式。 【解答过程】因为 ，所以 。 (1) 。 (2) 用 （已知余弦，选这一形式），得 。 (3) 。 【多解·巧解】(2) 选形式的技巧：已知 就用 ，已知 就用 ，已知 就用 ，一步到位，不必先求另一个函数值。 【易错提醒】(1) 中 在第二象限，、， 为负；(3) 中两负相除为正，符号都要盯紧。 【变式2-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】已知正弦，直接用 。 【解答过程】。故选A。 【变式2-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】代入二倍角正切公式。 【解答过程】。故选A。 【变式2-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用降幂公式 。 【解答过程】。故选A。 【题型3 辅助角公式化简】 【例3】已知函数 。 (1) 把 化为 的形式； (2) 求 的最大值与最小值； (3) 求 的最小正周期。 【答案】(1) ； (2) 最大值 ，最小值 ； (3) 。 【解题思路】提出 ，把括号内配成 的形式。 【解答过程】，所以 。 (1) 即 。 (2) 由正弦的有界性，最大值为 ，最小值为 。 (3) 最小正周期 。 【多解·巧解】记住三组"系数对"能一步写出相位： 对应 ， 对应 ， 对应 。对照本题，正弦项系数是 ，故相位为 。 【易错提醒】相位容易取错： 中 是正弦项系数，本题 ，故 而非 。 【变式3-1】化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】提出 后配成和角。 【解答过程】。故选A。 【变式3-2】函数 的最大值是 ____________。 【答案】 【解题思路】先化成一个正弦，再读振幅。 【解答过程】，所以最大值为 。 【变式3-3】函数 的最小正周期与最大值分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【答案】A 【解题思路】化为 后读周期与振幅。 【解答过程】，所以最小正周期 ，最大值为 。故选A。 【题型4 给值求值与角的变换】 【例4】已知 ，，且 ，求 。 【答案】 【解题思路】把 拆成 ，再用两角差的余弦公式。 【解答过程】因为 ，所以 。 因为 ，所以 ，。 由 得 。 【多解·巧解】"凑角"的核心是把所求角写成已知角的和差：。本题三条线索（、、 恰为两者之差）决定了这个拆法，凡是"给了两个角的值、求第三个角"的题，都先找这三个角之间的加减关系。 【易错提醒】判断 的符号是关键：由 得 ，故取正号。若忽略这个范围讨论，符号可能出错。 【变式4-1】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 看作 。 【解答过程】。故选A。 【变式4-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】观察两角之和为 ，用互余关系。 【解答过程】因为 ， 所以 。故选A。 【变式4-3】已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 拆成 。 【解答过程】因为 ， 所以 。故选A。 【题型5 恒等变换与三角函数性质】 【例5】已知函数 。 (1) 化简 ； (2) 求 的最小正周期； (3) 求 在 上的最大值。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】先用二倍角公式降次，再用辅助角公式化一。 【解答过程】，， 所以 。 (1) 即 。 (2) 最小正周期 。 (3) 当 时，，其中 落在该区间内，此时 ，所以 的最大值为 。 【多解·巧解】化简 型函数的固定流程是："二倍角降次 → 合并同类项 → 辅助角化一"，三步之后周期、最值、单调性都可以直接读。 【易错提醒】第 (3) 问要先判断"最值点是否落在区间内"：，所以最大值能取到 ；若不检验，直接写端点值会出错。 【变式5-1】化简 得（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先降幂，再辅助角化一。 【解答过程】，， 所以 。故选A。 【变式5-2】函数 的最大值是 ____________。 【答案】 【解题思路】用二倍角公式化简后读振幅。 【解答过程】，， 所以 ，最大值为 。 【变式5-3】函数 的最小正周期是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】降幂后辅助角化一，再读周期。 【解答过程】，所以 ， 最小正周期 。故选B。 【题型6 化简与求值的综合】 【例6】(1) 化简 ； (2) 已知 ，求 (1) 中分式的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】先用二倍角公式展开分子分母，再约分化为 。 【解答过程】(1) 。 (2) 由 (1) 知原式 。 【多解·巧解】(1) 是"二倍角化简"的模板：分子用 ，分母用 ，约去 即得 。类似地 ，一并记住。 【易错提醒】分母 选用 形式才能把常数 消掉；若误用 ，分母会变成 ，虽也对但多绕一步。 【变式6-1】化简 （　　）（） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分子用 ，分母用 。 【解答过程】原式 。故选A。 【变式6-2】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】识别出分子是 、分母是 ，整体即 。 【解答过程】原式 。故选A。 【变式6-3】已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】平方后利用 与 。 【解答过程】，所以 。故选A。 一、单选题 1．（★★）（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】逆用二倍角正弦公式。 【解答过程】。故选A。 2．（★★）已知 ，，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】已知正弦，用 。 【解答过程】。故选A。 3．（★★）（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把 拆成 ，用两角差的余弦公式。 【解答过程】。故选A。 4．（★★）化简 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】辅助角公式，提出 。 【解答过程】。故选A。 5．（★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】代入二倍角正切公式。 【解答过程】。故选A。 6．（★★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】观察 ，直接套二倍角余弦公式。 【解答过程】因为 ， 所以 。故选A。 7．（★★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先用两角和差公式展开合并，发现左边恰为 ，再套二倍角余弦。 【解答过程】， ，两式相加得左边 。 所以 ，故 。故选A。 8．（★★★）已知 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先把条件式弦化切解出 ，再代入二倍角正切公式。 【解答过程】分子分母同除以 得 ，即 ，解得 。 所以 。故选A。 二、多选题 9．（★★）下列公式正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABD 【解题思路】逐项对照公式，注意符号规律。 【解答过程】A 是二倍角正弦公式，正确； B 是二倍角余弦的等价形式，正确； C 错误，正确结果是 （中间是加号）； D 是两角和的余弦公式，正确。故选ABD。 10．（★★）已知 ，且 是第二象限角，则下列结论正确的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】ABC 【解题思路】先求 ，再逐项用二倍角公式验证。 【解答过程】由 且第二象限正弦为正，得 ，A 正确； ，B 正确； ，C 正确； ，D 错误。故选ABC。 11．（★★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 的最小正周期为 　C． 在 上的最大值为 　D． 的图象关于直线 对称 【答案】ACD 【解题思路】先用辅助角公式化一，再逐项判断表达式、周期、最值与对称轴。 【解答过程】，A 正确； 最小正周期 ，B 错误； 当 时，，正弦可取到最大值 （在 处），故最大值为 ，C 正确； 对称轴满足 ，即 ，取 得 ，D 正确。故选ACD。 12．（★★★）已知函数 （ 为常数）的最小值为 ，则下列结论正确的是（　　） A． 或 　B．当 时， 的最大值为 　C．当 时， 的最大值为 　D．当 时， 的最小正周期为 【答案】ABC 【解题思路】先用降幂公式把 化为 的形式，由最小值解出 ，再逐项验证最值与周期。 【解答过程】， 其最小值为 ，即 ，解得 或 ，A 正确； 当 时，，最大值为 ，B 正确； 当 时，，最大值仍为 ，C 正确； 中含 ，最小正周期为 ，D 错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★） ____________。 【答案】 【解题思路】逆用两角差的正弦公式。 【解答过程】原式 。 14．（★★）已知 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】用 。 【解答过程】。 15．（★★★）已知 是第二象限角，则 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】由 得 ，再求正弦在该区间上的值域，注意端点是否取到。 【解答过程】因为 是第二象限角，即 ，所以 。 在这个区间上 从 递减到 （当 ，即 时取到），再递增趋近于 ； 而 与 都取不到，故 取不到。所以 。 16．（★★★）已知 ，则 ____________。 【答案】 【解题思路】先用两角差的余弦公式把条件化为 ，再平方后利用 。 【解答过程】， 所以 。 两边平方得 ，所以 。 四、解答题 17．（★★）求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】把非特殊角拆成两个特殊角的和或差，再用和差公式。 【解答过程】(1) 。 (2) 。 (3) 。 【多解·巧解】拆角口诀："不特殊就拆成两个特殊角的和或差"。、、 是最常用的三组。分母含根号时分式上下同乘共轭因式即可有理化。 【易错提醒】(2) 中余弦和角公式中间是"减"号，且 与 不要颠倒；(3) 的有理化别漏掉分母 的共轭因式 。 18．（★★）已知 ，。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】先由象限定余弦符号，再分别代入二倍角公式。 【解答过程】(1) 由 ，且 是第二象限角，得 。 (2) 。 (3) 。 【多解·巧解】(3) 已知正弦用 ，不必先求 ，一步到位。三个二倍角形式要按"已知什么"来选，这是提升速度的关键。 【易错提醒】(1) 中第二象限余弦为负；(2) 中正弦为正、余弦为负，乘积为负，负号不要丢。 19．（★★）已知 。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 用二倍角正切；(2) 化简为 ；(3) 弦化切。 【解答过程】(1) 。 (2) 。 (3) 分子分母同除以 得 。 【多解·巧解】(2) 是"二倍角化简"的模板， 可直接调用。(3) 是一次齐次式弦化切的常规操作。 【易错提醒】(1) 中分母 ，负号不要漏；(3) 分子是 ，代入得 ，不要写成 。 20．（★★★）已知函数 。 (1) 把 化为 的形式； (2) 求 的最小正周期； (3) 求 在 上的值域。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】用降幂公式处理 ，再用辅助角公式化一，最后整体代换求值域。 【解答过程】(1) 因为 ，所以 。 (2) 最小正周期 。 (3) 当 时，，此时 ， 所以 ，即值域为 。 【多解·巧解】化一后求值域的通法是"整体代换"：令 ，先求 的范围，再求 的范围，最后乘振幅、加常数。本题没有额外常数项，是因为 已配成 。 【易错提醒】第 (3) 问中 的最小值不是 而是 ，因为 达不到 （区间右端只有 ），必须看整体角的实际范围。 21．（★★★）已知 ，且 。 (1) 求 ； (2) 求 ； (3) 求 。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 用两角差的余弦公式把条件化为 ；(2) 平方求 ，再由 的范围与符号定 ；(3) 用商数关系。 【解答过程】(1) ，所以 。 (2) 两边平方得 ，所以 。 因为 ，所以 ；又 ，故 ，此时 。 所以 。 (3) 。 【多解·巧解】第 (2) 问的关键是"定象限"：先由 的范围配合 的符号把 锁进第三象限，才能确定 取负号。第 (3) 问用 直接算，比套二倍角正切公式更省事。 【易错提醒】(2) 中若跳过符号判断直接写 ，答案不唯一；(3) 两负相除为正，符号核对清楚，别写成 。 22．（★★★）已知 ，，且 ，。 (1) 求 ； (2) 求 的值。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】用两角和的正切公式求值，再由 、 的范围确定 的范围来唯一确定角。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ，，所以 。 在这个区间内使 的角只有 ，所以 。 【多解·巧解】求角两步走：先求一个三角函数值，再结合角的范围唯一确定。本题 ，正切在此区间上单调递增，故解唯一、为 。 【易错提醒】(2) 中 在实数范围有无数解，若不写清 的范围会丢分；(1) 分母 是加号，别写成减号。 23．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的最小正周期与最大值； (2) 求 的对称轴方程； (3) 若把 的图象向左平移 （）个单位后关于 轴对称，求 。 【答案】(1) 最小正周期为 ，最大值为 ； (2) （）； (3) 。 【解题思路】先用辅助角公式化一，再由正弦函数的周期、最大值、对称轴逐问求解；第 (3) 问利用"关于 轴对称等价于偶函数"，即相位为 。 【解答过程】(1) ，故最小正周期 ，最大值为 。 (2) 令 （），解得 ，即对称轴方程为 （）。 (3) 平移后 。 要使 关于 轴对称， 须为偶函数，需 （），即 。 结合 ，只能取 ，得 。 【多解·巧解】第 (3) 问的模型是： 关于 轴对称 它是偶函数 ；关于原点对称 奇函数 。记住这两条，平移问题就有定式可循。 【易错提醒】(3) 中平移后相位是 ，不要漏掉系数 ；最后由 筛选 时，只有 满足，要写出取舍理由。 24．（★★★）已知 （）。 (1) 用 表示 ； (2) 若该式的值为 ，求 ； (3) 当 时，求 的值。 【答案】(1) ； (2) ； (3) 。 【解题思路】(1) 把 写成 凑成完全平方，再对 因式分解后约分；(2) 解关于 的方程；(3) 用二倍角的弦化切公式。 【解答过程】(1) ， ， 所以 。 分子分母同除以 得 。 (2) 令 ，去分母得 ，解得 （满足 ）。 (3) 当 时，，， 所以 。 【多解·巧解】第 (1) 问是"构造约分"的典型： 凑完全平方、 用平方差分解，二者恰好含公因式 ，一约就得到关于 的简式，这类结构在三角化简中反复出现。 【易错提醒】(1) 中 ，约分后分母化为 ，符号顺序别弄反；(2) 中 作分母，需 ，本题所得 满足条件。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $