第16讲 导数的综合应用（含参讨论与不等式证明）讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第16讲 导数的综合应用（含参讨论与不等式证明） 第16讲 导数的综合应用（含参讨论与不等式证明） 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．能按"导数零点与定义域的位置关系"以及"两个零点的大小关系"对含参函数分类讨论； 2．熟练掌握恒成立与最值的等价转化： 恒成立 的最小值 ； 3．会用"构造差函数、求最值、判断符号"的方法证明简单的不等式； 4．能借助极值的符号判断函数零点个数，并反过来求参数的取值范围。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 含参函数的单调性讨论 解答题 第17~19题 中偏难 求导因式分解，比较零点与定义域 含参函数的极值与最值 选择题、解答题 第8题／第17~19题 中偏难 按参数分类求极值，再比较端点 恒成立求参数范围 选择题、解答题 第8题／第18~20题 中偏难 翻译成最值条件，再解参数不等式 简单不等式的证明 解答题 第17~20题 中偏难 构造差函数，求最值判断符号 零点个数与参数范围 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 用极大值、极小值的符号夹出范围 导数的综合应用 选择题、解答题 第8题／第19~20题 中偏难 前三类方法合并使用，注意分类完整 命题规律分析 本讲是导数章节的加餐专题，把前三讲分散出现的方法串成一条主线：含参讨论、恒成立、不等式证明。新高考中，这类综合题常作为解答题的关键一问出现在第17~20题档，也可能以第8题、第14题的形式考查。培优阶段要建立三个"条件反射"：一是看到"含参单调性"，立刻写出导数并因式分解，先找零点的表达式，再比较零点之间、零点与定义域之间的位置关系；二是看到"恒成立"，立刻翻译成最值条件，写成 或 ，方向绝不能反；三是看到"证明不等式"，立刻构造差函数 ，求出最值并判断符号。把这三条固化下来，本讲的综合题就变成有章可循的"流程题"。 考点1 含参讨论与恒成立的转化 知识点1 含参函数的单调性讨论 含参讨论三步：① 求定义域与 并因式分解；② 令 求出各零点表达式；③ 比较"零点与定义域的位置"以及"两个零点的大小"，按临界值分类写出每一段上的单调性。 典型模型 （）：，按 、、、 四种情形讨论。 【易错清单】 1．临界值来自"零点踩到定义域端点"或"两个零点相等"，找全临界值才不会漏分类； 2．求出零点后不检验是否落在定义域内，把定义域外的零点也写进单调区间； 3．讨论完每一类都要写清"在哪个区间上增、哪个区间上减"，最后用"综上"汇总。 知识点2 恒成立与最值的等价转化 对一切 ， 恒成立 在 上的最小值 ； 恒成立 在 上的最大值 。 参数易于分离时，把不等式整理成 或 ，再求 的最值；参数不易分离时，直接对含参函数求最值，再解关于参数的不等式。 【易错清单】 1．"恒成立"与"有解"的最值方向相反，混淆方向是这类题的头号错误； 2．分离参数时若两边同除以含 的式子，必须先判断该式在区间上的符号； 3．结尾要检验等号能否取到，严格不等号对应的参数范围端点要写成开区间。 考点2 不等式证明与零点个数 知识点3 用差函数证明不等式 证明 （）的通法：构造差函数 ，求 在 上的最小值，证明最小值 。 常用结论（可直接引用）：（，等号在 处）；（，等号在 处）。 【易错清单】 1．只求导、不说明"最小值为零"或"最小值非负"，证明不完整； 2．忘记写明等号成立的条件，导致"严格大于"与"大于等于"混淆； 3．构造差函数时方向搞反（用 ），结论也随之反转。 知识点4 零点个数与参数范围 三次型函数有三个零点 极大值大于零且极小值小于零；恰有两个零点 有一个极值恰为零；恰有一个零点 两个极值同号。 含超越式的零点问题常变形为 ，看水平直线 与 的交点个数。 【易错清单】 1．把"极值恰为零"这一临界情形漏掉，导致零点个数多算或少算； 2．忘记说明函数在区间上连续、单调，直接下"唯一个零点"的结论； 3．把""当成零点的充要条件，它只能保证"至少一个零点"。 【题型1 含参函数的单调性讨论】 【例1】已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【变式1-1】已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【变式1-2】已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【变式1-3】已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【题型2 含参函数的极值与最值】 【例2】已知函数 在 处取得极值。 (1) 求实数 的值； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 【变式2-1】已知函数 在 处取得极小值 ，求实数 ， 的值。 【变式2-2】已知函数 。若 在区间 （）上的最大值为 ，求实数 的取值范围。 【变式2-3】已知函数 （）的最大值为 ，求实数 的值。 【题型3 恒成立求参数范围】 【例3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-2】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是____________。 【变式3-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 简单不等式的证明】 【例4】证明：当 时，。 【变式4-1】证明：当 时，。 【变式4-2】证明：当 时，。 【变式4-3】证明：当 时，。 【题型5 零点个数与参数范围】 【例5】若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是____________。 【变式5-2】若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】若函数 （）恰有一个零点，则实数 的取值范围是____________。 【题型6 导数的综合应用】 【例6】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】函数 的最小值是____________。 【变式6-2】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值为____________。 一、单选题 1．（★★）函数 （）的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）函数 的极小值是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）当 时，下列不等式恒成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知函数 （）。若 对一切 恒成立，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知函数 （）。若 有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于"恒成立"与"存在性"的最值转化，下列说法正确的是（　　） A． 对一切 恒成立等价于 　B．存在 使 等价于 　C． 对一切 恒成立等价于 　D． 对一切 恒成立等价于 10．（★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 上单调递减　C． 在 上单调递增　D． 对一切 恒成立 11．（★★★）已知函数 （，），则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 在 上单调递增　B．当 时， 在 处取得极小值　C．若 对一切 恒成立，则 　D．若 有两个零点，则 12．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 上单调递增　C． 的极大值为 　D．对一切 ，都有 三、填空题 13．（★★）函数 （）的最小值是____________。 14．（★★）若函数 的最小值为 ，则实数 ____________。 15．（★★★）若函数 （）在区间 内存在极值点，则实数 的取值范围是____________。 16．（★★★）若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是____________。 四、解答题 17．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 求 的最小值。 18．（★★）证明：当 时，。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 20．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性； (3) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 21．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性； (3) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 22．（★★★）证明：当 时，。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的极值； (3) 若 恰有一个零点，求实数 的取值范围。 24．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 的极值； (2) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围； (3) 证明：当 时，。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第16讲 导数的综合应用（含参讨论与不等式证明） 第16讲 导数的综合应用（含参讨论与不等式证明） 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．能按"导数零点与定义域的位置关系"以及"两个零点的大小关系"对含参函数分类讨论； 2．熟练掌握恒成立与最值的等价转化： 恒成立 的最小值 ； 3．会用"构造差函数、求最值、判断符号"的方法证明简单的不等式； 4．能借助极值的符号判断函数零点个数，并反过来求参数的取值范围。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 含参函数的单调性讨论 解答题 第17~19题 中偏难 求导因式分解，比较零点与定义域 含参函数的极值与最值 选择题、解答题 第8题／第17~19题 中偏难 按参数分类求极值，再比较端点 恒成立求参数范围 选择题、解答题 第8题／第18~20题 中偏难 翻译成最值条件，再解参数不等式 简单不等式的证明 解答题 第17~20题 中偏难 构造差函数，求最值判断符号 零点个数与参数范围 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 用极大值、极小值的符号夹出范围 导数的综合应用 选择题、解答题 第8题／第19~20题 中偏难 前三类方法合并使用，注意分类完整 命题规律分析 本讲是导数章节的加餐专题，把前三讲分散出现的方法串成一条主线：含参讨论、恒成立、不等式证明。新高考中，这类综合题常作为解答题的关键一问出现在第17~20题档，也可能以第8题、第14题的形式考查。培优阶段要建立三个"条件反射"：一是看到"含参单调性"，立刻写出导数并因式分解，先找零点的表达式，再比较零点之间、零点与定义域之间的位置关系；二是看到"恒成立"，立刻翻译成最值条件，写成 或 ，方向绝不能反；三是看到"证明不等式"，立刻构造差函数 ，求出最值并判断符号。把这三条固化下来，本讲的综合题就变成有章可循的"流程题"。 考点1 含参讨论与恒成立的转化 知识点1 含参函数的单调性讨论 含参讨论三步：① 求定义域与 并因式分解；② 令 求出各零点表达式；③ 比较"零点与定义域的位置"以及"两个零点的大小"，按临界值分类写出每一段上的单调性。 典型模型 （）：，按 、、、 四种情形讨论。 【易错清单】 1．临界值来自"零点踩到定义域端点"或"两个零点相等"，找全临界值才不会漏分类； 2．求出零点后不检验是否落在定义域内，把定义域外的零点也写进单调区间； 3．讨论完每一类都要写清"在哪个区间上增、哪个区间上减"，最后用"综上"汇总。 知识点2 恒成立与最值的等价转化 对一切 ， 恒成立 在 上的最小值 ； 恒成立 在 上的最大值 。 参数易于分离时，把不等式整理成 或 ，再求 的最值；参数不易分离时，直接对含参函数求最值，再解关于参数的不等式。 【易错清单】 1．"恒成立"与"有解"的最值方向相反，混淆方向是这类题的头号错误； 2．分离参数时若两边同除以含 的式子，必须先判断该式在区间上的符号； 3．结尾要检验等号能否取到，严格不等号对应的参数范围端点要写成开区间。 考点2 不等式证明与零点个数 知识点3 用差函数证明不等式 证明 （）的通法：构造差函数 ，求 在 上的最小值，证明最小值 。 常用结论（可直接引用）：（，等号在 处）；（，等号在 处）。 【易错清单】 1．只求导、不说明"最小值为零"或"最小值非负"，证明不完整； 2．忘记写明等号成立的条件，导致"严格大于"与"大于等于"混淆； 3．构造差函数时方向搞反（用 ），结论也随之反转。 知识点4 零点个数与参数范围 三次型函数有三个零点 极大值大于零且极小值小于零；恰有两个零点 有一个极值恰为零；恰有一个零点 两个极值同号。 含超越式的零点问题常变形为 ，看水平直线 与 的交点个数。 【易错清单】 1．把"极值恰为零"这一临界情形漏掉，导致零点个数多算或少算； 2．忘记说明函数在区间上连续、单调，直接下"唯一个零点"的结论； 3．把""当成零点的充要条件，它只能保证"至少一个零点"。 【题型1 含参函数的单调性讨论】 【例1】已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【答案】(1) ； (2) 当 时， 在 上递减、在 上递增；当 时， 在 和 上递增、在 上递减；当 时， 在 上递增；当 时， 在 和 上递增、在 上递减。 【解题思路】求导后因式分解，按两个零点 与 的大小关系分类。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ， 的符号由 决定，两个零点为 与 。 ① 当 时， 恒成立，符号由 决定，故在 上递减、在 上递增； ② 当 时，在 上 、在 上 、在 上 ，故在 和 上递增、在 上递减； ③ 当 时，， 在 上递增； ④ 当 时，在 上 、在 上 、在 上 ，故在 和 上递增、在 上递减。 【多解·巧解】含参讨论的"临界值"有两个来源：一是两个零点相等（这里 ），二是零点踩到定义域端点（这里 ，此时零点 恰好落在定义域的边界 ）。把这两个临界值找出来，讨论就分成了 、、、 四段，不重不漏。 【易错提醒】① 漏掉 这一"零点重合"的临界情形；② 把 与 合并，忽略 与 时单调性顺序的差别。分类讨论的完整性靠"把所有临界值写出来并排序"来保证。 【变式1-1】已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【答案】(1) ； (2) 当 时， 在 上递增；当 时， 在 上递减、在 上递增。 【解题思路】导数化为 ，分母恒正，按分子零点是否落在定义域内分类。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ，， 的符号由 决定。当 时， 恒成立， 在 上递增；当 时，在 上 、在 上 ，故在 上递减、在 上递增。 【变式1-2】已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【答案】(1) ； (2) 在 上递减、在 上递增。 【解题思路】乘法法则求导， 只看 的符号。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 恒成立，令 得 。当 时 ，当 时 ，故 在 上递减、在 上递增。 【多解·巧解】本题的单调区间只由 的位置决定，不需要像例1那样分多类——因为零点 总落在定义域 内部，不存在"零点被挤出定义域"的情形。先判断"零点是否一定在定义域内"，能省下不少分类。 【变式1-3】已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【答案】(1) ； (2) 当 时， 在 上递增；当 时， 在 上递增、在 上递减。 【解题思路】导数化为 ，按 是否为正数分类。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ， 的符号由 决定，零点为 （当 ）。当 时， 恒成立， 在 上递增；当 时，，在 上 、在 上 ，故在 上递增、在 上递减。 【题型2 含参函数的极值与最值】 【例2】已知函数 在 处取得极值。 (1) 求实数 的值； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 【答案】(1) ； (2) 最大值为 ，最小值为 。 【解题思路】先用极值条件求 并验证，再求闭区间上的最值。 【解答过程】(1) ，由 得 。验证：此时 ，在 处由负变正，确为极值点。 (2) 此时 。令 得 （极大值点，）或 （极小值点，）。端点值 ，。比较 、、、 得最大值为 ，最小值为 。 【多解·巧解】本题两次用到"三类值一起比"：求极值时比的是两个驻点，求最值时比的是驻点加两个端点。注意 出现"最小值在端点与极值点同时取到"，这不影响结论。 【易错提醒】(1) 解出 后不回代验证，是这一步的常见疏忽；(2) 只比较极值而漏掉端点 、，就会算错最值。闭区间的最值必须把端点值纳入比较。 【变式2-1】已知函数 在 处取得极小值 ，求实数 ， 的值。 【答案】，。 【解题思路】"极值点导数零"与"函数值等于极值"各给一条等式，联立求解并验证。 【解答过程】。由 得 。由 ，把 代入得 ，即 。验证：，在 处由负变正，确为极小值点。 【变式2-2】已知函数 。若 在区间 （）上的最大值为 ，求实数 的取值范围。 【答案】。 【解题思路】先摸清函数在 上的整体走势，再确定"最大值恰为 "对应的区间右端限制。 【解答过程】， 在 上递减、在 上递增，且 ，。在 上最大值要恰为 ，需区间右端不超过"函数值重新升到 "的位置，即 ；又 ，故 。 【变式2-3】已知函数 （）的最大值为 ，求实数 的值。 【答案】。 【解题思路】先求极大值点，再令最大值等于 解参数。 【解答过程】。因为 ，令 得 ，该点是极大值点也是最大值点，最大值 。由 得 ，即 。 【多解·巧解】 是本题化简的核心恒等式。先确认"极大值点确实是最大值点"（本题 时两端都趋向 ），再列方程。 【题型3 恒成立求参数范围】 【例3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】因为 ，可分离参数得 ，再求右式的最小值。 【解答过程】因为 ，由 得 。 设 （），。令 得 ，当 时 ，当 时 ，故 的最小值为 。所以 。故选A。 【多解·巧解】分离参数的判断方法：把含 的项单独移到一边，其他部分视为 ，再由"恒成立看最不利"确定取最大值还是最小值。本题得到 ，恒成立要求 不超过 的最小值。 【易错提醒】分离后误取最大值会得到相反方向。 恒成立取最小值； 恒成立取最大值。 分不清时，把 代回验证： 在 处取等号，成立。 【变式3-1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 ，再用基本不等式求最小值。 【解答过程】因为 ，由 得 ，即 。由基本不等式 （等号在 处成立），故右式的最小值为 ，所以 。故选A。 【变式3-2】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】分离参数得 ，再求右式的最大值。 【解答过程】因为 ，由 得 ，即 。设 ，。令 得 ，当 时 、当 时 ，故 的最大值为 ，所以 。 【多解·巧解】本题是例3的"镜像版"：例3得 取最小值，本题得 取最大值。把这两个方向放在一起对照记忆，就不会混淆。 【变式3-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】"恒成立"向"最小值"转化，先用导数求 在 上的最小值。 【解答过程】设 ，，令 得 ，该点为极小值点，。端点值 ，，故最小值为 。要使 恒成立，只需 。故选A。 【题型4 简单不等式的证明】 【例4】证明：当 时，。 【答案】证明见解答。 【解题思路】构造差函数 ，证明其最大值不大于零。 【解答过程】设 （），则 。 令 得 ；当 时 ，当 时 ，故 在 处取得最大值 。 所以 对一切 成立，即 ，等号在 时成立。 【多解·巧解】证明不等式的标准四步：作差构造 、求导、找最值、由最值的符号下结论。本题的 是高考出现频率最高的"差函数"，结论 建议直接记住，可直接作为后续题目的依据。 【易错提醒】① 只算出 就下结论""，符号方向搞反；② 忘记说明 是最大值点（需交代单调性）；③ 相等时不等号应为""，写成""就漏掉了 这一情形。 【变式4-1】证明：当 时，。 【答案】证明见解答。 【解题思路】构造差函数 ，证明其最小值不小于零。 【解答过程】设 ，则 。令 得 ；当 时 ，当 时 ，故 在 处取得最小值 。所以 ，即 ，等号在 时成立。 【多解·巧解】 与 是一对"互为反函数"的不等式，建议成对记忆。证明方法与例4完全一致：作差、求导、看最值。 【变式4-2】证明：当 时，。 【答案】证明见解答。 【解题思路】构造差函数 ，求最小值判断符号。 【解答过程】设 （），则 。令 得 ；当 时 ，当 时 ，故 在 处取得最小值 。所以 ，即 ，等号在 时成立。 【变式4-3】证明：当 时，。 【答案】证明见解答。 【解题思路】构造差函数 ，用导数判断它在 上单调递增。 【解答过程】设 （），则 。当 时 ，所以 ， 在 上单调递增，从而 。所以当 时 。 【多解·巧解】本题要证的区间是开区间 且结论是严格不等号，此时不必求最小值，只需说明" 单调递增且 "，由 即得 。开区间上的严格不等式常用单调性一步解决。 【题型5 零点个数与参数范围】 【例5】若函数 有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求最小值，两个零点要求最小值小于零（且两端都趋于正无穷）。 【解答过程】，令 得 ；当 时 ，当 时 ，故 是最小值点，最小值 。 因为 与 时 ，所以要有两个零点，只需最小值小于零，即 ，解得 。故选A。 【多解·巧解】"两端都趋正无穷 + 有最小值"的函数，零点个数完全由最小值的符号决定：最小值小于零有两个零点，等于零有一个零点，大于零没有零点。本题直接看最小值 即可，不必算具体零点。 【易错提醒】把条件写成"最小值 "就会把 算进去，而此时 是唯一零点，不满足"两个零点"。临界情形必须单独代回检验。 【变式5-1】若函数 有三个零点，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】三个零点要求极大值大于零且极小值小于零。 【解答过程】设 ，则 ， 的零点即 的根。，极大值 ，极小值 。水平直线 与 有三个交点，需 。 【变式5-2】若函数 恰有三个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】三个零点要求极大值大于零且极小值小于零。 【解答过程】，极大值 ，极小值 。要有三个零点，需 且 ，解得 。故选A。 【变式5-3】若函数 （）恰有一个零点，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】恰有一个零点要求两个极值同号，逐一检验。 【解答过程】，令 得 。极大值 ，极小值 。极大值恒正，故只需极小值也大于零，即 ，得 ，即 。所以 。 【多解·巧解】"恰有一个零点"要"两个极值同号"。本题极大值 在 时恒正，所以唯一的要求是极小值也正，先判断哪个极值的符号是确定的，只需讨论另一个，能大幅简化计算。 【题型6 导数的综合应用】 【例6】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】恒成立只需 不小于 的最大值，最大值即 的最小值。 【解答过程】设 （），。令 得 ；当 时 ，当 时 ，故最大值为 。要使 恒成立，需 ，故 的最小值为 。故选A。 【多解·巧解】" 恒成立"求 的最小值，等价于" 不小于 的最大值"。把"求参数的最值"翻译成"求函数 的最值"，是这类题的通用思路。 【易错提醒】把 的 误当成"最大值"（因为恒成立），而 应是"不小于最大值"，其最小取值恰为最大值本身。注意"大于等于"时 的最小值才是最大值。 【变式6-1】函数 的最小值是____________。 【答案】 【解题思路】求导找极小值点，判断它是最小值点后代入。 【解答过程】，令 得 。当 时 ，当 时 ，故 是最小值点，最小值 。 【变式6-2】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】恒成立只需 不大于 的最小值。 【解答过程】设 （），。令 得 ，该点是最小值点，最小值 。要使 恒成立，需 ，故 的最大值为 。故选A。 【变式6-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的最大值为____________。 【答案】 【解题思路】恒成立只需 不大于 的最小值。 【解答过程】设 （），。令 得 ，该点是最小值点，最小值 。要使 恒成立，需 ，故 的最大值为 。 【多解·巧解】本题 的最大值为 （负值），提醒我们"最大值"只是相对于 而言的，不必因为函数的最小值是负的就怀疑结论。" 恒成立"永远等价于""。 一、单选题 1．（★★）函数 （）的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】导数化成分式，分母恒正只看分子。 【解答过程】定义域为 ，。由 得 ，即 。故选A。 2．（★★）函数 的极小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】乘法法则求导， 只看 的符号。 【解答过程】。 是极大值点， 是极小值点，极小值 。故选A。 3．（★★）函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】比较区间内的极值与端点值。 【解答过程】，驻点 在 内（极小值点），。端点值 ，。比较得最小值为 。故选A。 4．（★★）当 时，下列不等式恒成立的是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】回忆常用不等式，逐项验证。 【解答过程】由基本结论 （等号在 处）知 A 正确；B 应为 ，C 与 A 矛盾，D 中当 时 ，不成立。故选A。 5．（★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】导数恒非负，分离参数。 【解答过程】，由 对一切实数恒成立得 。因为 ，下确界为 ，所以 。故选A。 6．（★★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】“单调递增”等价于 在该区间恒成立，再把参数分离成 求下确界。 【解答过程】。 在 上单调递增，等价于 对一切 恒成立，即 对一切 恒成立。当 时 且可无限接近 ，故 的下确界为 ，从而 。故选A。 7．（★★★）已知函数 （）。若 对一切 恒成立，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】按 的正负求 的最小值，令最小值不小于 ，并结合 （等号仅当 ）确定唯一取值。 【解答过程】。① 当 时， 恒成立， 单调递增，且 时 ，不满足恒成立；② 当 时， 是极小值点也是最小值点，最小值 。要使 恒成立，需 。记 （），，故 在 处取得最大值 ，于是 仅当 。故选A。 8．（★★★）已知函数 （）。若 有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】 两端都趋向 ，有两个零点等价于最小值小于零，先求极小值再解关于 的不等式。 【解答过程】。① 当 时，， 单调递增，最多一个零点，不合题意；② 当 时， 是极小值点也是最小值点，最小值 。因为 与 时 ，要有两个零点，需最小值小于零，即 ，得 ，即 。故选A。 二、多选题 9．（★★）关于"恒成立"与"存在性"的最值转化，下列说法正确的是（　　） A． 对一切 恒成立等价于 　B．存在 使 等价于 　C． 对一切 恒成立等价于 　D． 对一切 恒成立等价于 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照"量词到最值"的转化规则。 【解答过程】A、C 是"恒成立"的两条基本结论，正确； B 是"存在性"的结论（存在只需一个例子，取最容易满足的最大值），正确； D 把"恒成立"错误地对应到最大值，方向反了，错误。 故选ABC。 10．（★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 上单调递减　C． 在 上单调递增　D． 对一切 恒成立 【答案】ABCD 【解题思路】求导后逐项判断单调性与最小值。 【解答过程】A：，正确； B：由 得 ，正确； C：由 得 ，正确； D：最小值为 ，故 恒成立，正确。 故选ABCD。 11．（★★★）已知函数 （，），则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 在 上单调递增　B．当 时， 在 处取得极小值　C．若 对一切 恒成立，则 　D．若 有两个零点，则 【答案】ACD 【解题思路】求导 ，按参数分类讨论极值、恒成立与零点，再逐项判断。 【解答过程】。当 时， 恒成立， 递增，A 正确；当 时， 处导数由正变负，是极大值点而非极小值点，B 错误； 恒成立等价于最大值 （），解得 ，C 正确； 有两个零点需最大值大于零，即 ，解得 ，D 正确。故选ACD。 12．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 上单调递增　C． 的极大值为 　D．对一切 ，都有 【答案】ACD 【解题思路】求导判断单调性并求出极值，再把“恒成立”翻译为“最大值不超过 ”。 【解答过程】，A 正确；当 时 、当 时 ，故 在 上单调递减，B 错误；在 处取极大值 ，C 正确；由上面的单调性知 处也取最大值 ，故 对一切 恒成立，D 正确。故选ACD。 三、填空题 13．（★★）函数 （）的最小值是____________。 【答案】 【解题思路】求导找最小值点后代入。 【解答过程】，令 得 ，最小值 。 14．（★★）若函数 的最小值为 ，则实数 ____________。 【答案】 【解题思路】配方求最小值并列方程。 【解答过程】，最小值为 ，由 得 。 15．（★★★）若函数 （）在区间 内存在极值点，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】极值点是 的变号零点，先求驻点 ，再让它落在开区间 内。 【解答过程】。因为 ， 的根为 （需 ）。该点是变号零点，故 在 内存在极值点等价于 ，解得 。故实数 的取值范围是 。 16．（★★★）若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 或 【解题思路】设 ，按 、、 分类求最小值，再令最小值非负。 【解答过程】设 ，。① 当 时， 时 、，故 ，不满足恒成立；当 时， 对一切 成立（等号在 处），符合题意。② 当 时， 是最小值点，最小值 。要使 恒成立，需 ，即 ；而 的最大值为 ，故只能 。综上 或 。 四、解答题 17．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 求 的最小值。 【答案】(1) ； (2) 最小值为 。 【解题思路】求导化成分式，判断极小值点即最小值点后代入。 【解答过程】(1) 。 (2) 令 得 。当 时 ，当 时 ，故 是极小值点也是最小值点，最小值 。 【多解·巧解】"先减后增"的极小值点是否就是最小值点，取决于两端是否都趋向更大。本题 时 、 时 ，两端都趋向正无穷，唯一的极小值就是全局最小值。 【易错提醒】不判断"两端趋势"就直接说"极小值就是最小值"，在有些题目上会出错。判断最小值点，必须确认函数在两侧没有更低的值（通常看 与 的极限）。 18．（★★）证明：当 时，。 【答案】证明见解答。 【解题思路】构造差函数 ，证明其最小值不小于零。 【解答过程】设 （），则 。令 得 ；当 时 ，当 时 ，故 在 处取得最小值 。所以 ，即 ，等号在 时成立。 【多解·巧解】本题与""是同一个不等式的两种写法，证明过程完全一致：作差、求导、找最小值、判断符号。把结论记为""更方便记忆。 【易错提醒】构造差函数时方向搞反（用 ）会使最小值变成最大值，结论也随之反转。要证 ，就设 并证明 的最小值非负。 19．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 【答案】(1) ； (2) 最大值为 ，最小值为 。 【解题思路】求出区间内的极值，再与端点值一起比较。 【解答过程】(1) 。 (2) 令 得 ，两者都在 内。极大值 ，极小值 。端点值 ，。比较得最大值为 ，最小值为 。 【多解·巧解】本题的极大值与端点值 相等、极小值与端点值 相等，说明最值可能同时由极值点和端点取得。做题时"三类值一起比"就不会漏。 【易错提醒】只比较两个极值而漏掉端点值，虽然本题答案恰好不变，但在其他题目（如 ）就会算错。闭区间求最值必须同时列出驻点值与端点值。 20．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性； (3) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减、在 上单调递增； (3) 。 【解题思路】求导后按驻点 是否落在定义域内分类；(3) 再翻译成“最小值不小于零”。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ， 的符号由 决定。当 时， 恒成立， 在 上单调递增；当 时，在 上 、在 上 ，故在 上单调递减、在 上单调递增。 (3) 当 时， 单调递增且 时 ，不满足恒成立；当 时， 对一切 成立，符合题意；当 时，最小值为 ，由 得 ，即 。综上 。 【多解·巧解】(2) 的关键是把 化为 ，分母恒正只看分子；(3) 用“最小值不小于零”翻译恒成立。注意 时 是恒成立的，不能因为 时单调递增就一并排除。 【易错提醒】(2) 漏掉 是常见错误；(3) 中容易把 误并入不成立的一类—— 时 确实成立，临界值一定要单独代回检验。 21．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性； (3) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 当 时， 在 上递增；当 时， 在 上递增、在 上递减； (3) 。 【解题思路】(1)(2) 求导分类；(3) 恒成立转化为最大值不超过零。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ， 的符号由 决定。当 时， 恒成立， 在 上递增；当 时， 是极大值点， 在 上递增、在 上递减。 (3) 当 时， 单调递增且 时 ，不满足恒成立；当 时，最大值为 。由 得 ，即 。 综上 。 【多解·巧解】(3) 中 化简非常干净，把 先约掉再算，能避免符号出错。 【易错提醒】(3) 中若忽略" 时 "这一趋势，就会把 也算进答案。"恒 "要求函数有上界，单调递增且趋于正无穷的函数一定不满足。 22．（★★★）证明：当 时，。 【答案】证明见解答。 【解题思路】构造差函数 ，证明其最小值不小于零。 【解答过程】设 ，则 。令 得 ；当 时 ，当 时 ，故 在 处取得最小值 。所以 ，即 ，等号在 时成立。 【多解·巧解】本题是""的变形（把 换成过原点的切线 ）。切线不等式""在含参恒成立问题中常作为快速判断的依据，例如 恒成立的临界值就是切线斜率 。 【易错提醒】构造差函数时若设成 ，最小值就变成 的方向，容易把结论写成 。要证"大 ≥ 小"，就让 。 23．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的极值； (3) 若 恰有一个零点，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 当 时， 无极值；当 时， 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ； (3) 。 【解题思路】(1)(2) 按 的正负讨论极值；(3) 结合极值符号判断零点个数。 【解答过程】(1) 。 (2) ① 当 时， 恒成立， 单调递增，无极值； ② 当 时，，极大值 ，极小值 。 (3) ① 当 时， 单调递增，且两端分别趋向 与 ，恰有一个零点，符合； ② 当 时，极大值 恒成立，要使 恰有一个零点，需极小值也大于零，即 ，解得 ，即 。 综上 。 【多解·巧解】(3) 的两种情形可以合并理解： 时无极点、图象单调穿过 轴一次； 时两个极值同号（都为正当的），图象也只穿过一次。把上一步的极值结论直接拿来做零点判断，是"极值—零点"联动的标准用法。 【易错提醒】(3) 中容易漏掉 （此时无极值但仍有唯一零点），或把 算进去（此时极小值恰为零，零点有两个，不合题意）。临界值 要单独代回验证。 24．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 的极值； (2) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围； (3) 证明：当 时，。 【答案】(1) 极小值为 ，无极大值； (2) ； (3) 证明见解答。 【解题思路】(1) 求导求极值；(2) 恒成立向最小值转化；(3) 构造差函数并借用 (2) 的结论。 【解答过程】(1) ，令 得 。当 时 ，当 时 ，故 是极小值点，极小值 ，无极大值。 (2) 由 (1) 知 的最小值为 ，要使 恒成立，需 。 (3) 设 （），则 。令 得 ，当 时 ，当 时 ，故 在 处取得最小值 。所以 ，即 ，等号在 时成立。 【多解·巧解】(3) 也可以"借力"完成：要证 ，可令 转化为 ，即 ，这正是例4的结论。把新不等式化归为已证的"桥梁不等式"，是证明题的常用技巧。 【易错提醒】(1) 中的 是函数 的极小值点，不要错写成 或 ；(2) 中 的上界是 （负值），不要因为"看起来小"而怀疑。" 恒成立"对应 ，与 的符号无关。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $