第15讲 导数与函数的极值、最值 讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第15讲 导数与函数的极值、最值 第15讲 导数与函数的极值、最值 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解极值的概念，掌握"求导、求根、判断变号、算出极值"的标准流程； 2．会求函数在闭区间上的最值，熟练掌握"极值点加两个端点"共三类值一起比较的方法； 3．能由极值、最值条件求参数，并对含参函数的极值、最值进行分类讨论； 4．会借助极值符号判断函数零点个数，并把恒成立问题转化为最值问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 求函数的极值（极值点） 选择题、解答题 第4~6题／第17题 中 求根后看两侧导数是否变号 求闭区间上的最值 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第17题 中 极值点与两个端点一起比大小 由极值条件求参数 选择题、填空题 第6~8题／第14题 中 导数为零列方程，再回代验证 含参函数的极值与最值讨论 解答题 第17~20题 中偏难 按参数正负与零点位置分类 零点个数与参数范围 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 用极大值、极小值的符号夹出范围 恒成立与最值转化 选择题、解答题 第8题／第18~20题 中偏难 恒成立向最小值，存在性向最大值 命题规律分析 极值与最值是导数应用的核心，也是解答题的主要得分板块。新高考中，求极值、求闭区间最值常出现在选择题第4~6题、填空题第13题；含参极值、恒成立与零点个数问题则多压在第8题、第14题这一档，并作为解答题第17~20题的关键一问。培优阶段要抓牢三条：一是""只是极值点的必要条件，求出参数后必须回代验证导数在 两侧是否变号；二是闭区间求最值永远"三类值一起比"，漏掉端点是最常见的失分点；三是恒成立问题的翻译方向不能反——" 恒成立"对应最小值，" 有解"对应最大值。 考点1 函数的极值 知识点1 极值的概念与求法 若在 附近 由正变负，则 是极大值点、 是极大值；由负变正则 是极小值点。若两侧符号相同，则 不是极值点。 求极值三步：① 确定定义域并求 ；② 解 得驻点；③ 列表判断每个驻点两侧 的符号，得出极大值或极小值。 【易错清单】 1． 不是极值点的充分条件，如 在 处 但无极值； 2．极值点必须落在定义域内部，定义域的端点上不能取到极值； 3．极大值只是"局部最大"，极大值可能小于另一处的极小值。 知识点2 函数在闭区间上的最值 求 在闭区间 上的最值：先求 内的所有极值，再与端点值 、 一起比较，最大的为最大值、最小的为最小值。 若函数在区间上单调，则最值直接出现在两个端点处，不必再找极值。 【易错清单】 1．只比较极值、漏掉端点值，是闭区间求最值的头号失分点； 2．驻点不在给定区间内时仍把它当作最值来用； 3．含参最值不按"驻点在区间左、在区间内、在区间右"分类，导致讨论不全。 考点2 恒成立、零点与参数范围 知识点3 恒成立问题与参数范围 对一切 恒成立 在 上的最小值 ； 恒成立 在 上的最大值 。 "有解（存在解）"与"恒成立"的最值方向恰好相反： 有解 在 上的最大值 。 【易错清单】 1．把"恒成立"当成"有解"，最值方向取反； 2．分离参数时除以负数忘记改变不等号方向； 3．忘记检验等号能否取到，导致参数范围多出或漏掉端点。 知识点4 函数零点个数的判断 三次型函数的零点判据：极大值大于零且极小值小于零 有三个零点；两个极值同号 恰有一个零点；有一个极值恰为零 恰有两个零点。 含超越式的方程常变形为 ，看水平直线 与 的交点个数。 【易错清单】 1．把 当成充分必要条件，它只是"至少一个零点"的充分条件； 2．判断零点个数时忘记说明函数连续、单调； 3．极值恰为零时零点个数会减少，这一"临界情形"最容易被漏掉。 【题型1 求函数的极值（极值点）】 【例1】函数 （）的极大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求导后解 ，再判断该驻点两侧的符号变化。 【解答过程】定义域为 ，。因为 ，令 得 ，即 。 当 时 ，当 时 ，所以 是极大值点，极大值为 。故选A。 【多解·巧解】把 作为"结论函数"记住：它在 处取得最大值 ，在 上递增、在 上递减。由于最大值就是极大值，本题不必再区分"极大"与"最大"。 【易错提醒】把 的根写成 或 是常见笔误。由 立刻得 ，这是对数型函数最常用的驻点。 【变式1-1】函数 的极大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】因式分解求根，判断极大值点后代入。 【解答过程】，令 得 。 左侧 、右侧 ，故为极大值点，极大值 。故选A。 【变式1-2】函数 的极大值为____________。 【答案】 【解题思路】乘法法则求导， 只看 的符号。 【解答过程】。因为 ，令 得 。当 时 ，当 时 ，故 是极大值点，极大值为 。 【变式1-3】函数 （）的极小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】导数化成分式后只看分子。 【解答过程】，令 得 。当 时 ，当 时 ，故 是极小值点，极小值为 。故选A。 【题型2 求函数在闭区间上的最值】 【例2】函数 在区间 上的最大值与最小值分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【答案】A 【解题思路】求出区间内的极值，再与两个端点值一起比较。 【解答过程】，令 得 ，在 内的驻点只有 ，它是极大值点，。 端点值 ，。比较 、、 得最大值为 ，最小值为 。故选A。 【多解·巧解】闭区间求最值永远"三类值一起比"：区间内的极值 + 两个端点值。本题另一驻点 不在区间内，不能算进比较，这是最容易多算的地方。 【易错提醒】把区间外的极大值点 （或它的函数值 ）误当成区间内的极值参与比较，就可能把答案写成 和 。先筛"驻点是否落在区间内"，再比大小。 【变式2-1】函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求出区间内的极值与端点值后比较。 【解答过程】，令 得 或 。在 内只有 是极小值点，。端点值 ，。比较得最小值为 。故选A。 【变式2-2】函数 在区间 上的最大值是____________。 【答案】 【解题思路】先判断单调性，单调函数的最值直接取端点。 【解答过程】。当 时 且 ，故 ， 在 上单调递减，最大值为 。 【变式2-3】函数 （）在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求导找驻点，再比较驻点值与端点值。 【解答过程】，令 得 （）。 是极小值点，。端点值 ，。比较得最小值为 。故选A。 【多解·巧解】本题的驻点 恰好落在区间内，所以基本不等式的等号能取到，最小值 与用基本不等式的结果一致。若区间改为 ，等号取不到，就必须改用单调性求端点值。 【题型3 由极值条件求参数】 【例3】若函数 在 处取得极大值，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用"极值点处导数为零"列方程求 ，再回代验证确实是极大值。 【解答过程】，由 得 。 验证：此时 ，当 时 ，当 时 ，即 在 处由正变负，故 确为极大值点。故选A。 【多解·巧解】"在 处取得极值"只能得到 一个方程；求出的参数必须回代，看导数在 两侧是否变号。也可用韦达定理快速验证： 的另一零点由两根之积 得 ，与 一左一右，确实变号。 【易错提醒】解出 后不回代验证，是这一类题最大的坑。若验证发现两侧符号不变，就要果断排除该解（题目可能"无解"）。 【变式3-1】若函数 在 处取得极小值，则实数 ____________。 【答案】 【解题思路】导数为零列方程。 【解答过程】，由 得 。此时 ，在 处由负变正，确为极小值点。 【变式3-2】若函数 在 处有极值，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】极值点处导数为零，求出后验证变号。 【解答过程】，由 得 。此时 ，在 处由负变正，确为极值点。故选A。 【多解·巧解】题目说"有极值"比"取得极小值"更宽松：只需验证 在该点两侧变号，不必判断是极大还是极小。 【变式3-3】若函数 在 处取得极值 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】"极值点"与"极值"各给一条等式，联立解 、。 【解答过程】。由 得 ；由 得 。两式相减得 ，代入得 ，故 。故选A。 【题型4 含参函数的极值讨论】 【例4】已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的极值。 【答案】(1) ； (2) 当 时， 无极值；当 时， 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 。 【解题思路】按 的正负分类： 时导数恒非负，无极值； 时有两处变号。 【解答过程】(1) 。 (2) ① 当 时， 对一切实数成立，函数单调递增，无极值； ② 当 时，，在 处导数由正变负，是极大值点，极大值 ；在 处导数由负变正，是极小值点，极小值 。 【多解·巧解】含参极值的分类临界值来自"导数零点是否存在"：本题零点为 ，只有 时才存在，故临界值是 。把"零点存在性"作为分类的第一道关卡，讨论就不会漏。 【易错提醒】① 漏掉 的情形（此时无极值，但必须说明）；② 把根写成 （应为 ）；③ 计算极值时忘记把 代回 ，而是误用导数值。极值是"函数值"而不是"导数值"。 【变式4-1】求函数 的极值。 【答案】极大值为 ，极小值为 。 【解题思路】求导、因式分解、判断符号变化、代入求值。 【解答过程】，令 得 或 。当 时 ，当 时 ，当 时 。故 是极大值点，极大值 ； 是极小值点，极小值 。 【变式4-2】已知函数 （，）。讨论 的极值。 【答案】当 时， 无极值；当 时， 在 处取得极大值 。 【解题思路】导数化为 ，按参数正负分类。 【解答过程】。因为 ， 的符号由 决定。 ① 当 时， 恒成立， 单调递增，无极值； ② 当 时，令 得 ，在 上 、在 上 ，故 是极大值点，极大值为 。 【多解·巧解】 是本题化简的关键，也是对数型极值题出现频率极高的恒等式。 【变式4-3】已知函数 （，）。讨论 的极值。 【答案】当 时， 无极值；当 时， 在 处取得极小值 。 【解题思路】导数化为 ，按参数正负分类。 【解答过程】。因为 ， 的符号由 决定。 ① 当 时， 恒成立， 单调递增，无极值； ② 当 时，令 得 ，在 上 、在 上 ，故 是极小值点，极小值为 。 【题型5 零点个数与参数范围】 【例5】若函数 恰有三个零点，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】三个零点要求极大值大于零且极小值小于零。 【解答过程】，令 得 。 是极大值点，极大值 ； 是极小值点，极小值 。要有三个零点，需 且 ，解得 。故选A。 【多解·巧解】三次函数"三个零点"的判定口诀：极大值大于零、极小值小于零，两个条件都要。"恰有两个零点"则对应"有一个极值恰为零"，"一个零点"对应"两个极值同号"。三种情形由极值的符号完整刻画，可一并记住。 【易错提醒】把条件写成 （即 ）就会把 这两种"两个零点"的情形错误带入。验证方法： 时 ，只有两个零点。 【变式5-1】若函数 恰有两个零点，则实数 ____________。 【答案】 或 【解题思路】"恰有两个零点"对应"有一个极值恰为零"。 【解答过程】由例5的分析，极大值为 、极小值为 。恰有两个零点当且仅当其中一个极值等于零，即 或 ，解得 或 。 【变式5-2】若函数 （）有零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】有零点等价于最大值不小于零。 【解答过程】，令 得 ，它是极大值点也是最大值点，最大值 。要有零点，需最大值 ，即 。故选A。 【多解·巧解】"有零点"看最大值："函数图象要能碰到 轴，最大值就必须不低于零"。把"有零点"翻译为"最大值 "，与恒成立问题的翻译方向刚好相反，要区分清楚。 【变式5-3】若关于 的方程 有三个不同实根，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】转化为"曲线 与水平直线 有三个交点"。 【解答过程】设 ，，极大值 ，极小值 。直线 与 的图象有三个交点，需 。 【题型6 恒成立与最值转化】 【例6】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】"恒成立"向"最小值"转化，先求 的最小值。 【解答过程】设 （），。令 得 ，即 。当 时 ，当 时 ，故最小值为 。要使 恒成立，只需 。故选A。 【多解·巧解】恒成立问题"看最不利的一方"： 要对一切 成立， 必须不超过 的最小值（最不利的那一点）。先用导数求出最小值 ，答案就一步得出。 【易错提醒】把"恒成立"当成"有解"，误取最大值会得到相反方向。判断口诀： 恒成立看最小值， 有解看最大值。 【变式6-1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】基本不等式或导数求最小值。 【解答过程】设 （），由基本不等式 ，等号在 时成立，故最小值为 。要使 恒成立，只需 。故选A。 【变式6-2】若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】按参数正负分类，求 的最小值并令其非负。 【解答过程】设 ，。 ① 当 时， 时 、，故 ，不可能恒有 ，舍去； ② 当 时， 恒成立，符合题意； ③ 当 时，令 得 ，这是极小值点也是最小值点，最小值 。由 得 ，即 。 综上 。 【多解·巧解】含参指数型恒成立问题，先按参数正负分类再求最小值，比"分离参数得 "更省事——后者还要讨论 的符号。注意 时 在 时会趋向 ，这一类必须单独排除，不能因为" 单调递增"就直接判定成立。 【变式6-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】" 恒成立"等价于"最大值 "。 【解答过程】设 （）。当 时 单调递增，不满足"恒 "，舍去；当 时， 在 处取得最大值 。由 得 ，即 。故选A。 一、单选题 1．（★★）函数 的极小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求驻点后代入求值。 【解答过程】，令 得 ，该点由负变正，是极小值点，极小值 。故选A。 2．（★★）函数 的极大值点是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】看导数在驻点两侧是否由正变负。 【解答过程】，驻点为 。 处导数由正变负，是极大值点； 处导数由负变正，是极小值点。故选A。 3．（★★）函数 在区间 上的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】先判单调性，再比较端点。 【解答过程】在 上 递减、在 上递增，端点值 ，，故最大值为 。故选C。 4．（★★）函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】比较区间内的极值与端点值。 【解答过程】驻点 落在 内，是极小值点，；端点值 ，。比较得最小值为 。故选A。 5．（★★）若 ，则 （　　） A．一定是极值点　B．一定不是极值点　C．可能是极值点　D．一定是最大值点 【答案】C 【解题思路】理解 是极值的必要不充分条件。 【解答过程】 时 可能是极值点（如 在 处），也可能不是（如 在 处），故只能说"可能是"。故选C。 6．（★★★）若函数 在 上既存在极大值又存在极小值，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】“既有极大值又有极小值”要求 有两个不相等实根，即判别式大于零。 【解答过程】。 既有极大值又有极小值，等价于 有两个不相等实根（二次项系数为正，两根处必变号），故 ，解得 。故选A。 7．（★★★）已知函数 （）有且只有一个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B． 或 　C．　D． 【答案】B 【解题思路】按 、、 分类讨论： 时用最小值判断，此时"一个零点"对应极小值恰为零。 【解答过程】。① 当 时， 恒成立， 单调递增，且 时 、 时 ，恰有一个零点；② 当 时，，无零点，不合题意；③ 当 时， 是最小值点，最小值 ，要有且只有一个零点，需最小值恰为零，即 ，解得 。综上 或 。故选B。 8．（★★★）已知函数 在 上有两个极值点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】“两个极值点”即 在 上有两个不相等实根，转化为二次方程两根均为正的分布问题。 【解答过程】。 在 上有两个极值点，等价于 有两个不相等正根。由两根之积为 ，只需判别式大于零且两根之和 ，即 且 ，解得 。故选A。 二、多选题 9．（★★）关于函数的极值，下列说法正确的是（　　） A．极值点处的导数可能不存在　B． 是 为极值点的必要不充分条件　C．函数的极大值一定大于极小值　D．函数在定义域的端点处不能取到极值 【答案】ABD 【解题思路】逐项对照极值的概念判断。 【解答过程】A 正确，如 在 处有极小值但不可导； B 正确，极值点处（若可导）导数必为零，但导数为零的点不一定是极值点； C 错误，极大值只是"局部最大"，可能小于另一处的极小值； D 正确，极值要求在某点"附近"都有定义，端点不满足。 故选ABD。 10．（★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 处取得极大值　C． 的极大值为 　D． 的极小值为 【答案】ABCD 【解题思路】逐项求导、判断极值点、求极值检验。 【解答过程】A：，正确； B： 处导数由正变负，是极大值点，正确； C：，正确； D： 处取极小值 ，正确。 故选ABCD。 11．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 无极值　B．当 时， 的极小值为 　C． 在 处一定取得极小值　D．若 恰有一个零点，则 【答案】ABD 【解题思路】求导 ，按 的符号讨论极值的存在性，再逐项判断。 【解答过程】。当 时， 恒成立， 单调递增，无极值，A 正确；当 时，， 处取极小值 ，B 正确；C 只当 时 才存在， 时该点无意义，故 C 错误；，当 时有三个零点 、，当 时只有 一个零点，D 正确。故选ABD。 12．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 　B．若 对一切 恒成立，则 　C．若方程 有两个不相等实根，则 　D．方程 有两个不相等实根 【答案】ABC 【解题思路】先用导数研究 的单调性与最大值，再把恒成立、零点问题翻译为图象的交点个数。 【解答过程】，令 得 ，在 上递增、在 上递减，最大值为 ，A 正确； 恒成立等价于 不小于 的最大值 ，B 正确；水平直线 与 的图象有两个交点，等价于 ，C 正确；当 时，因在 上 且单调递增，方程仅有一个实根，D 错误。故选ABC。 三、填空题 13．（★★）函数 的极小值是____________。 【答案】 【解题思路】求驻点后代入。 【解答过程】，令 得 ，极小值 。 14．（★★）若函数 的最小值为 ，则实数 ____________。 【答案】 【解题思路】配方求最小值，再列方程。 【解答过程】，最小值为 ，由 得 。 15．（★★★）若函数 在区间 内有且仅有一个极值点，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】极值点是 的变号零点，问题转化为二次方程在 内恰有一个根（另一根必在区间外）。 【解答过程】，设 。注意 ，且两根之积为 ，故若有一个根落在 内，另一个根必大于 、位于区间外。于是 在 内恰有一个根，当且仅当 ，即 。故实数 的取值范围是 。 16．（★★★）若函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值集合为____________。 【答案】 【解题思路】 在 处取得最大值 ，让区间 含 且不含使 的点即可。 【解答过程】， 在 处取得最大值 ，且由 解得 。要让 在 上的最大值为 ，一方面区间需包含 ，即 ，得 ；另一方面区间不能包含使 的点，即需 ，也就是 ，该条件在 时自然满足。故 的取值集合为 。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 求 的极值。 【答案】(1) ； (2) 极大值为 ，极小值为 。 【解题思路】求导、因式分解、判断符号变化、代入求值。 【解答过程】(1) 。 (2) 令 得 或 。当 时 ，当 时 ，当 时 。故 是极大值点，极大值 ； 是极小值点，极小值 。 【多解·巧解】求极值的顺序固定：先求根，再看根两侧导数的符号（正转负为极大、负转正为极小），最后代值。把符号变化写出来，就不必再纠结哪个是极大、哪个是极小。 【易错提醒】把极大值与极小值算反，往往是因为没写"两侧符号变化"直接凭感觉。"先增后减"的点是极大值点，"先减后增"的点是极小值点，判断符号变化是唯一的可靠依据。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 【答案】(1) ； (2) 最大值为 ，最小值为 。 【解题思路】求驻点，比较驻点值与端点值。 【解答过程】(1) 。 (2) 令 得 ，该点是极小值点，。端点值 ，。比较得最大值为 ，最小值为 。 【多解·巧解】若函数在区间上单调，最值直接取端点即可。本题也可先用对称轴 判断：轴在区间内，最小值在顶点、最大值比较两端点。 【易错提醒】只比较驻点值就下结论会漏掉端点值，把最大值写成 。闭区间求最值，"极值点 + 两个端点"三类值一个都不能少。 19．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 求 的极值。 【答案】(1) ； (2) 在 处取得极大值 。 【解题思路】先确定定义域，求导化成分式后只看分子符号。 【解答过程】(1) 定义域为 ，。 (2) 令 得 。当 时 ，当 时 ，故 是极大值点，极大值为 。 【多解·巧解】 是高频"桥梁函数"，其最大值为 ，常在证明不等式时作为""的载体出现。记住这个结论，很多综合题可以直接引用。 【易错提醒】本题只要求"极值"而不是"最值"，但由于极大值恰好是最大值，故只写"极大值 "即可。注意区分：极值点只有 一个，不存在极小值。 20．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的极值。 【答案】(1) ； 当 时， 无极值；当 时， 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ；当 时， 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 。 【解题思路】令 ，按两个驻点 与 是否重合及大小关系分类讨论。 【解答过程】(1) 。 (2) 令 得 或 。① 当 时，， 单调递增，无极值；② 当 时，，在 处导数由正变负，是极大值点，极大值 ，在 处导数由负变正，是极小值点，极小值 ；③ 当 时，，在 处导数由正变负，是极大值点，极大值 ，在 处导数由负变正，是极小值点，极小值 。 【多解·巧解】含参极值讨论的临界点是"两个驻点重合"，本题即 。先解出所有驻点并写出它们随参数变化的位置关系，再逐一分类，比"凭经验猜分类"更稳妥。 【易错提醒】① 漏掉 （此时两驻点重合、 不变号，无极值）；② 不比较 与 的大小，导致极大、极小判断颠倒；③ 计算极值时代入导数值而非函数值。 21．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的极值； (2) 若方程 有三个不相等实根，求实数 的取值范围。 【答案】(1) 极大值为 ，极小值为 ； (2) 。 【解题思路】(1) 求导求极值；(2) 三个实根等价于水平直线 与 的图象有三个交点，由极值夹逼。 【解答过程】(1) ，令 得 。当 时 ，当 时 ，当 时 。故极大值 ，极小值 。 (2) 方程 有三个不相等实根，即直线 与 的图象有三个交点，由图象形状知 需介于极小值与极大值之间，即 。 【多解·巧解】(2) 也可用"极值夹逼"一步得出：三次函数有三个零点当且仅当极大值大于零、极小值小于零。本题即 且 ，同样得 。 【易错提醒】(2) 中把不等号写成 ，会把 （此时有一个根为二重根，只有两个实根）错误带入，临界值必须单独代回检验。 22．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的极值； (3) 若 有两个零点，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 当 时， 无极值；当 时， 在 处取得极大值 ； (3) 。 【解题思路】(1) 求导；(2) 按参数分类；(3) 两个零点要求最大值大于零。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ， 的符号由 决定。当 时 恒成立， 单调递增，无极值；当 时， 是极大值点，极大值为 。 (3) 当 时 单调递增，最多一个零点，不合题意；当 时， 与 时 ，最大值 。要有两个零点，需 ，即 ，解得 。 【多解·巧解】(3) 的关键是先画"极限趋势"再定条件： 时函数先增后减，两端都趋向 ，所以"有两个零点"就等价于"最大值大于零"，连中间值定理都不必细说。零点个数问题的核心永远是极值与零的大小关系。 【易错提醒】(3) 中容易忽略" 时最多一个零点"的排除，或把条件写成"最大值 "而带入 （此时最大值恰为零，只有一个零点）。 23．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的极值； (2) 若 的图象与 轴恰有一个公共点，求实数 的取值范围； (3) 若 的图象与 轴恰有两个公共点，求实数 的值。 【答案】(1) 极大值为 ，极小值为 ； (2) 或 ； (3) 或 。 【解题思路】(1) 求导求极值；(2) 恰一个公共点要求两个极值同号；(3) 恰两个公共点对应"有一个极值恰为零"。 【解答过程】(1) ，令 得 或 。当 时 ，当 时 ，当 时 。故极大值 ，极小值 。 (2) 图象与 轴恰有一个公共点，即函数恰有一个零点，需两个极值同号：当极小值大于零（，即 ）时，整个图象都在 轴上方；当极大值小于零（）时，整个图象都在 轴下方；故 或 。 (3) 图象与 轴恰有两个公共点，当且仅当其中一个极值恰为零，即 或 ，解得 或 。 【多解·巧解】(2)(3) 用"极值符号"刻画零点个数最快：两个极值同号对应一个零点，一个极值恰为零对应两个零点，异号对应三个零点。把三种情形并列记忆，判断时只需看两个极值的符号。 【易错提醒】(2) 中易漏掉"极大值小于零"这一支，或误把 、 算进去（此时只有两个公共点，属于第 (3) 问），(3) 的临界值一定要代回检验零点个数。 24．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性与极值； (3) 若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； 当 时， 在 上单调递增，无极值；当 时， 在 上单调递减、在 上单调递增，在 处取得极小值 ；(3) 。 【解题思路】(1) 求导；(2) 按 的正负讨论 的符号与极值；(3) 恒成立转化为最小值不低于零。 【解答过程】(1) 。 (2) ① 当 时， 恒成立， 在 上单调递增，无极值；② 当 时，令 得 ，在 上 、在 上 ，故 是极小值点，极小值 。 (3) 当 时， 时 ，不满足恒成立，舍去；当 时， 恒成立，符合；当 时，最小值为 ，由 得 ，即 。综上 。 【多解·巧解】(2) 是含参单调性与极值的标准讨论，分类临界点是 是否有零点（即 与 的大小关系）；(3) 是恒成立问题，用"最小值不低于零"翻译。注意 时虽然 ，但 时 ，恒成立并不成立。 【易错提醒】(3) 中若只按" 就恒成立"而把 也算进去，会把范围错写成 。正确做法是先分类，再在每一类里求最小值（或看极限趋势），最后解关于参数的不等式。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第15讲 导数与函数的极值、最值 第15讲 导数与函数的极值、最值 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解极值的概念，掌握"求导、求根、判断变号、算出极值"的标准流程； 2．会求函数在闭区间上的最值，熟练掌握"极值点加两个端点"共三类值一起比较的方法； 3．能由极值、最值条件求参数，并对含参函数的极值、最值进行分类讨论； 4．会借助极值符号判断函数零点个数，并把恒成立问题转化为最值问题。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 求函数的极值（极值点） 选择题、解答题 第4~6题／第17题 中 求根后看两侧导数是否变号 求闭区间上的最值 选择题、填空题、解答题 第6题／第13题／第17题 中 极值点与两个端点一起比大小 由极值条件求参数 选择题、填空题 第6~8题／第14题 中 导数为零列方程，再回代验证 含参函数的极值与最值讨论 解答题 第17~20题 中偏难 按参数正负与零点位置分类 零点个数与参数范围 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 用极大值、极小值的符号夹出范围 恒成立与最值转化 选择题、解答题 第8题／第18~20题 中偏难 恒成立向最小值，存在性向最大值 命题规律分析 极值与最值是导数应用的核心，也是解答题的主要得分板块。新高考中，求极值、求闭区间最值常出现在选择题第4~6题、填空题第13题；含参极值、恒成立与零点个数问题则多压在第8题、第14题这一档，并作为解答题第17~20题的关键一问。培优阶段要抓牢三条：一是""只是极值点的必要条件，求出参数后必须回代验证导数在 两侧是否变号；二是闭区间求最值永远"三类值一起比"，漏掉端点是最常见的失分点；三是恒成立问题的翻译方向不能反——" 恒成立"对应最小值，" 有解"对应最大值。 考点1 函数的极值 知识点1 极值的概念与求法 若在 附近 由正变负，则 是极大值点、 是极大值；由负变正则 是极小值点。若两侧符号相同，则 不是极值点。 求极值三步：① 确定定义域并求 ；② 解 得驻点；③ 列表判断每个驻点两侧 的符号，得出极大值或极小值。 【易错清单】 1． 不是极值点的充分条件，如 在 处 但无极值； 2．极值点必须落在定义域内部，定义域的端点上不能取到极值； 3．极大值只是"局部最大"，极大值可能小于另一处的极小值。 知识点2 函数在闭区间上的最值 求 在闭区间 上的最值：先求 内的所有极值，再与端点值 、 一起比较，最大的为最大值、最小的为最小值。 若函数在区间上单调，则最值直接出现在两个端点处，不必再找极值。 【易错清单】 1．只比较极值、漏掉端点值，是闭区间求最值的头号失分点； 2．驻点不在给定区间内时仍把它当作最值来用； 3．含参最值不按"驻点在区间左、在区间内、在区间右"分类，导致讨论不全。 考点2 恒成立、零点与参数范围 知识点3 恒成立问题与参数范围 对一切 恒成立 在 上的最小值 ； 恒成立 在 上的最大值 。 "有解（存在解）"与"恒成立"的最值方向恰好相反： 有解 在 上的最大值 。 【易错清单】 1．把"恒成立"当成"有解"，最值方向取反； 2．分离参数时除以负数忘记改变不等号方向； 3．忘记检验等号能否取到，导致参数范围多出或漏掉端点。 知识点4 函数零点个数的判断 三次型函数的零点判据：极大值大于零且极小值小于零 有三个零点；两个极值同号 恰有一个零点；有一个极值恰为零 恰有两个零点。 含超越式的方程常变形为 ，看水平直线 与 的交点个数。 【易错清单】 1．把 当成充分必要条件，它只是"至少一个零点"的充分条件； 2．判断零点个数时忘记说明函数连续、单调； 3．极值恰为零时零点个数会减少，这一"临界情形"最容易被漏掉。 【题型1 求函数的极值（极值点）】 【例1】函数 （）的极大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】函数 的极大值为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】函数 的极大值为____________。 【变式1-3】函数 （）的极小值为（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 求函数在闭区间上的最值】 【例2】函数 在区间 上的最大值与最小值分别是（　　） A． 和 　B． 和 　C． 和 　D． 和 【变式2-1】函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】函数 在区间 上的最大值是____________。 【变式2-3】函数 （）在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 由极值条件求参数】 【例3】若函数 在 处取得极大值，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-1】若函数 在 处取得极小值，则实数 ____________。 【变式3-2】若函数 在 处有极值，则实数 （　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】若函数 在 处取得极值 ，则 （　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 含参函数的极值讨论】 【例4】已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的极值。 【变式4-1】求函数 的极值。 【变式4-2】已知函数 （，）。讨论 的极值。 【变式4-3】已知函数 （，）。讨论 的极值。 【题型5 零点个数与参数范围】 【例5】若函数 恰有三个零点，则（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】若函数 恰有两个零点，则实数 ____________。 【变式5-2】若函数 （）有零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】若关于 的方程 有三个不同实根，则实数 的取值范围是____________。 【题型6 恒成立与最值转化】 【例6】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是____________。 【变式6-3】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）函数 的极小值是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）函数 的极大值点是（　　） A．　B．　C．　D． 3．（★★）函数 在区间 上的最大值是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）函数 在区间 上的最小值是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★★）若 ，则 （　　） A．一定是极值点　B．一定不是极值点　C．可能是极值点　D．一定是最大值点 6．（★★★）若函数 在 上既存在极大值又存在极小值，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知函数 （）有且只有一个零点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B． 或 　C．　D． 8．（★★★）已知函数 在 上有两个极值点，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于函数的极值，下列说法正确的是（　　） A．极值点处的导数可能不存在　B． 是 为极值点的必要不充分条件　C．函数的极大值一定大于极小值　D．函数在定义域的端点处不能取到极值 10．（★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 处取得极大值　C． 的极大值为 　D． 的极小值为 11．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 无极值　B．当 时， 的极小值为 　C． 在 处一定取得极小值　D．若 恰有一个零点，则 12．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 　B．若 对一切 恒成立，则 　C．若方程 有两个不相等实根，则 　D．方程 有两个不相等实根 三、填空题 13．（★★）函数 的极小值是____________。 14．（★★）若函数 的最小值为 ，则实数 ____________。 15．（★★★）若函数 在区间 内有且仅有一个极值点，则实数 的取值范围是____________。 16．（★★★）若函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值集合为____________。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 求 的极值。 18．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值。 19．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 求 的极值。 20．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的极值。 21．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的极值； (2) 若方程 有三个不相等实根，求实数 的取值范围。 22．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的极值； (3) 若 有两个零点，求实数 的取值范围。 23．（★★★）已知函数 。 (1) 求 的极值； (2) 若 的图象与 轴恰有一个公共点，求实数 的取值范围； (3) 若 的图象与 轴恰有两个公共点，求实数 的值。 24．（★★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性与极值； (3) 若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $