第14讲 导数与函数的单调性讲义-2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列

2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第14讲 导数与函数的单调性 第14讲 导数与函数的单调性 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解导数符号与函数单调性的对应关系，会规范地求函数的单调区间； 2．掌握由单调性求参数范围的标准流程：导数恒非负（非正）、分离参数、求最值； 3．会按"导数零点与定义域的位置关系"对含参函数的单调性进行分类讨论； 4．能构造函数并利用单调性比较大小、解抽象不等式，体会化归与构造的思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 用导数判断单调性与求单调区间 选择题、解答题 第4~6题／第15题 中 三步走：定义域、求导、解不等式 由单调性求参数范围 选择题、填空题 第6~8题／第13题 中 导数恒非负，分离参数后取最值 含参函数的单调性讨论 解答题 第15~18题 中偏难 先求根，再比较根与定义域（或两根） 导函数图象与单调性的对应 选择题 第4~6题 中 只看 的正负，不看图象高低 利用单调性比较大小 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 构造共同结构，跨区间时算值 单调性解抽象不等式 选择题、解答题 第8题／第17~20题 中偏难 奇偶性把不等式化为同一侧再脱去函数 命题规律分析 导数与单调性是导数应用的"第一站"，也是解答题的稳定得分点。新高考中，求单调区间常出现在选择题第4~6题与解答题第15~16题；由单调性求参数范围则多压在选择题第6~8题、填空题第13~14题这一档。培优阶段要抓住三件事：一是"单调递增"只能翻译成 而不是 ，端点处的取舍靠"能取到等号就取"来判断；二是含参讨论的临界值来自"导数的零点恰好落在定义域端点"，把临界值找全，讨论就不会漏；三是"比较大小"先找共同结构构造函数，两个自变量跨区间时必须算值而不能硬套单调性。把这三条落实，本专题是中档题的"稳分器"。 考点1 导数与函数单调性的关系 知识点1 导数符号与单调性的对应 在区间 内，若 ，则 在 上单调递增；若 ，则 在 上单调递减。 反过来，若 在区间 上单调递增，则 在 上恒成立——注意是"大于或等于"，如 在 上递增，但 。 【易错清单】 1．由"单调递增"推出 是错的，应为 ； 2．求单调区间必须"先定义域、后求导"，含对数、分式的函数最易把区间写到定义域之外； 3．多个单调区间之间用"和"字连接或分别写成区间，不能用并集符号。 知识点2 含参函数的单调性讨论 令 求出（含参的）零点，再按"零点与定义域的位置关系"或"两个零点的大小关系"分类讨论。 典型模型 ：，当 时恒正；当 时在 上递增、在 上递减。 【易错清单】 1．讨论不全，只写 而漏掉 ； 2．把参数默认成正数，导致临界值找不全； 3．求出零点后不检验是否落在定义域内，把定义域外的零点也写进单调区间。 考点2 单调性求参数与比较大小 知识点3 由单调性求参数范围 若 在区间 上单调递增，则 在 上恒成立；若单调递减，则 在 上恒成立。 解题模板：求导 → 写恒非负（非正）条件 → 分离参数 → 求另一边函数的最值 → 得参数范围。 【易错清单】 1．把"在区间上单调"错当成"在某点导数为正"，条件写得太松； 2．用判别式处理恒非负时，忘记先检查二次项系数的符号； 3．分离参数时除以负数要改变不等号方向，常被漏掉。 知识点4 用单调性比较大小 通法：把要比较的两个数写成同一个函数在两个自变量处的函数值，再用单调性判断。 常用结构：（在 上递增、在 上递减，最大值 ）是最高频的"比较大小"函数。 【易错清单】 1．两个自变量落在不同单调区间却直接套单调性； 2．构造函数时抄错表达式； 3．忘记定义域对自变量的限制。 【题型1 用导数求函数的单调区间】 【例1】函数 （）的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求导写成分式，分母恒正，只需看分子的符号。 【解答过程】定义域为 。。因为 ，所以 的符号由 决定。由 得 ，即 ，故单调递减区间为 。故选A。 【多解·巧解】含对数、分式的函数，导数一般写成分式；此时分母的符号由定义域直接确定，只需看分子。本题也可用配方视角：分子的零点为 ，结合 只取 ，"小于零取中间"即得 。 【易错提醒】把 的解写成 后忘记与定义域 取交集，会误选一个含负值的区间。含对数的题，定义域永远是第一步。 【变式1-1】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】乘法法则求导后，用 只看 的符号。 【解答过程】。因为 恒成立，所以由 得 ，即 ，故单调递增区间为 。故选B。 【变式1-2】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】因式分解后求根，再"小于零取中间"。 【解答过程】，令 得 ，故单调递减区间为 。故选A。 【变式1-3】函数 （）的单调递减区间是____________。 【答案】 【解题思路】用除法法则求导，分母恒正只看分子。 【解答过程】。因为 ，，由 得 ，即 ，故单调递减区间为 。 【题型2 由单调性求参数范围】 【例2】若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把"单调递增"翻译成 恒成立，再分离参数求下确界。 【解答过程】。由题意 对一切 恒成立，即 对一切 恒成立。因为 时 ，其上确界为 ，所以 。故选A。 【多解·巧解】也可用二次函数对称轴快速判断： 开口向上，其对称轴为 ，在 上递增要求对称轴落在 的左侧，即 ，解得 。两类方法结论一致，可互相验证。 【易错提醒】分离后误取"最小值"会得到相反方向。判断口诀： 恒成立就看 的最大（上确界）。本题 在 上趋于 但取不到，等号仍可取，因为端点在开区间。 【变式2-1】若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】导数恒非负，分离参数后取最小值。 【解答过程】，由题意 对一切 恒成立，即 对一切 恒成立。因为 时 ，下确界为 ，所以 。 【变式2-2】若函数 （）在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】导数恒非正，分离参数后取上确界。 【解答过程】。因为 时 ，由 得 ，即 对一切 恒成立。因为 时 ，上确界为 ，所以 。故选A。 【变式2-3】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】导数是二次式且定义域为 ，用判别式处理恒非负。 【解答过程】，由题意 对一切实数恒成立。因为二次项系数 ，只需判别式 ，解得 。故选A。 【题型3 含参函数的单调性讨论】 【例3】已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【答案】(1) ； (2) 当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增、在 上单调递减。 【解题思路】把导数写成分式，分母恒正，按分子 的零点是否落在定义域内分类。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ，所以 的符号由 决定。 ① 当 时， 对一切 恒成立，故 ， 在 上单调递增； ② 当 时，令 得 ，在 上 ，在 上 ，故 在 上单调递增、在 上单调递减。 【多解·巧解】分类的临界值来自"导数零点恰好落在定义域端点"： 的零点为 ，定义域是 ，当 时零点趋向 、当 时零点已落到定义域外，所以临界值就是 。找到临界值，讨论自然就分全了。 【易错提醒】只讨论 而漏掉 ，是含参讨论的通病。另外 与 可以合并为 （此时 恒成立），合并后更简洁。 【变式3-1】已知函数 （）。讨论 的单调性。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增、在 上单调递减。 【解题思路】按 是否恒成立分类。 【解答过程】。 ① 当 时， 对一切实数成立，故 在 上单调递增； ② 当 时，，由 得 或 ，由 得 ，故在 和 上递增、在 上递减。 【变式3-2】已知函数 （，）。讨论 的单调性。 【答案】当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减、在 上单调递增。 【解题思路】导数化为 ，按分子零点是否落在定义域内分类。 【解答过程】。因为 ，所以 的符号由 决定。 ① 当 时， 恒成立，故 在 上单调递增； ② 当 时， 的零点为 （负值舍去），在 上 ，在 上 ，故在 上递减、在 上递增。 【多解·巧解】本题 与 的单调方向"恰好互换"，与例3正好互补，可以放在一起记忆：分子中的参数符号决定了导数是"恒正"还是"有零点"。 【变式3-3】已知函数 （，）。讨论 的单调性。 【答案】当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减、在 上单调递增。 【解题思路】导数化为 ，按分子 的零点位置分类。 【解答过程】。因为 ，所以 的符号由 决定。 ① 当 时， 恒成立，故 在 上单调递减； ② 当 时，令 得 ，在 上 ，在 上 ，故在 上递减、在 上递增。 【题型4 导函数图象与单调性的对应】 【例4】已知函数 的定义域为 ，其导函数 的图象是一条开口向上的抛物线，且与 轴交于点 和 ，则函数 的单调递增区间是（　　） A．　B． 和 　C．　D． 【答案】B 【解题思路】导函数图象只看"在 轴上方还是下方"，不看图象的高低。 【解答过程】 是开口向上的抛物线且过 、，所以 （）。由 得 或 ，故单调递增区间为 和 。故选B。 【多解·巧解】也可以直接"看图说话"：开口向上的抛物线在两交点外侧位于 轴上方（）、在两交点之间位于 轴下方（）。判断单调性只看 的正负，与图象的升降、高低无关。 【易错提醒】把" 的图象开口向上"误当成" 的图象开口向上"，就会得到相反的单调性。题目给的是导函数的图象，它只提供 的符号信息。 【变式4-1】已知函数 在区间 上的导函数 的图象恒在 轴下方，则 在区间 上（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【答案】B 【解题思路】图象在 轴下方即 。 【解答过程】 的图象恒在 轴下方，说明 在 上恒成立，所以 在 上单调递减。故选B。 【变式4-2】已知函数 （），则 在 上（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【答案】A 【解题思路】判断 的符号，利用 。 【解答过程】。因为 ，所以 ，且只在个别点处等于零，故 在 上单调递增。故选A。 【多解·巧解】用"、"来判断导数符号，是三角函数型单调性题的标准手法。本题 的最小值为 ，属于"非负但可在个别点取零"，不影响单调性判定。 【变式4-3】已知函数 的定义域为 ，其导函数 的图象是一条开口向下的抛物线，且与 轴交于点 和 ，则 的单调递减区间是____________。 【答案】 和 【解题思路】开口向下的抛物线在两交点外侧位于 轴下方。 【解答过程】由题意 且 。由 得 或 ，故单调递减区间为 和 。 【题型5 利用单调性比较大小】 【例5】设 ，，，则（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 【解题思路】三个数都是 的函数值，先确定单调区间再比较。 【解答过程】设 （），。由 得 ，由 得 ，故 在 上递增、在 上递减。 与 分别位于 的两侧，需算值比较：、，由 （即 ）得 ； 又比较 与 ：由 （即 ）得 。 所以 。故选C。 【多解·巧解】跨区间的两个数用"交叉相乘 + 比对数"最稳：比较 与 ，只需比较 与 ，即 与 ，再看底数（真数）大小即可，不必去记 、 的近似值。 【易错提醒】、 跨越了极大值点 ，不能直接套单调性说" 所以 "——若 在 上递增、 但 ，两者并不同区。必须先判断两个自变量是否在同一单调区间内。 【变式5-1】设 ，，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 【答案】C 【解题思路】把两个数都化成 的形式再观察。 【解答过程】，所以 。故选C。 【变式5-2】比较 与 的大小： ____________ （填"大于""小于"或"等于"）。 【答案】大于 【解题思路】两边取对数，化为比较 与 。 【解答过程】两边取自然对数，只需比较 与 ，即比较 与 的大小。 设 ，则比较 与 ，即比较 与 。 ， 在 上递减，而 ，所以 ，即 。 两边同乘 得 ，即 ，所以 。 【多解·巧解】幂比较大小的固定套路：两边取对数，把"幂"化为"积"，再用 的单调性。本题 恰好是 的极大值点，所以 是最大值，由此可一步断定 ，比逐项计算更省力。 【变式5-3】设 ，，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 【答案】B 【解题思路】 是 的最大值。 【解答过程】设 ，其最大值为 。而 ，所以 。故选B。 【题型6 单调性解抽象不等式与综合应用】 【例6】已知函数 ，则不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先判断 的奇偶性与单调性，把不等式化为两个自变量的大小关系。 【解答过程】因为 ，所以 是奇函数， 等价于 。 又 ，所以 在 上单调递增。 由单调性得 ，即 ，解得 。故选A。 【多解·巧解】"奇函数 + 单调递增"是解题的两把钥匙：奇函数负责把 变成 ，单调性负责脱去函数符号。遇到形如 的不等式，先看 是否奇函数，若是则可直接转为 。 【易错提醒】若 是偶函数则 ，不能这样转化。用奇、偶性化简符号前，务必先验证 还是 。 【变式6-1】已知函数 ，则不等式 的解集是____________。 【答案】 【解题思路】 是奇函数且单调递增，直接转化为自变量不等式。 【解答过程】，故 为奇函数；又 ， 在 上单调递增。不等式化为 ，由单调性得 ，即 ，解得 。 【变式6-2】已知函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把常数 写成 ，再脱去函数符号。 【解答过程】由 得 。因为 单调递增，所以 ，解得 ，即解集为 。故选A。 【变式6-3】已知定义在 上的偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】偶函数在 上递增，等价于"离原点越远函数值越大"。 【解答过程】因为 是偶函数， 只需比较 与 ：在 上 递增，故 时 当且仅当 ；由偶函数对称性， 时同理得 。所以解集为 。故选A。 【多解·巧解】偶函数可以统一用""处理：。偶函数把"两侧"化为"一侧"，是解抽象不等式的常用手法。 一、单选题 1．（★★）函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求导后解 。 【解答过程】，由 得 ，故单调递减区间为 。故选A。 2．（★★）函数 在 上的单调性是（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【答案】A 【解题思路】判断导数是否恒非负。 【解答过程】 对一切实数恒成立，故 在 上单调递增。故选A。 3．（★★）函数 （）的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】导数化成分式，分母恒正只看分子。 【解答过程】定义域为 ，。因为 ，由 得 ，即 。故选A。 4．（★★）已知函数 在区间 上满足 ，则 在 上（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【答案】B 【解题思路】导数符号与单调性的基本对应。 【解答过程】由" 则 单调递减"，得 在 上单调递减。故选B。 5．（★★）函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】乘 ，只看 的符号。 【解答过程】，由 得 ，即 ，故单调递减区间为 。故选A。 6．（★★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】导数恒非负，二次项系数为正，用判别式 。 【解答过程】。 在 上单调递增等价于 对一切实数恒成立。 二次项系数 ，只需判别式 ，解得 。故选A。 7．（★★★）已知函数 （）在 上不单调，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】“不单调”即导数能取到负值，求导函数的最小值并令其小于零。 【解答过程】。 由基本不等式 （等号在 处成立）， 所以 。又 与 时 ， 故 在 上不单调等价于导数能取到负值，即最小值 ， 解得 。故选A。 8．（★★★）已知定义在 上的函数 满足 ，且对任意 都有 ，则不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】构造 ，由 判断其单调性。 【解答过程】设 （），则 。 因为 且 ，所以 ， 在 上单调递增。 又 。不等式 两边同乘 得 ， 即 。由单调递增得 ，故解集为 。故选B。 二、多选题 9．（★★）关于导数与函数的单调性，下列说法正确的是（　　） A．若 在 上恒成立，则 在 上单调递增　B．若 在 上单调递增，则 在 上恒成立　C．若 在 上恒成立，则 在 上单调递减　D．若 在 上单调递减，则 在 上恒成立 【答案】ABCD 【解题思路】逐项对照导数与单调性的双向关系。 【解答过程】A、C 是"由导数符号判断单调性"的基本结论，正确； B、D 是"由单调性反推导数符号"的必要条件，也正确（等号允许取到，如 递增但 ）。 故选ABCD。 10．（★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 上单调递增　C． 在 上单调递增　D． 的单调递减区间为 【答案】ABD 【解题思路】求导后逐项判断单调性。 【解答过程】A：，正确； B：，故在 上递增，正确； C：，故在 上递减而非递增，错误； D：，递减区间为 ，正确。 故选ABD。 11．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．曲线 在点 处的切线斜率为 　B．若 在 上单调递增，则 　C．若 在 上单调递增，则 　D．若 在 上不单调，则 【答案】ABC 【解题思路】逐项把单调性翻译成导数不等式，注意“恒成立”与“存在”的方向及端点取舍。 【解答过程】。 A：，，正确； B： 对一切实数恒成立，需 ，解得 ，正确； C：需 对一切 恒成立；函数 在 上递减且上确界为 ，故 ，正确； D： 在 上不单调，需 有两个不同零点且都落在 内。 由 得两根 ，均在 内等价于 ，即 ，故 D 错误。 故选ABC。 12．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A． 的单调递增区间为 　B．　C．　D．若 在 上单调递减，则 【答案】ABD 【解题思路】求导得单调性后逐项判断，比较大小用交叉相乘转成对数比较。 【解答过程】，由 得 ，由 得 。 A： 在 上递增，正确； B：比较 与 等价于比较 与 ，即 与 ； 因为 ，所以 ，正确； C：，两者相等，故 C 错误； D： 在 上递减，要使 上递减，需 ，即 ，正确。 故选ABD。 三、填空题 13．（★★）函数 的单调递增区间是____________。 【答案】 和 【解题思路】因式分解后解不等式。 【解答过程】，由 得 或 ，故单调递增区间为 和 。 14．（★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】导数恒非负，分离参数。 【解答过程】，由 对一切 恒成立得 。因为 时 ，下确界为 ，所以 。 15．（★★★）已知函数 （，）在 上存在单调递减区间，则实数 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】“存在单调递减区间”等价于导数能取到负值，即导数的最小值小于零。 【解答过程】。 当 时， 时 ，故 能取到负值，存在递减区间； 当 时，，在 上小于零，存在递减区间； 当 时，由基本不等式 ，故 ， 要使 能取到负值，需 ，即 ，解得 。 综上 。 16．（★★★）已知函数 （，）在 上不单调，则实数 的取值范围是 ____________。 【答案】 【解题思路】导数写成 ，分母恒正，判断分子在 上能否变号。 【解答过程】，其符号由 决定，且 。 当 时， 时 ， 由负变正， 变号，函数不单调； 当 时， 是开口向下的抛物线，最大值在 处，最大值为 。 能变号（即 能取到正值）等价于最大值大于零，即 ， 由 解得 ，即 ，所以 。 综上 。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 求 的单调区间。 【答案】(1) ； (2) 单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 【解题思路】求导后解不等式，写出两段区间。 【解答过程】(1) 。 (2) 由 得 ，由 得 。故单调递减区间为 ，单调递增区间为 。 【多解·巧解】二次函数的单调区间用导数解不等式最快： 的解集就是递减区间，不必再背"对称轴左减右增"。也可用对称轴 验证：开口向上，对称轴左侧递减、右侧递增，两者一致。 【易错提醒】写单调区间时用并集符号连接两段，是概念性错误。 与 是两个独立的单调区间，中间要用"和"或逗号分开。 18．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 求 的单调区间。 【答案】(1) ； (2) 单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 【解题思路】先确定定义域，求导化成分式后只看分子符号。 【解答过程】(1) 定义域为 ，。 (2) 因为 ， 的符号由 决定。由 得 ，由 得 。故单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 【多解·巧解】本题的 是高考高频函数，结论"在 处取最大值 "建议直接记住，常在恒成立、证明不等式中作为"桥梁函数"。 【易错提醒】第一步"写出定义域"不能省。若直接解 得到 看似正确，但当分子分母都含 时，定义域决定了分母的符号，必须先声明 。 19．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【答案】(1) ； (2) 在 和 上单调递增，在 上单调递减。 【解题思路】导数因式分解求根，按根把定义域分段讨论符号。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ，。由 得 或 ；由 得 。故 在 和 上单调递增，在 上单调递减。 【多解·巧解】含参求根时注意 才能开方： 的根是 ，不要错写成 。若题目只给 ，则要先补上 （此时恒递增）的讨论。 【易错提醒】把根写成 会导致整个单调区间出错。求根后要回到原式验算：把 代入 应得 。 20．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【答案】(1) ； (2) 当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增、在 上单调递减。 【解题思路】导数写成分式，分母恒正，按分子零点是否落在定义域内分类。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ， 的符号由 决定。 当 时， 对一切 恒成立， 在 上单调递增； 当 时，令 得 ，在 上 、在 上 ， 故 在 上单调递增、在 上单调递减。 【多解·巧解】临界值 来自“导数零点 恰好落到定义域端点”；求出零点后先判断它是否在定义域内，讨论就不会漏。 【易错提醒】只讨论 而漏掉 （此时导数恒正）是含参讨论最常见的问题。 21．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【答案】(1) ； (2) 当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增、在 上单调递减。 【解题思路】导数化为 ，分母恒正，按分子判别式的符号分类。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ， 的符号由 决定，其判别式 。 当 时，， 恒成立， 在 上单调递增； 当 时，， 的两根为 、， 且 （两根之积为 、两根之和为 ）， 在 与 上 ，在 上 ， 故 在 和 上单调递增、在 上单调递减； 当 时， 的两根均为负数，故 时 ， 在 上单调递增。 综上，当 时 在 上单调递增；当 时结论如上。 【多解·巧解】分类的临界值是 ，即 ；判别式决定分子能否变号，是本题分类的唯一依据。 【易错提醒】忽略 时两个零点均为负（不在定义域内），会误把 也写成有递减区间；讨论完要检验零点是否落在 内。 22．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】导数化成分式，分母恒正，把单调递增翻译成分子恒非负再分离参数。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 时 ， 在 上单调递增等价于 对一切 恒成立， 即 对一切 恒成立。因为 的下确界为 ，所以 。 【多解·巧解】“ 恒成立”取 的下确界，“ 恒成立”取上确界，方向不要反。 【易错提醒】把“单调递增”错译成 会漏掉 ；正确应写 ，故 含端点。 23．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性； (3) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增、在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减、在 上单调递增； (3) 。 【解题思路】把导数化为 ，分母恒正，按分子两根是否落在定义域内分类。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ， 的符号由 决定。 当 时， 恒成立， 在 上单调递增； 当 时， 的两根为 。 若 ，两根均为正数， 在 和 上单调递增、 在 上单调递减； 若 ，则 ，在定义域内只有 一个零点， 故 在 上单调递减、在 上单调递增。 (3) 由 (2) 知， 在 上单调递增当且仅当 ，故 。 【多解·巧解】分类依据是判别式 与“根是否为正”，、 是两个临界值；第(3)问直接取 (2) 中“整体递增”的情形即可。 【易错提醒】第(2)问 要再分 与 ，因为两根的符号不同；漏掉其中一种会写错递减区间。 24．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性； (3) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减、在 上单调递增； (3) 。 【解题思路】第(3)问把恒成立翻译成“最小值非负”，再解关于 的不等式。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ， 的符号由 决定。 当 时， 恒成立， 在 上单调递增； 当 时，在 上 、在 上 ， 故 在 上单调递减、在 上单调递增。 (3) 当 时， 时 ，不满足恒成立，舍去； 当 时， 的最小值为 。 由 得 ，即 ，结合 得 。 【多解·巧解】“ 恒成立”等价于“最小值 ”； 时两端都趋于正无穷，最小值在 处取得。 【易错提醒】忽略 时 函数趋于负无穷这一趋势，会把 也算进答案。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $2027届艺术生高考数学一轮复习90天冲刺90分系列　·　第14讲 导数与函数的单调性 第14讲 导数与函数的单调性 【艺术生专用·全国通用】 考点要求 1．理解导数符号与函数单调性的对应关系，会规范地求函数的单调区间； 2．掌握由单调性求参数范围的标准流程：导数恒非负（非正）、分离参数、求最值； 3．会按"导数零点与定义域的位置关系"对含参函数的单调性进行分类讨论； 4．能构造函数并利用单调性比较大小、解抽象不等式，体会化归与构造的思想。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 培优得分策略 用导数判断单调性与求单调区间 选择题、解答题 第4~6题／第15题 中 三步走：定义域、求导、解不等式 由单调性求参数范围 选择题、填空题 第6~8题／第13题 中 导数恒非负，分离参数后取最值 含参函数的单调性讨论 解答题 第15~18题 中偏难 先求根，再比较根与定义域（或两根） 导函数图象与单调性的对应 选择题 第4~6题 中 只看 的正负，不看图象高低 利用单调性比较大小 选择题、填空题 第8题／第14题 中偏难 构造共同结构，跨区间时算值 单调性解抽象不等式 选择题、解答题 第8题／第17~20题 中偏难 奇偶性把不等式化为同一侧再脱去函数 命题规律分析 导数与单调性是导数应用的"第一站"，也是解答题的稳定得分点。新高考中，求单调区间常出现在选择题第4~6题与解答题第15~16题；由单调性求参数范围则多压在选择题第6~8题、填空题第13~14题这一档。培优阶段要抓住三件事：一是"单调递增"只能翻译成 而不是 ，端点处的取舍靠"能取到等号就取"来判断；二是含参讨论的临界值来自"导数的零点恰好落在定义域端点"，把临界值找全，讨论就不会漏；三是"比较大小"先找共同结构构造函数，两个自变量跨区间时必须算值而不能硬套单调性。把这三条落实，本专题是中档题的"稳分器"。 考点1 导数与函数单调性的关系 知识点1 导数符号与单调性的对应 在区间 内，若 ，则 在 上单调递增；若 ，则 在 上单调递减。 反过来，若 在区间 上单调递增，则 在 上恒成立——注意是"大于或等于"，如 在 上递增，但 。 【易错清单】 1．由"单调递增"推出 是错的，应为 ； 2．求单调区间必须"先定义域、后求导"，含对数、分式的函数最易把区间写到定义域之外； 3．多个单调区间之间用"和"字连接或分别写成区间，不能用并集符号。 知识点2 含参函数的单调性讨论 令 求出（含参的）零点，再按"零点与定义域的位置关系"或"两个零点的大小关系"分类讨论。 典型模型 ：，当 时恒正；当 时在 上递增、在 上递减。 【易错清单】 1．讨论不全，只写 而漏掉 ； 2．把参数默认成正数，导致临界值找不全； 3．求出零点后不检验是否落在定义域内，把定义域外的零点也写进单调区间。 考点2 单调性求参数与比较大小 知识点3 由单调性求参数范围 若 在区间 上单调递增，则 在 上恒成立；若单调递减，则 在 上恒成立。 解题模板：求导 → 写恒非负（非正）条件 → 分离参数 → 求另一边函数的最值 → 得参数范围。 【易错清单】 1．把"在区间上单调"错当成"在某点导数为正"，条件写得太松； 2．用判别式处理恒非负时，忘记先检查二次项系数的符号； 3．分离参数时除以负数要改变不等号方向，常被漏掉。 知识点4 用单调性比较大小 通法：把要比较的两个数写成同一个函数在两个自变量处的函数值，再用单调性判断。 常用结构：（在 上递增、在 上递减，最大值 ）是最高频的"比较大小"函数。 【易错清单】 1．两个自变量落在不同单调区间却直接套单调性； 2．构造函数时抄错表达式； 3．忘记定义域对自变量的限制。 【题型1 用导数求函数的单调区间】 【例1】函数 （）的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-3】函数 （）的单调递减区间是____________。 【题型2 由单调性求参数范围】 【例2】若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 【变式2-2】若函数 （）在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-3】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 含参函数的单调性讨论】 【例3】已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【变式3-1】已知函数 （）。讨论 的单调性。 【变式3-2】已知函数 （，）。讨论 的单调性。 【变式3-3】已知函数 （，）。讨论 的单调性。 【题型4 导函数图象与单调性的对应】 【例4】已知函数 的定义域为 ，其导函数 的图象是一条开口向上的抛物线，且与 轴交于点 和 ，则函数 的单调递增区间是（　　） A．　B． 和 　C．　D． 【变式4-1】已知函数 在区间 上的导函数 的图象恒在 轴下方，则 在区间 上（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【变式4-2】已知函数 （），则 在 上（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【变式4-3】已知函数 的定义域为 ，其导函数 的图象是一条开口向下的抛物线，且与 轴交于点 和 ，则 的单调递减区间是____________。 【题型5 利用单调性比较大小】 【例5】设 ，，，则（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】设 ，，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 【变式5-2】比较 与 的大小： ____________ （填"大于""小于"或"等于"）。 【变式5-3】设 ，，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 【题型6 单调性解抽象不等式与综合应用】 【例6】已知函数 ，则不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】已知函数 ，则不等式 的解集是____________。 【变式6-2】已知函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-3】已知定义在 上的偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集是（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★★）函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★★）函数 在 上的单调性是（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 3．（★★）函数 （）的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 4．（★★）已知函数 在区间 上满足 ，则 在 上（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 5．（★★）函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★★）已知函数 （）在 上不单调，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★★）已知定义在 上的函数 满足 ，且对任意 都有 ，则不等式 的解集为（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★★）关于导数与函数的单调性，下列说法正确的是（　　） A．若 在 上恒成立，则 在 上单调递增　B．若 在 上单调递增，则 在 上恒成立　C．若 在 上恒成立，则 在 上单调递减　D．若 在 上单调递减，则 在 上恒成立 10．（★★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 上单调递增　C． 在 上单调递增　D． 的单调递减区间为 11．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．曲线 在点 处的切线斜率为 　B．若 在 上单调递增，则 　C．若 在 上单调递增，则 　D．若 在 上不单调，则 12．（★★★）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A． 的单调递增区间为 　B．　C．　D．若 在 上单调递减，则 三、填空题 13．（★★）函数 的单调递增区间是____________。 14．（★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 15．（★★★）已知函数 （，）在 上存在单调递减区间，则实数 的取值范围是 ____________。 16．（★★★）已知函数 （，）在 上不单调，则实数 的取值范围是 ____________。 四、解答题 17．（★★）已知函数 。 (1) 求 ； (2) 求 的单调区间。 18．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 求 的单调区间。 19．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 20．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 21．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 22．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 23．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性； (3) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 24．（★★★）已知函数 （，）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性； (3) 若 对一切 恒成立，求实数 的取值范围。 —— 本节结束 —— 1 学科网（北京）股份有限公司 $